Microsoft Word - Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred

ZBIRKA DETALJNO REŠENIH ZADATAKA ZA II RAZRED VLADIMIR BEČEJAC Ova zbirka ima cilj da se brže i lakše shvate zadaci iz oblasti predviđene planom i programom za II razred. Skoro svi zadaci iz zbirke su detaljno rešeni. Zbirka će biti u potpunosti gotova na kraju školske godine kada budu pređene sve oblasti. Zelenom bojom su šrafirani zadaci koje mogu rešiti svi učenici (oni su uglavnom za ocene 2 i 3), žutom bojom su šrafirani zadaci za ocene 4 i 5, sa crvenom bojom su označeni za 4 i 5, ali za njihov rad je potrebno malo više razmišljanja i truda. Tamno zelenom bojom su označena rešenja zadataka. Plavom bojom su označene neke pomoćne stvari koji bi pomogle u rešavanju zadatka. Ljubičastom bojom su označeni predlozi za kontrolne zadatke. Zadaci su uglavnom uzimani iz «Zbirke rešenih zadataka iz matematike 2» mr Venea T. Bogoslavova; i «Zbirke rešenih zadataka za drugi razred srednjih škola» (treće izdanje) dr Dušana Georgijevića i dr Milutina Obradovića.

OBLAST I: STEPENI I KORENI

1.

  2  −2    −  + 3 ⋅ 2 −3   3    Izračunaj:  0 1 2 −2 + 5 ⋅   2 −2 2 3−  3

  2  −2    −  + 3 ⋅ 2 −3   3    Rešenje:  0 1 2 −2 + 5 ⋅   2 −2 2 3−  3

2. Uprosti izraz: x

4

Rešenje:

.

     1 1 + 3⋅   2 8 2       3     = 1 + 5 ⋅1 22 1 3− 2 2   3

(

y −3 ⋅ x −3 y −6 ⋅ (xy ) ⋅ x 3 y 2 −3

(

x 4 y −3 ⋅ x −3 y −6 ⋅ ( xy ) ⋅ x 3 y 2 −3

−1

−1

) ⋅ (xy ) −4

−2 3

−1

   1 3  +   4 8   9  = 1 +5 4 1 3− 4 9

−1

 9 3  +  4 8 = 21 4 3 4

−1

 21    8 =  21 3

−1

8 = 21 = 24 . 21 3

) ⋅ (xy ) . −4

−2 3

= x 4 y −3 x −3 y −6 x −3 y −3 x −12 y −8 x 3 y −6 = x 4−3−3−12+3 y −3− 6−3−8−6 = x −11 y −26

3.

 x 5 y −2 Uprosti izraz:  −3  z

 x 5 y −2 Rešenje:  −3  z

  

5

5

4

 z −6 y 6   12  .  x 

4

 z −6 y 6  x 25 y −10 z −24 y 24 y −10 z −9 y 24 z −9 y 14  12  = ⋅ = = −15 48 23 x z x x x 23     3a −3  −3  9a −1  −2  30 Uprosti izraz:   − 2  :  −3   : − 6 .   5b   5b   a b   Rešenje : −3 −2    3  −3  9 1   1   1  − 3 − 2 b  3    3⋅ 3   9⋅    3a −3   9a −1   30 6   a a a    :  ⋅  :  : =   a  :  a =    5b − 2   5b −3   a − 6 b   1   1   30  5   5    5 ⋅ 2   5 ⋅ 3    2   3  b   b    b   b   

4.

    3b 2  −3  9b 3  − 2  b  1   ⋅ = =   3  :     5a   5a   30a 6   3b 2  3     3    5a 

     

−2

 b   ⋅ a6 =  30  

  1  b 1 81b 6 b = ⋅ ⋅ = : ⋅ 2 6 6 2 27b 25a 30a 6  9b 3   30a    125a 9  5a  

125a 9 ⋅ 81b 6 ⋅ b = ab 27b 6 ⋅ 25a 2 ⋅ 30a 6 1 1 1 − − −2 x Uprosti izraz : . x −x 2(1 + a ) 2(1 − a ) a − 1 Rešenje : 1 1 1 1 1 1 1 ax a 2x − − = − − = − − = x x 2x 1 2 1+ ax 2 1 − a −x a −2 x − 1 2 a x + 1 2 a 1 2 a 1 1 a + − −  a x −1 −1 2 x  2x a a   x x x 2x x 2x x a −1− a a +1 a a −1− a − a a 2x a 2x − 1 1 − 1 − a 2 x + 2a 2 x = + = + = = = x x 2x x x 2x 2x 2x 2 a +1 a −1 a −1 2 a +1 a −1 a −1 2 a −1 2 a −1 2 =

5. (

) (

)

(

)

(

)(

)

6. Uprosti izraz :  xyy 

(

)

(

)(

(

)

−1

−1

(

) (

)

)

(

)

−1

 x −1 + y −1  + x −1  y −1 − x −1    + − . −1   2 + yx −1  x −1 y −1  

Rešenje : −1

−1

 y −1 + x −1   x −1 + y −1  y −1 − x −1   −1   + − −1    2 x −1 y −1  xy + yx    −1

  =   

x+ y

−1

−1

 x+ y   x+ y  a−b      x+ y xy   xy  = 2 + − ab =  2 2 2   2  1 x +y  x +y     ab    xy  2 ( x + y) =

−1

1 1 1 1 1 1 +  −  +  y x x y y x  + − =  2  x y 1 +    y x xy  

− x + y = x + y − x + y = 2y

−1

−1

 x+ y x2 + y2 2 xy  +   − ( x − y ) = + −x+ y = x+ y x+ y  2 xy  

7. Izračunaj: (2

)(

)

5 − 19 2 5 + 19 .

(

)(

) ( ) − ( 19 )

Rešenje: 2 5 − 19 2 5 + 19 = 2 5

8. Dokazati da je A i B jednako: A =

2

1−

2

2a − 1 a2

= 20 − 19 = 1

B = 9+

(a −1) = a −1 2a −1 a2 − 2a + 1 A = 1− 2 = = a a a2 a2 (a − 1 − 3a )(a − 1 + 3a ) = 9a 2 + (− 2a − 1)(4a − 1) = B = 9+

(a − 1 − 3a )(a − 1 + 3a ) . a2

2

a2

=

a2

9 a 2 − 8a 2 − 4 a + 2 a + 1 = a2

a 2 − 2a + 1 = a2

a −1 a 1

9. Racionališi: 1

7

7 7 7 7 10 Racionališi: 4 25 10 10 10 5 10 5 Rešenje: 4 = = ⋅ = =2 5 5 25 4 5 2 5 5 1 Racionališi: . 2+ 3 1 2− 3 2− 3 Rešenje: ⋅ = = 2− 3 4−3 2+ 3 2− 3

Rešenje:

7

⋅

=

10.

11.

12. Racionališi: a + 1 −

a +1

a +1

Rešenje: a +1− a +1

a +1

(

⋅

a +1

=

a +1

)

(a + 1 − (

.

) a + 1)

a +1 ⋅ a +1 2

=

a a +1 + a +1 − a −1 = a +1

a + 1 ⋅ (a + 1) − (a + 1) = a +1

(a + 1) a + 1 − 1 = a +1 −1 a +1 a Racionališi: . a +1 +1 a a +1 −1 a a +1 − a a a +1 −1 Rešenje: ⋅ = = = a +1 −1 a +1−1 a a +1 +1 a +1 −1 4 Racionališi 3 . 2 −1 =

13.

(

)

14.

Rešenje:

( 2) ⋅ 2 −1 ( 2) 4

3

3

3

2 2

+ 3 2 +1 + 3 2 +1

=

(

) = 4(

4 3 4 + 3 2 +1

( 2) −1 3

3

3

3

) (

)

4 + 3 2 +1 = 4 3 4 + 3 2 +1 2 −1

15. Racionališi: Rešenje:

7

1 7

x2

⋅

7

1 7

x5 x5

x2

7

=

16. Racionališi:

( Rešenje:

.

7

x5

7

=

x7 1

x5 x

. 2+ 3+ 5 1 2+ 3 − 5 ⋅ = 2+ 3 + 5 2+ 3 − 5

((

)

)

( (

)

((

) )

(

)

2+ 3 − 5

( 2 + 3) − ( 5) 3 )− 5 ) 6 2

2

=

(

)

2+ 3 − 5

2+ 2 6 +3−5

=

(

)

2+ 3 − 5 2 6

⋅

6 6

2+ 3 − 5 6 2+ = 2⋅6 12 30 − 20 Skrati razlomak: . 12 − 8 Rešenje: 30 − 20 12 + 8 30 − 20 12 + 8 360 − 240 + 240 − 160 6 10 − 4 10 ⋅ = = = = 12 − 8 4 4 12 − 8 12 + 8 =

17.

(

)(

)

10 2

=

x5 + x4 1 1 Izvrši naznačene operacije: 1 + 2 x + x ⋅ ⋅ − 4 2 2 x −1 x x Rešenje:

18.

2

4

x5 + x4 1 1 x5 + x4 x2 −1 x5 + x4 2 4 1 + 2x + x ⋅ ⋅ − = (x + 1) ⋅ ⋅ 4 = x +1 ⋅ = x +1 ⋅ x +1 = x2 −1 x2 x4 x2 −1 x x4 = x +1 2

4

19. Uprosti izraz:

4

a 3 − 6a 2 x + 12ax 20 − 8 x 3 a − 2x : 2 b b (a + x)

Rešenje: a 3 − 6a 2 x + 12ax 20 − 8 x 3 a − 2x (a − 2 x) 3 (a − 2 x ) (a − 2 x) 3 b2 a − 2x 4 4 : = : = ⋅ =4 2 2 2 2 2 b a+x b (a + x) b (a + x) b b (a + x) (a − 2 x ) 2

4

20. Korenovati sledeći koren: Rešenje:

5 4

5 4

32

32 = 20 32 = 20 2 5 = 4 2

1 1 −   1  8  − 23  2  12  1  − 2  Izračunaj: 16 +  27   2 −    . 9         Rešenje:   1 1  1  −  2 − 2  1 1   8  − 3   2  1  2   8 4  1 = 3 16 +  27   2 −    =  2 + 27  2 − 9 1              9  = 2 − 9 = −7

21.

( 2 + 3 )( 2 − 3) = ( 2 + 3)( 2 − 3) = 3

3

=

a−b

22. Izračunaj:

1 2

1 2

+

a−b 1

1

a +b a2 − b2 a−b a−b a−b a−b a−b a− b a−b a+ b + 1 = + = ⋅ + ⋅ = 1 1 1 a + b a − b a + b a − b a − b a + b a2 + b2 a2 − b2 (a − b ) a − b + (a − b ) a + b = (a − b ) a + b + a − b = 2 a = a−b a+ b a− b a+ b a− b

(

(

)

)(

(

) (

)

)(

(

)

+

 a− 2  ⋅ . a − 2a  a + 2

)

23. Obavi naznačene operacije:  a + 2 −

a 2a + 2

 2a

2

Rešenje: a+2  a − 2  a + 2 2a a 2 a 2a − 2 2 a + 2a  a − 2 ⋅  − +  ⋅ =  ⋅ − ⋅ + ⋅  a+2 = + 2 a 2 a 2 a + 2 a − 2 a 2 a 2 a 2 a + 2 2 a − 2 a − 2 a a + 2 a      (a + 2 ) 2a a 2a − 2a 2a + 2 2a  a − 2  a 2a + 2 2a a 2a − 2a 2a + 2 2a  a − 2 ⋅  ⋅ =  − + − + 2  a+2 =  a+2 = 2 a 2 a − 4 2 a 2 ( a − 2 ) a ( a − 2 ) a − 2 a    

(a 2a + 2 2a )(a − 2) − (a 2a − 2a )a + (2a + 2 2a ) ⋅ 2 a 2 2a + 2a 2a − 2a 2a − 4 2a − a 2 2a + 2a 2 + 4a = = 2 a ( a − 2) 2 a ( a − 2) =

2 a 2 + 4a a − 2 2 a ( a + 2) a − 2 ⋅ = ⋅ = 2 a ( a − 2) a + 2 2 a ( a − 2) a + 2

24. Izračunati vrednost izraza x

(

Rešenje: 1 + 2

25. Izračunaj:

)

2

(

2

a− 2 a−2

− 2 x − 1 za x = 1 + 2 .

)

− 2 1+ 2 −1 = 1+ 2 2 + 2 − 2 − 2 2 −1 = 0 6 − 4 2 + 8 − 2 15 .

Imati u vidu da je Legranžeova formula:

A± B =

A + A2 − B ± 2

A − A2 − B . 2

Rešenje: Primenom gore navedene formule dobijamo: 6 − 4 2 + 8 − 2 15 = =

6 + 36 − 32 6 − 36 − 32 8 + 64 − 60 8 − 64 − 60 − + − = 2 2 2 2

6+2 6−2 8+2 8−2 − + − = 4 − 2 + 5 − 3 = 2− 2 + 5 − 3 2 2 2 2

26. Izračunaj:

40 2 − 57 − 40 2 + 57 .

Rešenje: Kako je 40 2 < 57 možemo napisati 40 2 − 57 − 40 2 + 57 = 57 − 40 2 − 40 2 + 57 = = 4 2 − 5 − 5 − 4 2 = −10

(5 − 4 2 )

2

−

(5 + 4 2 )

2

=

27. Uprosti izraz:

a2 + 4 2

 a2 − 4   + 4 a  2 a  

a2 + 4 2

=

a2 + 4

(

a −4 a −4  + 4 a a  4a 2  2a  Rešenje: a2 + 4 a2 + 4 = = 2 =2 2 2 a + 4 a +4 2 2 2

(

2

)

2

x−4 x−4 +2

)

2

−4 ⋅ a 2 + 4a 2 2 4a

2

a2 + 4 a 4 − 8a 2 + 16 + 16 2 4

=

x+4 x−4 −2

.

Rešenje: x+4 x−4 −2

(a

+4

=

)

28. Uprosti izraz: x−4 x−4 +2

a2 + 4

=

=

x−4−4 x−4 +4 +2 x+4+4 x−4 −4 −2

) x − 4 + 2) x−4 −2

4 − x − 4  = x−4 1 

x−4 −2 +2 Dati izraz je jednak

=

( (

x−4

2

2

+2

=

−2

x−4 −2 +2 x−4 +2 −2

=

x−4 −2 +2 x−4

4< x 2 x1 x 2 −k +5 −k −2 > 2⋅ ⇔ − k + 5 > −2k − 4 ⇔ k > −9 k −1 k −1

1 1 + > 2. x1 x 2

64. Konstruiši grafik funkcije y = x − x + x 2 i ispitaj joj tok. Rešenje: y = x − x ⋅ x + 1 I: x < −1

y = x − (− x)(− x + 1)

II: − 1 ≤ x < 0 III: x ≥ 0

y = x − x2 + x

y = x − (− x)( x + 1)

y = x − x( x + 1)

y = −x 2 + 2x

y = x + x 2 + x y = x 2 + 2x

y = x − x2 − x

y = −x 2

−2 −4 = 1 c) − x 2 + 2 x = 0 x(− x + 2) = 0 x = 0 ∨ x = 2 d) x=0 y=0 =1 β = −4 −2 −2 4 II) a) a=1 b) α = = −1 β = = 1 c) x( x + 2) = 0 x = 0 ∨ x = −2 d) x=0 y=0 2 4 III: a) a=-1 b) α = 0 β = 0 c) − x 2 = 0 x = 0 I: a) a=-1 b) α =

y

f(x)=x-abs(x+x^2)

9 8 7 6 5 4 3 2 1

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

2

3

4

5

6

7

8

9

65. Dat je skup funkcija y = ax 2 − 2 x − 5 . Odredi parametar a tako da funkcija dostiže maksimum za y = −2 . Rešenje:

−2=

− 20a − 4 4a

− 8a = −20a − 4

12a = −4

a = −3

− x 2 + 2x − 5 66. Reši nejednačinu < −1 . 2x 2 − x − 1 Rešenje:

− x2 + 2x − 5 +1 < 0 2x2 − x −1 − x2 + 2x − 5 + 2x2 − x −1