Mi a cime ennek a konyvnek - Raymond Smullyan.pdf

Raymond Smullyan

Mi a címe ennek a könyvnek?

Drakula rejtélye és más logikai feladványok

TYPOTEX Elektronikus Kiadó, Budapest, 1996 A m ű ered eti c í m e: © R . M . S m u l l ya n : Wh a t i s th e n a m e o f th i s b o o k? P u b l i s h ed b y a rra n g em en t wi th th e o ri g i n a l p u b l i s h er, S i m o n & S c h u s ter, I n c . Al l ri g h ts res erved © H u n g a ri a n tra n s l a ti o n T yp o tex, 1996 F o rd í to tta : T ö rö k Ju d i t I S B N : 963 7546 64 2 K i a d j a a T yp o tex El ektro n i ku s K ö n yvki a d ó K ft. F el el ő s ki a d ó : Vo ti s ky Z s u z s a A b o rí tó t és kö tés t tervez te: N ém eth Já n o s T erj ed el em : 9, 5 (A/5) í v

AJÁNLÁS Linda Wetzelnek és Joseph BevandSnak, felbecsülhetetlenül értékes tanácsaikért

Tartalom Első rész Szórakoztató logika 1. Hazugság? 13 2. Rejtvények és beugratok 17 Megoldások 21 3. Lovagokésiókötők 26 Megoldások 30 4. Alice a feledékenység erdejében 38 Megoldások 45

Második rész Porfia ládíkái és más rejtélyek 5. Portia ládikáinak rejtélye 51 Megoldások 57 6. Craig felügyelő feljegyzéseiből 61 Megoldások 66 7. Hogyan kerüljük el a farkasembereket, és más praktikus tanácsok 71 Megoldások 11 8. Logikai rejtvények 82 Megoldások 90 9. Bellini vagy Cellini? 97 Megoldások 102

Harmadik rész Hátborzongató mesék 10. Baal szigete 111 Megoldások 116 11. A zombik szigete 120 Megoldások 123 12. Él-e még Drakula? Megoldások 127 135

Negyedik rész A logika roppant szórakoztató dolog 13. A logika és az élet * 14. Hogyan bizonyítsunk bármit? 15. A paradoxontól az igazságig 16 16. Gödel felfedezése

Köszönet Flőször is barátaimnak, Róbert és Ilse Cowennek, valamint tízéves kislányuknak, Lenorenek, akik - végigolvasván a kéziratot - sok hasznos javaslatot tettek. (Megjegyzem, hogy Lenore mindvégig sejtette a helyes választ a 4. fejezet kulcskérdésére, vagyis arra, hogy Subidi tényleg létezik-e vagy csak Dingidungi találta őt ki.) Hálával tartozom Greer és Melvin Fittingnek (egy nagyon kedves és hasznos könyv, az „In Praise of Simple Things"szerzőinek) munkám iránt tanúsított érdeklődésükért, és azért, hogy könyvemre felhívták Oscar Collier figyelmét a Prentice Hall kiadónál. Azt hiszem, Melvin-nek külön meg kell köszönnöm, hogy meg is jelenik ebben a könyvben (ezzel cáfolva bizonyításomat, miszerint nem jelenhet meg!). Igen kellemes volt Oscar Collierrel és a Prentice-Hall többi munkatársával dolgozni. Mrs Ilene McGrath szerkesztő sok olyan javaslatot tett, amit hálásan elfogadtam. Köszönettel tartozom Dorothy Lachmann-nak is, aki kiválóan látta el a nyomtatással kapcsolatos teendőket. Szeretném ismét megemlíteni Linda Wetzelt és Joseph Bevandót, akiknek könyvemet ajánlottam, és akik már a kezdet kezdetén szívvellélekkel könyvem mellé álltak. Feleségem, Blanche, sok kifogásával segített. Remélem, hogy ez a könyv lehetővé teszi számára, hogy eldöntse, lovaghoz vagy lókötő-höz ment-e feleségül.

Szórakoztató logika 1. Hazugság? 1. Bolonddá t et t ek? Hatéves koromban kaptam az első leckét logikából, így történt: 1925. április l-jén betegen feküdtem az ágyban, megfáztam, vagy influenzás voltam, vagy valami hasonló. Reggel Emilé bátyám, aki 10 évvel volt idősebb nálam, bejött a szobámba és ezt mondta: „Raymond, ma április elseje van, a bolondok napja, és én úgy bolonddá teszlek, mint még soha!" Egész nap vártam, hogy becsapjon, de nem tette. Késő este anyám megkérdezte, hogy miért nem megyek már aludni. „Várom, hogy Emilé becsapjon" - válaszoltam. Anyám ekkor így szólt Emile-hez: „Emilé, volnál szíves becsapni a gyereket?" Emilé erre hozzám fordult, és a következő párbeszéd hangzott el: Emilé: Szóval azt vártad, hogy becsaplak? Raymond: Igen. Emilé: De nem tettem, ugye? Raymond: Nem. Emilé: De azt vártad, ugye? Raymond: Igen. Emilé: Hát akkor becsaptalak, nem? Emlékszem, hogy még lámpaoltás után is sokáig töprengtem az ágyban fekve azon, hogy most valóban becsaptak vagy sem. Egyrészt, ha nem csaptak be, akkor nem kaptam meg, amit vártam, vagyis becsaptak. (Ez volt Emilé álláspontja.) Másrészt ezzel az erővel azt is mondhatjuk, hogy ha becsaptak, akkor megkaptam, amit vártam, akkor pedig mivel csaptak be? Szóval, becsaptak vagy nem? Erre most nem válaszolok, még többször visszatérünk rá a könyv folyamán. Az a nehezen megragadható problémakör, amit ez a kérdés felvet, egyik fő témánk lesz. 2. Hazudt am? Hasonló eset történt sok évvel később, mikor végzős hallgató voltam a Chicagói Egyetemen. Hivatásos bűvészként dolgoztam akkoriban, de egy darabig elég rosszul ment az üzlet, ezért valamilyen jövedelemkiegészítés után kellett néznem. Elhatároztam, hogy megpróbálok ügynökként elhelyezkedni. Egy porszívókat árusító cégnél jelentkeztem. Először is ki kellett töltenem egy kérdőívet, hogy kiderüljön, alkalmas vagyok-e a munkára. Az egyik kérdés ez volt: „Van-e kifogása az ellen, ha valaki kisebb hazugságokat mond néha?" Nos, akkoriban határozottan volt kifogásom, különösen az ügynökök hazugságai ellen, akik félrevezetően írták le portékáikat. Viszont úgy gondoltam, hogy ha őszintén bevallom ellenérzéseimet, akkor nem kapom meg az állást. így hát hazudtam, és „Nincs"-et válaszoltam. Hazafelé menet feltettem magamnak azt a kérdést, hogy vajon van-e kifogásom az ellen a hazugság ellen, amit az ügynökségnek mondtam. A válaszom az volt, hogy „Nincs". Na de ha ez ellen a konkrét hazugság ellen nincs kifogásom, akkor ebből az következik, hogy nem minden hazugság ellen van kifogásom, így a „Nincs" válasz a vizsgán igaz volt, nem hazugság! A mai napig sem teljesen világos számomra, hogy hazudtam vagy nem. Azt hiszem, a logika azt kívánja, hogy azt mondjam, hogy igazat mondtam, mivel az a feltételezés, hogy hazudtam, ellentmondáshoz vezet. A logika tehát azt kívánja, hogy azt higgyem, igazat mondtam. Én viszont akkor úgy éreztem, hogy biztosan hazudok. Ha már hazugságokról van szó, el kell mesélnem Bertrand Russel és a filozófus G. E. Moore esetét. Russel szerint Moore volt a legőszintébb ember, akivel valaha is találkozott. Egyszer megkérdezte Moore-t: „Hazudott ön valaha?" „Igen" - válaszolta Moore. Russel ezt írja az esetről: „Azt hiszem, ez volt Moore egyetlen hazugsága életében!" Esetem a porszívóügynökséggel felveti azt a kérdést, hogy hazudhat-e valaki anélkül, hogy tudna róla. Én „nem"-et válaszolnék. Szerintem nem az a hazugság, hogyha olyat állítunk, ami hamis, hanem ha olyat, amiről azt hisszük, hogy hamis. Ha valaki olyasmit mond, ami történetesen igaz, de ő azt hiszi, hogy hamis, akkor szerintem hazudik. A következő esetet egy elmebetegségekről szóló tankönyvben olvastam. Egy ideggyógyintézet orvosa azon gondolkodott, hogy szabadon engedje-e egyik skizofrén betegét. Elhatározta, hogy előbb hazugságvizsgálatot végez. Az egyik kérdés ez volt: „Ön Napóleon?" A beteg válasza: „Nem". A gép jelezte, hogy az illető hazudik.

Akövetkező történetet is olvastam valahol. Arról szól, hogy milyen megtévesztőén viselkednek időnként az állatok. Csimpánzkísérletet vég ez t ek egy szobában, ahol a mennyezet közepére f el kö l o /i ek rr\ banánt. A banán túl magasan volt ahhoz, hogy el lehessen érni A s/obában a csimpánzon, a kutatón, a felkötözött banánon és néhány I ulönböző méretű fadobozon kívül semmi nem volt. A kísérlettel azt s/erették volna eldönteni, hogy elég okos-e a csimpánz ahhoz, hogy egymásra rakja a dobozokat úgy, hogy építményére felugorva már elérje a banánt. A kutató a szoba sarkában állt, hogy figyelje, mi történik. A csimpánz odament hozzá, és izgatottan rángatta a kabátujját, mint aki azt akarja, hogy vele menjen. A kutató lassan követte a csimpánzt. Amikor a szoba közepéhez értek, a csimpánz hirtelen felugrott a vállára, és megkaparintotta a banánt. 3. A t réfa visszafelé sült el. Volt egy évfolyamtársam a Chicagói Egyetemen. Két öccse volt, egy hatéves és egy nyolcéves. Gyakori látogató voltam náluk, és sokszor mutattam be bűvésztrükköket a gyerekeknek. Egyik alkalommal ezt mondtam: „Tudok egy trükköt, amivel oroszlánná tudlak változtatni benneteket". Meglepetésemre, egyikük így szólt: „Oké, változtass minket oroszlánná." „Nos hát, hm,... szóval nem tehetem, mert nem tudnálak visszaváltoztatni" - válaszoltam. Mire a kisebbik: „Nem bánom, akkor is azt akarom, hogy változtass minket oroszlánná." „De tényleg nem tudlak semmiképp visszaváltoztatni" mondtam én. „Azt akarom, hogy változtass minket oroszlánná!" -üvöltött a nagyobbik. Aztán a kisebbik megkérdezte: „Hogyan változtatsz minket oroszlánná?" „Kimondom a varázsigét" válaszoltam. „Mi a varázsige?" - kérdezte egyikük. „Ha elárulnám a varázsigét" -feleltem -, „akkor kimondanám, és ti oroszlánná változnátok". Ezen egy kicsit elgondolkoztak, aztán egyikük megkérdezte: „És olyan varázsige nincs, ami visszaváltoztat minket?"„De van, csak az a baj, hogy ha kimondom az első varázsigét, akkor a világon mindenki - beleértve engem is oroszlánná változik. Az oroszlánok pedig nem tudnak beszélni, így nem marad senki, aki kimondhatja a másik varázsigét, hogy visszaváltoztasson minket" - feleltem. „Akkor írd le!" mondta a nagyobbik. „De én nem tudok olvasni!" - mondta a kisebbik. „Nem, nem" - feleltem -, „szó sem lehet róla. Ha leírják, akkor még inkább, mint ha kimondanák, oroszlánná változik a világon mindenki". „Oh" -mondták. Körülbelül egy héttel később összetalálkoztam a nyolcévessel.

„Smullyan, valamit szeretnék kérdezni tőled. Valamit, amit azóta sem értek" - mondta. „Mit?" kérdeztem. „Te hogyan tanultad meg a varázsigét?"

16

• S z ó ra ko z t a t ó l o g i ka

2. Rejtvények és beugratok A. NÉHÁNY RÉGI JÓ REJT VÉNY Néhány régi jó rejtvénnyel fogjuk kezdeni, amelyek már sok generációt elszórakoztattak. Egy részük eléggé ismert, de ezeken is csavartam egyet. 4. Kinek a képét nézem? Ez a rejtvény rendkívül népszerű volt gyerekkoromban, de azt hiszem, manapság kevésbé ismert. Érdekessége, hogy a legtöbb ember rossz választ ad rá, és (minden érvvel dacolva) kitart amellett, hogy igaza van. Emlékszem egy esetre úgy ötven évvel ezelőtt, amikor egy társaságban hosszú órákon keresztül vitatkoztunk erről a rejtvényről, és azok, akik jól válaszoltak, egyszerűen nem tudták meggyőzni a többieket az igazukról. A kérdés a következő: Egy ember néz egy arcképet. Valaki megkérdezi tőle: „Kinek a képét nézed?" „Testvérem nincs" - válaszolja az ember -, „de ennek az embernek az apja az apám fia". („Ennek az embernek az apja" természetesen a képen levő ember apját jelenti.) Kinek a képét nézi? 5. Tegyük fel, hogy a fentiek helyett ezt válaszolja az illető: „Testvérem nincs, de ennek az embernek a fia az apám fia"! Most kinek a képét nézi? 6. Mi t ört énik, ha egy felt art ózt at hat at lan ágyúgolyó egy moz-dít hat at alan oszlopnak üt közik? Ez a kérdés is gyerekkoromból való, és nagyon szeretem. Feltartóztathatatlan ágyúgolyón olyan ágyúgolyót értünk, ami mindent feldönt, ami az útjába kerül, mozdíthatatlan oszlopon pedig olyan oszlopot, amit semmi nem tud feldönteni. Szóval, mi történik, ha egy feltartóztathatatlan ágyúgolyó egy mozdíthatatlan oszlopnak ütközik? 7. Meglehetősen egyszerű kérdés következik, amit sokan ismernek. 1 luszonnégy piros és huszonnégy kék zokni van egy fiókban, egy sötét 2. R ej t vén yek és b eu g ra t o k •

17

szobában. Legalább hány zoknit kell kivennem a fiókból ahhoz, hogy biztosan legyen legalább két azonos színű zoknim? 8« Csavarunk egyet az előbbi kérdésen: Tegyük fel, hogy valahány kék és ugyanannyi piros zokni van egy fiókban, és tudjuk, hogy legalább annyi zoknit kell kivennem ahhoz, hogy biztosan legyen egy pár egyforma színű zoknim, mint amennyit ahhoz kell minimálisan kivennem, hogy biztosan legyen két különböző színű zoknim. Hány zokni van a fiókban? 9. Egy jól ismert logikai fejtörő következik. Tudjuk, hogy New Yorknak több lakosa van, mint ahány hajszál bármelyik lakos fején, és hogy senki sem teljesen kopasz. Következik-e ebből, hogy kell lennie legalább két lakosnak, akinek pontosan ugyanannyi hajszála van? Egy kissé módosított változata a feladatnak: Podunk városában a következők igazak: 1. Nincs két lakos, akinek pontosan ugyanannyi hajszála van. 2. Senkinek nincs pontosan 518 hajszála. 3. Több lakos van, mint ahány hajszála bárkinek is. Legfeljebb hány lakosa lehet Podunknak? 10. Ki a gyilkos? Ez a történet egy karavánról szól, amely a Szaharán vonult át. Egyik éjszaka sátrakat állítottak fel. Három főszereplőnk A, B és C. A gyűlölte C-t, és elhatározta, hogy megöli őt úgy, hogy mérget tesz a kulacsába (C csak innen juthatott vízhez). Ettől teljesen függetlenül B is elhatározta, hogy megöli C-t, így (anélkül, hogy tudta volna, hogy C vize már mérgezett) kicsiny lyukat ütött C kulacsán, hogy a víz lassan elfolyjon belőle. Emiatt C néhány nappal később szomjan halt. Kérdés, hogy ki volt a gyilkos, A vagy B? Egyrészt B volt a gyilkos, hiszen C sohasem ivott a méregből, amit A tett a kulacsába, így akkor is meghalt volna, ha A nem mérgezte volna meg a vizét. Másrészt A volt az igazi gyilkos, mivel B tette semmiféle

hatással nem volt a végeredményre; A megmérgezte C vizét, ezzel halálra ítélte C-t, aki akkor is meghalt volna, ha B nem üti a lyukat. Melyik okoskodás a helyes? Ismerik a viccet a favágóról, aki a Közép-Keletről jött, hogy munkát keressen egy fatelepen? „Nem tudom, hogy ez a munka megfelel-e önnek? Fákat vágunk ki" - mondta a munkavezető. „Éppen ez az, .miihez értek" - válaszolta a favágó. „Rendben van" - mondt a erre a munkavezető -, „itt egy fejsze, nézzük, mennyi idő alatt vágja ki ezt a fát ". A favágó odament a fához és egy csapással ledöntötte. „Oké" -mondta meglepődve a munkavezető -, „most próbálja meg azt a nagyobbat!" A favágó odament a fához, - piff, puff - két csapás, és a fa a földön feküdt. „Fantasztikus!" - kiáltotta a munkavezető. „Természetesen felvesszük, de árulja el, hol tanult meg így fát vágni?"„Ó - válaszolta a favágó -, „sokat gyakoroltam a Szahara erdőségben". A munkavezető gondolkodott egy darabig. „Úgy érti, hogy a Szahara sivatagban?" - kérdezte. „Igen" - válaszolta a favágó, „most már az!" 11. Még egy jogi kérdés. Két ember állt a bíróság előtt gyilkosságért. Az esküdtek az egyiket bűnösnek találták, a másikat nem. A bíró a bűnöshöz fordult, és így szólt: „Ez a legfurcsább eset, amivel valaha is találkoztam! Bár az Ön bűnössége kétségtelenül bebizonyosodott, a törvény arra kényszerít, hogy szabadon engedjem". Hogyan magyarázza ezt? 12. Két indián. Két amerikai indián ült egy fatörzsön - egy nagy indián és egy kis indián. A kis indián fia volt a nagy indiánnak, de a nagy indián nem volt az apja a kis indiánnak. Hogyan magyarázza ezt? 13. Az éra, amely megállt . íme egy csinos kis régi rejtvény: Egy embernek más órája nem volt, mint egy pontos faliórája, amit néha elfelejtett felhúzni. Egyik ilyen alkalommal elment a barátjához, vele töltötte az estét, majd hazament, és beállította az órát. Honnan tudta a pontos időt anélkül, hogy előzőleg tudta volna az út időtartamát? 14. Medvés feladat A feladat érdekessége, hogy sokan már hallották és ismerik a választ, de válaszuk indoklása nem kielégítő. Ha tehát Ön úgy gondolja, hogy tudja a választ, akkor is nézze meg a biztonság kedvéért a megoldást. Egy ember 100 yarddal délre van egy medvétől. 100 yardot megy kelet felé, aztán északnak fordul, elsüti a puskáját észak felé, és eltalálja a medvét. Milyen színű volt a medve?

B.BEUGRAT ÓK Amikor még nem döntöttem el; hogy milyen címet adok ennek a könyvnek, ilyenek fordultak meg a fejemben: „Szórakoztató logika", „Logikai rejtvények és fejtörők"és más effélék. De nem voltam velük valami elégedett. Ekkor elhatároztam, hogy Roget Thesaurus*-ához fordulok, kikerestem a „Rejtvény" címszót. Ez a 840-es bekezdéshez, a „Szórakoztató" címszóhoz irányított, ahol ilyen utalásokat találtam: „tréfa", „bolondozás", „vidámság", „móka", „jókedv", „mulatság", „bohóság", „bohóckodás", „hülyéskedés", „nevettetés". A következő paragrafusban pedig ezeket: „játék", „pajkosságok", „ugrándozások", „csíny te vések", „kópéságok", „bolondságok", „beugratok"**. Amikor megláttam a „beugratók"-at, felnevettem, és ezt mondtam a feleségemnek: „Figyelj, lehet, hogy a könyvem címe ,Beugratók' lesz!" Pompás cím, bár a könyv egészére nézve félrevezető, mivel legnagyobb részét aligha lehet beugratásnak tekinteni. Viszont ennek a résznek a feladataira tökéletesen illik ez a cím, mint ahogy ezt az Olvasó is hamarosan látni fogja. 15* Két pénzérme. Két amerikai pénzérme*** összesen harminc centet ér, az egyik nem nickel. Milyen érmék? 16* Ha valamennyire ismeri a katolikus vallást, biztos meg tudja mondani, hogy a katolikus egyház megengedi-e, hogy az ember feleségül vegye özvegye nővérét? 17. Egy ember egy harmincemeletes ház huszonötödik emeletén lakott. Minden reggel (szombat és vasárnap kivételével) beszállt a liftbe, lement a földszintre, és elment dolgozni. Este hazajött, beszállt a liftbe, felment vele a huszonnegyedik emeletig, és felsétált egy emeletet. Miért szállt ki a huszonötödik helyett a huszonnegyedik emeleten? 18. Nyelvt ani kérdés. Azoknak, akiket érdekelnek a nyelvtani kér- I k: Hogyan helyes: a Nap

nyugaton kél vagy nyugoton kél? 19. Menet rendi feladat * Egy vonat elindul Bostonból New Yorkba. Egy órával később elindul egy másik vonat New York-ból Bostonba. A két vonat sebessége pontosan ugyanakkora. Melyik vonat lesz közelebb Bostonhoz, amikor találkoznak? 20. Lejt ős kérdés Egy ház tetejének két felét nem szimmetrikusan illesztették össze, a tető egyik fele 60°-os, a másik fele 70°-os szögben lejt. Tegyük fel, hogy egy kakas épp a tető élére tojik egy tojást! A tető melyik oldalán fog a tojás legurulni? 21. Hány 9-es? Egy utcában 100 épület van. Megkérnek egy címfestőt, hogy készítse el a számtáblákat 1 -tői 100-ig. Ehhez számjegymatricákat kell vennie. Ki tudná számolni fejben, papír és ceruza nélkül, hogy hány 9-es számjegyre lesz szüksége? 22. A lóversenypálya. Egy csigának másfél óra hosszat tart, hogy az óramutató járásával megegyező irányban végigmásszon a lóversenypályán. Ellenkező irányban ugyanez csak 90 percet vesz igénybe. Mi okozhatja ezt a különbséget? 23. Kérdés a nemzet közi jogból. Ha éppen az Egyesült Államok és Kanada határán zuhan le egy repülőgép, melyik országban kell eltemetni a túlélőket? 24. És ezt hogyan magyarázná? Egy bizonyos Mr. Smith és a fia, Arthur, autóval mentek valahova. Karamboloztak, az apa azonnal meghalt, a fiút, Arthurt pedig súlyos sérülésekkel kórházba szállították. Az idős sebész egy pillantást vetett rá, és így szólt: „Én nem operálhatom, hiszen ez a fiam, Arthur!" Hogyan magyarázza ezt? 25. És most ! És most: mi a címe ennek a könyvnek?

MEGOLDÁSOK 4. Meglepően sok ember jut arra a helytelen következtetésre, hogy az illető a saját képét nézi. A képet néző ember helyébe képzelik magukat, és a következőképpen okoskodnak: „Mivel testvérem nincs, az apám fia csak én lehetek. Tehát a saját képemet nézem". Az okoskodás első része teljesen kifogástalan, ha testvérem nincs, akkor az apám fia valóban csak én lehetek. De ebből nem következik, hogy a „saját képem" a jó válasz. Ha a feladat második állítása „ez az ember az apám fia" lett volna, akkor a „saját képem" lett volna a válasz. De a feladat nem így szólt hanem: „ennek az embernek az apja az apám fia", amiből az következik, hogy ennek az embernek az apja én vagyok (mivel az apám fia én vagyok). Ha viszont ennek az embernek én vagyok az apja, ez az ember csak a gyerekem lehet. így a jó válasz a kérdésre az, hogy az illető a gyereke képét nézi. Ha van olyan Olvasó, akit még nem sikerült meggyőznöm (és biztos vagyok benne, hogy sokukat nem), talán segít, ha ugyanezt egy kicsit áttekinthetőbb formában nézzük meg: 1. Ennek az embernek az apja az apám fia. Helyettesítsük „az apám fia" kifejezést a kevésbé körülményes „én vagyok"-kal. Ezt kapjuk: 2. Ennek az embernek az apja én vagyok. Most már meggyőztem? 5. A másik esetben, ahol „Testvérem nincs, de ennek az embernek a fia az apám fia", az a válasz, hogy az illető az apja képét nézi. 6. A feladat feltételeiben logikai ellentmondás van. Logikailag lehetetlen, hogy egyszerre létezzen feltartóztathatatlan ágyúgolyó és mozdíthatatlan oszlop. Ha létezne feltartóztathatatlan ágyúgolyó, akkor az definíció szerint kidöntene minden oszlopot, ami az útjába kerül, tehát nem létezhetne mozdíthatatlan oszlop. Ugyanígy, ha létezne mozdíthatatlan oszlop, akkor azt definíció szerint semmiféle ágyúgolyó sem tudná kidönteni, tehát nem létezhetne feltartóztathatatlan ágyúgolyó. Önmagában sem a feltartóztathatatlan ágyúgolyó, sem a mozdíthatatlan oszlop léte nem vezet ellentmondásra, de ha azt állítjuk, hogy mindkettő létezik, az igen. A feladat nem nagyon különbözik attól, mint ha ezt kérdeztem volna: „Van két ember, John és Jack. John magasabb Jacknél és Jack magasabb Johnnál. Ezt hogyan magyarázza?" A legjobb válasz ez lehetne: „Ön vagy hazudik, vagy téved". 7. A legáltalánosabb rossz válasz a „25". Ha a kérdés úgy szólt volna, hogy „Hány zoknit kell kivennem ahhoz, hogy biztosan legyen legalább I i különböző színű zoknim", akkor a 25 lenne a jó válasz. De i feladatban legalább két

egyszínű zokniról volt szó, így a jó válasz „három". Ha kiveszek három zoknit, akkor vagy mind a három egyszínű (és ebben az esetben biztosan van legalább két egyszínűm), vagy kettő egyszínű és a harmadik más színű, így megint van két egyszínűm. 8. A válasz: négy 9. Az első kérdésre „igen" a válasz. Hogy ezt belássuk, tegyük fel hogy New York-nak pontosan 8 millió lakosa van. Ha mindenkinek különböző számú hajszála lenne, akkor lenne 8 millió különböző pozitív egész s/ám, amelyek mindegyike kisebb, mint 8 millió. Ez lehetetlen! A második kérdésre 518 a válasz! Ehhez tegyük fel, hogy több mint 518 lakos van, mondjuk 520. Ekkor lennie kéne 520 különböző természetes számnak, amely mind kisebb, mint 520, és egyik sem egyenlő 518-cal. Ez lehetetlen, hiszen (beleértve a 0-t) pontosan 520 természetes szám van, ami kisebb 520-nál, így csak 519 olyan természetes szám van, ami különbözik 518tól és kisebb 520-nál. Ja, és az egyik podunki lakosnak kopasznak kell lennie. Miért? 10. Kétlem, hogy bármelyik okoskodás is „helyes"-nek vagy „hely-telen"-nek nyilvánítható: Azt hiszem, hogy egy ilyen típusú kérdésnél az egyik vélemény ugyanannyira elfogadható, mint a másik. Személy szerint én azt hiszem, hogy ha valakit C gyilkosának tekinthetünk, akkor az A. Ha én volnék B védőügyvédje, akkor a bíróság előtt két dologra mutatnék rá: 1. megfosztani a mérgezett víztől valakit, az semmiképp nem gyilkosság; 2. ha egyáltalán valami, akkor valószínűleg éppen B cselekedete hosszabbította meg C életét (ha nem is ez volt a szándéka), mivel a méreg valószínűleg gyorsabban öl, mint a szomjúság. Ekkor viszont A ügyvédje így válaszolhatna: „Hogyan is mond h a tn á épeszű ember bűnösnek A-t méreggel elkövetett gyilkosságban, amikor C soha nem ivott semmiféle mérget?" Szóval ez egy fogas kérdés! Bonyolítja a dolgot az is, hogy nézhetjük morális szempontból, jogi szempontból és tisztán tudományos szempontból, az okozat fogalmának bevonásával. Morális szempontból nyilván mindketten bűnösek gyilkossági szándék bűntettében, de egy megtörtént gyilkoss á g o t sokkal jobban elítélünk. Jogi szempontból nézve, nem tudom', h o g y a törvényszék hogyan döntene, lehet, hogy különböző esküdt székek különbözőképpen. Ami pedig a tudományos szempontot illeti, már maga az okozat fogalma rengeteg kérdést vet fel. Azt hiszem, csak erről a problémáról egy egész könyvet lehetne írni. 11. A vádlottak sziámi ikrek voltak. 12. A nagy indián a kis indián anyja. 13. Amikor az illető elindult otthonról, elindította az órát és feljegyezte, hogy mit mutat. A barátjánál érkezéskor is és távozáskor is megnézte, hogy mennyi az idő, így tudta, hogy mennyi ideig volt ott. Hazaérve megnézte az órát, így tudta, hogy mennyi ideig volt távol. Ebből levonva azt az időt, amit a barátjával töltött, megtudta, hogy mennyi ideig tart az út oda-vissza a barátjához. Ennek az időnek a felét hozzáadva a barátjától való távozás időpontjához megtudta, hogy valójában hány óra van. 14. A medvének fehérnek kellett lennie, mert csak jegesmedve lehetett. A szokásos gondolatmenet szerint a medve csak az Északi-sarkon állhatott. Nos, valóban ez az egyik lehetőség, de nem az egyetlen. Az Északi-sarktól minden délre van, így ha a medve az Északi-sarkon áll, és a tőle 100 yarddal délre levő ember 100 yardot megy keletre, akkor észak felé fordulva ismét az Északi-sark lesz előtte. De mint mondtam, nem ez az egyetlen megoldás. Valójában végtelen sok megoldás van. Lehetséges pl., hogy az ember egy olyan szélességi körön áll, közel a Déli-sarkhoz, aminek a kerülete éppen 100 yard, és a medve 100 yarddal északra áll tőle. Ekkor ha az ember 100 yardot megy kelet felé, akkor a kör mentén pontosan oda ér vissza, ahonnan elindult. Ez tehát egy második megoldás. De folytathatjuk: ha az ember - valamivel közelebb a Déli-sarkhoz - olyan szélességi körön áll, aminek a kerülete 50 yard, akkor amíg 100 yardot megy keletre, éppen kétszer halad végig a kör kerületén és viszszatér oda, ahonnan indult. Ha még közelebb állna a Déli-sarkhoz, egy olyan szélességi körön, aminek a kerülete harmada a 100 yardnak, a körön háromszor végigsétálva érne vissza a kiindulási helyre. És így tovább, minden pozitív n egészre. Tehát valóban végtelen sok olyan hely van a Földön, ami kielégíti az adott feltételeket. Mindegyik megoldásban a medve eléggé közel van az Északi vagj I vli-sarkhoz, tehát

jegesmedve*. Természetesen fennáll az a va l ó IXÍnűtlen lehetőség, hogy egy tréfás kedvű ember odavisz egy barnái n á l vét az Északi-sarkra, csak hogy bosszantsa a feladat szerzőjét. 15. A válasz: egy negyed dolláros és egy nickel. Egyikük (nevezetesen a negyed dolláros) nem nickel. 16. Hogyan vehetne feleségül egy halott ember akárkit is? 17. Apró termetű volt, így nem érte el a huszonötödik emelet gombját. Egyszer egy ismerősöm (aki nyilvánvalóan nem túl jó vicc-mesélő) egy összejövetelen elmesélte ezt a viccet. így kezdte: „Egy harmincemeletes ház huszonötödik emeletén lakott egy törpe..." 18. A Nap történetesen keleten kel. 19. Nyilvánvaló, hogy a két vonat egyforma messze van Bostontól, amikor találkoznak. 20. A kakasok nem tojnak. 21. Tizenkilenc. 22. Nincs különbség; másfél óra az ugyanannyi, mint kilencven perc. 23. Aligha kívánhatja bárki is a túlélők eltemetését! 24. A sebész Arthur Smith anyja volt. 25. Sajnos már nem emlékszem pontosan a könyv címére, de ne aggódjanak. Biztos vagyok benne, hogy előbb vagy utóbb eszembe jut. * An n a k p ersz e n em t ű i n a g y a va l ó sz í n ű ség e, h o g y a D él i -sa rk kö rn yékén j eg esm ed vével t a l á l ko z z u n k, h i sz en a j eg esm ed vékn ek a z Ész a ki -sa rk a t erm ész et es kö rn yez et ü k. (A f o rd í t ó .)

3. Lovagok és lókötők A. A LOVAGOK ÉS LÓKÖT ŐK SZIGET E Rejtvények hosszú sora szól egy szigetről, amelynek bizonyos lakói, a „lovagok", mindig igazat mondanak, míg a többiek, a „lókötők", mindig hazudnak. Feltesszük, hogy a sziget minden lakója vagy lovag, vagy lókötő. Egy jól ismert rejtvénnyel fogom kezdeni, majd saját variációim következnek ugyanerre a témára. 26. Ebben a régi feladatban három lakos - A, B és C - együtt álldogál egy kertben. Egy arra járó idegen megkérdezi A-t: „Ön lovag vagy lókötő?" Ő válaszol, de olyan érthetetlenül, hogy az idegen nem tudja kivenni, mit is mondott. Megkérdezi B-t: „Mit mondott A?" B válasza: „A azt mondta, hogy ő lókötő". Ekkor közbeszól C, a harmadik ember: „Ne higgyen B-nek, hazudik!" A kérdés az, hogy miféle B, ill. C? 27. Amikor először találkoztam az előbbi feladattal, rögtön feltűnt, hogy C-nek semmiféle lényeges szerepe nincs, ő csak afféle töltelék. Ugyanis ahogy B megszólal, rögtön tudjuk - C nyilatkozata nélkül is -, hogy hazudik (1. a megoldást). A feladat következő változata ezt a vonást szünteti meg. Tegyük fel, hogy az idegen ahelyett, hogy azt kérdezné A-tól, hogy miféle, ezt kérdezi tőle: „Hány lovag van önök között?" O ismét érthetetlenül válaszol. Ekkor az idegen megkérdezi Bt: „Mit mondott A?" B válasza: „Azt mondta, hogy egy lovag van köztünk". Ekkor szól közbe C: „Ne higgyen B-nek, hazudik!" Most miféle B, ill. C? 28. Ennek a feladatnak csak két szereplője van, A és B. Mindkettőjük - egymástól függetlenül vagy lovag, vagy lókötő. A a következőt állítja: „Legalább egyikünk lókötő". Miféle A, ill. B? 29. Tegyük fel, hogy A ezt mondja: „Lókötő vagyok, vagy B lovag Miiéle A, ill. B? 30. Tegyük fel, hogy A ezt mondja: „Lókötő vagyok, vagy kettő meg kettő az öt". Mire következtetne ebből? 31. Megint három szereplőnk van, A, B és C, mindegyikük - egymástól függetlenül - vagy lovag, vagy lókötő. A és B a következőket állítja: A: Mindnyájan lókötők vagyunk. B: Pontosan egy lovag van köztünk. Miféle A, B és C? 32. Tegyük fel, hogy a fentiek helyett A és B a következőket mondja: A: Mindnyájan lókötők vagyunk. B: Pontosan egy lókötő van köztünk. Megtudhatjuk ebből, hogy B miféle? És hogy C miféle? 33. Tegyük fel, hogy A ezt mondja: „Én lókötő vagyok, de B nem az". Miféle A, ill. B? 34. Megint három szereplőnk van, A, B és C, mindegyikük - egymástól függetlenül - vagy lovag, vagy lókötő. Két embert egyforma típusúnak mondunk, ha vagy mindketten lovagok, vagy mindketten lókötők. A és B a következőket állítják: A: B lókötő. B: A és C egyforma típusú. Miféle C? 35. Megint hárman vannak, A, B és C. A ezt mondja: „B és C egyforma típusú". Valaki megkérdezi C-től: „Egyforma típusú A és B?" Mit válaszol C? 36. Saját kalandom. Most egy szokatlan rejtvény következik, ráadásul a való életből. Egyszer, amikor ellátogattam a lovagok és lókötők szigetére, találkoztam két lakossal, akik egy fa alatt heverésztek. Megkérdeztem egyiküket: „Lovag valamelyikük?" Ő válaszolt, és én tudtam, hogy mi a helyes válasz kérdésemre. Miféle volt az az ember, akit megkérdeztem, lovag vagy lókötő? És a másik? Biztosíthatom Önöket, hogy elegendő információt adtam.a feladat megoldásához. 37. Tegyük fel, hogy Ön látogat el a lovagok és lókötők szigetére. Találkozik két lakossal, akik lustán heverésznek a napon. Megkérdezi egyiküktől, hogy a másik lovag-e. Kap valamilyen

(igen-nem) választ. Ekkor megkérdezi a másiktól, hogy lovag-e az első. Kap valamilyen (igennem) választ. Szükségszerűen ugyanaz-e a két válasz? 38. Edward vagy Edwin? Ezúttal csak egy lakossal találkozik, aki lustán hasal a napon. Ön tudja, hogy az illető keresztneve vagy Edwin, vagy Edward, de nem emlékszik, hogy melyik. Ezért megkérdezi tőle a nevét, mire ő azt válaszolja, hogy „Edward". Mi az illető keresztneve?

B. LOVAGOK, LÓKÖT ŐK ÉS NORMÁLISAK Ugyanilyen érdekes az a feladattípus, amelynek szereplői háromfélék lehetnek: lovagok, akik mindig igazat mondanak, lókötők, akik mindig hazudnak és normális emberek, akik hol hazudnak, hol igazat mondanak. Következő néhány rejtvényem lovagokról, lókötőkről és normálisakról szól. 39. Adott három ember, A, B és C. Közülük az egyik lovag, a másik lókötő, a harmadik pedig normális (nem feltétlenül ebben a sorrendben). A következőket állítják: A: Normális vagyok. B: Ez igaz. C: Nem vagyok normális. Miféle A, B és C? 40. Egy szokatlanabb változat: Két ember, A és B, mindkettő -egymástól függetlenül - vagy lovag, vagy lókötő, vagy normális, és a következőket állítja: A: B lovag. B: A nem lovag. Bizonyítandó, hogy legalább egyikük igazat mond, de nem lovag. 41. Ezúttal A és B a következőket mondja A: B lovag. B: A lókötő. Bizonyítandó, hogy vagy egyikük igazat mond, de nem lovag, vagy \ ikük hazudik, de nem lókötő. 42. Társadalmi oszt ályok. A lovagok, lókötők és normálisak szigetén a lókötőket tartják az alsóbb, a normálisakat a közép-, a lovagokat a felsőbb osztálynak. Különösen kedvelem a következő feladatot: Adott két ember, A és B, mindkettőjük - egymástól függetlenül - vagy lovag, vagy lókötő, vagy normális. A következőket állítják: A: Alacsonyabb osztálybeli vagyok, mint B. B: Ez nem igaz! Megtudhatjuk ebből A vagy B osztályát? Megtudhatjuk valamelyik állításról, hogy igaz vagy hamis? 43. Adott három ember, A, B és C, közülük az egyik lovag, a másik lókötő, a harmadik normális (nem feltétlenül ebben a sorrendben). A és B a következőket állítja: A: B magasabb osztályból való, mint C. B: C magasabb osztályból való, mint A. Ekkor megkérdezik C-től: „Ki magasabb osztálybeli, A vagy B? Mit válaszol C?

C. BAHAVA SZIGET EK Bahava szigetén női egyenjogúság van, így a nők is lovagok, lókötők vagy normálisak. A sziget valamelyik régi uralkodója egyszer egy szeszélyes pillanatában azt a különös törvényt hozta, hogy lovag csak lókötővel, lókötő pedig csak lovaggal házasodhat össze. (Emiatt persze normális csak normálissal kelhet egybe.) így bármelyik házaspárban vagy mindketten normálisak, vagy egyikük lovag, másikuk lókötő. Akövetkező három történet Bahava szigetén játszódik. 44. Először egy házaspárral, Mr. és Mrs. A-val van dolgunk. A következőket állítják: Mr. A: A feleségem nem normális. Mrs. A: A férjem nem normális. Miféle Mr., ül. Mrs. A? 45. Tegyük fel, hogy a fentiek helyett ezt mondják: Mr. A: A feleségem normális. Mrs. A: A férjem normális. Más lenne a válasz? 46. Ebben a feladatban két bahavai házaspár szerepel, Mr. és Mrs. A, továbbá Mr. és Mrs. B. Mikor megkérdezik őket, hárman közülük a következőket vallják: Mr. A: Mr. B lovag. Mrs. A: A férjemnek igaza van, Mr. B lovag. Mrs. B: Ez igaz, a férjem tényleg lovag.

Miféle a négy ember, és az állítások közül melyek igazak?

MEGOIDÁSOK 26. Lehetetlen, hogy akár lovag, akár lókötő azt mondja, hogy „Lókötő vagyok", mert egy lovag nem hazudhatja, hogy lókötő, lókötő meg nem mondhatja meg az igazat, miszerint ő lókötő. Tehát A semmiképpen nem mondhatta, hogy ő lókötő, vagyis B hazudott, amikor azt mondta, hogy A lókötőnek vallotta magát. így B lókötő. Mivel C azt mondta, hogy B hazudik, és B tényleg hazudott, így C igazat mondott, tehát ő lovag. B tehát lókötő, C pedig lovag. (Azt, hogy A miféle, nem tudhatjuk.) 27. A válasz ugyanaz, mint az előbb, de az indoklás kicsit más. Az első észrevételünk az, hogy B és C csak ellentétes típusú lehet, mivel C ellentmondott Bnek. így kettőjük közül az egyik lovag, a másik lókötő. Ha A lovag lenne, akkor két lovag lenne köztük, és A nem hazudhatta volna azt, hogy csak egyikük lovag. Másrészt, ha A lókötő, akkor igaz, hogy pontosan egy lovag van köztük, de ekkor A, lévén lókötő, nem mondhatott volna igazat. Tehát A nem mondhatta azt, hogy egy lovag van köztük, így B lókötő, C pedig lovag. 28. Tegyük fel, hogy A lókötő. Ekkor a „Legalább egyikünk lókötő" állítás hamis (mivel a lókötők hazudnak), tehát mindketten lovagok. Ha tehát A lókötő lenne, akkor lovagnak kellene lennie, ami lehetetlen. Tehát A nem lókötő, hanem lovag. Emiatt állítása igaz, így legalább az egyikük tényleg lókötő. Mivel A lovag, csak B lehet a lókötő. Tehát A lovag, B lókötő. 29. Ez a feladat a logikai diszjunkció műveletével ismertet meg minket. 30 • S z ó ra ko z t a t ó l o g i ka Ha adott kél tetszőleges állítás,/? és q, akkor a „p vagy q" állít ás azt jelent i, hogy p és q közül legalább az egyik (és lehet, hogy m i n d ket t ő ) Ha a „p vagy q" állítás hamis, akkor p és q mindketten hamisak. Hl pl. azt mondanám, hogy „Esik az eső, vagy havazik", akkor ha állításom nem igaz, nem igaz sem az, hogy esik az eső, sem az, hogy fuva/ik. A logikában így használjuk a „vagy"-ot, és így fogjuk használni ebben a könyvben is. A hétköznapi életben néha ugyanígy használjuk I megengedve, hogy mindkét lehetőség teljesüjön), néha pedig az ún. „kizáró" értelemben, ami azt jelenti, hogy az egyik feltétel teljesül, a másik nem. Példa a kizáró vágyra, ha azt mondom, hogy „Vagy Bettyt veszem feleségül, vagy Jane-t". A két lehetőség kölcsönösen kizárja egymást, hiszen nem vehetem feleségül mindkét lányt. Másfelől, ha egy Főiskola tanrendje előírja, hogy egy elsőévesnek hallgatnia kell vagy egy év matematikát, vagy egy év idegen nyelvet, akkor nyilván nem akarják kizárni azt, aki mindkettőt hallgatja! Ez a „megengedő" c\ telmű „vagy", és mi végig ezt fogjuk használni. Egy másik fontos tulajdonsága a diszjunkciónak („megengedő vagy"-nak) a következő: Tekintsük a „p vagy q" állítást, és tegyük fel, h o g y igaz! Ekkor ha p hamis, g-nak igaznak kell lennie (mivel legalább egyikük igaz, ha p hamis, csak q lehet az igaz). Tegyük fel pl., h o g y igaz, hogy „Esik az eső vagy havazik" de nem igaz, hogy esik! Ekkor igaznak kell lennie annak, hogy havazik. A továbbiakban a diszjunkció fenti tulajdonságait fogjuk kihasználni. A diszjunktív kijelentést tett: „Lókötő vagyok, vagy B lovag". Tegyük fel, hogy A lókötő. Ekkor a fenti állítás hamis. Ezek szerint az sem igaz, hogy A lókötő, és az sem, hogy B lovag. Vagyis ha A lókötő lenne, abból az következne, hogy nem lókötő, ami ellentmondás. Tehát A csak lovag lehet. Megállapítottuk, hogy A lovag. Ekkor állítása igaz, azaz a következő két lehetőség közül legalább az egyik teljesül: 1. A lókötő; 2. B lovag. Mivel az 1. lehetőség hamis (hiszen A lovag), a 2. lehetőség teljesül, azaz B lovag. Tehát A és B mindketten lovagok. 30. Az egyetlen levonható következtetés az, hogy a feladat szerzőjenem lovag. Az igazság az, hogy sem lovag, sem lókötő nem tehet ilyen kijelentést. Ha A lovag lenne, akkor az az állítás, hogy „A lókötő, vagy kettő meg kettő az öt", hamis lenne, hiszen A nem lókötő, és kettő meg kettő sem öt. így A lovag létére hamisat állít ana, ami lehetetlen. Másrészt ha A lókötő lenne, akkor az az állítás, hogy „A lóköt ő, vagy kettő meg kettő az öt", igaz lenne, mivel az első fele, miszerint A lókötő, igaz. így A, aki lókötő, igazat állítana, ami ugyanúgy lehetetlen. Tehát a feladat feltételei ellentmondásosak (éppúgy, mint a feltartóztathatatlan ágyúgolyó és a mozdíthatatlan oszlop esetében). Vagyis én, a feladat szerzője vagy tévedtem, vagy hazudtam. Arról biztosíthatom önöket, hogy nem tévedtem, ebből következik, hogy nem

vagyok lovag. A teljesség kedvéért szeretném megjegyezni, hogy életem során legalább egyszer igazat is mondtam már, így lókötő sem vagyok. 31 • Először is A-nak lókötőnek kell lennie, mert ha lovag volna, akkor igaz lenne, hogy mindhárman lókötők, így A is lókötő lenne. Vagyis ha A lovag lenne, akkor lókötő lenne, ami lehetetlen. Tehát A lókötő. Ekkor állítása hamis, így legalább egy lovag van köztük. Tegyük fel, hogy B lókötő. Ekkor A és B mindketten lókötők, így C lovag (mivel legalább egyikük lovag). Ez azt jelentené, hogy pontosan egy lovag van köztük, vagyis B állítása igaz. Ebből arra a lehetetlen eredményre jutunk, hogy egy lókötő igazat mondott. Emiatt B-nek lovagnak kell lennie. Most már tudjuk, hogy A lókötő és B lovag. Mivel B lovag, állítása igaz, így pontosan egy lovag van köztük. Ez a lovag csak B lehet, ezért C-nek lókötőnek kell lennie. Tehát a válasz az, hogy A lókötő, B lovag, C lókötő. 32. Azt nem tudjuk eldönteni, hogy B miféle, de bizonyítani tudjuk, hogy C lovag. Először is - ugyanolyan okokból, mint az előző feladatban - A-nak lókötőnek kell lennie. így legalább egy lovag megint van közöttük. Most B vagy lovag, vagy lókötő. Tegyük fel, hogy lovag! Ekkor igaz, hogy pontosan egy lókötő van köztük. Ez az egyetlen lókötő csak A lehet, így C lovag. Vagyis ha B lovag, akkor C is az. Ha viszont B lókötő, C akkor is csak lovag lehet, mivel (mint láttuk) nem lehetnek mindhárman lókötők. Szóval C mindenképpen lovag. 33. Először is A nem lehet lovag, mert ekkor állítása igaz lenne, ami i lókötőnek kellene lennie. Tehát Alókötő. Ekkor állítása h a m i s 111 í v lenne, akkor A állítása igaz lenne. így B is lókötő. Tehát A és i iiulketten lókötők. 34. legyük fel, hogy A lovag! Ekkor állítása, miszerint B lókötő, igaz, i s B tényleg lókötő. Emiatt B állítása, hogy A és C egyforma típusú, 11. 11111 s, így A és C különböző típusú. Vagyis C-nek lókötőnek kell lennie (RÜvel A lovag). Tehát ha A lovag, akkor C lókötő. I la viszont A lókötő, akkor állítása, miszerint B lókötő, hamis, így H lovag. Emiatt B állítása, hogy A és C egyforma típusú, igaz. így C lókötő (mivel A az). Megmutattuk, hogy függetlenül attól, hogy A lovag vagy lókötő, C mindenképpen lókötő. Tehát C lókötő. 35. Attól tartok, hogy ezt a feladatot csak esetszétválasztással lehet megoldani. Első eset: A lovag. Ekkor B és C tényleg egyforma típusú. Ha C lovag, akkor B is lovag, így egyforma típusú A-val. Ekkor C válasza, mivel igazat kell mondania, „igen". Ha C lókötő akkor B is lókötő (mivel egyforma típusú C-vel), így más típusú, mint A. Ekkor C, mivel lókötő, hazudik, ezért válasza „igen". Második eset: A lókötő. Ekkor B és C különböző típusú. Ha C lovag, akkor B lókötő, tehát egyforma típusú A-val. így C, mivel lovag, „igen"-t válaszol. Ha C lókötő, akkor B (mivel más típusú, mint C) lovag, vagyis más típusú, mint A. Ekkor C, lévén lókötő, nem mondhatja meg az igazat, miszerint A és B különböző típusú, így válasza „igen". Tehát C válasza mindkét esetben „igen". 36. Ahhoz, hogy megoldjuk ezt a feladatot, ki kell használnunk, hogy miután megkaptam a választ, én már tudtam a helyes választ kérdésemre. Tegyük fel, hogy a válaszoló - nevezzük A-nak - „igen"-t mondott. Tudhattam-e ebből, hogy legalább az egyikük lovag? Természetesen nem. Ugyanis lehetséges lett volna, hogy A lovag, és akkor igaz válasz volt az „igen" (ami tényleg igaz lett volna, hiszen legalább egyikük nevezetesen A - lovag volt), de az is lehetséges lett volna, hogy mindketten lókötők, amikor is A hazug válasza lett volna az „igen" (ami tényleg hazugság, hiszen egyikük sem volt lovag). Szóval ha A „igen"-t válaszolt volna, akkor nem tudhattam volna semmit. De mint mondtam, A válasza után tudtam a választ. Tehát A csak „nemzet válaszolhatott. Most már könnyen láthatja az Olvasó, hogy miféle lehetett A és a másik - akit nevezzünk Bnek -: ha A lovag lett volna, akkor nem lett volna igaz „nem" válasza, így A lókötő. Mivel „nem" válasza hamis, van köztük legalább egy lovag. Tehát A lókötő, B lovag. 37. Igen, az. Ha mindketten lovagok, akkor mindketten igen-t válaszolnak. Ha mindketten

lókötők, akkor megint csak mindketten „igen"-t válaszolnak. Ha egyikük lovag, másikuk lókötő, akkor a lovag is és a lókötő is „nem"-et válaszol. 38. Úgy érzem, jogom van időnként egy kis tréfára. A feladat kulcsa, hogy azt mondtam, hogy az ember lustán hasal a napon. Vagyis az illető hasal a napon. Vagyis hasal*, azaz nem feltétlenül mond igazat, tehát lókötő. Ebből következik, hogy a neve Edwin. 39. Először is A nem lehet lovag, mert egy lovag semmiképp sem mondhatja, hogy ő normális. így A vagy lókötő, vagy normális. Tegyük fel, hogy A normális! Ekkor B állítása igaz lenne, így B vagy lovag, vagy normális. De B nem lehet normális (mivel A az), ezért B lovag. Ebből következik, hogy C lókötő. De lókötő nem mondhatja, hogy ő nem normális (mivel egy lókötő tényleg nem normális), így ellentmondásrajutottunk. Tehát A nem lehet normális. Emiatt A lókötő. Ekkor B állítása hamis, így B-nek normálisnak kell lennie (lókötő nem lehet, mert A az). Tehát A a lókötő, B a normális, így C a lovag. *

-> 40. A feladat érdekessége az, hogy nem tudhatjuk, hogy A az, aki igazat mond, de nem lovag, vagy B az, aki igazat mond, de nem lovag, csak azt tudjuk bizonyítani, hogy legalább egyikük ilyen tulajdonságú. A vagy igazat mond, vagy nem. Be fogjuk bizonyítani, hogy: 1. Ha igen, akkor A igazat mond, de nem lovag; 2. Ha nem, akkor B igazat mond, de nem lovag. 1. Tegyük fel, hogy A igazat mond! Ekkor B tényleg lovag. Emiatt B igazat mond, így A nem lovag. Vagyis ha A igazat mond, akkor ő az, aki igazat mond, de nem lovag. 2. Tegyük fel, hogy A nem mond igazat! Ekkor B nem lovag. De B igazat mond, mivel A nem lehet lovag (hiszen A nem mond igazat), így ebben az esetben B igazat mond, de nem lovag. 41. Megmutatjuk, hogy ha B igazat mond, akkor ő nem lovag, és ha nem mond igazat, akkor A hazudik, de nem lókötő. 1. Tegyük fel, hogy B igazat mond! Ekkor A lókötő, aki természetesen nem mond igazat, ezért B nem lovag. így ebben az esetben B igazat mond, de nem lovag. 2. Tegyük fel, hogy B nem mond igazat! Ekkor A igazából nem lókötő. De A természetesen hazudik B-ről, mivel B nem lovag, ha egyszer nem mond igazat. így ebben az esetben A hazudik, de nem lókötő. 42. Először is A nem lehet lovag, mert nem lehet igaz, hogy egy lovag alacsonyabb osztálybeli legyen akárkinél is. Tegyük fel, hogy A lókötő. Ekkor állítása hamis, így nem alacsonyabb osztálybeli, mint B. Ekkor B is lókötő (mivel ha nem az volna, akkor A alacsonyabb osztálybeli lenne, mint B). Vagyis ha A lókötő, akkor B is az. De ez lehetetlen, mert B ellentmond A-nak, és két ellentmondó állítás közül nem lehet mindkettő hamis. így az a feltevés, hogy A lókötő, ellentmondáshoz vezet, emiatt A nem lókötő. Tehát A normális. És mi a helyzet B-vel? Nos, ha lovag lenne, akkor A (lévén normális) tényleg alacsonyabb osztálybeli lenne, mint B, így A állítása igaz lenne, emiatt B állítása hamis, és arra a lehetetlen eredményre jutnánk, hogy egy lovag hazudik. Tehát B nem lovag. Tegyük fel, hogy B lókötő. Ekkor A állítása hamis, így B-é igaz, vagyis ekkor lenne egy lókötő, aki igazat mond. Emiatt B lókötő sem lehet. Tehát normális. A és B tehát mindketten normálisak; A állítása hamis, B állítása igaz. Ezzel minden kérdésre válaszoltunk. 43. 7. lépés: Először megmutatjuk, hogy A állításából következik, hogy C nem lehet normális. Ha A lovag, akkor B tényleg magasabb osztálybeli, mint C, így B-nek normálisnak, C-nek lókötőnek kell lennie. Ebben az esetben tehát C nem normális. Tegyük fel, hogy A lókötő! Ekkor B nem lehet magasabb osztálybeli, mint C, tehát B alacsonyabb osztálybeli, így B csak normális, C pedig csak lovag lehet. Ezért ebben az esetben C megint csak nem normális. A harmadik lehetőség, hogy A normális, de ebben az esetben C biztosan nem az (mivel A, B és C közül csak egyik normális). Tehát C nem normális. 2. lépés: Hasonló okoskodással következik B állításából, hogy A nem normális. Tehát sem A, sem C nem normális. Tehát B normális. 3. lépés: Mivel C nem normális, vagy lovag, vagy lókötő. Tegyük fel, hogy lovag. Ekkor A lókötő (hiszen B normális), így B magasabb osztálybeli, mint A. Ekkor C, lévén lovag, igazat mond, miszerint „B magasabb osztálybeli, mint A". Másrészt, tegyük fel, hogy C lókötő! Ekkor A csak

lovag lehet, így B nem magasabb osztálybeli, mint A. Ekkor C, lévén lókötő, hazudik, és ezt mondja: „B magasabb osztálybeli, mint A". Vagyis függetlenül attól, hogy C lovag vagy lókötő, azt válaszolja, hogy B magasabb osztálybeli, mint A. 44. Mr. A nem lehet lókötő, mert akkor a felesége lovag lenne, így nem lenne normális, vagyis Mr. A állítása igaz lenne. Hasonlóan, Mrs. A sem lehet lókötő. Emiatt egyikük sem lehet lovag (mert akkor házastársuk lókötő lenne), így mindketten normálisak (és mindketten hazudnak). 45. Most is ugyanaz a válasz. Miért? 46. Ki fog derülni, hogy mind a négyen normálisak, és mind a három állítás hazugság. Először is Mrs. B-nek normálisnak kell lennie, mert ha lovag lenne, akkor a férje lókötő lenne, és nem hazudhatna azt, hogy a férje lovag. Ha lókötő lenne, akkor a férje lovag lenne, de ekkor nem mondana erről igazat. Emiatt Mrs. B normális. így Mr. B is normális. Ez azt jelenti, hogy Mr. és Mrs. A mindketten hazudnak, tehát egyikük sem lovag, és mivel nem lehetnek mindketten lókötők, mindketten normálisak.

4. Alice a feledékenység erdejében A. AZ OROSZIÁN ÉS AZ EGYSZARVÚ Mikor Alice belépett a Feledékenység Erdejébe, nem felejtett el mindent, csak bizonyos dolgokat. Gyakran nem jutott eszébe a neve, és leggyakrabban azt felejtette el, hogy milyen nap van. Az Oroszlán és az Egyszarvú súrűn látogatták az erdőt. Ezek ketten furcsa teremtmények. Az Oroszlán minden hétfőn, kedden és szerdán hazudik, és a hét többi napján igazat mond, az Egyszarvú pedig csütörtökön, pénteken és szombaton hazudik, és a hét többi napján igazat mond. 47. Egy napon Alice összetalálkozott az Oroszlánnal és az Egyszarvúval, akik egy fa alatt pihentek. A következőket állították: Oroszlán: Tegnap hazudós napom volt. Egyszarvú: Tegnap nekem is hazudós napom volt. Ebből a két állításból Alice (aki nagyon okos lány volt) meg tudta állapítani, hogy milyen nap volt. Milyen nap volt? 48. Egy másik alkalommal Alice csak az Oroszlánnal találkozott. Az a következőket állította: 1. Tegnap hazudtam. 2. Holnaputánután megint hazudni fogok. Milyen nap volt? 49. A hét melyik napján lehetséges, hogy az Oroszlán a következő két kijelentést teszi: 1. Tegnap hazudtam. 2. Holnap megint hazudok. 50. A hét melyik napján lehetséges, hogy az Oroszlán a következő kijelentést teszi: „Tegnap hazudtam, és holnap megint hazudni fogok". Vigyázat! A válasz nem ugyanaz, mint az előbb!

B. SUBIDAM ÉS SUBIDU Egy hónapon át nem járt az Oroszlán és az Egyszarvú a Feledékenység Erdejében, valahol máshol voltak. A koronáért mentek ölre. Subidam és Subidu viszont sűrűn látogatták az erdőt. Egyikük olyan volt, mint az Oroszlán, minden hétfőn, kedden és szerdán hazudott, a hét többi napján igazat mondott. Másikuk olyan volt mint az Egyszarvú, csütörtökön, pénteken és szombaton hazudott, de a hét többi napján igazat mondott. Csakhogy Alice nem tudta, hogy melyikük olyan, mint az Oroszlán, és melyikük, mint az Egyszarvú. Hogy még rosszabb legyen a dolog, a testvérek annyira hasonlítottak egymásra, hogy Alice meg sem tudta különböztetni őket (kivéve, ha hímzett gallérjukat viselték, de ez ritkán fordult elő). Mindez nagyon zavarba ejtette szegény Alice-t. íme Alice néhány kalandja Subidammal és Subiduval: 51. Egy napon Alice együtt találta a testvéreket, akik a következőket állították: Egyik: Subidam vagyok. Másik: Subidu vagyok. Igazából melyikük volt Subidam és melyikük Subidu? 52. Ugyanannak a hétnek egy másik napján a két testvér a következőket állította: Egyik: Subidam vagyok. Másik: Ha ez igaz, akkor én Subidu vagyok! Melyikük melyik?

53. Egy másik alkalommal Alice összetalálkozott a testvérekkel, és megkérdezte egyiküket: „Hazudsz vasárnaponként?" „Igen" - válaszolta az. Ekkor Alice feltette a másiknak is ugyanezt a kérdést. Mit válaszolt az? 54. Egy másik alkalommal a testvérek a következőket állították: Egyik: 1. Szombaton hazudok. 2. Vasárnap hazudok. Másik: Holnap hazudni fogok. Milyen nap volt? 55. Egyik nap Alice csak az egyik testvérrel találkozott. Az a következőt állította: „Ma hazudok, és Subidu vagyok". Melyikük volt? 56. Tegyük fel, hogy a fentiek helyett ezt mondta: „Ma hazudok, vagy Subidu vagyok". Megtudhatjuk-e ebből, hogy melyikük volt? 57. Egyik nap Alice mindkettőjükkel találkozott. A következőket állították: Egyik: Ha Subidam vagyok, akkor ő Subidu. Másik: Ha ő Subidu, akkor én Subidam vagyok. Megtudhatjuk ebből, hogy melyikük melyik, és hogy milyen nap volt? 58. Megoldódot t a rejt ély! E nevezetes alkalommal Alice három nagy rejtélyt oldott meg. Összetalálkozott a két testvérrel, akik vigyorogva álltak egy fa alatt. Alice remélte, hogy most majd rá fog jönni három dologra: 1. milyen nap van; 2. kettőjük közül melyik Subidam; 3. vajon Subidam az Oroszlánra vagy az Egyszarvúra hasonlít-e hazudo-zási szokásában (az az igazság, hogy ezt már régóta szerette volna tudni). A két testvér a következőket állította: Egyik: Ma nincs vasárnap. Másik: Pontosabban hétfő van. Egyik: Holnap Subidunak hazudós napja lesz. Másik: Az Oroszlán tegnap hazudott. Alice tapsikolt örömében. A rejtély ezennel teljesen megoldódott. Mi a megoldás?

C. KIÉ A CSÖRGŐ? Subidam és Subidu Egy órjás varjú szállt le épp, jól összeverekedtek, fekete, mint a kátrány, mert Subidam szólt: „Subidu, s a két hős feledte pőrét, szép csörgőm tönkretetted!" ijesztő szárnya láttán.* „Nagyszerű" - kiáltott fel egyik nap diadalmasan a Fehér Király -, R ég i a n g o l g yerm ekvers. T ó t f a l u si I st vá n f o rd í t á sa .

„megtaláltam a csörgőt, és megcsinált at t am. Nem ágy néz ki, mint egy új?" „Igen, tényleg" - válaszolta elismerően Alice „olyan újnak látszik, mintha ma csinálták volna. Még egy kisbaba sem tudná megmondani, hogy mi a különbség". „Hogy érted azt, hogy még egy kisbaba sem?" - mordult rá szigorúan a Fehér Király. - „Ez nem túl logikus. Egy kisbaba persze hogy nem tudja elmondani, hogy mi a különbség, egy kisbabától aligha várhatunk ilyesmit!" „Azt kellett volna mondanod" - folytatta a Király valamivel barátságosabban -, „hogy még egy felnőtt sem tudná megmondani, hogy mi a különbség, még a világ legnagyobb csörgőszakértője sem". „Akárhogyis" - tette hozzá a Király -, „vegyük úgy, hogy ezt mondtad. A fontos az, hogy visszaadjuk a csörgőt jogos tulajdonosának. Megtennéd ezt nekem?" „Ki a jogos tulajdonos?" kérdezte Alice. „Ezt igazán nem kellett volna megkérdezned!" válaszolta türelmetlenül a Király. „Miért nem?" érdeklődött Alice. „Mert egész világosan benne van a versben - amit biztosan ismersz -, hogy Subidam azt mondja, hogy Subidu tönkretette szép csörgőjét, vagyis a csörgő természetesen Subidamé!" „Nem szükségképpen" - válaszolta Alice, aki egy kissé kötekedő hangulatban volt -, „bár jól ismerem a verset és hiszek neki". „Akkor mi a baj?" - kiáltotta a Király, még tanácstalanabbul, mint eddig. „Nagyon egyszerű" - magyarázta Alice. „Elfogadom, hogy amit a vers mond, az igaz. Vagyis Subidam tényleg azt mondta, hogy Subidu tönkretette a csörgőjét. De az, hogy Subidam ezt

mondta, még nem jelenti azt, hogy feltétlenül igaz is. Lehet, hogy Subidam ezt valamelyik hazudós napján mondta. Igazából, ahogy én látom, lehet, hogy épp az ellenkezője az igaz, és akkor Subidam volt az, aki tönkretette Subidu szép csörgőjét". „O, kedvesem" — válaszolta a Király vigasztalhatatlant -, „ez sosem jutott volna eszembe. Hiábavaló volt minden jó szándékom". Szegény Király olyan elkeseredettnek látszott, hogy Alice azt hitte, mindjárt sírva fakad. „Semmi baj" - mondt a Alice olyan biztatóan, ahogy csak tudta. - „Bízza csak rám a csörgőt , majd én megpróbálom kideríteni, hogy ki a valódi tulajdonos. Va n már némi tapasztalatom az itteni hazugokkal és igazmondókkal, es kezdem kiismerni a fortélyát, hogyan kell bánni velük". „Bárcsak így lenne!" - mondta a Király b á n a to s a n . Most pedig elmesélem Alice kalandjait a csörgővel. 59. Fogta a csörgőt, és elindult a Feledékenység Erdejébe, remélve, hogy legalább az egyik testvért ott találja. Legnagyobb örömére egyszer csak rábukkant mindkettőjükre, egy fa alatt vigyorogtak. Odament egyikükhöz, és szigorúan így szólt: „Tudni akarom az igazat! Kié a csörgő?" „Subidué" - válaszolt az illető. Alice gondolkodott egy kicsit, majd a másikhoz fordult: „Te ki vagy?" „Subidu" - válaszolta az. Alice nem emlékezett arra, hogy milyen nap van, de abban biztos volt, hogy nem vasárnap. Kinek adja Alice a csörgőt? 60. Alice visszaszolgáltatta a csörgőt jogos tulajdonosának, amit néhány nappal később a másik testvér ismét eltört. Ezúttal nem szállt arra a fekete varjú, hogy megijessze a testvéreket, így azok egymásnak estek, ütötték, verték egymást. Alice felkapta a törött csörgőt, és amilyen gyorsan csak tudott, kiszaladt az erdőből. Valamivel később újra találkozott a Fehér Királlyal, és mindent elmesélt neki. „Nagyon érdekes" - mondta a Király. „Különösen az, hogy bár tudtad, hogy kinek add oda a csörgőt, azt még mindig nem tudjuk, hogy Subidamé vagy Subidué". „így igaz" - válaszolta Alice -, „de most mit tegyek?" „Semmi baj" - mondta a Király -, „könnyen meg tudom csináltatni megint". Betartva szavát, a Fehér Király tökéletesen megjavíttatta a csörgőt, és néhány nap múlva odaadta Alice-nek. Alice kissé félve ment az erdőbe, tartva attól, hogy a csata még folyik, de a testvérek ideiglenes fegyverszünetet kötöttek. Alice csak az egyikükkel találkozott, aki kimerülten hevert egy fa alatt. Alice odament hozzá, és megkérdezte: „Tulajdonképpen kié a csörgő?" „A csörgő igazi tulajdonosa ma hazudik" - hangzott a rejtélyes válasz. Mi az esélye annak, hogy ő a tulajdonos? 61. Néhány nappal később Alice megint csak az egyik testvérrel találkozott, aki egy fa alatt heverészett. Ugyanazt kérdezte mint a múltkor, és a válasz most így hangzott: „A csörgő tulajdonosa ma igazat mond". Alice ezen eltűnődött, szerette volna tudni, mi az esélye annak, hogy a csörgő azé, akivel beszélt. „Tudom, min gondolkodsz" - mondta Dingidungi, aki véletlenül a közelben állt -, *,és az esély pontosan tizenhárom tizennégyed!" Hogyan jött rá Dingidungi erre a számra? 62. Ezúttal Alice együtt találta a testvéreket. Megkérdezte egyiküket: „Tied ez a csörgő?" „Igen" - válaszolta az. Ekkor Alice megkérdezte a másikat: „Tied ez a csörgő?" Az válaszolt, mire Alice odaadta valamelyiküknek a csörgőt. Az elsőnek vagy a másodiknak adta oda Alice a csörgőt?

D. GRUFFACSÓR MESÉI Alice legfurcsább kalandja a Subi testvérekkel a következő volt: Egyik nap Dingidungi összetalálkozott Alice-szel, és ezt mondta: „Gyermekem, szeretnék neked elmondani egy nagy titkot. A legtöbben nem tudják, de Subidunak és Subidamnak van még egy testvére, akinek neve Subidi. Távoli vidéken él, de alkalmanként idelátogat. Pontosan annyira hasonlít Subidura és Subidamra, mint amennyire Subidu és Subidam hasonlít egymásra". Ez a hír rettenetesen összezavarta Alice-t. Egyrészt, mert az a lehetőség, hogy tényleg van egy harmadik testvér, azt jelenthette, hogy minden eddigi következtetése helytelen volt, és lehet, hogy nem találta ki, hogy milyen nap volt, amikor ő azt hitte, hogy igen. De ami ennél is fontosabb, lehet, hogy egyáltalán nem a jogos tulajdonosnak adta vissza a csörgőt.

fontosabb, lehet, hogy egyáltalán nem a jogos tulajdonosnak adta vissza a csörgőt. Alice mélyen elmerült e kellemetlen gondolatokban.Végül feltett Dingidunginak egy okos kérdést: „Milyen napokon hazudik Subidi?" „Subidi mindig hazudik" - válaszolta Dingidungi. Alice elsétált, magában tűnődve:„Lehet, hogy az egészet csak Dingidungi találta ki" - gondolta. „Nagyon gyanúsan hangzik." Mégsem hagyta nyugodni az a gondolat, hogy igaz is lehet. Négy különböző beszámolóm van arról, hogy ezután mi történt, és el is mondom mindegyiket. Arra kérem az Olvasót, hogy két dolgot mindenképpen higgyen el: 1. Ha tényleg van egy Subidamtól és Subi-dutól különböző egyén, aki látszat i a megkülönböztethetetlen tőlük, akkor azt tényleg Subidinek hívják; 2 ha ilyen egyén létezik, akkor az tényleg mindig hazudik. Megjegyezaiém, hogy a második feltétel nem feltétlenül szükséges a következő rejtvény megoldásához, de az utána következőhöz igen. 63. Első vált ozat . Alice egyedül t alált a az egyik testvért az erdőben, aki legalábbis úgy nézett ki, mintha Subidam vagy Subidu lenne. Alice elmesélte neki Dingidungi történetét, majd megkérdezte: „Ki vagy te valójában?" „Subidu vagy Subidam vagyok, és ma hazudós napom van" válaszolta az rejtélyesen. Akérdés az, hogy vajon tényleg létezik Subidi, vagy csak Dingidungi találta ki? 64. Második vált ozat . Ebben a változatban Alice mindkét testvérrel találkozott (legalábbis úgy néztek ki). Megkérdezte az egyiket: „Ki vagy te valójában?" A következő választ kapta: Egyik: Subidi vagyok. Másik: Igen, őaz! Ön mire jut ebből? 65. Harmadik vált ozat . Ebben a változatban Alice csak egyikükkel találkozott. Az a következőt állította: „Ma hazudós napom van". Ön mire jut ebből? 66. Negyedik vált özet . Ebben a változatban Alice mindkét testvérrel találkozott (legalábbis úgy néztek ki), egy hétköznapon. Megkérdezte: „Tényleg létezik Subidi?" A következő választ kapta: Egyik: Subidi létezik. Másik: Létezem. Ön mire jut ebből? Epilógus. Nos, vajon mi az igazság, létezik Subidi vagy nem? Négy ellentmondó változatot mondtam el arról, hogy mi is történt. De honnan a négy változat? Őszintén szólva, nem magam találtam ki ezeket a történeteket, személyesen Gruffacsórtól hallottam mindegyiket. Az Alice és Dingidungi közötti beszélgetés valóban megtörtént, ezt maga Alice mesélte nekem, és Alice mindig igazat mond. De a négy változatot arról, ami ezután volt, mind Gruffacsór mondta el. Tudom, hogy Gruf-facsór ugyanazokon a napokon hazudik, mint az Oroszlán (hétfőn, kedden és szerdán), és ezeket a történeteket négy egymást követő hétköznapon mesélte. (Tudom, hogy hétköznapok voltak, mert szombaton és vasárnap lustálkodom, az egész napot átalszom.) Ugyanolyan sorrendben mondta el ő is, ahogy én. Ezek után az Olvasó könnyen kiderítheti, hogy vajon létezik-e tényleg Subidi, vagy Dingidungi hazudott. Vajon Alice tudja, hogy létezik-e Subidi?

MEGOLDÁSOK 47. Az Oroszlán kizárólag hétfőn és csütörtökön, az Egyszarvú csak csütörtökön és vasárnap mondhatja azt, hogy „Tegnap hazudtam". Emiatt a csütörtök az egyetlen nap, amikor mindketten mondhatják. 48. Az Oroszlán első állításából következik, hogy vagy hétfő, vagy csütörtök van. A második állításából következik, hogy nincs csütörtök. Tehát hétfő van. 49. A hét egyik napján sem lehetséges! Csak hétfőn vagy csütörtökön mondhatta volna az első állítást és csak szerdán vagy vasárnap a másodikat. Tehát nincs olyan nap, amikor mindkettőt mondhatta volna. 50. Ez így teljesen más feladat! Jól szemlélteti a különbséget aközött, hogy két különálló kijelentést teszünk vagy egyet, ami az előző kettő konjunkciója. Két tetszőleges X és Y állítás esetén, ha az „Xés Y" állítás igaz, akkor ebből természetesen következik, hogy X és Y különkülön is igazak, de ha az „Xés Y" konjunkció hamis, abból csak az következik, hogy X és Y közül legalább az egyik hamis. A hét egyetlen napja, amikor igaz lehet, hogy az Oroszlán hazudott tegnap, és holnap megint hazudni fog, a kedd (ez az egyetlen nap, amit az Oroszlán két hazudós napja fog közre). De az a nap, amikor az Oroszlán ezt mondta, nem lehetett a kedd, mert kedden ez az állítás igaz,

és az Oroszlán kedden nem mond igazat. Mivel nincs kedd, az állítás hamis, azaz az Oroszlán hazudot t . Ez hétfőn vagy szerdán lehetett. 51. Ha az első állítás igaz, akkor tényleg Subidam, így a Másik Subidu, és a második állítás is igaz. 1 la az első állítás hamis, akkor az Egyik Subidu és a Másik Subidam, így a második állítás is hamis. Tehát vagy mindkét állítás igaz, vagy mindkettő hamis. De mindkettő hamis nem lehet, mert a két testvér soha nem hazudik egyazon napon. Emiatt mindkét állításnak igaznak kell lennie. Vagyis az Egyik Subidam, a Másik Subidu, és a találkozás napja csak vasárnap lehet. 52. Ez teljesen más tészta! A második állítás biztosan igaz. Tudjuk, hogy ugyanannak a hétnek egy másik napján vagyunk, mint az előző feladatban, vagyis hétköznap van. Emiatt nem lehet mindkét állítás igaz, így az elsőnek hamisnak kell lennie. Tehát az Egyik Subidu, a Másik Subidam. 53. Az első válasz nyilvánvaló hazugság, ezért hétköznapnak kell lennie. Emiatt a másiknak igazat, vagyis „nem"-et kellett válaszolnia. 54. Az Egyik 2. állítása nyilvánvalóan hamis, így az 1. állítás is hamis (mivel ugyanaznap mondta). Emiatt az Egyik nem hazudik szombaton, ezért a Másik az, aki hazudik szombaton. Ezen a napon a Másik igazat mond (mivel az Egyik hazudik). Emiatt hétfő, kedd vagy szerda van. Ezek közül az egyetlen nap, amikor igaz az, hogy holnap hazudni fog, a szerda. Tehát szerda van. 55. Az állítás biztos hamis (mert ha igaz volna, akkor ma hazudna, ami ellentmondás). Emiatt a „Ma hazudok" és a „Subidu vagyok" tagmondatok közül legalább az egyiknek hamisnak kell lennie. Az első tagmondat („Ma hazudok" ) igaz, így a második tagmondat hamis. Tehát az illető Subidam. 56. Igen, meg. Ha ma hazudna, akkor az első tagmondat igaz lenne, emiatt a teljes állítás igaz lenne, ami ellentmondás. Tehát ma igazat mond. így állítása igaz: ma hazudik, vagy ő Subidu. Mivel ma nem hazudik, ő Subidu. 57. Mindkét állítás nyilvánvalóan igaz, t ehál VI tárnap van. Azt nem tudhatjuk, hogy melyikük melyik. 58. Először is lehetetlen, hogy vasárnap bármel) ikül i n hazudjon, és azt mondja, hogy nincs vasárnap. Emiatt ma nem lehet vasárnap. így az Egyik igazat mond, és (mivel nincs vasárnap) a Másik hazudik. A Másik szerint ma hétfő van, de hazudik, vagyis hétfő sincs. A Másik azt is hazudta, hogy az Oroszlán tegnap hazudot t , emiatt valójában tegnap az Oroszlánnak igazmondó napja volt. Ez azt jelenti, hogy tegnap csütörtök, péntek, szombat vagy vasárnap volt, így ma péntek, szombat, vasárnap vagy hétfő van. A vasárnapot és hétfőt már kizártuk, tehát ma péntek vagy szombat van. Tudjuk, hogy Subidunak holnap hazudós napja lesz (mivel az Egyik, aki igazat mond, ezt állította). Emiatt ma nem lehet szombat. Tehát ma péntek van. Ebből az is következik, hogy Subidu szombaton hazudik, így ő az Egyszarvúra, Subidam pedig az Oroszlánra hasonlít. Tudjuk már, hogy az Egyik ma, vagyis pénteken igazat mond, tehát ő Subidam. Ezzel mindenre válaszoltunk. 59. Tegyük fel, hogy az első beszélő igazat mond. Ekkor a csörgő Subidué. A második biztos hogy hazudik (hiszen nincs vasárnap), vagyis igazából nem Subidunak hívják, ő Subidam. Ezek szerint az első beszélő Subidu, és övé a csörgő. Ha az első hazudik, akkor a csörgő Subidamé. A második most igazat mond, így tényleg ő Subidu. Emiatt megint csak az elsőé a csörgő, mert ő Subidam. Tehát mindkét esetben az elsőé a csörgő. 60. Semmi! Ha ugyanis igazat mond, akkor a csörgő tulajdonosa ma hazudik, tehát nem ő a tulajdonos. Ha pedig hazudik, akkor a csörgő tulajdonosa ma igazat mond, így megint csak nem lehet ő a tulajdonos. 61. Dingidunginak igaza volt! Tegyük fel, hogy az illető hazudik! Ekkor a csörgő tulajdonosa ma nem mond igazat, tehát hazudik, vagyis a tulajdonossal beszélt Alice. De ha azt tesszük fel, hogy az illető igazat mond, akkor a csörgő tulajdonosa ma tényleg igazat mond. Ha hétköznap van, akkor csak Alice beszélgetőtársa lehet a tulajdonos, ha pedig vasárnap van, akkor ma mindkét testvér igazat mond, így bármelyikük lehet a tulajdonos.

Összegezve: ha hétköznap van, a kko r a beszélgetőtárs a tulajdonos, ha vasárnap van, akkor egyforma esélye va n a két testvérnek. Tehát 6,5 a 7-hez, vagyis 13/14 az esélye a n n a k, hogy Alice a csörgő tulajdonosával beszélt. 62. A megoldás kulcsa az, hogy Alice tudta, kinek adja a csörgőt. Ha a második „igen"-t válaszolt volna, a kko r egyikük hazudna a másikuk igazat mondana, így Alice nem tudhatná, hogy kié a csörgő. De mint mondtam, tudta, ezért a második nem válaszolhatott „igen"-t. Tehát vagy mindketten igazat mondtak, vagy mindketten hazudtak. Ez csak azt jelentheti, hogy mindketten igazat mondtak, és vasárnap volt. így Alice az elsőnek adta a csörgőt. 63. Igen, Subidi biztos létezik, Alice éppen vele beszélt. Az illető azt állította, hogy a következő állítások mindegyike igaz: 1. O vagy Subidu, vagy Subidam. 2. Ő hazudik ma. Ha igaza lenne, akkor az 1. és a 2.állítás is igaz lenne, így 2. is igaz lenne, ami ellentmondás. Tehát hazudik, így az 1. és a 2. állítás nem lehet egyaránt igaz. Nos, a 2. igaz (mivel ma hazudik), emiatt az 1. nem lehet igaz.Vagyis ő sem Subidu, sem Subidam, tehát Subidi. 64. Az nem lehet, hogy az Egyik tényleg Subidi (mivel Subidi mindig hazudik), ezért ő vagy Subidu, vagy Subidam, és hazudik. Ekkor a Másik is hazudik. Ha a Másik Subidu vagy Subidam lenne, akkor Subidu és Subidam ugyanazon a napon hazudna, ami lehetetlen. Emiatt a Másik csak Subidi lehet. 65. Ez a változat egyszerűen hazugság! 66. Akárki is a Másik, állítása biztosan igaz. (Azt hiszem, Descartes mutatott rá, hogy bárki is állítja azt, hogy ő létezik, igazat mond; én még sosem találkoztam olyasvalakivel, aki nem létezik.) Mivel a második állítás igaz, és nincs vasárnap, az első állításnak hamisnak kell lennie, így ha ez a változat igaz, Subidi nem létezik. Az epilógus megoldása. A harmadik változat biztosan hamis, és egyik történetet sem szombaton vagy vasárnap mondták. Az egyetlen mód arra, hogy a négy történetet a feltételeknek megfelelően négy egymást követő nappal párosítsuk az, hogy a harmadik történetet szerdán mesélték. így az utolsó változat csütörtökön hangzott el, ezért igaznak kell lennie. Tehát Subidi valójában nem létezik! (Mellesleg teljesen biztos vagyok benne, hogy ha Subidi tényleg létezne, akkor Lewis Carroll tudott volna erről.) Ami pedig Alice-t illeti, mivel a negyedik változat az egyetlen, amely tényleg megtörtént, Alicenek semmiféle nehézséget nem okozott annak felismerése, hogy ez az egész „Subidibonyodalom" alaptalan volt.

Második rész

Portia ládikái és más rejtélyek

5. Portia ládikáinak rejtélye A. AZ ELSŐ MESE 67a. Shakespeare Velencei kalmár-jában Portiának volt három ládiká-ja - egy arany, egy ezüst és egy ólom -, amelyek egyikében Portia képe jt ( fzött. Kérőjének választania kellett egyet a ládikák közül, és ha elég i encsés (vagy elég bölcs) volt ahhoz, hogy a képet tartalmazó ládikát 11, i ssza, akkor igényt tarthatott Portia kezére. A ládikákon lévő egy-egy Felirat segítette a kérőt a bölcs választásban. Tegyük fel, hogy Portia csupán intelligenciája és nem egyéb erényei alapján szerette volna kiválasztani leendő férjét! A következő felira-tokkal látta el ládikáit: /

Portia annyit mondott kérőjének, hogy a három állítás közül legfeljebb egy igaz. Melyik ládikát válassza a kérő? 67b. Portia kérője jól választott, így hát összeházasodtak, és egész boldogan éltek legalábbis egy ideig. Az idő múltával azonban Portiának a következő gondolata támadt: „Bár a férjem mutatott némi intelligenciát, amikor a jó ládikát választotta, a feladat nem volt elég nehéz. Nehezebb feladatot is adhattam volna, és akkor most igazán okos férjem lehetne". így hát azonnal elvált, és elhatározta, hogy szert tesz egy okosabb férjre. Ezúttal a következő feliratokkal látta el a ládikákat:

Portia annyit mondott kérőjének, hogy a három állítás közül legalább egy igaz és legalább egy hamis. Melyik ládikában van a kép? Epilógus* A sors úgy hozta, hogy az első kérő éppen Portia exférje volt, aki elég elmésnek bizonyult ahhoz, hogy megoldja ezt a feladatot is. így hát újra összeházasodtak. Portiát hazavitte a férje, majd a térdére fektette és jól elnáspángolta. Portiának soha többé nem támadtak bolondos gondolatai.

B. A MÁSODIK MESE Portia és férje ezek után boldogan éltek, amíg meg nem haltak. Amikor lányuk, Portia II, akit ezentúl csak Portiának fogunk hívni, fiatal nővé serdült, épp olyan okos és szép volt, mint a mamája. Elhatározta, hogy ő is a ládikás módszerrel választ férjet magának. A kérőnek két kérdésre kellett megfelelnie ahhoz, hogy elnyerje Portia kezét. 68a. Az első kérdés. Ezúttal minden fedélen két állítás volt, és Portia annyit mondott, hogy egyik fedélen sincs egynél több hamis állítás.

Melyik ládikában van a kép? 52 • P o rt i a l á d i ká i és m á s rej t él yek 68b. A második kérdés. Ha a kérő m eg f el el t az első kérdésre, akkor átvezették egy másik

szobába, ahol h á ro m ú j a b b ládika volt. Megint két mondat állt mindegyik fedélen. Portia a n n yi t mondott, hogy az egyik fedélen mindkét állítás igaz, egy m á si ko n mindkettő hamis, a harmadikon pedig az egyik igaz, a másik h a m i s.

Melyik ládikában van a kép?

C. BELLINI ÉS CELLINI Az előző mese kérője jól megfelelt mindkét kérdésre, feleségül vette Portiát, és boldogan éltek, amíg meg nem haltak. Amikor bájos kislányuk, Portia III, akit ezentúl csak Portiának fogunk hívni, fiatal nővé serdült, épp olyan eszes és szép lett, mint mamája és nagymamája. O is elhatározta, hogy a ládikás módszerrel választ férjet magának. A kérőnek három kérdésre kellett megfelelnie ahhoz, hogy elnyerje őt! A kérdések igen szellemesek voltak. Visszatért nagyanyja ötletéhez, és kettő helyett inkább csak egy állítást íratott minden fedélre, de új ötlet is volt a feladatokban: elmondta a kérőnek, hogy a ládikákat két híres firenzei kézműves, Bellini és Cellini készítette. Cellini mindig hamis, míg Bellini csak igaz feliratot tett az általa készített ládikára. 69a. Az első kérdés. Szokatlan módon, ennél a kérdésnél a kérőnek kétharmad volt az esélye (ha vakon választott), szemben az eddigi egyharmaddal. Kép helyett most egy tőrt tett Portia az egyik ládikába, a másik két ládika üres volt. Ha a kérőnek sikerült üres ládikát választania, akkor megkaphatta a következő kérdést. A feliratok a ládikákon a következők voltak:

Melyik ládikát válassza a kérő? 69b. A második kérdés. Ezúttal a kérőnek egyketted az esélye (ha vakon választ). Portia csak két ládikát mutatott, egy aranyat és egy ezüstöt, az egyikben Portia képe volt (most nem volt tőr). Ezeket a ládákat is Bellini és Cellini készítette. A feliratok:

Melyik ládikát válassza a kérő, hogy megtalálja a képet? 69c. A harmadik kérdés. Ha a kérő megfelelt az első két kérdésre, akkor átvezették egy másik szobába, ahol egy arany-, egy ezüst és egy ólomládikát talált. Ezeket a ládákat is Bellini és Cellini készítette. Ezúttal a kérő esélye egyharmad volt (ha vakon választott). Portia ismét a képét rakta az egyik ládikába. A kérőnek 1. ki kellett választania a képet tartalmazó ládikát; 2. meg kellett mondania, hogy melyik ládikát ki készítette. A három felirat: "*

Mi a megoldás? 54

• P o rt i a l á d i ká i és m á s rej t él yek

D. A REJT ÉLY: Ml VOLT A HIBA? 70. A következő és egyben utolsó mese a legrejtélyesebb, és egy alapvetően fontos logikai jelenséget szemlélt et . Az előző történet kérője megfelelt mindhárom kérdésre, és boldogan vette feleségül Portia Illat. Lett sok gyerekük, unokájuk stb. Néhány generációval később Amerikában született egy leszármazottjuk, aki annyira hasonlított a régi Portiák képeire, hogy elnevezték Portia N-nek - a továbbiakban mi csak

Portiának fogjuk hívni. Amikor Portia fiatal nővé serdült, épp olyan okos és szép volt, mint az összes többi Portia. Ráadásul igen élénk és tréfálkozó természetű volt. Ő is elhatározta, hogy a ládikás módszerrel választ magának férjet (ami a modern New York-ban bizony szokatlannak számított, de ezt most hagyjuk). A kérdés, amit feladott, elég egyszerűnek tűnt; csak két ládikája volt, egy arany és egy ezüst, és az egyikben benne volt Portia képe. A fedeleken a következő feliratok voltak:

Ön melyik ládikát választaná? Nos, a kérő a következőképpen okoskodott. Ha az ezüstládikán levő állítás igaz, akkor tényleg pontosan egy állítás igaz a kettő közül. Ez azt jelenti, hogy az aranyládikán levő állítás hamis. Másrészt tegyük fel, hogy az ezüstládikán levő állítás hamis! Ekkor nem igaz az, hogy a két állítás közül pontosan egy igaz. Ez azt jelenti, hogy vagy mindkét állítás igaz, vagy mindkettő hamis. Nem lehet mindkettő igaz (hiszen feltettük, hogy a második hamis), ezért mindkettő hamis. Tehát az aranyládikán levő állítás megint csak hamis. így függetlenül attól, hogy az ezüstládikán levő állítás igaz vagy hamis, az aranyládikán levő állításnak hamisnak kell lennie. Emiatt a kép az aranyládikában van. „A kép az arany ládikában van!" jelentette ki diadalmasan a kérő, és felnyitotta annak fedelét. Legnagyobb megdöbbenésére a ládika üres volt! A kábult kérő kijelentette, hogy Portia becsapta őt. „Én nem csalok'' nevetett Portia, és dölyfös, megvető arckifejezéssel felnyitotta az ezüstládikát. Persze ott volt a kép. Vajon mi a csuda volt rossz a kérő okoskodásában7 „Hát igen" - mondta Portia, aki szemmel láthatóan nagyon élvezte a helyzetet -, „ugye nem jutottál valami sokra az okoskodásoddal? De mivel roppant vonzó fiatalembernek látszol, azt hiszem, adok még egy lehetőséget. Igazán nem kéne ezt tennem, de mégis! Hajlandó vagyok elfelejteni ezt a kérdést, és adok egy könnyebbet, ahol annak az esélye, hogy elnyersz engem, kétharmad, szemben az előbbi egyketted-del. A feladat Portia III ősöm egyik kérdésére emlékeztet. Ezt már biztosan meg tudod oldani!" így szólván átvezette a kérőt egy másik szobába, ahol három ládika volt, egy arany, egy ezüst és egy ólom. Portia elmondta, hogy az egyikben egy tőr van, a másik kettő üres. Ahhoz, hogy elnyerje őt, a kérőnek csupán ki kell választania az egyik üresét. A feliratok a következők voltak: '

(Hasonlítsa össze ezt a feladatot Portia III első kérdésével! Nem tűnik úgy, mint ha ugyanaz lenne a feladat?) A kérő ezúttal mindent nagyon megfontolt. A következőképpen okoskodott: Tegyük fel, hogy a 3. állítás igaz! Ekkor a másik két állításnak hamisnak kell lennie, így a 2. is hamis, vagyis ekkor a tőr az ezüstlá-dikában van. Másrészt, ha a 3. hamis, akkor lennie kell legalább két igaz állításnak, amiből az egyik az 1. kell hogy legyen, így ebben az esetben a tőr az aranyládikában van. Az ólomládika mindkét esetben üres. így a kérő az ólomládikát választotta, felnyitotta a tetejét, és leg- 56 • P o rt i a l á d i ká i és m á s rej t él yek nagyobb megdöbbenésére ott volt a tőr! Portia nevetve kinyitotta a másik két ládikát, és azok üresek voltak. Biztos vagyok benne, hogy az Olvasó örömmel hallja, hogy Portia mindezek ellenére hozzáment kérőjéhez. (Ezt már régen, a kérdések előtt elhatározta, a feladatokat csak ugralásnak szánta.) De még mindig megválaszolatlan a kérdés: Mi volt rossz a kérő okoskodásában?

MEGOLDÁSOK 67a. Az arany- és az ólomládikán levő állítások ellentétesek, ezért az egyik biztos igaz. Mivel

67a. Az arany- és az ólomládikán levő állítások ellentétesek, ezért az egyik biztos igaz. Mivel a három állítás közül legfeljebb egy igaz, az ezüstládikán levő állítás hamis, így a kép az ezüstládikában van. A feladat a következőképpen is megoldható: Ha a kép az aranyládikában volna, akkor két igaz állításunk lenne (nevezetesen az aranyo s az ezüstládikán levők), ami ellentmond a feltételnek. Ha a kép az ólomládikában volna, akkor megint csak két igaz állításunk lenne (most az ólomés az ezüstládikán). Tehát a kép az ezüstládikában van. Mindkét megoldás jó, és ebből az is látszik, hogy sok feladatnál többféle megoldással is el lehet jutni ugyanarra az eredményre. 67b. Ha a kép az ólomládikában volna, akkor mindhárom állítás igaz lenne, ami ellentmond a feltételnek. Ha a kép az ezüstládikában volna, akkor mindhárom állítás hamis lenne, ami megint csak ellentmond a feltételnek. Emiatt a kép csak az aranyládikában lehet (és ekkor az első két állítás igaz, a harmadik hamis, ami megfelel a feltételnek). 68a. Rögtön kizárhatjuk az ólomládikát, mivel ha abban volna a kép, akkor az ólomládikán mindkét állítás hamis lenne. A kép tehát vagy az arany-, vagy az ezüstládikában van. Az arany- és az ezüstládikán levő első állítás ugyanazt mondja, ezért egyszerre hamisak vagy igazak. Ha mindkettő hamis, akkor mindkét második állítás igaz, de nem lehet mindkettő igaz, hiszen ellentmondanak egymásnak. Tehát az első állítások igazak, vagyis a kép nem lehet az aranyládikában. Ebből adódik, hogy a kép az ezüstládikában van. 68b. Ha a kép az aranyládikában van, akkor az arany- és az ezüstládika fedelén egyaránt két hamis állítás van. Ha az ezüstládikában van, akkor az ezüst- és az ólomládikán egyaránt egy igaz és egy hamis állítás van. Tehát a kép az ólomládikában van (és az ezüstládika fedelén mindkét állítás igaz, az ólomén mindkettő hamis, az aranyon pedig egy igaz, egy hamis). 69a. Tegyük fel, hogy az ólomládikát Bellini készítette! Ekkor a rajta levő állítás igaz, ezért a másik két ládikát Cellini készítette. Ez azt jelenti, hogy a rajtuk levő állítások hamisak, így az ezüstládikán levő állítás hamis, vagyis a tőr az ezüstládikában van. Tehát ha az ólomládikát Bellini készítette, akkor a tőr az ezüstládikában van. Most tegyük fel, hogy az ólomládikát Cellini készítette! Ekkor a rajta levő állítás hamis, ezért legalább két ládikát készített Bellini. Ezek szerint az arany is és az ezüst is Bellini-ládika (mivel feltettük, hogy az ólom Cellinié). Ekkor az arany- és az ezüstládikán levő állítások igazak. így az aranyládikán levő állítás igaz, vagyis ebben az esetben a tőr az aranyládikában van. Egyik esetben sincs a tőr az ólomládikában, így a kérőnek az ólomládikát kell választania. 69b. Ha az ezüstládika Bellinié, akkor a rajta levő állítás igaz, és ebben az esetben az aranyládika Cellinié. Most tegyük fel, hogy az ezüstládika Cellinié! Ekkor nem igaz, hogy pontosan egy ládika Bellinié. Ez azt jelenti, hogy az aranyládika Cellinié (mert ha Bellinié lenne, akkor igaz lenne, hogy pontosan egy ládika Bellinié). így akár Bellinié az ezüstládika, akár Cellinié, az arany biztosan Cellinié. Emiatt az aranyládikán levő állítás hamis, tehát a kép az aranyládikában van. 69c. Először megmutatjuk, hogy az ólomládika Bellinié. Tegyük fel, hogy Cellinié! Ekkor a rajta levő állítás hamis, ami azt jelenti, hogy legalább két ládika Bellinié, ami csak az ezüst és az arany lehet. Ez lehetetlen, hiszen a kép nem lehet egyszerre az aranyládikában is és az ezüstben is. Tehát az ólomládika valójában Bellinié. Emiatt a rajta levő állítás igaz, vagyis legalább két ládika Cellinié. Ez azt jelenti, hogy az arany- és az ezüstládika egyaránt Cellinié. így mindkettőn hamis az állítás, vagyis a kép nincs sem az arany-, sem az ezüstládikában. Tehát a kép az ólomládikában van. 70. A kérőnek rá kellett volna jönnie, hogy ha sem a feliratok igaz vagy hamis voltáról, sem igazságértékük összefüggéséről nem kap semmiféle útbaigazítást, akkor az állítások semmitmondóak, a szóban forgó tárgy (kép vagy tőr, a feladatnak megfelelően) akárhol is lehet. Vehetek annyi ládikát, ahányat csak akarok, belelehelek az egyikbe egy tárgyat, aztán akármilyen feliratot is rakhatok a ládikák fedelére, ezek a kijelentések semmit nem fognak jelenteni. így Port ia t ényleg n em hazudott, ő csak annyit mondott, hogy a kérdéses tárgy b en n e va n valamelyik ládikában, és ez minden esetben így is volt. Teljesen más lett volna a helyzet bármelyik korábbi Porti a-történet-ben, ha a tárgy nem lett volna ott, ahol a kérő szerint lennie kellett. Ebben az esetben valamelyik régi Portia hazudott

volna valahol (ahogy ezt hamarosan látni fogjuk). Másképpen nézve a kérdést, az volt a kérő hibája, hogy feltételezte, hogy mindegyik állítás vagy igaz, vagy hamis. Nézzük meg jobban Portia N első kérdését, a kél ládikával. Az aranyládikán levő állítás „A kép nem ebben van" természetesen vagy igaz, vagy hamis, hiszen a kép vagy az aranyládikában van, vagy nem. Történetesen igaznak bizonyult, mivel Portia az ezüstládikába tette a képet. Nos, feltéve, hogy Portia az ezüstládikába tette a képet, az ezüstládikán levő állítás igaz vagy hamis? Mindkét eset paradox! Tegyük fel, hogy igaz! Ekkor pontosan egy állítás igaz, de mivel az első állítás (az aranyládikán levő) igaz, az ezüstládikán levő állítás hamis. Szóval ha igaz, akkor hamis. Másrészt tegyük fel, hogy az ezüstládikán levő állítás hamis! Ekkor az aranyládikán levő állítás igaz (mert tényleg nem abban van a kép), az ezüstön levő hamis, ami azt jelenti, hogy a két állítás közül pontosan egy igaz. De az ezüstládikán levő állítás pontosan ezt mondja, így igaznak kell lennie! Tehát akár azt tételezzük fel, hogy az állítás igaz, akár azt, hogy hamis, ellentmondásra jutunk. Tanulságos összehasonlítani ezt a kérdést Portia III második kérdésével, ahol szintén két ládika volt. Az aranyládika ugyanazt mondta, mint ebben a feladatban: „A kép nem ebben van", de az ezüst ahelyett, hogy „A két állítás közül pontosan egy igaz", ezt mondta: „A két ládika közül pontosan egyet készített Bellini". Az Olvasó nyilván tudni szeretné, hogy mi a lényeges különbség a két állítás között, amikor tudjuk, hogy Bellini csak igaz állításokat írt a ládákra, Cellini pedig csak hamisakat. Nos, a különbség bár árnyalatnyi, mégis alapvető. Az, hogy „A két ládika közül pontosan egyet készített Bellini", olyan állítás, aminek vagy igaznak, vagy hamisnak kell lennie, ez egy történeti állítás a fizikai világról - vagy tényleg pontosan egy ládikát készített a kettő közül Bellini, vagy nem. Tegyük fel, hogy Portia III feladatában az aianyládika helyett az ezüstben t alálják meg a képet! Mire következtetne ebből? Arra, hogy az ezüstládikán levő állítás sem igaz, sem hamis nem volt? Ez rossz következtetés lenne! Ez az állítás, mint mondtam, vagy igaz, vagy hamis. A helyes következtetés az, hogy ha a kép az ezüstládikában lett volna, akkor Portia III hazudott volna, amikor Bellimről és Celliniről beszélt. Ezzel szemben a modern Portia hazugság nélkül tehette a képet az ezüstládikába, mivel az állítások igazságértékéről semmit nem mondott. Az olyan állítások igazságértékének teljes tárgyalása, amelyek önmaguk igazságértékére vonatkoznak, nehezen megragadható alapkérdése a modern logikának. A későbbi fejezetekben még találkozni fogunk ilyen állításokkal.

6. Craig felügyelő feljegyzéseiből A. CRAIG FELÜGYELŐ FELJEGYZÉSEIBŐL Leslie Craig, a Scotland Yard felügyelője készségesen hozzájárult néhány esetének közzétételéhez azok kedvéért, akiket érdekel, hogy miként alkalmazható a logika a bűnügyek megoldásában. 71 • Egy egyszerű esettel kezdjük. Hatalmas mennyiségű árut loptak el egy áruházból. A tettes (vagy tettesek) autóval szállította (vagy szállították) el a zsákmányt. Három jól ismert bűnözőt vittek be a Scotland Yardra kihallgatni, A-t, B-t és C-t. A következők derültek ki: 1. A-n, B-n és C-n kívül senki nem vehetett részt a rablásban 2. C sosem dolgozik A (és esetleg más tettestársak) nélkül 3. B nem tud autót vezetni. A bűnös vagy ártatlan? r 72, Egy másik egyszerű eset, megint rablás. A-t, B-t és C-t kihallgatták, és a következők derültek ki: 1. A-n, B-n és C-n kívül senki más nem vehetett részt a rablásban. 2. A sosem dolgozik legalább egy bűntárs nélkül. 3. C ártatlan. B ártatlan, vagy bűnös? 73. Ez már egy érdekesebb eset, a rablás Londonban történt. Három jól ismert bűnözőt hallgattak ki, A-t, B-t és C-t. A és C történetesen egypetéjű ikrek, és kevés ember tudja őket megkülönböztetni. Mindhárom gyanúsítottnak volt már priusza, és sok mindent lehetett tudni róluk és szokásaikról. Az ikrek pl. meglehetősen félénkek voltak, és egyikük sem mert soha

róluk és szokásaikról. Az ikrek pl. meglehetősen félénkek voltak, és egyikük sem mert soha bűntárs nélkül dolgozni. B viszont igen merész volt, és mindig egyedül dolgozott. Néhányan tanúsították, hogy a rablás idején az ikrek egyikét inni látták Doverben egy bárban, de hogy melyiket, azt nem tudták. Feltéve, hogy A-n, B-n és C-n kívül más nem vehetett e rablásban, ki ártatlan, és ki bűnös? 74. „Mire következtet ezekből a tényekből?" kérdezte Craig felügyelő McPherson őrmestert. 1. Ha A bűnös és B ártatlan, akkor C bűnös. 2. C sosem dolgozik egyedül. 3. A sosem dolgozik C-vel. 4. A-n, B-n és C-n kívül senki más nem vehetett részt a bűntényben, és legalább egyikük bűnös. Az őrmester megvakarta a fejét és így szólt: „Attól tartok uram, hogy nem sokra. Ön meg tudja állapítani ennyiből, hogy ki ártatlan és ki bűnös?" „Nem" - válaszolta Craig -, „de ahhoz ennyi is elég, hogy egyikük ellen vádat emeljünk". * Melyikük az, aki biztosan bűnös? p( j\ fz-o "l^' 75. McGregor bolt jának eset e. Mr. McGregor, egy londoni boltos, felhívta a Scotland Yardot hogy kirabolták a boltját. Három gyanúsítottat hallgattak ki, A-t, B-t és C-t. A következők derültek ki: 1. A, B és C mindegyike járt a boltban a rablás napján, és senki más nem volt aznap a boltban. 2. Ha A bűnös, akkor pontosan egy bűntársa volt. 3. Ha B ártatlan, akkor C is az. 4. Ha pontosan két tettes volt, akkor A az egyik. 5. Ha C ártatlan akkor B is az. x \ Vajon kit vádolt Craig felügyelő? C V £ A \ ^ Q is igaz, második megállapításunk miatt. 2. eset: P igaz és Q hamis. Ekkor P -> Q hamis, harmadik megállapításunk miatt. 3. eset: P hamis és Q igaz. Ekkor P -> Q igaz, első megállapításunk miatt (a második miatt is). / eset: P hamis és Q hamis. Ekkor P Q igaz, első megállapítá- i i n k miatt. Ezt a négy esetet foglalja össze a következő táblázat, amit az im-áció igazságtáblázatának nevezünk. P Q P^Q 1. i i i 2.

i

h

h

3.

h

i

i

4.

h

h

i

Az első sor, i, i, i (igaz, igaz, igaz), azt jelenti, hogy ha P igaz és Q igaz, akkor P -> Q igaz. A második sor, i, h, h, azt jelenti, hogy ha P igaz és Q hamis, akkor P -> Q hamis. A harmadik sor

azt mondja, hogy ha P hamis és Q igaz, akkor P -> Q igaz, a negyedik sor pedig, hogy ha P hamis és Q hamis, akkor P -> Q igaz. Megjegyezzük, hogy a P -*> Q a négy eset közül háromban igaz, csak a másodikban hamis. Az implikáció egy másik tulajdonsága. Egy másik fontos tulajdonsága az implikációnak a következő: Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy a „Ha P, c i kko r 2" állítás igaz, elegendő megmutatni, hogy P-ből mint premisszából következik Q. Más szavakkal, ha a P feltevés elvezet a Q konklúzióhoz, akkor a „Ha P, akkor Q" állítás igaz. A továbbiakban 4. megállapításként fogunk erre hivatkozni.

A. IMPLIKÁCIÓ A LOVAGOK ÉS LÓKÖT ŐK SZIGET ÉN 109. Két szereplőnk van, A és B, mindkettőjük - egymástól függetlenül - vagy lovag, vagy lókötő. Tegyük fel, hogy A ezt állítja: „Ha én lovag vagyok, akkor B is az"! Meg lehet-e mondani, hogy A, ül. B miféle? 110. Valaki megkérdezi A-tól: „Ön lovag?" Ö ezt válaszolja: „Ha lovag vagyok, akkor megeszem a kalapomat!" Bizonyítandó, hogy A kénytelen megenni a kalapját. 111. A ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor kettő meg kettő az négy". Lovag vagy lókötő A? 112« A ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor kettő meg kettő az öt". Mire következtet ebből? 113. Adott két ember, A és B, mindketten - egymástól függetlenül lovagok vagy lókötők. A ezt mondja: „Ha B lovag, akkor én lókötő vagyok". Miféle A és B? 114« Két ember, X és Y áll a bíróság előtt, rablásban való részvételért. A és B a tanúk, mindketten - egymástól függetlenül - lovagok vagy lókötők. A tanúk a következőket állítják: A: Ha X bűnös, akkor Y is az. B: X ártatlan, vagy Y bűnös. Biztos-e, hogy A és B azonos típusú? (Emlékeztetőül: akkor mondjuk a lovagok és lókötők szigetének két lakóját azonos típusúnak, ha vagy mindketten lovagok, vagy mindketten lókötők.) 115. A lovagok és lókötők szigetén kikérdeznek három lakost, A-t, B-t és C-t. A és B a következőket állítják: A: B lovag. B: Ha A lovag, akkor C is az. Meg lehet mondani, hogy A, B és C miféle?

B. SZERELEM ÉS LOGIKA 116« Tegyük fel, hogy a következő két állítás igaz: 1. Szeretem Bettyt, vagy szeretem Jane-t. 2. Ha szeretem Bettyt, akkor szeretem Jane-t. Következik ebből, hogy szeretem Bettyt? Következik ebből, hogy szeretem Jane-t? 117. Tegyük fel, hogy valaki megkérdezi tőlem: „Tényleg igaz, hogy ha ön szereti Bettyt, akkor szeret i Jane-t is?" Ezt válaszolom: „Ha igaz, akkor szeretem Bettyt." Következik ebből, hogy szeretem Bettyt? Következik ebből, hogy szeretem Jane-t? 118. Van két lány, Eva és Margaret. Valaki megkérdezi tőlem: „Igaz, hogy ha ön szereti Eva-et, akkor szereti Margaretet is?" Ezt válaszolom: „Ha igaz, akkor szeretem Eva-et, és ha szeretem Eva-et, akkor igaz". Melyik: lányt szeretem? 119. Most három lány van, Sue, Marcia és Dianne. A következőket tudjuk: 1. A három lány közül legalább egyet szeretek. 2. Ha Sue-t szeretem, de Diannet nem, akkor Marciat is szeretem. 3. Vagy Diannet is és Marciat is szeretem, vagy egyiküket sem. 4. Ha szeretem Diannet, akkor Sue-t is szeretem. Melyik lányt szeretem? Diszkusszió. Nem bolondok egy kissé, akik logikával foglalkoznak? Ne tudnám, hogy szeretem-e vagy nem Bettyt, Jane-t, Eva-et, Margaretet, Sue-t, Marciat, Diannet stb. anélkül, hogy leülnék és kiokoskodnám? Mókás lenne, ha egy feleség megkérdezné akadémikus férjétől: „Szeretsz?", és az „Várj egy percet, drágáin" - válaszolná, leülne, papírt és ceruzát

venne elő, fél óra hosszat dolgozna, és aztán mondaná: „Igen, kijött!" Erről eszembe jutott egy állítólag igaz történet a filozófus Leib-nizről, aki egyszer azon töprengett, hogy feleségül vegyen-e egy bizonyos hölgyet. Leült, papírt és ceruzát vett elő, majd készített két listát, egyet az előnyökről, egyet a hátrányokról. A második lista hosszabbnak bizonyult, ezért úgy döntött, hogy nem veszi feleségül a hölgyet. 120. Bár egyszerű, mégis egy kissé meglepő ez a feladat. Tegyük fel, hogy vagy lovag, vagy lókötő vagyok! A következő két dolgot állítom: 1. Szeretem Lindát. 2. Ha szeretem Lindát, akkor szerétéin Kathyt. Lovag vagy lókötő vagyok? 121. Vált ozat egy régi közmondásra. így szól egy régi közmondás: „Ha figyelik a teáskannát, sosem forr fel benne a víz". Véletlenül tudom, hogy ez nem igaz, egyszer figyeltem a tűzre rakott kannát, így elég biztos lehetek benne, hogy végül felforrt a víz. De mi a helyzet a következő közmondással? „Ha figyelik a teáskannát, sosem forr fel benne a víz, kivéve, ha odafigyelünk". Pontosabban fogalmazva: „Ha figyelik a teáskannát, sosem forr fel benne a víz, kivéve, ha valaki odafigyel". Igaz ez, vagy hamis?

C. VAN-E ARANY EZEN A SZIGET EN? Az előző rejt vény csoport főleg feltételes - „Ha P igaz, akkor Q is" -szerkezetű állításokkal foglalkozott. A most következő feladatcsoportban főként „P akkor és csak akkor igaz, ha Q igaz" szerkezetű állításokkal lesz dolgunk. A fenti állítás azt jelenti, hogy ha P igaz, akkor Q is, és ha Q igaz, akkor P is. Más szavakkal, ha P és Q valamelyike igaz, akkor a másik is az. Ez egyben azt jelenti, hogy P és Q vagy mindketten igazak, vagy mindketten hamisak. A „P akkor és csak akkor, ha Q" állítást így jelöljük: „P o Q\ AP Q igazságtáblázata: pQ i

i

i

i

h

h

h

i

h

h

h

í

A „P akkor és csak akkor, ha g" állítást így is olvashatjuk: „P ekvivalens Q-val", vagy „P és Q ekvivalensek". Megállapíthatjuk a következőket: Mi : Igaz állítással ekvivalens állítás igaz.

88

• P o rt í a l á d i ká i és m á s rej t él yek

Hamis állítással ekvivalens állítás hamis 122. Van-e arany ezen a sziget en? A lovagok és lókötők egyik szigetéről azt beszélik, hogy valahol a szigeten arany van elásva. Ön megérkezik a szigetre, és megkérdezi az egyik bennszülöttet, A-t, hogy vajon van-e arany a szigeten. Ő a következő választ adja: „Akkor és csak akkor van arany a szigeten, ha lovag vagyok". A feladat két részből áll: a) Meg lehet mondani, hogy A lovag vagy lókötő? b) Meg lehet mondani, hogy van-e arany a szigeten? 123. Tegyük fel, hogy Ön ezt kérdezi A-tól: „Ekvivalens az az állítás, hogy van arany ezen a szigeten azzal az állítással, hogy ön lovag?" Ha ő erre azt válaszolná, hogy „Igen", akkor a feladat visszavezethető lenne az előzőre. Tegyük fel, hogy „Nem"-et válaszol! Meg tudná ekkor mondani, hogy van-e arany a szigeten vagy nincs? 124. Hogyan let t em gazdag? Ez a történet sajnos nem igaz. De érdekes, így hát elmondom. Találtam három szomszédos szigetet, A-t, B-t és C-t. Tudtam, hogy a három sziget közül legalább az egyiken arany van elásva, de nem tudtam, hogy melyiken. B és C sziget lakatlan volt, az A szigeten lovagok és lókötők laktak, és lehetséges volt, hogy van néhány normális is a szigeten, de nem tudtam, hogy tényleg vannak-e normálisak, vagy nincsenek. Nagy szerencsémre találtam egy térképet a szigetekről, amit a híres és szeszélyes kalózkapitány, Marston hagyott hátra, ugyanis ő ásta el az aranyat. Az üzenet természetesen titkosírással íródott. Mikor megfejtettem, kiderült, hogy két mondatból áll. íme: 1. AZ A SZIGETEN NINCS ARANY. M 2:

2. HA ÉL NORMÁLIS AZ A SZIGETEN, AKKOR KÉT SZIGETEN IS VAN ARANY. Elrohantam az A szigetre, tudtam, hogy a bennszülöttek mindent tudnak az aranyról. A sziget királya kitalálta, hogy miben sántikálok, és világosan a tudtomra adta, hogy mindössze egyetlen kérdést engedélyez, amit egy általam találomra kiválasztott bennszülöttnek tehetek fel. Azt semmiképp nem tudhattam, hogy a bennszülött lovag, lókötő vagy normális. 8. L o g i ka i rej t vén yek •

89

Ki kellett tehát találnom egy olyan kérdést, hogy az arra adott válasz alapján ki tudjak választani egy olyan szigetet, amin biztosan van arany. Mit kérdezhettem? 125. Egy másik alkalommal a lovagok, lókötők és normálisak egy másik szigetére látogattam. Elterjedt a hír, hogy a szigeten arany van, és szerettem volna kitalálni, hogy tényleg van-e. A sziget királya, aki lovag volt, kegyesen bemutatott három bennszülöttnek, A-nak, B-nek és Cinek, és elárulta, hogy legfeljebb egyikük normális. Megengedte, hogy feltegyek két igen-nem kérdést, amelyiknek csak akarok. Ki lehet-e találni két kérdéssel, hogy van-e arany a szigeten? 126. Tegyük fel, hogy van két szomszédos sziget, amit kizárólag lovagok és lókötők laknak (normálisok nincsenek). Elárulják Önnek, hogy az egyik szigeten páros, a másikon páratlan számú lovag él. Azt is elmondják, hogy azon a szigeten, ahol páros számú lovag él, van arany, a másikon nincs. Ön kiválasztja az egyik szigetet, és odalátogat. Minden lakos tudja, hogy hány lovag és hány lókötő él a szigeten. Ön kikérdezi a sziget három lakóját, A-t, B-t és C-t, akik a következőket állítják: A: Ezen a szigeten páros számú lókötő él. B: Pillanatnyilag páratlan számú ember van a szigeten. C: Akkor és csak akkor vagyok lovag, ha A és B azonos típusú. Feltéve, hogy Ön nem lovag és nem is lókötő, és hogy pillanatnyilag Ön az egyetlen látogató a szigeten, van arany a szigeten vagy nincs?

MEGOLDÁSOK 109-112. Mind a négy feladat ugyanarra az alapötletre épül, ami a következő: Ha adott egy tetszőleges P állítás, és a lovagok és lókötők szigetének egy tetszőleges lakosa azt mondja, hogy „Ha lovag vagyok, akkor P", akkor az illető lovag, és P igaz! Ez elég meglepő, de kétféleképpen is bizonyíthatjuk. 1. Tegyük fel, hogy A lovag! Ekkor a „Ha A lovag, akkor P" állítás igaz (mivel a lovagok mindig igazat mondanak). Vagyis A lovag, és igaz, hogy ha A, akkor P. Ebből a két dologból következik, hogy P-nek igaznak kell lennie. így az a feltevés, hogy A lovag, elvezet P-hez, mint követ kezményhez. í g y (emlékezzünk vissza az implikációval kapcsolatos 4. megállapításunkra) bebizonyítottuk, hogy ha A lovag, akkor a P állítás i g a z . De hiszen ez pontosan az, amit A állított! Emiatt A csak lovag lehet. És mivel épp az imént bizonyítottuk, hogy a „ha A lovag, a kko r P" állítás igaz, ebből következik, hogy P-nek igaznak kell lennie. 2. A következőképpen is beláthatjuk ezt. Ne felejtsük el, hogy hamis feltételből bármi következik. Emiatt Ha A nem lovag, akkor a „Ha A lovag, akkor P" automatikusan igaz állítás. Ezért lókötő sosem állíthatja ezt. így ha valaki, aki vagy lovag vagy lókötő ezt állítja, akkor az illető csak lovag lehet, és P-nek igaznak kell lennie. Alkalmazzuk ezt az észrevételt rejtvényeinkre! Ha a 109. feladatban azt az állítást tekintjük P-nek, hogy B lovag, akkor látható, hogy A-nak lovagnak kell lennie és állítása igaz, így B lovag. Tehát az a válasz, hogy A és B mindketten lovagok. A 110. feladatban P ez az állítás: A megeszi a kalapját. Látható tehát, hogy A-nak lovagnak kell lennie, és meg kell ennie a kalapját. (Történetesen ez azt is bizonyítja, hogy a lovagok bár kétségkívül erkölcsösek és becsületesek, néha kissé ostobák!) A 111. feladatra megint az a válasz, hogy A lovag. Ami a 112.-et illeti, a helyes következtetés az, hogy a szerző csalt! A feladat paradox, sem lovag, sem lókötő nem tehet ilyen kijelentést. 113. A lovag, B pedig lókötő. Ahhoz, hogy ezt bizonyítsuk, először be kell látnunk, hogy csak lovag tehet „Ha P, akkor én lókötő vagyok" alakú kijelentést. Mint már említettük, igaz állítás

bármiből következik, ezért ha a „Lókötő vagyok" állítás igaz, akkor a teljes „Ha P, akkor lókötő vagyok" állítás is az. De ha lókötő vagyok, akkor sosem mondhatom ezt az igaz állítást. Emiatt ha azt mondom, hogy „Ha P, akkor lókötő vagyok", akkor lovagnak kell lennem. Tehát A lovag. Ezért az is igaz, hogy ha B lovag, akkor A lókötő (mert A azt mondja, hogy igaz). Ekkor B nem lehet lovag, mert ez azt jelentené, hogy A lókötő, de A nem az.* Ezért B lókötő. M i n d en o l ya n á l l í t á sn a k, a m i b ő l h a m i s á l l í t á s kö vet kez i k, h a m i sn a k kel l l en n i e, m i vel i g a z á l l í t á sb ó l so h a sem kö vet kez i k h a m i s á l l í t á s. A f en t i eset b en a b b ó l a z á l l í t á sb ó l , h o g y B l o va g , a z a h a m i s á l l í t á s kö vet kez i k, h o g y A l ó kö t ő , t eh á t a n n a k, h o g y B l o va g ,

114. A lényegében azt mondja, hogy nem az a helyzet, hogy X bűnös és Y ártatlan. Ugyanezt másképp úgy fogalmazhatjuk, hogy X ártatlan, vagy Y bűnös, így A és B valójában ugyanazt mondják más szavakkal. Emiatt vagy mindkét állítás igaz; vagy mindkettő hamis, így A és B azonos típusú. 115. Tegyük fel, hogy A lovag! Ekkor B is az (mivel A azt mondja, hogy az). Ekkor B állítása „Ha A lovag, akkor C is az" - igaz. De A tényleg lovag (feltevésünk szerint), ezért C is lovag (feltéve, hogy A az). Megmutattuk, hogy ha A lovag, akkor C is az.* De B éppen ezt mondta, tehát B lovag. Ekkor A állítása, miszerint B lovag, igaz, így A is lovag. Az előbb láttuk be, hogy ha A lovag, akkor C is az. Tehát C szintén lovag. Vagyis mind a hárman lovagok. 116. Az nem következik, hogy szeretem Bettyt, de az igen, hogy szeretem Jane-t. A következő okoskodással láthatjuk be, hogy szeretem Jane-t. Vagy szeretem Bettyt vagy nem. Ha nem szeretem Bettyt, akkor az 1. állítás szerint Jane-t szeretem (mivel tudjuk, hogy legalább egyiküket szeretem). Másrészt, ha szeretem Bettyt, akkor a 2. állítás szerint éppúgy szeretnem kell Jane-t is. Vagyis mindkét esetben (akár szeretem Bettyt, akár nem) következik, hogy szeretem Jane-t. Mellékesen a Betty nevű olvasóimnak sem kell aggódniuk; az, hogy nem következik az adott feltételekből, hogy szeretem Bettyt, nem jelenti azt, hogy az következik, hogy nem szeretem Bettyt! Nagyon is lehetséges, hogy Bettyt is szeretem - lehet, hogy még jobban, mint Jane-t. 117. Ezúttal nem az következik, hogy Jane-t szeretem, hanem hogy Bettyt. Tegyük fel ugyanis, hogy nem szeretem Bettyt! Ekkor a „Ha szeretem Bettyt, akkor szeretem Jane-t" állítás igaz (mivel hamis állításból bármi következik). De tudjuk, hogy ha ez az állítás igaz, akkor szeretnem kell Bettyt. Vagyis ha nem szeretem Bettyt, akkor ebből h a m i sn a k kel l l en n i e. Ez p él d a a reductio ad absurdum eg y eset e (vi ssz a vez et és a l eh et et l en re, a z i n d i rekt b i z o n yí t á si m ó d sz er a l a p j a ).

következik, hogy szeretem Bettyt, ami ellentmondás. Az ellentmondást csak úgy tudjuk feloldani, hogy szeretem Bettyt. Azt nem tudjuk megmondani, hogy Jane-t szeretem-e vagy nem. 118. A feltételekből következik, hogy mindkét lányt szeretem. Legyen P az az állítás, hogy „Ha szeretem Eva-et, akkor szeretem Margaretet is". Ezt kapjuk: 1. Ha P igaz, akkor szeretem Eva-et. 2. Ha szeretem Eva-et, akkor P igaz. Az előző feladat megoldásakor láttuk, hogy az 1. állításból következik, hogy szeretem Eva-et. Tehát szeretem Eva-et. Emiatt a 2. állítás szerint P-nek igaznak kell lennie, azaz igaz, hogy ha szeretem Eva-et, akkor szeretem Margaretet is. De Eva-et szeretem. Emiatt szeretem Margaretet is. 119. Szeretnem kell mindhárom lányt. Ezt többféleképpen is bebizonyíthatjuk, íme az egyik lehetőség: 3. szerint vagy Diannet is és Marciat is szeretem, vagy egyiküket sem. Tegyük fel, hogy egyiküket sem! Akkor 1. szerint szeretnem kell Sue-t. Tehát szeretem Sue-t, de Diannet nem, és nem szeretem Marciat. Ez ellentmond a 2. állításnak. Emiatt nem lehet, hogy sem Diannet, sem Marciat nem szeretem, ezért mindkettőjüket szeretem. Mivel szeretem Diannet, a 4. állítás szerint Sue-t is szeretem. Vagyis mindhármukat szeretem. 120. Lovag vagyok. Ha lókötő lennék, akkor az 1. és a 2. állítás mindkettő hamis lenne. Ha viszont a 2. hamis lenne, akkor Lindát szeretném, de Kathyt nem, így Lindát szeretném. Ez azt jelenti, hogy ekkor az 1. állítás igaz lenne. Vagyis lehetetlen, hogy az 1. és a 2. állítás mindkettő hamis legyen, ezért nem lehetek lókötő. 121. Az, hogy „P hamis, kivéve ha Q" csak átfogalmazása annak, hogy ,,Ha P, akkor Q". (Pl. ha ezt mondom: „Nem megyek moziba, kivéve ha velem jössz", az ekvivalens avval, hogy „Ha

moziba megyek, akkor velem jössz".) így a „Ha figyelik a teáskannát, sosem forr fel benne a víz, kivéve, ha odafigyelünk" állítás csak átfogalmazása annak, hogy „Ha felforr a víz egy teáskannában, amire odafigyelnek, akkor valaki odafigyelt rá". Ez természetesen igaz, hiszen ha odafigyelnek a kannára, akkor biztos valaki odafigyel rá, akár forr benne a víz, akár nem. 122« Nem lehet megmondani, hogy a beszélő lovag vagy lókötő, viszont van arany a szigeten. Ennek és a fejezet többi feladatának megoldásához egyszer és mindenkorra szögezzük le a következő alapvető észrevételt: Ha a beszélő (aki vagy lovag, vagy lókötő) azt állítja: „Akkor és csak akkor vagyok lovag, ha P", akkor P-nek igaznak kell lennie (függetlenül attól, hogy a beszélő lovag vagy lókötő). Ahhoz, hogy ezt belássuk, legyen L az az állítás, hogy a beszélő lovag. A beszélő azt mondja, hogy L ekvivalens P-vel. Tegyük fel, hogy az illető tényleg lovag! Ekkor L tényleg ekvivalens Pvel, és L igaz. Ekkor P ekvivalens egy igaz állítással, ezért P is igaz. Másrészt tegyük fel, hogy az illető lókötő! Ekkor állítása hamis, így P nem ekvivalens L-lel, és mivel lókötő, L is hamis. Mivel P nem ekvivalens a hamis L állítással, P-nek igaznak kell lennie (mert ha hamis volna, akkor ekvivalens lenne L-lel). Vagyis akár lovag, akár lókötő a beszélő, P igaz. Érdekes ezt az észrevételt összehasonlítani előző megfigyelésünkkel, miszerint, ha egy lovag vagy lókötő ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor P, akkor ebből arra következtethetünk, hogy az illető lovag, és P igaz. De ha egy lovag vagy egy lókötő ezt mondja: Akkor: és csak akkor vagyok lovag, ha P", akkor ebből csak arra következtethetünk, hogy P igaz, de azt nem tudjuk megmondani, hogy az illető lovag vagy nem. 123. Igen, ebben az esetben nincs arany a szigeten. Legyen A az az állítás, hogy van arany a szigeten, és legyen megint L az az állítás, hogy a beszélő lovag. Az illető azzal, hogy „Nem"-et válaszol, azt állítja hogy A nem ekvivalens L-lel. Tegyük fel, hogy az illető lovag! Ekkor igaz, hogy A nem ekvivalens L-lel. Mivel ő lovag, L igaz. Ezért A hamis, mivel nem ekvivalens az igaz L állítással. Másrészt tegyük fel, hogy az illető lókötő! Ekkor A ekvivalens L-lel (mivel lókötő mondta, hogy nem ekvivalensek). De L hamis (mivel a beszélő lókötő). így A is hamis, hiszen ekvivalens a hamis L állítással. Vagyis akár lovag, akár lókötő a beszélő, „Nem" válasza azt jelenti, hogy A hamis. Tehát nincs arany a szigeten. Diszkusszió. Az utolsó két feladatból levonható egy igen fontos tanulság, amit a „lovaglókötő" szakértők jól ismernek. Ahogy a megoldásokban láttuk, ha egy tetszőleges P állításról szeretnénk megtudni, hogy igaz-e vagy hamis, és valaki, aki vagy lovag, vagy lókötő tudja P-ről az igazai, akkor egyetlen kérdéssel ki tudjuk belőle szedni, hogy P igaz-e vagy hamis. Csak ennyit kell kérdeznünk: „Ekvivalens az az állítás, hogy ön lovag azzal az állítással, hogy P igaz?" Ha „Igen"-t válaszol, akkor P igaz, ha „Nem"-et válaszol, akkor P hamis. Ezt fogjuk kihasználni a következő három feladat megoldásánál, és alapelvként fogunk rá hivatkozni. 124. Már előre tudjuk, hogy az A szigeten nincs arany. A B vagy a C szigeten van arany, és ha bárki is normális az A szigeten, akkor B-n is és C-n is van arany. A kérdésem pedig ez volt: „Ekvivalens az az állítás, hogy ön lovag, azzal az állítással, hogy van arany a B szigeten?" Tegyük fel, hogy „Igen"-t válaszol! Ha lovag vagy lókötő, akkor (alapelvünk szerint, amit az előző feladat megoldása kapcsán fogalmaztunk meg) van arany a B szigeten. Ha normális, akkor a B és C szigetek mindegyikén van arany, így megint csak biztosan van arany a B szigeten. Az „Igen" válasz tehát azt jelenti, hogy van arany a B szigeten. Tegyük fel, hogy „Nem"-et válaszol! Ha lovag vagy lókötő, akkor (megint alapelvünk szerint) nincs arany a B szigeten. Ez azt jelenti, hogy a C szigeten kell aranynak lennie. Másrészt ha normális az illető, akkor B és C szigetek közül mindkettőn van arany, így van arany a C szigeten. Tehát a „Nem" válasz azt jelenti, hogy van arany a C szigeten. 125. Ez a feladat az alapelv kétszeri alkalmazásával oldható meg (1. az alapelv magyarázatát a 123. feladat megoldásánál). Egy kérdéssel ki lehet választani hármuk közül egyet, aki biztosan nem normális. Kérdezzük meg A-tól: „Ekvivalens-e az az állítás, hogy ön lovag, azzal az állítással, hogy B normális?" Tegyük fel, hogy „Igen"-t válaszol! Ha A lovag vagy lókötő akkor B-nek normálisnak kell lennie (az alapelv szerint). Ez azt jelenti, hogy C nem normális. Ha A nem lovag vagy lókötő, akkor

normálisnak kell lennie, ekkor C megint nem lehet normális. Tehát az „Igen" válasz azt jelenti, hogy C nem normális. Tegyük fel, hogy A „Nem"-et válaszol! Ha lovag vagy lókötő akkor B nem normális (megint az alapelv miatt). Ha A nemjovag vagy lókötő, akkor B megint csak nem normális, mert A az. Tehát a „Nem" válasz azt jelenti, hogy B nem normális. így ha „Igen" yálaszt kapunk A-tól, akkor C-nek tesszük fel a második kérdést, ha „Nem választ kapunk, akkor B-nek. Most már tudjuk, hogy olyasvalakitől érdeklődünk, aki lovag vagy lókötő. Feltehetjük neki ugyanazt a kérdést, mint a 122. feladatnál, nevezetesen, hogy az az állítás, hogy ő lovag, ekvivalens-e azzal az állítással, hogy van arany a szigeten. Az „Igen" válasz azt jelenti, hogy van arany, a „Nem" válasz azt, hogy nincs. 126. Annak, aki nem ismeri alapelvünket, ez a feladat meglehetősen nehéz lehet. De most, hogy ismerjük (1.123. feladat megoldása), a feladat egész egyszerű. Feltételezem annak ismeretét, hogy két páros szám összege is páros, és két páratlan szám összege is páros. Ez azt jelenti, hogy ha kivonunk egy páros számot egy páros számból, akkor páros számot kapunk, és ha kivonunk egy páratlan számot egy páratlan számból, akkor is páros számot kapunk. (Pl.: 12-8 = 4; 13-7 = 6.) C állításából következik (a 122. feladat szerint), hogy A és B azonos típusúak, azaz vagy mindketten lovagok, vagy mindketten lókötők. így állításaik vagy egyaránt igazak, vagy egyaránt hamisak. Tegyük fel, hogy igazak! Ekkor A állítása szerint páros számú lókötő van a szigeten. B állítása szerint páratlan számú ember van a szigeten, Önt is beleértve. De Ön nem lovag és nem is lókötő, és Ön az egyetlen látogató a szigeten, ezért páros számú bennszülött él a szigeten. Ha levonjuk a lókötők páros számát a lovagok és lókötők páros számából, akkor páros számú lovagot kapunk. így ebben az esetben van arany a szigeten. Másrészt tegyük fel, hogy mindketten hazudnak! Ez azt jelenti, hogy páratlan számú lókötő van a szigeten, és a lovagok és lókötők együttes száma is páratlan (páros számú ember van a szigeten, Önt is beleértve). Ekkor megint páros számú lovagnak kell lennie, így ekkor is van arany a szigeten.

9. Bellini vagy Cellini? A Portia ládikáiról szóló történet folytatása következik. Emlékezzünk vissza, hogy haBellini elkészített egy ládikát, akkor mindig igaz feliratot lakott rá, ha pedig Cellini készített el egy ládikát, akkor mindig hamis feliratot rakott rá. Bellininek és Cellininek fiai is voltak, akik szintén ládikákat készítettek. A fiúk apjuk szokásait követték; Bellini fiai csak igaz feliratokat tettek az általuk készített ládikákra, Cellini fiai csak hamisakat. Azt is tudjuk, hogy csak a Bellini és a Cellini család foglalkozott Iádikakészítéssel a reneszánsz Itáliában; minden ládikát vagy Bellini, vagy Cellini, ül. valamelyik Bellini vagy Cellini fiú készített. Ezek a ládikák meglehetősen értékesek, különösen azok, amiket maga Bellini vagy Cellini készített.

A. KINEK A MŰVE? 127. Láttam egyszer egy ládikát, ami a következő feliratot viselte:

Ki készítette ezt a ládikát, Bellini vagy Cellini, ül. valamelyik Bellim vagy Cellini fiú? 128. Egy másik alkalommal olyan ládikát láttam, aminek a feliratából k. tudtam következtetni, hogy a ládikát csak Cellini készíthette Ki tudja találni, mi lehetett a felirat? 129. Azok a legértékesebb ládikák, amelyek feliratából ki lehet következtetni, hogy a ládikát vagy Bellini, vagy Cellini készítette, de azt nem, hogy melyikük. Volt szerencsém egyszer egy ilyen ládikához. Ki tudja találni, hogy mi lehetett a felirat? 130. A fennkölt t ől a nevet ségesig. Tegyük fel, hogy egy olyan ládikával találkozik, ami a következő feliratot viseli:

Mire következtetne? 131. A firenzei nemes t ört énet e. Egy bizonyos firenzei nemesembernek igen költséges szórakozásai voltak. Legizgalmasabb az a játék volt, amelyen egy értékes ékszert lehetett nyerni. Ez a nemes ismerte Portia ládikáinak történetét, és ennek megfelelően tervezte meg a játékot. Volt három ládikája, egy arany, egy ezüst és egy ólom, és ezek egyikében volt az ékszer. Elmondta, hogy a ládikák mindegyikét -egymástól függetlenül - vagy Bellini, vagy Cellini készítette (nem valamelyik fiuk). Az első ember, aki kitalálta, hogy melyik ládikában van az ékszer, és be tudta bizonyítani, hogy sejtése helyes, megkapta az ékszert. íme a feliratok:

Melyik ládikában van az ékszer? 98

• P o rt i a l á d i ká i és m á s rej t él yek

B. LÁDIKAPÁROK I uiiiy múzeumban ládikapárokra bukkanhatunk - amelyek egy arany-egy ezüstládikából állnak , ezeket eredetileg készletként adták el. A Bellini és a Cellini család történetesen a legjobb barátságban volt egymással, és néha közösen készítettek egy párt. Természetesen egy I idikán csak egy ember dolgozott, de párok esetén előfordult, hogy más készítette az egyik ládikát, mint a másikat. A két család nagy örömét le he abban, hogy olyan feliratokat tettek a párokra, amikből az intelligens utókor részben vagy egészben kitalálhatja, hogy kik voltak a készítők. Adott pár esetén tizenhat lehetőség van: az arany ládikát készíthette Bellini, Bellini valemelyik fia, Cellini vagy Cellini valamelyik fia, és e négy lehetőség mindegyikéhez további négy lehetőség tartozik, az ezüstládika készítőjének megfelelően. 132. Egyszer a következő párra bukkantam:

Ki készítette az egyes ládikákat? 133. Másszor a következő párra bukkantam:

Ki készítette az egyes ládikákat? 134. Tekintsük a következő párt:

Bizonyítandó, hogy legalább az egyiket Bellini készítette. 135. Lássuk a következő párt:

Bizonyítandó, hogy legalább az egyik ládikát Cellini fiú készítette. 136. A következő pár:

Bizonyítandó, hogy legalább az egyik ládikát Bellini vagy Cellini készítette. 137. Most következő kalandom különösen emlékezetes. Egy ládi-kapárra bukkantam, és szerettem volna tudni, hogy legalább az egyiket Bellini készítette-e. Az egyiken elolvastam a feliratot, de ebből még nem tudtam, hogy Bellini készítette-e legalább az egyiket. Ekkor megnéztem a másik feliratot, ami meglepő módon ugyanaz volt, mint az előző, és még nagyobb meglepetésemre most már tudtam, hogy mindkét ládikát Bellini készítette. Ki tudná-e találni, hogy mik lehettek a feliratok? 138. Egy másik alkalommal olyan, azonos feliratokat viselő párra bukkantam, amelyről be tudtam bizonyítani, hogy mindkét ládikát Cellini készítette, de ha csak az egyik feliratot láttam volna, még azt sem tudtam volna bizonyítani, hogy legalább az egyiket Cellini készítette. Tudna készíteni ilyen feliratot? 139. Egy másik alkalommal olyan, azonos feliratokat viselő párra bukkantam, amelyről be tudtam bizonyítani, hogy vagy mindkét ládikát Bellini, vagy mindkét ládikát Cellini készítette, de nem tudtam, hogy melyikük. Itt sem tudtam volna ezt egyetlen ládika feliratából bizonyítani. Tudna készíteni ilyen feliratot? 140. A legértékesebb ládikapár az, amely kielégíti a következő feltételeket: 1. A feliratokból kideríthető, hogy az egyiket Bellini, a másikat Cellini készítette, de azt nem lehet tudni, hogy melyiket melyikük. 2. Önmagában egyik ládika sem elég ahhoz, hogy megállapíthassuk, hogy ez egy Bellini-Cellini pár. Volt szerencsém egyszer egy ilyen párral találkozni. (Úgy tudom, hogy ez volt az egyetlen ilyen pár, ami valaha is készült.) Tudna egy ilyen párra feliratot készíteni? 141. Sikeres kaland. Egyszer legénykoromban Firenzében jártam. A következő apróhirdetést olvastam egy újságban: LOGIKUS KERESTETIK. (Szerencsére angolul írták, olaszul nem tudok.) Elmentem a hirdetést feladó múzeumba, ahol elmondták, hogy egy logikus segítségére volna szükségük, egy érthetetlen rejtély megoldásához. Négy ládikát találtak, két aranyat és két ezüstöt. Tudták, hogy a ládikák két készlethez tartoznak, de valahogy összekeveredtek, és most nem tudják, hogy melyik aranyládikához melyik ezüstládika tartozik. Megmutatták a négy ládikát, és én hamarosan megoldottam a rejtélyt, amiért magas tanácsadói díjat fizettek. Ezenkívül még azt is meg tudtam állapítani, hogy melyik ládikát ki készítette, így további jutalmat kaptam (többek között egy csodálatos Chianti-dobozkát), és egy hálacsókot Firenze egyik legvonzóbb hölgyétői.*

H a m á r Ben ven u t o C el l i n i i s n a g y d i c sekvő vo l t , m i ért n e kö vet h et n ém a p él d á j á t ?

íme a négy ládika:

A b el l i n i

f c sa l

%

kés z *

B a ra n y

AZ C

Í család

SS****

C B el l i n i c s a l n i ' l ette-

D B el l i n ' 0831^ a ti e. ' „„í tette1

u á Z ' t eU ' -,1

a két l a o " l eg a ^" " f i i k' és

yet

^l

8—lá bb ;ffa g y C el l i " 1' 11

Két kérdésünk van: a) A-t C-vel vagy D-vel kell párosítani b) Ki készítette az egyes ládikákat?

MEGOLDÁSOK . Bellini készítette. Ha akkor az állítás hamis lenne, am. W^SSS ami lehetetlen. Cellini fiú készítette volna, akkor az alhtas igaz lenne, Tehát Bellini készítette. 128. Egy felirat, ami megteszi: Ezt a ládikát Cellini fiú készítette. 129. „Ezt a ládikát vagy Bellini, vagy valamelyik Cellini fiú készítette". 130. Az állítás nyilvánvalóan igaz, tehát a ládikát vagy Bellini, vagy valamelyik Bellini fiú készítette. 131. Első lépés: Tegyük fel, hogy az ólomládikát Bellini készítette! Ekkor a rajta levő állítás igaz, vagyis az ékszer egy Cellini-ládikában van, így nem lehet az ólomban. Másrészt tegyük fel, hogy az ólomládikát Cellini készítette! Ekkor a rajta levő állítás hamis, vagyis az ékszer egy Bellini-ládikában van, így megint nem lehet az ólomban. Ezzel bebizonyítottuk, hogy az ékszer nincs az ólomládikában. Második lépés: Belátjuk, hogy az ékszer nem lehet az ezüstládi-kában. Ha ott lenne, a következő ellentmondásra jutnánk: Tegyük fel, hogy az ékszer az ezüstládikában van! Először tegyük fel, hogy az aranyládikát Bellini készítette! Ekkor a rajta levő állítás igaz, és mivel az ékszer (feltevésünk szerint) az ezüstládikában van, az ezüstládikát Bellini készítette. Ebből az következne, hogy az aranyládikát Cellini készítette. Vagyis ha az aranyládika Bellinié, akkor Cel-linié. Másrészt tegyük fel, hogy az aranyládika Cellinié! Ekkor az arany-ládikán levő állítás hamis, amiből következik, hogy az ezüstládika nem Bellinié, ezért Cellinié. Tehát az ezüstládikán levő állítás hamis, amiből következik, hogy az aranyládika Bellinié. Vagyis ha az aranyládika Cellinié, akkor Bellinié, ami lehetetlen.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy az ékszer nem lehet az ezüstládikában. Tehát az arany ládikában van. 132. Világos, hogy az aranyládikán levő állítás nem lehet igaz, különben ellentmondásra jutnánk. így az aranyládikát a Cellini család tagja készítette. Mivel az állítás hamis, nem készítette mindkét ládikát a Cellini család tagja, ezért az ezüstládikát a Bellini család egyik tagja készítette. Emiatt az ezüstládikán levő állítás igaz, vagyis egyik ládikát sem valamelyik fiú készítette. Tehát az ezüstládikát Bellini, az aranyládikát Cellini készítette. 133. Emlékezzünk vissza, hogy ha a lovagok és lókötők szigetének egy lakója ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor ezmegez igaz", akkor az illető lovag, és az ezmegez igaz. Hasonló okoskodással megmutatjuk, hogy az aranyládikán levő állítás igaz. Tegyük fel, hogy az aranyládikát a Bellini család tagja készítette! Ekkor igaz az aranyládika felirata: „Ha az aranyládikát a Bellini család tagja készítette, akkor az ezüstládikát Cellini készítette". De az aranyládikát tényleg a Bellini család tagja készítette (ez volt a feltevésünk), vagyis az ezüstiádikát Cellini készítette. Ezzel bebizonyítottuk, hogy ha az aranyládikát a Bellini család tagja készítette, akkor az ezüstiádikát Cellini* készítette. Más szavakkal, bebizonyítottuk, hogy az aranyládika felirata igaz. Emiatt az aranyládika a Bellini család tagjának műve. Ez összevetve azzal a megállapításunkkal, hogy ha az aranyládikát a Bellini család tagja készítette, akkor az ezüstiádikát Cellini készítette, azt jelenti, hogy az ezüstiádikát Cellini készítette. Emiatt az ezüstládika felirata hamis, így az aranyládikát nem Bellini fiú készítette. De az aranyládikát a Bellini család tagja készítette, tehát Bellini műve. Vagyis az aranyládikát Bellini, az ezüstiádikát Cellini készítette. 134. Tegyük fel, hogy az aranyládikán levő állítás igaz! Ekkor az ezüstiádikát Bellini fiú készítette, így igaz állítás van rajta. Ez azt jelenti, hogy az aranyládikát nem Bellini fiú készítette, de mivel igaz állítás van rajta, csak Bellini készíthette. Tegyük fel, hogy az aranyládikán levő állítás hamis! Ekkor az ezüstiádikát nem Bellini fiú készítette. Az ezüstládikán viszont igaz állítás van (mivel az aranyládikán levő hamis állítást nem írhatta Bellini fiú). Tehát az ezüstiádikát Bellini készítette. Összefoglalva, ha az aranyládikán levő állítás igaz, akkor az aranyládikát készítette Bellini, ha az aranyládikán levő állítás hamis, akkor az ezüstiádikát készítette Bellini. 135« Tegyük fel, hogy az ezüstládikán levő állítás igaz! Mivel ez az állítás igaz, az ezüstiádikát a Bellini család tagja készítette, így az aranyládikán levő állítás - „az ezüstiádikát Cellini készítette" - hamis. De mivel az ezüstládikán levő állítás igaz (feltevésünk szerint), az aranyládikát nem Cellini készítette. Tehát az aranyládikán hamis állítás van, de nem Cellini műve, így csak Cellini fiú készíthette. Másrészt tegyük fel, hogy az ezüstládikán levő állítás hamis! Ekkor az aranyládikát Cellini készítette, ezért a rajta levő állítás hamis, így az ezüstiádikát nem Cellini készítette. Ezért az ezüstládikán hamis állítás van, de nem Cellini műve, tehát Cellini fiú készítette. 136. Tegyük fel, hogy az aranyládika felirata igaz! Ekkor az ezüstládika felirata is igaz lenne, ami azt jelentené, hogy az aranyládika felirata hamis. Ez ellentmondás, tehát az aranyládika felirata hamis. Ez egyben azt is jelenti, hogy az ezüstiádikát nem Bellini fiú készítette. Emiatt ha az ezüstládika felirata igaz, akkor az ezüstiádikát Bellini készítette. Ha az ezüstládika felirata hamis, akkor az aranyládikát nem Cellini fiú készítette, de az aranyládika felirata hamis, így az aranyládika Cellini műve. Összefoglalva: ha az ezüstládika felirata igaz, akkor az ezüstiádikát Bellini készítette; ha az ezüstládika felirata hamis, akkor az aranyládikát Cellini készítette. Tehát vagy az ezüstládika Bellinié, vagy az aranyládika Cellinié. 137. Ennek és a következő három feladatnak sok lehetséges megoldása van. Egyik lehetőség, ha mindkét ládikán a következő felirat van: „Vagy mindkét ládikát Bellini készítette, vagy legalább egyiket a Cellini család tagja készítette". A Cellini család egyik tagja sem készíthette valamelyik ládikát, mert ekkor a felirat igaz lenne. így mindkét ládikát a Bellini család tagja készítette. A feliratok emiatt igazak, így vagy mindkét ládikát Bellini készítette, vagy legalább egyiket a Cellini család tagja készítette. A második lehetőséget kizártuk, így mindkét ládika Bellinié. 138. Egy lehetséges megoldás, ha mindkét ládikán ez olvasható: „Legalább az egyik ládikát Cellini fiú készítette." Ha a feliratok igazak lennének, akkor legalább az egyik ládikát Cellini fiú

készítette volna, de az lehetetlen, hogy egy Cellini fiú igaz feliratot készítsen. Emiatt a feliratok hamisak, ami azt jelenti, hogy egyik ládikát sem készítette Cellini fiú, ezért mindkettő Cellini műve. 139. Egy jó felirat: „Vagy mindkét ládikát Bellini készítette, vagy legalább az egyiket Cellini valamelyik fia készítette". Be fogjuk bizonyítani, hogy ha a feliratok igazak, akkor mindkét ládikát Bellini készítette, és ha a feliratok hamisak, akkor mindkét ládikát Cellini készítette. Tegyük fel, hogy a feliratok igazak! Ekkor igaz az, hogy vagy mindkét ládikát Bellini készítette, vagy legalább az egyiket Cellini fiú készítette. A második lehetőség nem lehetséges (mivel Cellini fiú nem írhat igazat), tehát mindkét ládikát Bellini készítette. Tegyük fel, hogy a feliratok hamisak! Ekkor a diszjunkció mindkét tagja hamis - így a második tagja is hamis (miszerint legalább az egyik ládikát Cellini fiú készítette), ami azt jelenti, hogy egyik ládikát sem készítette Cellini fiú. De mindkét felirat hamis, tehát a ládikákat Cellini készítette. 140. Egy lehetséges megoldás a következő: Arany: „Ezeket a ládikákat akkor és csak akkor készítette Bellini és Cellini, ha az ezüstládikát a Cellini család tagja készítette." Ezüst: „Az aranyládikát a Cellini család tagja készítette." Legyen P az az állítás, hogy a ládikákat Bellini és Cellini készítette, és Q lehet az az állítás, hogy az ezüstládikát a Cellini család tagja készítette. Az aranyládika felirata azt mondja, hogy P ekvivalens Q-val, az ezüstládika felirata pedig azt mondja, hogy az aranyládikát hazudós ember készítette, ami ugyanaz, mintha azt mondaná, hogy az aranyládika felirata hamis. Ez azt jelenti, hogy a két felirat közül az egyik igaz, a másik hamis. Tegyük fel, hogy az aranyládika felirata igaz! Ekkor (mivel megmutattuk, hogy az egyik felirat igaz, a másik hamis) az ezüstládika felirata hamis, ezért a Cellini család tagja készítette, vagyis Q igaz. És mivel az aranyládikán levő felirat is igaz, P tényleg ekvivalens Q-\a\. Ezért (mivel Q igaz) P is igaz. Tegyük fel, hogy az aranyládikán levő felirat hamis! Ekkor az ezüstládikán levő felirat igaz, így nem valamelyik Cellini készítette, ezért Q hamis, és P nem ekvivalens Q-val. Ezért P megint csak igaz. Láthatjuk, hogy P mindkét esetben igaz, vagyis az egyik ládát Bellini, a másikat Cellini készítette. 141. Az A ládikát a D ládikával kell párosítani, mert ha a C-vel párosítanánk, a következő ellentmondásra jutnánk. Tegyük fel, hogy az A párja C, és A felirata igaz! Ekkor C felirata hamis. Ez azt jelenti, hogy A felirata hamis, ami ellentmondás. Másrészt tegyük fel, hogy A felirata hamis! Ekkor C felirata igaz. Ez azt jelenti, hogy A felirata igaz - megint ellentmondás. Tehát A párja nem C. Ezzel a feladat első felét megoldottuk. Most tekintsük a B-C párt. Tegyük fel, hogy C felirata hamis! Ekkor B-t a Cellini család tagja készítette, ezért a rajta levő állítás hamis. Ez azt jelenti, hogy az állítás egyik fele sem igaz, így az első fele sem igaz, ami azt jelenti, hogy a C-t a Bellini család tagja készítette. Vagyis ha a C-n levő állítás hamis, akkor C-t a Bellini család tagja készítette, ami lehetetlen. Ezért a C-n levő állítás igaz. Emiatt a B-n levő állítás is igaz (mivel C felirata azt mondja, hogy B-t a Bellini család tagja készítette). De a B-n levő állítás első fele nem lehet igaz, emiatt a második fele igaz. Tehát a B és C ládikát, mindkettőt Bellini készítette. Vizsgáljuk meg az A-D párt. Tegyük fel, hogy A felirata hamis! Ekkor D-t a Bellini család tagja készítette, ezért a rajta levő felirat igaz. Ez azt jelentené, hogy A-t a Bellini család tagja készítette, így ellentmondásra jutnánk. Emiatt A felirata igaz. Ez maga után vonja, hogy D felirata hamis. Ezért az állításnak legalább az egyik fele hamis. Az első fele igaz (mivel az A-n levő. állítás igaz), így a második fele hamis. Ez azt jelenti, hogy egyik ládikát sem készítette Bellini fiú vagy Cellini fiú. Tehát A-t Bellini, D-t Cellini készítette.

Harmadik rész

Hátborzongató mesék 10. Baal szigete A. A T ELJESSÉGET KUT AT VA I így filozófiai szöveggyűjteményben vagy valami hasonlóban olvastam: ,,Az igazi filozófus az a kilencéves kislány, aki miután kinézett az ablakon, hirtelen anyjához fordult, és így szólt: Anyu, én csak azt szeretném tudni, hogyan lett egyáltalán bármi is?" Ez a kérdés sok filozófusnak okoz gondot, többen ezt tekintik a filozófia alapkérdésének. Ők így fogalmazzák meg: „Miért van valami a semmi helyett?" Ha jobban belegondolunk, valóban jó kérdés, nem? Tényleg, miért van valami a semmi helyett? Nos, egyszer volt, hol nem volt, volt egy egyszeri filozófus, aki elhatározta, hogy életét a „Miért van valami a semmi helyett?" kérdés kiderítésének szenteli. Először is elolvasott minden filozófiai könyvet, de a valódi okot egyik sem mondta meg neki. Ezután a teológiához fordult. Megkérdezett minden tudós rabbit, papot, püspököt, lelkészt és vallási vezetőt, de egyik sem tudott kielégítő magyarázatot adni. Ekkor a keleti filozófiához fordult, tizenkét évig vándorolt Indiában és Tibetben, kikérdezte a gurukat, de választ itt sem kapott. Ezután másik tizenkét évet töltött Kínában és Japánban, taoista remetéket és Zen-mestereket kérdezett meg, végül találkozott egy halálos ágyán fekvő bölccsel, aki ezt mondta: „Nem, fiam, én magam sem tudom, hogy miért van valami a semmi helyett. Az egyetlen hely ezen a bolygón, ahol tudják a választ, Baal szigete. Baal templomának egyik főpapja ismeri az igaz választ." „És hol van Baal szigete?" - kérdezte mohón a filozófus. „Ó" - szólt a válasz -, „ezt sem tudom. Igazság szerint soha nem ismertem senkit, aki megtalálta volna az oda vezető utat. Mindössze annyit tudok, hogy hol van az a feltérképezetlen szigetcsoport, amelynek egyik szigetén található egy térkép, a Baal szigetére vezető útvonal teljes leírásával. Nem tudom, hogy a szigetcsoport melyik szigetén van a térkép, csak azt, hogy az egyiken ott van, és ennek a szigetnek a neve Maya. A szigeteket kizárólag lovagok (akik mindig 10. Ba a l sz i g et e*

111

igazat mondanak) és lókötők (akik mindig hazudnak) lakják. Légy tehát nagyon óvatos!" Ez volt a legígéretesebb hír, amit a filozófus valaha is hallott! Minden nehézség nélkül megtalálta az utat a szigetcsoporthoz, és módszeresen kipróbálta egyik szigetet a másik után, remélve, hogy kitalálja, melyik lehet Maya szigete. 142. Az első sziget . Az elsőnek kipróbált szigeten két bennszülöttel találkozott, A-val és Bvel, akik a következőket állították: A: B lovag, és ez Maya szigete. B: A lókötő, és ez Maya szigete. Ez Maya szigete? 143. A második sziget . Ezen a szigeten két bennszülött, A és B, a következőket állította: A: Mindketten lókötők vagyunk, és ez Maya szigete. B: Ez igaz. Ez Maya szigete? 144. A harmadik sziget . Ezen a szigeten A és B ezt mondta: A: Legalább egyikünk lókötő, és ez Maya szigete. B: Ez igaz. Ez Maya szigete? 145. A negyedik sziget . Ezen a szigeten két bennszülött, A és B, ezt mondta: A: Mindketten lókötők vagyunk, és ez Maya szigete. B: Legalább egyikünk lókötő, és ez nem Maya szigete. Ez Maya szigete? 146. Az öt ödik sziget . Itt két bennszülött, A és B, ezt mondta: A: Mindketten lókötők

vagyunk, és ez Maya szigete. B: Legalább egyikünk lovag, és ez nem Maya szigete. Ez Maya szigete? 147. A hat odik sziget . Ezen a szigeten két bennszülött, A és B, a következőket állította: A: B lovag, vagy ez Maya szigete. B: A lókötő, vagy ez Maya szigete. Ez Maya szigete? 148. A Baal sziget ére vezet ő t érkép. Filozófusunk megtalálta Mai szigetét, azonban a térkép és az útbaigazítás megtalálása nem volt o l ya n könnyű feladat, mint remélte. Meg kellett látogatnia Maya fő- I t ápját , aki bevezette őt egy terembe, ahol három térkép, X, Y és Z feküdt egy asztalon. A pap elmondta, hogy a három térkép közül csak az egyik ábrázolja a Baalhoz vezető igazi utat, a másik kettő a démonok szigetére vezet, és ha valaki a démonok szigetén ér partot, azt a azonnal elpusztítják. A filozófusnak ki kellett választania a három térkép egyikét. A teremben öt boszorkánymester is volt, A, B, C, D és E, mindegyikük - egymástól függetlenül lovag vagy lókötő. A következő tanácsokat adták: A: X a jó térkép. B: Y a jó térkép. C: A és B nem mindketten lókötők. D: A lókötő, vagy B lovag. E: Lókötő vagyok, vagy C és D azonos típusúak (mindketten lovagok, vagy mindketten lókötők). X, Y és Z közül melyik a jó térkép?

B. BAAL SZIGET E A lovagok, és lókötők szigetei közül Baal szigete a leghátborzongatóbb és legfigyelemreméltóbb. A szigetet kizárólag emberek és majmok lakják. A majmok termetre épp akkorák, mint az emberek, és épp olyan folyékonyan beszélnek. Ugyanúgy, mint az emberek, minden majom lovag vagy lókötő. Pontosan a sziget közepén áll Baal temploma, a legérdekesebb templom széles e világon. Minden főpapja metafizikus, és a templom Belső Szentélyében található az a pap, aki a hírek szerint tudja a választ a Nagy Kérdésre: miért van valami a semmi helyett. Azoknak, akik a Szent Tudásra pályáznak, megengedik, hogy belépjenek a Belső Szentélybe, de előbb három feladatsorozat megoldásával kell bizonyítaniuk rátermettségüket. Mindezeket a titkokat lopva sikerült megtudnom; majomnak álcázva kellett belépnem a templomba. Ezzel nagy kockázatot vállaltam, ha elfogtak volna, szörnyű büntetés várt volna rám; ahelyett, hogy egyszerűen megsemmisítettek volna, a papok úgy változtatták volna meg a világegyetem valóságos törvényeit, hogy soha meg se szülessek! Filozófusunk a jó térképet választotta, biztonságban megérkezett Baal szigetére, és készen állt a próbatételre. Az első feladatsorozatra három egymást követő napon került sor, egy óriási teremben, amit Külső Szentélynek neveztek. A terem közepén minden nap egy csuklyás alak ült aranytrónon. Lehetett ember is, majom is, lovag is, lókötő is. Elmormolt egy szent mondatot, és ebből a filozófusnak pontosan meg kellett állapítania, hogy miféle az illető, lovag vagy lókötő, ember vagy majom. 149. Az első feladat . Az illető így szólt: „Lókötő vagyok vagy majom". Pontosan miféle? 150. A második feladat . Az illető így szólt: „Lókötő vagyok és majom" Pontosan miféle? 151. A harmadik feladat . Az illető így szólt: „Nem vagyok egyszerre majom és lovag" Miféle? A filozófus túljutott ezen a három feladaton, így megengedték, hogy próbát tegyen a második sorozattal, amire szintén három egymást követő napon került sor, egy másik teremben, amit Közbülső Szentélynek neveztek. Ebben a teremben két csuklyás alak ült platina-trónuson. Szent mondatokat mormoltak, amiknek alapján a filozófusnak teljes leírást kellett adnia mindkettőjükről. A két csuklyást A-nak és B-nek nevezzük. 152. A negyedik feladat . A: Legalább az egyikünk majom. B: Legalább az egyikünk lókötő. Miféle A és B? 153. Az öt ödik feladat . A: Mindketten majmok vagyunk. B: Mindketten lókötők vagyunk. Miféle A és B? 154. A hat odik feladat . A: B lókötő és majom. Én ember vagyok. B: A lovag. Miféle A és B? Afilozófus túljutott a második fel adatsorozaton, így megpróbálkozhatott a harmadikkal, ami mindössze egyetlen, de annál nehezebb feladatból állt. 155. A Közbülső Szentélyből négy ajtó vezet ki, X, Y, Z és W. Legalább egy a Belső Szentélybe nyílik. Ha valaki nem ezen az ajtón lép ki, akkor felfalja őt egy tűzokádó sárkány. Ott volt nyolc pap, A, B, C, D, E, F, G és H, mindegyikük -egymástól függetlenül - lovag vagy lókötő. A következőket mondták a filozófusnak: A: X jó ajtó. B: Y és Z közül legalább az egyik ajtó jó. C: A és B mindketten lovagok. D: XésY két jó ajtó. E: X és Z két jó ajtó. F: D vagy E lovag.

G: Ha C lovag, akkor F is az. H: Ha G és én mindketten lovagok vagyunk, akkor A is az. Melyik ajtót válassza a filozófus? 156. A Belső Szent élyben! Filozófusunk a jó ajtót választotta, és biztonságban belépett a Belső Szentélybe. Két gyémánttrónon a világegyetem két legnagyobb papja ült! Lehetséges, hogy legalább egyikük tudja a választ a Nagy Kérdésre: „Miért van valami a semmi helyett?" Természetesen mindkét főpap vagy lovag, vagy lókötő. (Az, hogy emberek vagy majmok, nem számít.) Egyikükről sem tudjuk, hogy lovag vagy lókötő, és azt sem, hogy vajon tudja-e a választ a Nagy Kérdésre. A következőket mondták: Első pap: Lókötő vagyok, és nem tudom, hogy miért van valami a semmi helyett. Második pap: Lovag vagyok, és nem tudom, hogy miért van valami a semmi helyett. Tudja valamelyik pap, hogy miért van valami a semmi helyett? 157. A válasz! És most megtudhatjuk az igaz választ a Nagy Kérdésre, hogy miért van valami a semmi helyett! A két pap egyike - aki tényleg tudta a választ a Nagy Kérdésre - a következő választ adta, amikor a filozófus megkérdezte tőle, hogy „Miért van valami a semmi helyett?": „Van valami a semmi helyett." Milyen megalapozott következtetés vonható le ebből

MEGOLDÁSOK 142. Tegyük fel, hogy B lovag! Ekkor ez Maya szigete, és A lókötő! Ezért A állítása hamis, így nem igaz, hogy B lovag és ez Maya szigete. De feltevésünk szerint B lovag. Ezért a mondat első fele igaz, így a mondat második fele hamis, tehát ez nem Maya szigete. Vagyis ha B lovag, akkor ebből következik, hogy a sziget egyrészt Maya szigete, másrészt nem az. Emiatt B csak lókötő lehet. Mivel B lókötő, ebből következik, hogy A is lókötő (mert A azt állítja, hogy B lovag). Ha viszont B lókötő, akkor állítása hamis, ezért nem igaz, hogy A lókötő, és ez Maya szigete. De a mondat első fele igaz (mivel A lókötő), emiatt a második fele hamis, tehát ez nem Maya szigete. 143. A nyilvánvalóan lókötő (lovag sosem mondhatná, amit A). Mivel B egyetért A-val, B is lókötő. A állítása hamis, így nem igaz, hogy: 1. mindketten lókötők, és 2. ez Maya szigete. De az 1. igaz, így a 2. hamis. Tehát ez a sziget nem Maya szigete. 144. Mivel B egyetért A-val, vagy mindketten lovagok, vagy mindketten lókötők. Ha mindketten lovagok lennének, akkor nem lenne legalább egyikük lókötő, így A állítása hamis lenne, ami lehetetlen, mivel A lovag. Ezért mindketten lókötők. Ez azt jelenti, hogy A állítása hamis. De A állításának első része igaz (ha mindketten lókötők, akkor legalább egyikük lókötő), ezért a második része hamis. Tehát ez nem Maya szigete. 145. A biztos, hogy lókötő, mivel lovag nem mondhat ilyet. Ha B lovag, akkor állítása szerint ez nem Maya szigete. Ha B lókötő, akkor A állításának első része igaz, de A állítása hamis, mivel A lókötő, ezért a m á so d i k részének hamisnak kell lennie. így ez megint nem Maya s /igete. 146. A megint lókötő, B lehet lovag vagy lókötő, de egyik esetben sem ez Maya szigete. 147. Ha A lókötő volna, akkor diszjunktív állításának mindkét fele hamis lenne, ami azt jelentené, hogy B lókötő. Ez viszont azt jelentené, hogy B diszjunktív állításának mindkét fele hamis, így A lovag lenne. Ez ellentmondás, tehát A lovag. Emiatt állítása igaz, ezért B lovag vagy ez Maya szigete. Ha a második igaz, akkor természetesen ez Maya szigete. Tegyük fel, hogy az első rész igaz, vagyis hogy B lovag! Ekkor B állítása, hogy „Vagy A lókötő, vagy ez Maya szigete" igaz. De A nem lókötő, így a mondat első fele hamis. Emiatt a második fele igaz, tehát ez Maya szigete. Gondolatmenetünkből következik, hogy B lovag, vagy ez Maya szigete. De az is, hogy ha B lovag, akkor ez megint csak Maya szigete. Tehát ez Maya szigete. így hát végül megtaláltuk Maya szigetét! 148. Ha E lókötő volna, akkor igaz lenne, hogy E lókötő vagy C és D azonos típusúak. Ez azt jelentené, hogy egy lókötő igazat mondott, ami lehetetlen. Ezért E lovag. Ekkor állítása igaz, vagyis ő lókötő vagy C és D azonos típusúak. De ő nem lókötő, emiatt C és D egyforma típusúak. Tegyük fel, hogy C lókötő! Ekkor A és B mindketten lókötők. likkor D állítása igaz, így D lovag. Vagyis C lókötő és D lovag, ami ellentmond annak, hogy C és D azonos típusúak. Emiatt C

lovag, és így D is lovag. Mivel C lovag, A és B nem mindketten lókötők, így vagy X, vagy Y a jó térkép. Tegyük fel, hogy X a jó térkép. Ekkor A lovag és B lókötő, ami ellentmond D igaz állításának, miszerint vagy A lókötő, vagy B lovag. Vagyis X nem lehet a jó térkép, tehát Y a jó t érkép .

149. Ha az illető lókötő lenne, akkor tényleg lókötő vagy majom, így á 1 lítása igaz lenne, ami ellentmond annak, hogy ő lókötő. Emiatt az illető lovag. Ez azt jelenti, hogy állítása igaz, vagyis ő lókötő vagy majom. De nem lókötő, emiatt majom. Tehát az illető majom és lovag. 150. Világos, hogy az illető nem lovag, ezért lókötő, és állítása hamis. Emiatt lovag vagy ember. De nem lovag, ezért ember. Tehát az illető ember és lókötő. 151* Tegyük fel, hogy az illető lókötő! Ekkor igaz, hogy ő nem egyszerre majom és lovag, vagyis állítása igaz lenne, így egy olyan lókötővel volna dolgunk, aki igazat mond. Emiatt az illető lovag. Ekkor állítása, miszerint ő nem egyszerre majom és lovag, igaz. Ha majom volna, akkor egyszerre lenne majom és lovag. Ezért ember. Tehát az illető ember és lovag. 152. B nem lehet lókötő, mert akkor állítása igaz lenne. Emiatt B lovag. Ekkor állítása igaz, így A lókötő. Ekkor A állítása hamis, ezért mindketten emberek. Tehát A ember és lókötő, B ember és lovag. 153. B lókötő, mert lovag nem mondhat ilyet. Emiatt A és B nem mindketten lókötők, így A lovag. Ezért állítása igaz, vagyis mindketten majmok. Tehát A majom és lovag, B majom és lókötő. 154. Tegyük fel, hogy B lovag! Ekkor A is lovag lenne (mivel B ezt mondja), emiatt B lókötő és majom, ami ellentmondás. Tehát B lókötő. Ekkor B állítása miatt A is lókötő. Ezért A első állítása hamis, B nem majom és lókötő. De B lókötő, így az a hamis, bogy B majom. Vagyis B ember és lókötő. A második állításából következik, hogy A majom. Ezért A majom és lókötő. 155. Először megmutatjuk, hogy G lovag. Ehhez elég megmutatnunk, hogy állítása igaz. Vagyis azt kell belátnunk, hogy ha C lovag, akkor F is az. Ehhez feltesszük, hogy C lovag, és megmutatjuk, hogy ekkor F is lovag. Tegyük fel, hogy C lovag! Ekkor A és B mindketten lovagok. Ekkor X jó ajtó, és Y vagy Z szintén jó. Első eset: Y jó. Ekkor X és Y mindkettő jó. Ebben az esetben D lovag. Második eset: Z jó. Ekkor X és Z mindkettő jó. Ebben az esetben E lovag. Tehát D-nek vagy E-nek lovagnak kell lennie. Emiatt F állítása igaz, így F lovag. Abból a feltevésből, hogy C lovag, arra a következtetésre jutottunk, hogy F lovag. Emiatt igaz, hogy ha C lovag, akkor F is az. De G éppen ezt mondta, tehát G lovag. Most bebizonyítjuk, hogy H állítása igaz. H azt mondta, hogy ha G II mindketten lovagok, akkor A is az. Tegyük fel, hogy H lovag! Ekkor G és H mindketten lovagok, és igaz az, hogy ha G és H mindketten lovagok, akkor A is az (hiszen H ezt mondta, és feltettük, hogy 11 lovag). Ezért ha H lovag, akkor: 1. G és H mindketten lovagok; 2. ha G és H mindketten lovagok, akkor A is az. Az 1. és a 2. állításból következik, hogy A lovag. Vagyis ha H lovag, akkor A is az. H éppen ezt mondta, ezért H lovag. Emiatt állítása igaz, és mivel G és H mindketten lovagok, A lovag. Most már tudjuk, hogy A lovag. Emiatt X tényleg jó ajtó. Tehát a filozófusnak az X ajtót kell választania. 156. Az első pap nem lehet lovag, tehát lókötő. Emiatt állítása hamis, ami azt jelenti, hogy nem igaz az, hogy ő lókötő és nem tudja a választ a Nagy Kérdésre. De ő lókötő, így állításának első része igaz. Emiatt az állítás második fele hamis, vagyis tudja a választ. Tehát az első pap lókötő és tudja a választ. Ami a második papot illeti, róla nem tudjuk, hogy miféle. Vagy lovag, aki nem tudja a választ, vagy lókötő. Mindenesetre (és ez döntő fontosságú a következő feladathoz!) ha tudja a választ, akkor lókötő. 157. Láttuk, hogy az első pap tudja a választ a kérdésre és lókötő, és hogy ha a második pap tudja a választ, akkor ő is lókötő. Tudjuk, hogy aki ezt mondta: „Van valami a semmi helyett", tudta a választ. Emiatt aki ezt mondta, lókötő, így az az állítás, hogy „Van valami a semmi helyett" hamis! Ezek szerint semmi sem létezik! Úgy tűnik tehát, hogy a filozófus egész életét betöltő kutatás eredménye az, hogy egyáltalán semmi sem létezik. Viszont valami itt nem stimmel. Ha semmi sem létezik, akkor honnan a pap,

aki ezt állítja? Ami mindezek után tényleg következik, az az, hogy Baal sziget úgy, ahogy leírtam, nem létezhet. Nem pusztán arról van szó, hogy nem létezik (ami már a történet kezdetétől nagyon valószínű volt), hanem arról, hogy logikailag bizonyos, hogy nem létezhet. Mivel ha létezne, és a történetem igaz lenne, akkor ebből (mint láttuk) logikailag következne, hogy semmi sem létezik, így Baal szigete sern létezne. Ez ellentmondás, tehát Baal szigete nem létezhet. A különös az, hogy egészen az utolsó történetig (157. feladat) minden, amit elmondtam, bármilyen valószínűtlennek látszott, logikailag lehetséges volt. Az utolsó történet volt az utolsó csepp a pohárban!

11. A zombile szigete A. „BŰ" ÉS „BÁ" Haiti közelében, egy szigeten a lakosok fele vudu varázslat áldozata lett, és zombivá* változott. Ezek a zombik azonban nem a szokásos módon viselkednek, nem csendes élőhalottak, épp olyan elevenen mozognak és beszélnek, mint az emberek, csak éppen a zombik mindig hazudnak, az emberek pedig mindig igazat mondanak. Ez eddig úgy hangzik, mint egy más körítéssel feltálalt lovag-lókö-tő történet, de nem erről van szó! A helyzet sokkal bonyolultabb, mert bár az összes bennszülött tökéletesen érti az angolt,** egy régi tabu megtiltja nekik a külföldi szavak használatát. Ezért valahányszor felteszünk egy igen-nem kérdést, ők „Bű"-t vagy „Bá"-t válaszolnak -amiből az egyik igent, a másik nemet jelent. A baj az, hogy azt nem tudjuk, hogy a „Bű" és a „Bá" közül melyik jelenti az igent és melyik a nemet. 158. Találkoztam egyszer a sziget egyik bennszülöttjével, és megkérdeztem: „Azt jelenti a „Bű", hogy igen?9Ezt válaszolta: „Bű". a) Meg lehet tudni ebből, hogy mit jelent a „Bű"? b) Meg lehet-e tudni ebből, hogy a válaszoló ember volt vagy zombi? 159. Ha találkozunk egy bennszülöttel ezen a szigeten, ki lehet egyetlen kérdéssel találni, hogy mit jelent a „Bű"? (Ne felejtsük el, hogy a válasz „Bű" vagy „Bá" lesz.) 160. Tegyük fel, hogy nem az érdekel minket, hogy mit jelent a „Bű", hanem csak az, hogy akivel beszélünk, zombi-e! Hogyan tudná ezt egyetlen kérdéssel kideríteni? (Megint „Bű"-t vagy „Bá"-t fog válaszolni.) 161. Hogyan lehet elérni, hogy az orvosságos ember „Bu"-t mondjon? Ön szeretné feleségül venni a sziget királyának lányát. A i Irály csak olyasvalakihez hajlandó hozzáadni a lányát, aki elég okos, ezért önnek előbb meg kell oldania egy feladatot. A feladat a következő: Ön feltehet az orvosságos embernek egy tetszőleges kérdést. Ha az „Bű"-t válaszol, akkor Ön feleségül veheti a király lányt, ha „Bá"-t, akkor nem. Olyan kérdést kell kitalálnia, hogy az orvosságos ember „Bű"-t válaszoljon rá, függetlenül attól, hogy ember vagy zombi, és hogy a JUT" igent vagy nemet jelent. 162. Egy nehezebb feladat következik. Azt beszélik, hogy arany van a szigeten. Ön odaérkezik, de mielőtt nekilátna az ásásnak, szeretné tudni, hogy tényleg van-e arany a szigeten. A bennszülöttek mindnyájan tudják, hogy van-e, vagy nincs. Hogyan lehetne ezt egyetlen kérdéssel megtudni valamelyik bennszülöttől? Ne felelejtse el, hogy „Bű"-t vagy „Bá"t fog válaszolni, és Önnek ebből tudnia kell, hogy van-e arany a szigeten, függetlenül attól, hogy a „Bű" és a „Bá" valójában mit jelent.

B. CRAIG FELÜGYELŐ KÖZBELÉP 163. A t árgyalás. Emberek és zombik egy szomszédos szigetén szintén a „Bű" és a „Bá" az igen és a nem bennszülött megfelelői (nem szükségképpen ugyanebben a sorrendben). A bennszülöttek egy része B ű "-vel és „Bá"-val válaszol a kérdésekre, de mások, megtörve a tabut, használják az „Igen" és „Nem" szavakat. Valamilyen furcsa okból, a sziget bármelyik családjának a tagjai egyforma típusúak. Ha pl. kiválasztunk egy testvérpárt, akkor vagy mindketten emberek, vagy mindketten zombik. Egy bennszülöttet felségsértéssel vádoltak. Az eset olyan jelentős volt, hogy oda kellett hívni Craig felügyelőt Londonból. A három koronatanú, A, B és C, a sziget három lakója volt. Craig

felügyelő vezette a kihallgatást, a következő feljegyzés a bírósági jegyzőkönyvből való: Kérdés (A-hoz): Ártatlan a vádlott? Aválasza: Bű. Kérdés (B-hez): Mit jelent a „Bű B válasza: A „Bű" igent jelent. Kérdés (C-hez): A és B testvérek? C válasza: Nem. Második kérdés C-hez: Ártatlan a vádlott? C válasza: Igen. Ártatlan a vádlott vagy bűnös? 164. Meghatározható-e a fenti feladatban, hogy A és B azonos típusúak-e? 165« Félzombik. A tárgyalás után Craig felügyelő ellátogatott egy különös szigetre a közelben: a bennszülöttek egy része ember, egy része zombi, a többieket pedig félzombiként tartották számon. A félzombikat is elérte a vudu varázslat, de a varázsigék csak részben voltak hatásosak. Ennek eredményeképp a félzombik néha hazudnak, néha igazat mondanak. Az igen és a nem szavak bennszülött megfelelői megint a „Bű" és a „Bá" (nem feltétlenül ebben a sorrendben). Az igen-nem kérdésekre néha angolul válaszolnak a bennszülöttek, néha „Bű"-vel és „Bá"-val. Craig felügyelő találkozott az egyik bennszülöttel, és a következő kérdést tette fel: „Ha valaki megkérdezi öntől, hogy a „Bű" igent jelent-e, és ön bennszülött nyelven válaszol, akkor „Bű"-t mond?" A bennszülött válaszolt, de Craig felügyelő nem jegyezte meg a választ, sőt még arra sem emlékszik, hogy az illető angolul válaszolt-e vagy bennszülöttek nyelvén. Csak azt tudja, hogy a válaszból meg tudta állapítani, hogy az illető ember, zombi vagy félzombi volt. Mit válaszolt az illető és milyen nyelven? 166. Melyik? Egy másik alkalommal ugyanezen a szigeten Craig felügyelő megkérdezett egy bennszülöttet: „Ha valaki megkérdezi öntől, hogy kettő meg kettő az négy-e, és ön bennszülöttek nyelvén válaszol, akkor, Bű"-t mond?" Craig felügyelő megint nem jegyezte meg, hogy a válasz „Bű", „Bá", „Igen" vagy „Nem" volt, de azt megint meg tudta állapítani, hogy az illető ember, zombi vagy félzombi volt. Milyen választ kapott?

MEGOLDÁSOK 158. Azt nem lehet megmondani, hogy a „Bű" mit jelent, de azt igen lOgy az illető ember. Tegyük fel, hogy a „Bű" igent jelent! Ekkor a „Bű igaz válasz arra a kérdésre, hogy a „Bű" igent jelent-e. Ezért ebben az esetben az illető ember. Tegyük fel, hogy a „Bű" nemet jelent! Ekkor a „Nem" igaz válasz angolul arra a kérdésre, hogy a „Bű" igent jelent-e, emiatt a „Bű" igaz válasz a bennszülöttek nyelvén ugyanerre a kérdésre. Ezért az illető most is ember. Vagyis függetlenül attől, hogy a „Bű" igent vagy nemei jelent, az illető ember. 159. Mindössze azt kell megkérdezni tőle, hogy ember-e. A sziget minden lakosa embernek vallja magát, így ember és zombi erre egyaránt igenlően fog válaszolni. Vagyis ha „Bű"-t válaszol akkor a „Bű" jelenti az igent, ha „Bá"-t válaszol, akkor a „Bá" jelenti az igent (és a „Bű" a nemet). 160. A 158. feladat kérdése jó lesz, kérdezzük meg, hogy a „Bű" igent jelent-e. Ha a „Bű" igent jelent, akkor a „Bű" az igaz válasz a kérdésre, ezért egy ember „Bű"-t, egy zombi „Bá"-t fog válaszolni. Ha a „Bű" nem jelent igent, akkor megint csak a „Bű" az igaz válasz a kérdésre, ezért egy ember most is „Bű"-t, egy zombi pedig „Bá"-t fog válaszolni. 161. Ezt többféleképpen is megtehetjük. Az egyik lehetőség, hogy megkérdezzük az orvosságos embertől, hogy „Bű"-e az igaz válasz arra a kérdésre, hogy ő ember-e. Be tudjuk bizonyítani, hogy erre „Bű"-t kell válaszolnia. Az egyszerűség kedvéért legyen H az a kérdés, hogy „Ön ember?" Ne felejtsük el, hogy nem azt akarjuk megkérdezni, hogy H igaz vagy hamis, hanem azt, hogy „Bű"-e az igaz válasz //-ra. Első eset: Az orvosságos ember ember. Ha a „Bű" igent jelent, akkor „Bű" az igaz válasz //-ra, és mivel ember, őszintén meg fogja mondani, hogy az, így „Bű"-t fog válaszolni. Ha a „Bű"

nemet jelent, akkor „Bű" nem az igaz válasz //-ra, ezért őszintén meg fogja mondani, hogy nem, így „Bű"-t fog válaszolni (ami nemet jelent). Vagyis ha ember, akkor „Bű"-t fog válaszolni, függetlenül attól, hogy a „Bű" igent vagy nemet jelent. Második eset: Az orvosságos ember zombi. Ha a „Bű" igent jelent, akkor „Bű" nem az igaz válasz //-ra, de mivel ő zombi, hazudni fog, és azt mondja, hogy igaz válasz, így „Bű"-t fog válaszolni (ami azt jelenti, hogy „Igen, ez igaz válasz", ami természetesen hazugság). Ha a „Bű" nemet jelent, akkor „Bű" az igaz válasz //-ra, ezért hazudni fog, és azt mondja, hogy nem ez az igaz válasz, így „Bű"-t fog válaszolni (ami nemet jelent). Vagyis ha zombi, akkor „Bű -t fog válaszolni, függetlenül attól, hogy a „Bű" igent vagy nemet jelent. Más kérdések is megfelelőek lehetnek, pl. 1. Igaz, hogy vagy ön ember és a „Bű" igent jelent, vagy zombi és a „Bű" nemet jelent? 2. Igaz hogy ön akkor és csak akkor ember, ha a „Bű" igent jelent? 162. Ezt is többféleképpen megtehetjük. Egyik lehetőség, hogy ezt kérdezzük: „Ha valaki megkérdezi öntől, hogy van-e arany a szigeten, akkor ön, Bű-t válaszol?" Megmutatjuk, hogy ha van arany a szigeten, akkor „Bű"-t fog válaszolni, ha pedig nincs, akkor „Bá"-t, függetlenül attól, hogy ember vagy zombi, és függetlenül attól, hogy a „Bű" és a „Bá" mit jelent. Legyen G a „Van-e arany a szigeten?" kérdés. Első eset: Az illető ember, és a „Bű" igent jelent. Tegyük fel hogy van arany a szigeten! Ekkor „Bif'-t fog válaszolni a G kérdésre. Mivel ember, őszintén megmondja, hogy „Bű"-t vá „laszolna G-re, ezért „Bű"-t válaszol az Ön kérdésére. Tegyük fel hogy nincs arany a szigeten! Ekkor nem válaszolna „Bű"-t G re, és mivel ember, megmondja, hogy nem, ezért „Bá"-t válaszol az Ön kérdésére. Második eset: Az illető zombi, és a „Bű" igent jelent. Tegyük fel, hogy van arany a szigeten! Ekkor a „Bű" megint igaz válasz G-re, ezért mivel zombi, nem válaszolna „Bű"-t G-re. De hazudik, és azt mondja, hogy „Bű"-t válaszolna G-re. Vagyis „Bű"-t fog Önnek válaszolni. Tegyük fel, hogy nincs arany a szigeten. Ekkor a „Bű" hamis válasz G-re, ezért ő G-re ezt válaszolná. De hazudik, és azt mondja, hogy nem „Bű"-t válaszolna, ezért az Ön kérdésére „Bá"-t fog válaszolni. Harmadik eset: Az illető ember, és a „Bű" nemet jelent. Tegyük fel, hogy van arany a szigeten! Ekkor „Bű" hamis válasz G-re, ezért egy ember nem válaszolná ezt. Az illető őszintén megmondaná, hogy nem tlaszolna „Bű -t, vagyis az Ön kérdésére „Bű"-t fog válaszolni. Ha nincs arany a szigeten, akkor „Bű" az igaz válasz G-re, ezért ez az a fáiasz, amit egy ember G-re adna. Vagyis az Ön kérdésére „Bá"-t álaszol (ami ezt jelenti: „Igen, Bű-t válaszolnék G-re"). Negyedik eset: Az illető zombi, és a „Bű" nemet jelent. Tegyük fel, hogy van arany a szigeten! Ekkor az illető „Bű"-t válaszolna G-re, de I )nnek azt mondaná, hogy nem, vagyis az Ön kérdésére „Bű"-t fog válaszolni. Tegyük fel, hogy nincs arany a szigeten! Ekkor az illető „Bá"-t válaszolna G-re, nem „Bű"-t. De Önnek azt mondaná, hogy Igen, ezért az Ön kérdésére „Bá"-t fog válaszolni. Összegezve: ha van arany a szigeten, akkor a négy eset mindegyiké-bcn „Bű"-t kapunk válaszul, ha nincs arany, akkor „Bá"-t. Egy másik megfelelő kérdés: „Igaz, hogy ön akkor és csak akkor i -inber, ha ,Bű' az igaz válasz arra a kérdésre, hogy van-e arany a szigeten?" 163. Először bebizonyítjuk, hogy C nem lehet zombi. Tegyük fel, hogy az! Ekkor A és B testvérek, ezért mindketten emberek vagy mindketten zombik. Tegyük fel, hogy mindketten emberek! Ekkor a „Bű" tényleg igent jelent, így A igent válaszolt arra, hogy a vádlott ártatlane, ezért a vádlott ártatlan. Tegyük fel, hogy A és B mindketten zombik! Ekkor a „Bű" valójában nemet jelent, és mivel A zombi, és nemet válaszolt arra, hogy a vádlott ártatlan-e, a vádlott ártatlan. Vagyis ha C zombi, akkor a vádlott ártatlan (függetlenül attól, hogy A és B emberek vagy zombik). Másrészt ha C zombi, akkor a vádlott bűnös, mivel C azt mondta, hogy ártatlan. Ez ellentmondás; tehát C nem lehet zombi, C ember. És mivel C azt mondja, hogy a vádlott ártatlan, a vádlott tényleg ártatlan. 164. Mivel C ember, A és B nem testvérek. Ez természetesen nem l el tétlenül jelenti azt, hogy

különböző típusúak, lehetnek egyforma típusúak akkor is, ha nem testvérek. Történetesen azonos típusúaknak kell lenniük, mert ha különböző típusúak lennének, akkor a vádlottnak I M i n ő sn ek kellene lennie. Ezt az Olvasó könnyen beláthatja maga is. 165. A négy lehetséges válasz - „Bű", „Bá", „Igen", „Nem" - közül az egyetlen, amit sem ember, sem zombi nem mondhat, a „Nem". Másképp fogalmazva: ha egy ember vagy egy zombi angolul válaszolt volna, akkor „Igen"-t kellett volna válaszolnia; ha a bennszülöttek nyelvén válaszolt volna, akkor ha a „Bű" igent jelent, akkor „Bű -t válaszolt (függetlenül attól, hogy ember vagy zombi), és ha a „Bű" nemei jelent, akkor „Bá"-t válaszolt. Emiatt ha Craig bármilyen más választ kapott volna a „Nem"-en kívül, akkor abból nem tudhatta volna, hogy az illető miféle. De tudta, tehát „Nem" választ kapott, és az illető félzombi volt. 166. Az illető megint félzombi, és ezt Craig csak abból tudhatta, hogy „Bá" választ kapott. Ha az illető angolul válaszolt volna, akkor Craig nem tuzdhatta volna, hogy miféle, hiszen ember is, zombi is „Igen"-t válaszolt volna, ha a „Bű" igent jelent, és „Nem"-et, ha a „Bű" nemet jelent. Ha az illető „Bű"-t válaszolt volna, akkor ember is, zombi is, félzombi is lehetett volna.

126

• H á tb o rz o n g a tó m es ék

12. Él-e még Drakula? A. ERDÉLYBEN Annak ellenére, amit Bram Stoker mond, alapos okom van, hogy kételkedjem abban, hogy Drakula gróf valaha is tényleg meghalt. Ezért elhatároztam, hogy Erdélybe utazom, hogy magam nyomozzam ki az igazságot. Az volt a célom, hogy: 1. megtudjam, hogy Drakula gróf éle még; 2. abban az esetben, ha meghalt, szerettem volna látni a maradványait; 3. abban az esetben, ha még él, szerettem volna találkozni vele. Az idő tájt, amikor Erdélyben jártam, a lakosoknak kb. a fele ember volt, a fele vámpír. Az emberek és a vámpírok külsejük alapján megkülönböztethetetlenek, de az emberek (legalábbis Erdélyben) mindig igazat mondanak, a vámpírok mindig hazudnak. Ami elképzelhetetlenül bonyolulttá teszi a helyzetet, az az, hogy Erdély lakosságának a fele tökéletesen őrült, kényszerképzeteik vannak: minden igaz állítást hamisnak hisznek, és minden hamis állítást igaznak hisznek. A lakosság másik fele teljesen egészséges, tudja, hogy melyik állítás igaz és melyik hamis. Erdély lakossága így négy típusba sorolható: 1. egészséges emberek; 2. őrült emberek; 3. egészséges vámpírok; 4. őrült vámpírok. Amit egy egészséges ember mond, az igaz, amit őrült ember, az hamis, amit egészséges vámpír, az hamis, amit őrült vámpír, az igaz. Pl. egy egészséges ember azt fogja mondani, hogy kettő meg keltő az négy; őrült ember pedig azt, hogy nem négy (mert ő azt hiszi, hogy nem annyi); egészséges vámpír szintén azt, hogy nem négy (mert tudja, hogy négy, de hazudik); őrült vámpír pedig azt, hogy négy (mivel azt hiszi, hogy nem négy, de hazudik arról, hogy mit hisz). 167. Találkoztam egyszer egy erdélyivel, aki ezt mondta: „Ember agyok, vagy egészséges vagyok". Pontosan miféle volt? 168. Egy másik lakos ezt mondta: „Nem vagyok egészséges ember". Miféle volt? 169. Egy másik lakos ezt mondta: „Őrült ember vagyok". Ugyanolyan volt, mint az előző lakos? 170. Találkoztam egyszer egy lakossal, akit megkérdeztem: „Ön őrült vámpír?" „Igen"-t vagy „Nem"-et válaszolt, és válaszából megtudtam, hogy miféle. Miféle volt? 171. Találkoztam egyszer egy erdélyivel, aki ezt mondta: „Vámpír vagyok". Megtudhatjuk ebből, hogy az illető ember vagy vámpír? És hogy egészséges-e? 172. Tegyük fel, hogy egy erdélyi ezt mondja: „Őrült vagyok". a) Megtudhatjuk ebből, hogy egészséges-e? b) Megtudhatjuk ebből, hogy ember vagy vámpír? I 73. Egy szellemi rejt vény. A „HaP, akkor Q" állítás megfordítása a „Ha Q, akkor P" állítás. Van két állításunk, X és Y, amik egymás megfordításai, és olyanok, hogy 1. Egyik sem következik a másikból. 2. Ha egy erdélyi állítja valamelyiket, akkor ebből következik, hogy a másik igaz. Tudna két ilyen állítást mondani?

Tudna két ilyen állítást mondani? 174. Adott egy tetszőleges X állítás. Tegyük fel, hogy egy erdélyi hisz abban, hogy elhiszi Xet! Következik-e ebből, hogy X igaz? Tegyük fel, hogy nem hisz abban, hogy elhiszi X-et! Következik-e ebből, hogy X hamis? 175. Tegyük fel, hogy egy erdélyi ezt mondja: „Elhiszem X-et"! Ha az illető ember, akkor következik-e ebből, hogy X igaz? Ha vámpír, akkor következik-e ebből, hogy X hamis? A feladat megoldása alapján egy fontos általános megállapítást tehetünk! 176. Találkoztam egyszer két erdélyivel, A-val és B-vel. Megkérdeztem A-t: „B ember?" A válasza: „Úgy hiszem." Ezután megkérdeztem B-t: „Ön hiszi, hogy A ember?" Mit válaszolt B (feltéve, hogy „Igen"-t vagy „Nem"-et válaszolt)? 177. Nevezzünk egy erdélyit megbízhatónak, ha az illető egészséges ni ki , vagy őrült vámpír, és megbízhatatlannak, ha őrült ember, vagy / séges vámpír. Megbízhatóak azok, akik igazat mondanak, megbíz- i illanok pedig, akik hazudnak (akár rosszakaratból, akár kényszerít /eteik miatt). Tegyük fel, hogy Ön megkérdezi egy erdélyitől: „Ön megbízható?", a/ illető „Igen"-t vagy „Nem"-et válaszol! Meg tudja-e ebből álla-pftani, hogy az illető vámpír vagy nem? Meg tudja-e ebből állapítani, h o g y az illető egészséges-e? 178. Tegyük fel, hogy a fentiek helyett Ön ezt kérdezi: „Hisz abban, hogy ön megbízható? Az illető „Igen"-t vagy „Nem"-et válaszol. Most m eg tudja-e állapítani ebből, hogy az illető vámpíre? Azt meg tudja-e állapítani ebből, hogy egészséges-e? B. ÉL-E MÉG DRAKULA GRÓF? 179. Ne felejtsük el, hogy az első fontos kérdés, amire választ szeret-tem volna kapni, az volt, hogy él-e még Drakula gróf. Nos, megkérdeztem erről egyszer egy erdélyit, aki ezt mondta: „Ha ember vagyok, akkor Drakula gróf még él". Meg lehet-e ebből tudni, hogy él-e még Drakula? 180. Egy másik erdélyi ezt mondta: „Ha egészséges vagyok, akkor 1 )rakula gróf még él". Meg lehet-e ebből tudni, hogy él-e még Drakula? 181. Egy másik ezt mondta: „Ha egészséges ember vagyok, akkor Drakula gróf még él". Meg lehet-e ebből tudni, hogy él-e még Drakula? 182. Tegyük fel, hogy egy erdélyi ezt mondja: „Ha egészséges ember vagy őrült vámpír vagyok, akkor Drakula gróf még él"! Meg lehetne-e ebből tudni, hogy él-e még Drakula? 183. Van-e olyan állítás, amivel egy erdélyi meggyőzhet minket arról, h o g y Drakula él, méghozzá úgy, hogy az is kiderül belőle, hogy az állítás ha mi s ?

184. Van-e olyan állítás, amivel egy erdélyi meggyőzhet minket arról, hogy Drakula még él, méghozzá úgy, hogy nem tudjuk eldönteni, hogy az állítás igaz vagy hamis? 185. Tegyük fel, hogy egy erdélyi a követ kezőket állít ja: 1. Egészséges vagyok. 2. Hiszek abban, hogy Drakula gróf halott. Megtudhatnánk-e ebből, hogy él-e Drakula? 186. Tegyük fel, hogy egy erdélyi a következőket állítja: 1. Ember vagyok. 2. Ha ember vagyok, akkor Drakula gróf még él. Megtudhatnánk-e ebből, hogy él-e Drakula?

C. MIT KELLENE KÉRDEZNI? 187. Ki tudná-e találni egyetlen kérdéssel egy erdélyiről, hogy vámpír vagy nem? 188. Ki tudná-e találni egyetlen kérdéssel egy erdélyiről, hogy egészséges vagy nem? 189. Tudna-e olyat kérdezni egy erdélyitől, amire az illető „Igen"-t válaszol, függetlenül attól, hogy a négy típus melyikébe tartozik? 190. Megtudhatja-e egyetlen kérdéssel egy erdélyitől, hogy él-e még Drakula gróf?

D. DRAKULA KAST ÉLYÁBAN Ha összeszedtem volna minden tudományomat és rájöttem volna az utolsó feladat megoldására, akkor tengernyi gondtól kímélhettem volna meg magamat. De annyira össze

voltam zavarodva, annyira megtévesztetlek az őrültek és egészségesek hazugokra és igazmondókra széttördelt kereszttípusai, hogy egyszerűen képtelen voltam világosan gondolkodni. Mindemellett egy kissé idegesített az erdélyiek társasága, akik között ugye vámpírok is voltak. És még sokkal nehezebb feladatok vártak rám! Még mindig nem tudtam, hogy él-e Drakula gróf. Úgy éreztem, hogy csak akkor tudom kitalálni a választ, ha bejutok Drakula kastéIba. Akkor még nem tudtam, hogy ez csak bonyolultabbá teszi a l' >lgot - amint azt hamarosan látni fogják. Pontosan tudtam, hogy hol van a kastély, és azt is, hogy ott nagy Ki 1 olyik. Azt is tudtam, hogy a kastélynak van ura, de azt nem, hogy I > i akula gróf-e ez az úr (és persze, hogy Drakula él-e egyáltalán). I hrakuia kastélyába kizárólag csak meghívással lehetett bejutni, és meghívást csak az erdélyi társadalom elitje kapott. Emiatt több hónapot kellett eltöltenem azzal, hogy feltornásszam magam a társadalmi ranglétrán, mire elég magasra kerültem ahhoz, hogy meghívjanak. Végül elérkezett a nap, és megkaptam a meghívást egy több napon és éjszakán át tartó mulatságra Drakula kastélyába. Nagy reményekkel indultam, de hamarosan elért az első megrázkódtatás. Röviddel azután, hogy megérkeztem a kastélyba, észrevettem, hogy a nagy kapkodásban elfelejtettem magamhoz venni a fogkefémet, a zsebsakk-készletemet és az olvasnivalómat, így hát elindultam, hogy visszamenjek értük a szállásomra, de a kapunál feltartóztat o t t egy tagbaszakadt, durva kinézetű erdélyi, aki udvariasan, de ellentmondást nem tűrően közölte velem, hogy aki egyszer belép Drakula kastélyába, az azt nem hagyhatja el a várúr engedélye nélkül. „Akkor" - mondtam „szeretnék találkozni a várúrral". „Ez pillanatnyilag teljesen lehetetlen - válaszolta -, „de egy üzenetet átadhatok neki, ha kívánja". Nos, küldtem egy levelet a várúrnak, amelyben megkértem, hogy hadd hagyjam el a kastélyt egy rövid időre. Hamarosan megjött a válasz, ami rövid volt, és nem túl biztató. így szólt: „Szó sem lehet róla!" így hát Drakula kastélyának foglya voltam! Mit tehettem volna? Pillanatnyilag nyilván semmit, ezért egy igazi Zen-mester módjára elhatároztam, hogy élvezni fogom az estélyt, amennyire csak lehet, és majd akkor lépek a tettek mezejére, ha erre lehetőség kínálkozik. Alegcsodálatosabb estély volt, amiről valaha is hallottam vagy olvastam. Éjjel kettő körül elhatároztam, hogy visszavonulok, ekkor megmutatták a szobámat. Érdekes módon a rám leselkedő óriási veszély ellenére nyugodtan aludtam. Másnap dél körül keltem fel, és a bőséges reggeli után elvegyültem a vendégek között, remélve, hogy többet is megtudhatok. Ekkor ért a második megrázkódtatás. A társaság minden tagja (rajtam kívül) az erdélyi előkelőségek egy olyan, kis létszámú csoportjához tartozott, akik az „Igen" és „Nem" szavak helyett a „Bű" és a „Bá" szavakat használták, épp úgy, mint a zombik szigetén! Vagyis az ún. „előkelő" erdélyiek olyan társaságába kerültem, ahol mindenki vagy vámpír, vagy ember, és vagy egészséges, vagy őrült, és ami mindennek a teteje, nem tudtam, hogy a „Bű" és a „Bá" mit jelent! így azoknak a közönséges „nem előkelő" erdélyieknek a bonyolult rétegződése, akikkel a kastélyon kívül beszéltem, tetéződött a zombik szigetének bonyolultságával. Úgy tűnt, hogy a kastélyba való jövetelemmel nem pusztán csöbörből vödörbe estem, hanem az előzőnél rosszabb helyzetbe kerültem. Felismerve ezt, attól tartok, teljesen elvesztettem a Zen-mesterekre jellemző nyugalmamat, és a nap hátralevő részében meglehetősen nyomott hangulatban voltam. Korán lefeküdtem, még azt sem bántam, hogy elmulasztom az ünnepség második estélyét. Fáradtan hevertem, képtelen voltam arra is, hogy aludjak, arra is, hogy gondolkozzak. Majd hirtelen felugrottam, megtaláltam az ötletet az elinduláshoz. Rájöttem, hogy az új Bű-Bá bonyodalmak valójában könnyen kezelhetők. Izgatottan papírt és ceruzát ragadtam, és a következőket gondoltam ki: 191. Egyetlen kérdéssel (amire „Bű" vagy „Bá" a válasz) ki tudom találni bárkiről a kastélyban, hogy vámpír-e. 192. Egyetlen kérdéssel ki tudom találni, hogy egészséges-e. 193. Egyetlen kérdéssel ki tudom találni, hogy a „Bű" mit jelent. 194. Ha szükséges, a kastélyban bárkinek fel tudok tenni olyan kérdést, amire biztos, hogy „Bű"-t fog válaszolni. 195. Egyetlen kérdéssel ki tudom találni, hogy él-e még Drakula! Ön is?

E. DRAKULA REJT ÉLYE

Közeledünk a csúcsponthoz! Másnap mindent megtudtam, amit akartam - Drakula tényleg élt még, tökéletes egészségben, és ő volt a házigazdám. Meglepetésemre még az is kiderült, hogy Drakula egy őrült vámpír, így minden állítása igaz. De mit ért számomra ez a tudás, amikor az a veszély fenyegetett, vámpírrá válok, és mindörökre elvesztem a lelkemet? Csak a l O rs kegyében bízhattam. Néh ány nappal később az ünnepségek vé-urtek, és rajtam kívül az ö ssz es vendég megkapta az engedélyt a távozásra. Ott maradtam hát lényegében egyedül a - most már hátborzongatóan sivár - kastélyban, egy olyan várúr foglyaként, akivel még nem is találkoztam. Nem kellett sokáig várnom. Nem sokkal éjfél előtt durván felráztak i l m o m b ó l , és udvariasan, de határozottan Drakula gróf magánlak- i es z éb e kísértek. Drakula nyilván fogadni kívánt. Kísérőm távozott, és én ott álltam szemtől szemben magával I )i akula gróffal. Végtelen hosszúnak tűnő hallgatás után Drakula megszólalt: „Tisztában van azzal, hogy áldozataimnak mindig hagyok valamennyi esélyt a megmenekülésre?" „Nem" - válaszoltam őszintén -, „ezt nem tudtam". „Pedig így van" - mondta Drakula -, „nem tagadhatom meg magamtól ezt az élvezetet". Valahogy nem egészen tetszett az a hangsúly, amivel ezt mondta, nil magabiztosan hangzott. „Nézze" - folytatta Drakula -, „mindig feladok egy rejtvényt az áldozataimnak. Aki egy negyedórán belül kitalálja a helyes választ, azt szabadon engedem. Aki nem tud válaszolni, vagy rosszul válaszol, azt megharapom, és ettől örökre vámpírrá változik". „Egészséges vagy őrült vámpírrá?" - érdeklődtem ártatlanul. Drakula rettentően dühbegurult. „A tréfája egyáltalán nem humoros!" - ordította. „Felmérte Ön egyáltalán a helyzet súlyát? Nem vagyok olyan hangulatban, hogy eltűrjek ilyen komolytalan megjegyzéseket. Még egy ilyen, és nem adom meg a szokásos esélyt". Bármilyen félelmetesen is hangzott mindez, az első reakcióm a kíváncsiság volt, vajon miért hajlandó Drakula önként kockáztatni, hogy elveszítsen egy áldozatot. „Mi készteti önt erre a nagylelkű gesztusra?" - érdeklődtem. „Nagylelkűség?" - mondta Drakula megvetően. „Hát az aztán egy porcikányi sincs bennem. Egyszerűen hatalmas élvezetet lelek abban, h o g y végignézhetem, ahogy áldozatom izeg mozog, fészkelődik, és ez .i lelki gyötrelem bőségesen ellensúlyozza azt a végtelenül kis \ alószínűséget, hogy elveszíthetem". Ez a „végtelenül kicsi" nem volt túl megnyugtató. „Ó, igen" folytatta Drakula -, „még sosem veszítettem el egyetlen áldozatomat sem, így hát láthatja, nem vállalok túl nagy kockázatot". „Rendben van" - mondtam, összeszedve magam, amennyire csak tudtam -, „mi a rejtvény?" 196. Drakula áthatóan nézett rám egy darabig. „A vendégeimhez intézett kérdései nagyon okosak voltak - ó, igen, tudok az összesről. Tényleg nagyon okos, de talán nem annyira, mint gondolja. Minden értesüléshez, amire vágyott, külön kérdést tervezett, nem találta meg azt az egyszerű egyesítéses módszert, ami megkímélte volna a sok fejtöréstől. Létezik ugyanis egy olyan S mondat, ami rendelkezik azzal a -szinte varázslatos tulajdonsággal, hogy ha meg szeretné tudni, hogy egy tetszőleges X állítás igaz-e, akkor csak azt kell megkérdemie valakitől a kastélyban, hogy „5 ekvivalens X-szel?" Ha „Bű"-t kap válaszul, akkor X igaz, ha „Bá"-t, akkor hamis. Ha pl. azt szeretné megtudni, hogy beszélgetőtársa vámpír-e, akkor ezt kell kérdeznie: „S akkor és csak akkor igaz, ha ön vámpír?" Ha azt szeretné megtudni, hogy az illető egészséges-e, akkor csak meg kell kérdeznie: „S akkor és csak akkor igaz, ha ön egészséges?" Ha azt szeretné megtudni, hogy a „Bű" mit jelent, csak annyit kell kérdeznie, hogy „S akkor és csak akkor igaz, ha a „Bű" igent jelent?" Ahhoz, hogy kitalálja, hogy élek-e még, csak ezt kellett volna kérdeznie: „5 akkor és csak akkor igaz, ha Drakula még él?" stb. „Mi ez az S mondat?" - kérdeztem meglehetősen kíváncsian. „Ah - válaszolta Drakula -, „Ez az, amit Önnek kell kitalálnia! Ez az Ön rejtvénye!" így szólván Drakula felkelt, hogy elhagyja a szobát. „Van tizenöt perce. Jól tenné, ha keményen gondolkodna, elég nagy a tét". Hát tényleg elég nagy volt. Életem legkínosabb tizenöt perce következett. A félelem annyira megbénított, hogy semmi nem jutott eszembe. Biztos voltam benne, hogy Drakula titokban

figyel valamilyen rejtekhelyről. Amikor letelt a tizenöt perc, Drakula győzelemittasan tért vissza, és már csorgott a nyála, ahogy egyre közelebb és közelebb jött, végül szinte már rajtam volt. Ekkor hirtelen felemeltem a kezem, és felsikoltottam: „Hát persze! Az S mondat az, hogy..." Mi az az S mondat, ami megmentett engem? Epilógus. Szegény Drakulának akkora megrázkódtatást jelentett, hogy megoldot t am a rejtvényt, hogy rögtön szörnyethalt, és néhány percen l leiül porrá oszlott szét. így hát, ha most valaki megkérdezi tőlem, hogy I le még Drakula gróf?", akkor őszintén és pontosan válaszolhatom, hogy „Bű". 197. Drakula kastélyában történt kalandjaim leírása négy kisebb következetlenséget tartalmaz. Megtalálja őket?

MEGOLDÁSOK 167. Állítása vagy igaz, vagy hamis. Tegyük fel, hogy hamis! Ekkor az illető nem is ember, és nem is egészséges, tehát őrült vámpír. De az őrült vámpírok mindig igazat mondanak, ezzel ellentmondásra jutottunk. Tehát állítása igaz. Igazat viszont csak az egészséges emberek és az őrült vámpírok mondanak. Ha őrült vámpír lenne, akkor nem lehetne ember vagy egészséges, ezért állítása hamis lenne. De tudjuk, hogy állítása igaz. Tehát egészséges ember. 168. Őrült vámpír 169. Nem, ezúttal egészséges vámpír. 170. Egészséges ember „Nem"-et válaszolna erre a kérdésre, a másik három típus mindegyike „Igen"-t. Ha „Igen" választ kaptam volna, akkor nem tudhattam volna, hogy az illető milyen típusú. „De mint mondtam, tudtam, tehát nem „Igen"-t válaszolt. Vagyis „Nem"-et válaszolt, amiből következik, hogy egészséges ember. 171. Azt nem tudhatjuk, hogy ember vagy vámpír, de azt igen, hogy őrült. Egészséges ember nem mondja, hogy ő vámpír, egészséges vámpír pedig tudná, hogy ő vámpír, és hazudna, azt állítva, hogy ember. Másrészt, őrült ember azt hinné, és ezért azt is mondaná, hogy ő vámpír, örült vámpír pedig azt hinné, hogy ember, és azt mondaná, hogy vámpír. 172. Ezúttal azt tudhatjuk, hogy az illető vámpír. Egészséges ember nem mondhatta volna, hogy ő őrült, őrült ember pedig azt hitte volna, hogy egészséges, és mivel ember, nem mondhatta volna, hogy őrült. 173. Biztos vagyok benne, hogy sok ilyen mondatpár van, nekem ez jutott az eszembe: X: Ha egészséges vagyok, akkor ember vagyok. Y: Ha ember vagyok, akkor egészséges vagyok.* Tegyük fel, hogy az illető erdélyi X-et állítja! Be fogjuk bizonyítani, hogy K-nak igaznak kell lennie, vagyis ha az illető ember, akkor egészséges. Tegyük fel, hogy ember! Ekkor igaz, hogy ha egészséges, akkor ember (mivel ember). Ezek szerint X igaz. Ekkor az illető egészséges, mivel az őrült emberek nem mondanak igazat. Tehát ha az illető ember, akkor egészséges, vagyis / igaz. Másfelől tegyük fel, hogy az illető Y-t állítja! Meg kell mutatnunk, hogy X igaz. Tegyük fel, hogy az illető egészséges! Ekkor Y igaz. Emiatt az illető ember (mivel az egészséges vámpírok nem mondanak igazat). így ember (ha feltesszük, hogy egészséges). Tehát ha egészséges, akkor ember, vagyis X igaz. 174. Mindkét kérdésre „Igen" a válasz. Tegyük fel, hogy egy erdélyi hisz egy bizonyos X állításban! Ebből természetesen nem következik, hogy X igaz, hiszen lehet, hogy az illető őrült. De ha azt hiszi, hogy hisz X-ben, akkor már X igaz! Ehhez először tegyük fel, hogy az illető egészséges! Mivel elhiszi azt az állítást, hogy ő hisz X-ben, az az állítás, hogy hisz X-ben, igaz. Emiatt ő tényleg hisz X-ben. És mivel egészséges, X igaz. Másrészt tegyük fel, hogy az illető őrült! Mivel elhiszi azt az állítást, hogy ő hisz X-ben, az az állítás, hogy hisz X-ben, hamis. Ezért valójában nem hisz X-ben (csak azt gondolja). Mivel nem hisz X-ben és őrült, X megint igaz. Ezzel megmutattuk, hogy ha egy erdélyi azt hiszi, hogy hisz X-ben, akkor X igaz, függetlenül

attól, hogy az illető egészséges vagy őrült. Hasonlóan látható be, hogy ha nem hiszi, hogy hisz X -ben, akkor X hamis. Ezt az Olvasóra bízzuk. 175. Megint mindkét válasz „Igen" - ez az előző feladat megoldásából következik. Kö n n yen b el á t h a t ó , h o g y a z 1. t el t ét el t el j esü l , a z a z eg yi k m o n d a t i g a z sá g á b ó l sem kö vet kez i k a m á si k m o n d a t i g a z sá g a . A t o vá b b i a kb a n a 2. f el t ét el t b i z o n yí t j u k. (A f o rd í t ó .)

l együk fel, hogy A azt állítja, hogy hisz X-ben! Ha A ember, akkor i hiszi, amit állít, vagyis azt hiszi, hogy hisz X-ben. Ekkor - amint I a 174. feladat megoldásánál láttuk - X igaz, akár egészséges A, i őrült. Hasonlóan, ha A vámpír, akkor nem azt hiszi, amit állít, Igyis nem hiszi, hogy hisz X-ben. Ezért X hamis, akár egészséges A, lkár őrült. 176. A azt állítja, hogy hisz abban, hogy B ember. B vagy azt állítja, hogy hisz abban, hogy A ember, vagy azt, hogy hisz abban, hogy A nem inber. Az utóbbi esetben a következő ellentmondást kapnánk: 1. A azt mondja, hogy hisz abban, hogy B ember. 2. B azt mondja, hogy hisz abban, hogy A nem ember. Tegyük, fel, hogy A ember! Ekkor az 1. állításból következik - a 175. feladat módszerével -, hogy B ember. Ekkor a 2. állításból követ kez i k, hogy A nem ember (ugyanazzal a módszerrel). Ez ellentmondás azzal, hogy A ember. Tegyük fel, hogy A vámpír! Ekkor az 1. állításból következik (ugyan a z z a l a módszerrel), hogy B nem ember, vagyis B vámpír. Ekkor a 2. állításból (ugyanazzal a módszerrel) következik, hogy A ember. Ez megint ellentmondás. Vagyis ha B „Nem"-et válaszolt volna, ellentmondásra jutnánk. Tehát B „Igen"-t válaszolt. 177. Semmi ilyesmit nem lehet megállapítani, mert erre a kérdésre minden erdélyi „Igen"-t fog válaszolni. Ezt az Olvasó maga is ellenőrizheti. 178. Most más a helyzet. Azt nem tudjuk megállapítani a válaszból, hogy az illető ember vagy vámpír, de azt megtudhatjuk, hogy í 'észséges-e. Ha egészséges, akkor „Igen"-t fog válaszolni, ha őrült, akkor „Nem"-et. A bizonyítást az Olvasóra bízzuk. 179. Nem, nem lehet. Lehetséges, hogy az illető egészséges ember, és I )i akula él, de az is lehetséges, hogy őrült vámpír, és Drakula halott. (Tulajdonképpen ha az illető őrült vámpír, akkor Drakula élő is lehet, halott is.) 180. A válasz megint „Nem". 181« A válasz megint „Nem". Az illető pl. őrült vámpír is lehet, amikor is Drakula lehet, hogy él, lehet, hogy halott. 182. Igen, most következik ebből, hogy Drakula él. Használjuk a 177. feladat elnevezéseit, és fogalmazzuk át az illető állítását így: „Ha megbízható vagyok, akkor Drakula él". A 8. fejezetben bizonyítottuk (I. a 109-112. feladatok megoldá-sát),hogy ha lovagok és lókötők szigeténak egy lakója ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor ez-meg-ez", akkor az illető lovag, az ez-meg-ez pedig igaz. Ugyanígy, ha egy erdélyi ezt mondja: „Ha megbízható vagyok, akkor ez-meg-ez", akkor megbízható, és az ez-meg-ez igaz. A bizonyítás ugyanaz, csak a „lovag" szót helyettesítjük a „megbízható" szóval. 183. Egy megfelelő állítás: „Megbízhatatlan vagyok, és Drakula halott". A bizonyítást az Olvasóra bízzuk. (Tanács: először azt mutassa meg, hogy az illető megbízhatatlan.) 184. Egy megfelelő állítás: „Akkor és csak akkor vagyok megbízható, ha Drakula még él". A 8. fejezet 122. feladatának megoldása során bebizonyítottuk, hogy ha a lovagok és lókötők szigetének egy lakosa ezt mondja: „Akkor és csak akkor vagyok lovag, ha ez-meg-ez", akkor az ez-meg-ez igaz (de azt nem lehet tudni, hogy az illető lovag vagy lókötő). Ugyanígy, ha egy erdélyi ezt mondja: „Akkor és csak akkor vagyok megbízható, ha ez-meg-ez", akkor az ezmeg-ez igaz, akár megbízható az illető, akár nem. A bizonyítás ugyanaz, csak a „lovag" szót helyettesítjük a „megbízható" szóval. Sok más állítás is megfelel. Pl.: „Hiszek abban, hogy az az állítás, hogy Drakula él, ekvivalens azzal az állítással, hogy ember vagyok". Egy másik, még szellemesebb példa: „Hiszek abban, hogy ha valaki megkérdezné tőlem, hogy él-e még Drakula, akkor Jgen'-t válaszolnék".

185. Igen, ebből következne, hogy Drakula halott. Az 1. állításból megtudhatjuk, hogy az illető ember, hiszen egy egészséges vámpír tudná, hogy ő egészséges, ezért azt mondaná, hogy n i l i , őrült vámpír pedig azt hinné, hogy ő egészséges, és azt mon-I n i , hogy őrült. Az illető tehát ember. I mlékezzünk vissza a 175. feladatban alkalmazott módszerre: ha ember azt mondja, bogy hisz valamiben, akkor az a valami igaz, függetlenül attól, hogy az illető egészséges vagy őrült. Azt már tudjuk, hogy az illető ember, és hogy azt mondja, hogy hisz abban, hogy 1 )i akula halott. Emiatt Drakula gróf halott. 186. Az 1. állításából: „Ember vagyok" az nem következik, hogy nnber, de az igen, hogy egészséges. (Őrült ember nem tudná, hogy ő ember, őrült vámpír pedig azt hinné, hogy ember, és azt mondaná, hogy vámpír.) Most már tudjuk, hogy az illető egészséges, be fogjuk bizonyítani, hogy ember. Tegyük fel, hogy vámír! Ekkor az, hogy ember, hamis, és mivel hamis állítás bármit implikál, a 2. állítás: „Ha ember vagyok, akkor Drakula még él" igaz lenne. De egészséges vámpír nem mondhat igazat, így ellentmondásra jutottunk. Tehát nem lehet vámpír, csak ember. Most már tudjuk, hogy az illető egészséges is és ember is, ezért igazat mond. Emiatt második állítása, miszerint ha ő ember, akkor I )rakula még él, igaz. És az illető ember. Tehát Drakula még él. 187. Csak azt kérdezze meg tőle, hogy egészséges-e. Egy ember (akár egészséges, akár nem) erre „Igen"-t fog válaszolni, egy vámpír pedig ,,Nem"-et. 188. Csak azt kérdezze meg tőle, hogy ember-e. Egy egészséges erdélyi (akár ember, akár vámpír) erre „Igen"-t fog mondani egy őrült erdélyi pedig „Nem"-et. A következő néhány feladatnál csak a kérdéseket mondom el. Most már biztos van annyi gyakorlata, hogy magától is be tudja bizonyítani, hogy ezek a kérdések megfelelnek. 189. Egy megfelelő kérdés: „Hisz ön abban, hogy ön ember?" Erre a krrdésre minden erdélyi „Igen"-t válaszol. Ez nem jelenti azt, hogy mindnyájan azt hiszik, hogy emberek (csak az egészséges emberek és az őrült vámpírok hiszik ezt), de mindenki azt fogja mondani, hogy hisz benne. Egy másik megfelelő kérdés: „Megbízható Ön?" Minden erdélyi megbízhatónak vallja magát. 190. A következő kérdések bármelyike megfelel: 1. „Ekvivalens az az állítás, hogy Ön megbízható azzal az állítással, hogy Drakula él?" 2. „Hisz Ön abban, hogy az az állítás, hogy Ön ember, ekvivalens azzal az állítással, hogy Drakula él?" 191. Kérdezze meg tőle, hogy „Bű" a helyes válasz arra a kérdésre hogy Ön egészséges-e? Ha „Bű"-t válaszol, akkor ember, ha „Bá"-t, akkor vámpír. 192. Kérdezze meg tőle, hogy „Bű" a helyes válasz arra a kérdésre hogy Ön ember-e? Ha „Bif't válaszol, akkor egészséges, ha „Bá"-t, akkor őrült. 193. Kérdezze meg tőle, hogy „Hisz abban, hogy Ön ember?" Akármelyik szóval is válaszol, annak kell az /gení jelentenie. Ugyanígy ezt is kérdezheti: „Ön megbízható?" 194. E megfelelő kérdés: „ ,Bíf a helyes válasz arra a kérdésre, hogy Ön megbízható-e?" (Ne felejtsük el, hogy a megbízható egészséges embert vagy őrült vámpírt jelent.) Egy másik megfelelő kérdés: „Ön akkor és csak akkor megbízható, ha a „Bű' igent jelent?" Bármely kérdésre az illetőnek „Bű"-t kell válaszolnia, és ez lényegében ugyanúgy bizonyítható, mint a 11. fejezet 161. feladatának megoldása (azzal a különbséggel, hogy most a megbízhatónak lenni játssza azt a szerepet, amit ott az embernek lenni). 195. A következő kérdések bármelyike megfelel: 1. Hisz Ön abban, hogy a „Bű" a helyes válasz arra a kérdésre hogy az az állítás, hogy Ön ember, ekvivalens-e azzal az állítással, hogy Drakula él? 2. „Bíf' a helyes válasz arra a kérdésre, hogy az az állítás hogy Ön megbízható, ekvivalens-e azzal az állítással, hogy Drakula él? Egy sokkal egyszerűbb és elegánsabb megoldást ad az egyesítéses módszer, amiről a 196. feladatban lesz szó.

196. Ai egyesít éses módszer Nevezzünk egy előkelő erdélyit l-es típusúnak, ha „Bű"-t válaszol arra a kérdésre, hogy „2 meg 2 az 4?" Ez rmészetesen azt jelenti, hogy bármilyen olyan kérdésre, amire a helyes ilasz „Igen", egy l-es típusú „BiT-t fog válaszolni. Nevezzünk egy Itfkelő erdélyit 2-es típusúnak, ha az illető nem les típusú. Ez azt jelent i, hogy ha adott egy tetszőleges X igaz állítás (pl. hogy 2 meg 2 az I>. és Ön megkérdez egy 2-es típusút, akkor az „Bá"-t fog válaszolni arra, hogy igaz-e X. Rögtön jegyezzük meg, hogy ha a „Bíf igent jelent, akkor azok az emberek l-es típusúak, akik megbízhatóak, és azok az emberek 2-es típusúak, akik megbízhatatlanok. Ha a „Bű" nemet jelent, akkor ennek i Fordítottját kapjuk (l-es típus = megbízhatatlan, 2-es típus = meghízható). Az egyesítéses módszer a következő: Ahhoz, hogy kitaláljuk egy tetszőleges X állításról, hogy igaz-e, csak azt kell megkérdeznünk egy előkelő erdélyitől, hogy X ekvivalens-e azzal az állítással, hogy ő l-es típusú. Megfogalmazhatjuk így is a kérdést: „Akkor és csak akkor igaz X, ha ön l-es típusú?" Be fogjuk bizonyítani, hogy ha az illető ,,Bű"-t válaszol, akkor X igaz, ha pedig „Bá"-t válaszol, akkor X hamis. Vagyis a bűvös S mondat: Ön l-es típusú" (azaz: „Ön ,Bű'-t válaszol arra a kérdésre ,„ hogy 2 + 2 = 4-e"). Bizonyítás: S ez a mondat: „Ön l-es típusú"; X pedig az az állítás, aminek szeretne meggyőződni az igazságáról. Ön azt kérdezi, hogy S ekvivalens-e X-szel. Tegyük fel, hogy „Bű" választ kap! Bebizonyí t j u k, hogy ekkor X igaz. Első eset: A „Bű" igent jelent. Ekkor két dolgot tudunk: (i) l-es típus = megbízható; (ii) az illető azzal, hogy „Bű"-t mond, azt állítja, hogy S ekvivalens X szel. la. aleset: Az illető l-es típusú. Ekkor megbízható és igazat mond. Ezért S tényleg ekvivalens X szel, és S igaz (mivel az illető l-es lípusű). Tehát X igaz. Ib. aleset: Az illető 2-es típusú. Ekkor megbízhatatlan és hazudik. Mivel azt állítja, hogy S ekvivalens X szel, S nem ekvivalens X-szel. I >e S hamis (mivel az illető nem l-es típusú), és X nem ekvivalens S sel, tehát X igaz. Második eset: A „Bű" nemet jelent. Ebben az esetben két dolgot tudunk: (i) l-es típus = megbízhatatlan; (ii) az illető azt állítja, hogy S nem ekvivalens X szel. 2a. aleset: Az illető l-es típusú. Ekkor megbízhatatlan és hazudik. Hamisan állítja, hogy S nem ekvivalens X szel,vagyis valójában S ekvivalens X-szel. Mivel S igaz, X is igaz. 2b. aleset: Az illető 2-es típusú. Ekkor megbízható, és igazat mond. Ezért S nem ekvivalens Xszel (mivel az illető azt állítja, hogy nem), de S hamis, tehát X megint igaz. Megmutattuk, hogy a „Bű" válasz azt jelenti, hogy X igaz. Hasonló okoskodással megmutathatnánk, hogy a „Bá" válasz azt jelzi, hogy X hamis. Választhatjuk azonban a következő rövidített utat is: Tegyük fel, hogy az illető „Bá"-t válaszol! De a „Bá" válasz erre a kérdésre ugyanaz, mint ha „Bű"-t válaszolna a következő kérdésre: „Ön akkor és csak akkor l-es típusú, ha X hamis?" (Mivel két tetszőleges K, í 11. Z állítás esetén az, hogy Y ekvivalens Z-vel, az éppen az ellentéte annak, hogy Y ekvivalens azzal, hogy nem Z). Vagyis az illető „Bű"-t válaszolt volna, ha azt kérdezte volna tőle, hogy „Ön l-es típusú akkor és csak akkor, ha X hamis?" Mivel erre „Bű"-t válaszolt volna, ebből következik, hogy X hamis (a fent részletezett bizonyítással). 197. Válasz a követ kezet lenségek kérdésére. 1., 2. Drakula két alkalommal is ezt mondta: „Ó, igen". Előkelő erdélyi nem használja az „Igen" szót. 3. Amikor a tagbaszakadt, durva kinézetű erdélyi azt mondta, hogy nem hagyhatom el a kastélyt a várúr engedélye nélkül, miért kellett volna ezt elhinnem neki? 4. Amikor a várúr visszaüzente nekem, hogy „Szó sem lehet róla", miért kellett volna ezt elhinnem neki? Még nem tudtam akkor, hogy a várúr őrült vámpír és igazat mond.

Negyedik rész

A logika roppant

szórakoztató dolog 13. A logika és az élet A. Ml A LOGIKA? 198. Subidu véleménye. Nagyon kedvelem Subidu vélekedését a logikáról: Subidam (Alice-hez): Tudom, mire gondolsz, de ez nincs így, semmiképp. Subidu: Ellenkezőleg viszont ha így volna, akkor így lehetne, ha így lenne, akkor így lehetett volna, de mivel nincs így, hát nem így van. Ez logikus.* 199. Thurber véleménye. A The Thirteen Clocks-bzn kb. így jellemzi a logikát: Mivel lehetséges az, hogy hozzáérjünk egy órához anélkül, hogy megállítanánk, akkor az is lehetséges, hogy elindítsunk egy órát anélkül, hogy hozzáérnénk. Amennyire én látom, ez a logika. 200. Thurber jellemzése kissé emlékeztet kedvenc szillogizmusomra: Az autók java zörög. Az én autóm autó a javából. Nem csoda tehát, hogy zörög. 201. Még egy vélemény a logikáról: Amikor egy - volt rendőrtiszt - barátom meghallotta, hogy logikával foglalkozom, ezt mondta: „Hadd meséljem el, hogy én hogy látom a logikát. A minap vendégségben voltunk a feleségemmel. A háziasszony süteménnyel kínált minket. A tálcán már csak két darab volt, egy nagyobb meg egy kisebb. Gondolkodtam egy darabig, majd eldöntöttem, hogy a nagyobbat veszem el. így okoskodtam: Tudom, hogy a feleségem szereti a süteményt, és hogy ő is tudja, hogy én szeretem a süteményt. Azt is tudom, hogy szeret engem, és azt akarja, hogy örüljek, tehát azt szeretné, hogy a nagyobb darabot kapjam. Ezért a nagyobbat vettem el." R évb í ró T a m á s f o rd í t á sa .

202. A fenti történet arra a két emberre emlékeztet, akik egy vendéglőben halat rendeltek. A pincér kihozott egy tálat, amin két hal volt, egy nagyobb meg egy kisebb. Az egyik ember így szólt a másikhoz: „Tessék, vegyél. Mire a másik: „Oké, és kivette a nagyobbat. Egy kis idő múlva az egyik ezt mondta: „Tudod, ha te kínáltál volna engem, én a kisebbet választottam volna!" A másik így felelt: „Mit panaszkodsz, azt kaptad, nem?" 203. Ez pedig arra a hölgyre emlékeztet, aki részt vett egyszer egy banketten. Amikor hozzákerült az az ezüsttálca, amin a spárga volt, az összesnek levágta a hegyét, a tányérjára tette, majd a maradékot továbbadta a szomszédjának. „Hogyan tehette ezt? Miért tartotta meg magának az összes spárga hegyét, nekem csak a maradékot hagyta" -kérdezte a szomszédja. „Ó, hát nem tudta, hogy a csúcsa a legfinomabb?" - válaszolta a hölgy. 204. A következő rajzos viccet láttam egyszer egy újságban: Egy kisfiú és egy kislány sétál a járdán, a fiú megy belül. Éppen egy teherautó megy el mellettük a sáros úton, és reménytelenül összefröcsköli a lányt. A fiú ezt mondja: „Na, most már érted, hogy miért nem kívül megyek, ahogy lovagias?" 205. Szeretem az etika következő jellemzését is. Egy fiú megkérdezte az apjától: „Apa, mi az etika?" Az apa válasza: „Elmagyarázom, fiam. A minap bejött egy hölgy az üzletbe. Húszdollárossal fizetett, de tízesnek hitte. Én is tízesnek hittem, ezért úgy is adtam vissza. Néhány órával később felfedeztem, hogy húszas volt. És most jön az etikai kérdés: Elmondjam-e az üzlettársamnak?" 206. Egyszer egy matematikus barátommal elmentem egy kínai étterembe. Az étlapra ezt nyomtatták: Extra árak mindenért, ami extra. „Az elejét és a végét nyugodtan lehagyhatnák" jegyezte meg a barátom. 207. A következő feliratot láttam egyszer egy vendéglő kirakatában A JÓ ÉTEL NEM OLCSÓ, AZ OLCSÓ ÉTEL NEM JÓ. Ugyanazt jelenti ez a két mondat, vagy nem? A válasz az, hogy logikailag pontosan ugyanazt mondják, mindkettő 146 • A l o g i ka ro p p a n t sz ó ra ko z t a t ó d o l o g ekvivalens azzal az állítással, hogy nincs olyan étel, ami egyszerre jó és olcsó. Bár logikailag ekvivalensek ezek az állítások, mégis azt mondanám, hogy pszichológiailag különböző dolgot sugallnak; amikor az első mondatot olvasom el, egy drága, jó étel képe jelenik meg előttem, amikor a másodikat, akkor valami olcsó, pocsék ételre gondolok. Nem hinném, hogy ez a

reakció kivételes.

B. ÖN FIZIKUS VAGY MAT EMAT IKUS? 208. Két serlegről szól egy jól ismert feladat, az egyikben 10 dl víz, a másikban 10 dl bor van. 3 dl vizet átöntünk a boros serlegbe, majd összekeverjük, és 3 dl keveréket visszaöntünk a vizes serlegbe. Ekkor a vízben lesz több bor, vagy a borban lesz több víz? Kétféleképpen lehet megoldani ezt a feladatot,^ vagy úgy, hogy nekilátunk és kiszámoljuk, vagy józan ésszel. Én sokkal jobban szeretem az utóbbit. A számolásos megoldás a következő: miután átöntöttünk 3 dl vizet a boros serlegbe, abban 13 dl keverék lesz, aminek 3/13 része víz és 10/13 része bor. Azzal, hogy 3 dl keveréket visszaöntünk a vizes serlegbe, 310/13 = 30/13 dl bort öntünk a vízbe, így tehát a vízben 30/13 dl bor lesz. A visszatöltés előtt a boros serlegben 3 dl víz volt, és 3-3/13 dl vizet töltöttünk vissza a vizes serlegbe. így a boros serlegben 3 - 9/13 dl víz maradt. De 3 - 9/13 = 39/13- 91 13 = 30/ 13. A boros serlegben tehát pontosan annyi víz lesz (30/13 dl), amennyi bor a vizes serlegben. Józan ésszel a feladat sokkal gyorsabban megoldható, és valami sokkal általánosabbat sugall: Mivel ugyanannyi folyadék van mindkét serlegben, mint az átöntögetések előtt, nyilvánvaló, hogy akármennyi víz is hiányzik a vizes serlegből, azt ugyanannyi borral pótoltuk. Ezzel megoldottuk a feladatot. Természetesen ez a megoldás nem mondja meg, hogy ez mennyi, míg a számolásos megoldásból kiderül, hogy 30/13. Viszont a józan ésszel történő megoldás ugyanígy alkalmazható a következő sokkal általánosabb feladatra (amit számolásos módszerrel sosem lehetne megoldani). Ugyanazokkal a serlegekkel kezdjük, mint az előbb, és oda-vissza töltögetünk valamennyi folyadékot az egyikből a másikba, nem figyelve arra, hogy mennyit öntünk át és hányszor, még az sem érdekes, hogy minden alkalommal ugyanannyit töltünk-e át, csak arra ügyeljünk, hogy amikor befejezzük, mindkét serlegben 10 dl folyadék legyen. A borban lesz most több víz, vagy a vízben lesz több bor? Józan ésszel végiggondolva ugyanúgy egyformának kell lennie a két mennyiségnek, de nem tudhatjuk, hogy mennyinek. 209. Amikor először találkoztam a fenti feladattal, rögtön a következő kérdés jutott eszembe: Megint 10 dl vízzel kezdjük az első serlegben, A-ban, és 10 dl borral a második serlegben, Bben. Oda-vissza töltögetünk 3 dl-t véges sokszor. Legalább hány töltögetés szükséges ahhoz, hogy elérjük azt az állapotot, amikor a két keverékben ugyanannyi a bor? Arra gondoltam, hogy ezt lehetetlen véges számú lépéssel elérni. Függetlenül attól, hogy mennyi bor van az egyik és mennyi a másik serlegben, és függetlenül attól, hogy mennyi folyadékot öntünk át az egyes lépésekben (csak azt követeljük meg, hogy sose ürítsük ki egyik serleget se), a bor koncentrációja a B serlegben mindig magasabb lesz, mint az A-ban. Ez belátható egyszerű matematikai indukcióval. Kezdetben természetesen nagyobb a bor koncentrációja B-ben, mint A-ban. Tegyük fel, hogy egy adott állapotban B koncentrációja még mindig nagyobb, mint A-é! Ha most át t olt unk valamennyit B-ből A-ba, akkor az erősebből töltöttünk át a gyengébbe, így B még mindig erősebb lesz, mint A. Ha A-ból öntünk át B-be, B még mindig erősebb lesz, mint A. Mivel minden átöntés ezen két eset valamelyike, ebből következik, hogy B-ben mindig nagyobb marad a koncentráció, mint A-ban. Az egyetlen mód arra, hogy egyformává tegyük a keverékeket az, ha az egyik serleg tartalmát teljes egészében átöntjük a másikba. Ha ezt tisztán matematikai feladatként kezeljük, akkor megoldásom kifogástalan. Ha a tényleges fizikai világról szóló feladatként, akkor megoldásom teljesen félrevezető. Az előbb feltettük, hogy a folyadékok végtelenül oszthatók, míg a valóságban különálló molekulákból tevődnek össze. Erre hívta fel Martin Gardner figyelmét P. E. Argyle British Columbiából. Argyle kiszámolta, hogy 47 oda-vissza töltögetés után már igen valószínű, hogy a két koncentráció egyforma lesz!* Kíváncsi vagyok, hogy Argyle megoldása akkor is jó-e, ha a borban páratlan számú molekula van, nem páros. Mindenesetre én soha az életben nem gondoltam volna ezt a feladatot inkább fizikai, mint matematikai problémának. 210. Mágneses feladat . Martin Gardner tűzte ki a következő feladatot*: Ön egy olyan szobában van, ahol semmiféle fém nincs két fémrúd kivételével. Az egyik egy mágnesrúd, a másik nem mágneses. Úgy tudhatjuk meg, hogy melyik a mágnes, hogy mindkettőt a közepére

kötött fonalra függesztjük, és megfigyeljük, hogy melyik rúd áll be észak felé. De nincs egyszerűbb mód? Amegoldás az, hogy vegyük kézbe az egyik rudat, és a végével érintsük meg a másik rúd közepét. Ha vonzzák egymást, akkor a mágnes van a kezünkben, ha nem, akkor nem a mágnes. Ez a „fizikus" megoldás teljesen szemléletes, és sokkal egyszerűbb, mint a másik eljárás a rudak közepére kötött fonallal. Nos, én, aki inkább foglalkozom logikával, mint fizikával, a következő megoldást gondoltam ki, amiről úgy hiszem, hogy egyszerűségben valahol a két másik között van: csak az egyik rudat függesztem fel a közepére kötött fonallal és megnézzem, hogy ő beáll-e észak felé. 211. És mi a helyzet Önnel? Ön matematikus vagy fizikus beállítottságú? Nos, a következő szórakoztató feladattal eldöntheti. Egy vidéki házikóban van egy tűzhely, ami nincs begyújtva, egy doboz gyufa, egy hidegvízcsap és egy üres kanna. Hogyan tudna itt előállítani egy kanna forró vizet? Erre Ön valószínűleg azt fogja válaszolni, hogy „Megtöltöm a kannát hideg vízzel, begyújtom a tűzhelyet, és felteszem rá a kannát, amíg forró nem lesz a víz." „Nagyszerű, ebben eddig a matematikusok és a fizikusok teljesen egyetértenek, a következő feladat választja szét őket" - válaszolom erre én. Ezúttal egy vidéki házikóban van egy tűzhely, ami nincs begyújtva, egy doboz gyufa, egy hidegvíz-csap, és egy hideg vízzel töltött kanna. Hogyan tudna itt előállítani egy kanna forró vizet? A legtöbb ember erre ezt válaszolja: „Begyújtom a tűzhelyet, és felteszem rá a kanna vizet." Én erre ezt mondom: „Ön fizikus! A matematikus kiönti a vizet, visszavezetve ezzel a feladatot az előzőre, amit már megoldottunk". M a rt i n Ga rd n er: M a t h em a t i c a l C a rn i va l . N ew Yo rk, Vi n t a g e Bo o ks, 1977. 178. o l d a l .

Tovább is mehetünk egy lépéssel, és nézhetjük azt az esetet, amikor a hideg vízzel töltött kanna már a begyújtott tűzhelyen van. Hogyan kaphatnánk forró vizet? A fizikus csak megvárja, amíg felforr a víz, a matematikus eloltja a tüzet, kiönti a vizet, visszavezetve ezzel a feladatot az elsőre (vagy lehet, hogy csak a tüzet oltja el, visszavezetve ezzel a feladatot a másodikra). Egy még drámaibb variáció a következő: kigyulladt egy ház. Van a közelben egy tűzcsap és egy locsolócső. Hogyan oltjuk el a tüzet? Nyilván csatlakoztatjuk a locsolócsövet a tűzcsaphoz, és aztán locsoljuk vele az épületet. Most tegyük fel, hogy van egy tűzcsapunk, egy locsolócsövünk és egy házunk, ami nem gyulladt ki. Hogyan oltjuk el a tüzet? A matematikus először felgyújtja a házat, hogy visszavezesse a feladatot az előzőre. 212. Neumann és a legyes feladat . A következő feladatot „nehezebben" is és „könnyebben" is meg lehet oldani. Két vonat 200 mérföld távolságról indulva megy egymás felé, 50 mérföldes óránkénti sebességgel. Elindul egy légy az egyiknek az elejéről, és oda-vissza repül köztük 75 mérföldes óránkénti sebességgel. Ezt egészen addig folytatja, amíg halálra nem zúzza a két összeütköző vonat. Összesen mekkora távolságot repült be a légy? Halála előtt a légy végtelen sokszor repült neki mindkét vonatnak és a feladat megoldható távolságok végtelen sorozatának összegzésével (ezek a távolságok természetesen egyre kisebbek és kisebbek, és egy határozott véges mennyiséghez konvergálnak) - ez a „nehezebb" megoldási módszer, és papírra meg ceruzára van hozzá szükségünk. A „könnyebb" módszer a következő: Mivel a vonatok 200 mérföld távolságról indulnak, és mindkét vonat óránként 50 mérföldet tesz meg, 2 óra múlva fognak összeütközni. Emiatt a légy 2 óra hosszat repked. Mivel a légy sebessége 75 mérföld óránként, a légy 150 mérföld távolságot repült. Ennyi az egész! Amikor Neumann Jánosnak, a nagy matematikusnak feladták ezt a feladatot, gondolkodott pár másodpercet, majd „Persze, 150 mérföld" - mondta. „Nagyszerű, hogy jött ez ki? - kérdezte a barátja. Neumann válasza: „Összegeztem a sorozatot". 213. A következő vicc is Neumannról szól. Szaktanácsot kért tőle egy csoport, amelynek tagjai egy űrrakétán dolgoztak, amit fel akartak küldeni az űrbe. Miután Neumann megnézte a félkész építményt, megkérdezte: „Honnan vették a terveket ehhez az űrrakétához?" „Megvannak a saját mérnökeink." - válaszolták neki. „Mérnökök!" - válaszolta megvetően Neumann - „Amikor én teljesen kidolgoztam az űrrakéták matematikai elméletét. Nézzék meg

az 1952-es cikkemet." A csoport átnézte az 1952-es cikket, teljes egészében kiselejtezte a 10 millió dolláros félkész építményt, és újraépítette a rakétát pontosan követve Neumann terveit. Abban a pillanatban, ahogy fellőtték, az egész építmény felrobbant. Dühösen keresték fel Neumannt, és ezt mondták: „Követtük a cikk útmutatásait, mégis felrobbant, amikor fellőttük. Miért?" Neumann válasza: „Ó, igen, ez az ún. robbanási probléma, ezzel egy 1954-es cikkemben foglalkoztam." 214. Ez az állítólag igaz történet egy princetoni kislányról szól, akinek gondjai voltak a számtannal. Egyszer, nem tudni mitől, kb. két hónap alatt csodálatos előremenetelt mutatott. Egy napon megkérdezte tőle az édesanyja, hogy vajon mi ennek az ugrásszerű fejlődésnek az oka. A kislány válasza: „Hallottam, hogy van egy tanár a városban, aki elég jó számtanos. Felkerestem, és azóta minden nap segít nekem. Tényleg egész jól tanít." Az anya kissé meglepetten megkérdezte, hogy tudja-e az illető nevét. A kislány: „Nem, pontosan nem emlékszem, de valahogy úgy hangzik, hogy Ein-stein" 215. Egy másik történet szerint Einstein egyszer azt mondta egy kollégájának, hogy nem szeret koedukált főiskolákon tanítani, mert ahol annyi csinos lány van a teremben, ott a fiúk nem fordítanak kellő figyelmet a matematikára és a fizikára. „Ugyan, Albert - mondták a barátai - „hiszen tudod, hogy vannak fiúk, akik arra figyelnek, hogy te mit mondasz". Einstein válasza: „Igen, de az ilyen fiúkat nem érdemes tanítani." 216. A következő vicc tökéletesen szemlélteti a matematikusok és fizikusok közötti különbséget. Egy matematikus és egy fizikus együtt repültek a nyugati partról egy washingtoni kutatólaborba. Mindkettőjük részletes feljegyzéseket készített az útról. Valahol Kansasban elrepültek egy fekete birka felett. A fizikus felírta: „Van egy fekete birka Kansasban". A matematikus ezl írta: „Létezik - valahol a közép-nyugaton - egy birka, aminek a háta fekete."

C. VERMONT IAK 217. Az előbbi vicc emlékeztet egy Calvin Coolidge-ról szóló történetre. Coolidge ellátogatott egy farmra a barátaival. Amikor elmentek egy birkanyáj mellett, az egyik barátja megjegyezte: „Ezeket a birkákat úgy látom, éppen most nyírták meg". Coolidge válasza: „Legalábbis a felénk eső oldalukat. 218. Amikor Will Rogerset, a humoristát bemutatni készültek Coolidge elnöknek, ezt mondták neki: „Tudja, Coolidge-t lehetetlen megnevettetni." „Én meg fogom nevettetni"-mondta erre Rogers. És Will Rogersnek tényleg sikerült! Amikor bemutatták az elnöknek, „Mr. Rogers, hadd mutassam be önt Coolidge elnöknek." - mondták, Will Rogers az elnökhöz fordult, és így szólt: „Tessék? Nem értettem a nevét." 219. Calvin Coolidge természetesen vermonti volt, és én imádom a vermonti akról szóló történeteket. Az egyik ilyen történet egy emberről szól, aki elsétált egy vermonti farmer háza mellett. A farmer a verandán ringatózott egy hintaszékben. A járókelő megkérdezte: „így hintázgatott egész életében?" A farmer válasza: „Még nem!" 220. Jellemző a vermontiakra (legalábbis, ahogy a humoros történetekben ábrázolják őket), hogy ha megkérdeznek valamit egy vermon-titól, akkor az pontos választ ad, de a válaszból gyakran épp az hiányzik, ami fontos, és ami miatt kérdezték. Tökéletesen szemlélteti ezt a vermonti farmerről szóló vicc, aki egyszer elment megkérdezni a szomszéd farmertől: „Lem, te mit adtál a lovadnak tavaly, amikor kólikás volt?" „Korpát és melaszt" - válaszolta Lem. A farmer hazament, majd visszatért egy hét múlva. „Lem, korpát és melaszt adtam a lovamnak, mégis megdöglött." - mondta. Lem válasza: „Az enyém is". 221. A kedvenc vermonti történetem egy Vermontban járó turistáról szól, aki egyszer csak egy útelágazáshoz ért. Az egyik irányba „A Fehér folyó elágazásához" feliratú tábla mutatott. A másik irányba „A Fehér folyó elágazásához" feliratú tábla mutatott. A turista tanácstalanul vailla a fejét, majd megpillantott egy vermontit az elágazásban, és lament hozzá. „Mindegy, melyik úton megyek?" - kérdezte. A ver-DOnti válasza: „Nekem teljesen."

D. NYILVÁNVALÓ? 222. Ezt a történetet sok különböző matematikusról szokták elmesélni. A matematikaprofesszor mond egy állítást az előadásán, majd hozftteszi: „Ez nyilvánvaló." Egy hallgató jelentkezik, és megkérdezi: .Miért nyilvánvaló?" A professzor gondolkodik néhány percig, kimegy .i ieremből, visszajön kb. húsz perc múlva és ezt mondja: „Igen, tényleg nyilvánvaló!" - és folytatja az előadást. 223. Egy másik történet szerint a professzor találkozik egy hallgatóval a folyosón, nem sokkal az előadása után. „Professzor úr, nem értettem a 2. tételre adott bizonyítását. Elmagyarázná még egyszer?" - mondja a hallgató. A professzor gondolataiba mélyed kb. három percre, majd megszólal: „Igen, tényleg következik!" „De mi a bizonyítás?" - kérdezi B hallgató. A professzor megint gondolataiba mélyed, majd ezt mondja: „Tehát a bizonyítás jó." „Igen, de még mindig nem mondta el a bizonyítást!" - válaszolja a hallgató. „Rendben van" - mondja a professzor -, „bebizonyítom magának másképp!" Megint gondolataiba mélyed, aztán ezt mondja: „így is kijött." Szerencsétlen hallgató jobban össze van zavarodva, mint valaha. A professzor így szól: „Nézze, három bizonyítást is adtam magának; ha egyik sem segít, nem hiszem, hogy valamit még tehetnék." - és továbbsétál. 224. Ez a történet egy híres fizikusról szól, aki egy szakmabelieknek tartott előadása után megkérdezte: „Van valakinek valamilyen kérdése?" A hallgatóság egyik tagja jelentkezett, és így szólt: „Nem értettem a B tételre adott bizonyítását". A fizikus válasza: „Ez nem kérdés!" 225. Amikor végzős hallgató voltam Princetonban, a következőképp magyaráztuk a „nyilvánvaló" szó jelentését, attól függően, hogy a matematika tanszék melyik tagja használta éppen. Neveket nem írok, esak betűket. Ha A professzor azt mondja valamire, hogy nyilvánvaló, az azt jelenti, hogy ha hazamész, és gondolkodsz rajta néhány hétig, akkor rá fogsz jönni, hogy igaz. Ha L professzor azt mondja valamire, hogy nyilvánvaló, az azt jelenti, hogy ha hazamész, és életed hátralevő részében ezen gondolkodsz, akkor lehet, hogy eljön a nap, amikor megérted. Ha C professzor azt mondja valamire, hogy nyilvánvaló, az azt jelenti, hogy az évfolyam már két hete tudja. Ha F professzor azt mondja valamire, hogy nyilvánvaló, az azt jelenti, hogy valószínűleg nem igaz.

E. SZÓRAKOZOT T PROFESSZOROK 226. Történetünk szerint egy hallgató találkozott egyszer egy professzorral a folyosón. „Ebédelt már?" - kérdezte tőle. A professzor gondolkodott egy kicsit, majd így szólt: „Mondja, melyik irányból jöttem, amikor megállított?" 227. A következő történetet Dávid Hubertről, a metematikusrói hallottam. Egyszer elmeséltem egy fizikusnak, aki azt mondta, hogy ő ugyanezt a történetet Ampére-ről hallotta! Ahogy én tudom, Hilbert professzor és a felesége egyszer estélyt adott. Miután az első vendég megérkezett, Mrs. Hilbert félrevonta Dávidét, és így szólt: „Dávid, menj fel, és vegyél másik nyakkendőt." Hilbert felment, eltelt egy óra és még nem jött vissza. Mrs. Hilbert aggódni kezdett, felment a hálószobába, és ott találta Hubertet, aki mélyen aludt. Amikor felébresztették, emlékezett rá, hogy levéve nyakkendőjét, automatikusan elvégezte a többi szokásos mozdulatot is, levette ruháit, pizsamát húzott és lefeküdt. 228. A kedvenc szórakozott professzoros történetemet Norbert Wienerről mesélték. Fogalmam sincs, hogy igaz vagy nem (bár el tudom hinni, mivel Wiener látása késői éveire tényleg nagyon megromlott), de akár igaz, akár nem, íme: Wienerék Cambridge egyik részéről átköltöztek a másikra. Mrs. Wiener, ismerve férje szórakozottságát, elhatározta, hogy előre felkészíti őt a változásokra. Már harminc nappal a költözködés előtt ezt mondta: „Tudod, Norbert, harminc nap múlva költözünk. Akkor majd ha kijössz az órádról, ne az A buszra szállj, hanem a B buszra!" Igen, drágám." - válaszolta Wiener Misnap reggel M rs. Wiener ezt n«nulla: „Ne felejtsd el, Norbert, hogy huszonkilenc nap múlva költözködünk. Akkor majd ha kijössz az órádról, ne az

A buszra fcállj, hanem a B buszra! „Igen, drágám.' - válaszolta Wiener. Ez így ment egészen a költözködés napjának reggeléig. Aznap M rs. Wiener «/i mondta: „Ma va n az a nap, Norbert, amikor ha kijössz az órádról, ne az A buszra szállj, hanem a B buszra!" „Igen, drágám" válaszolta Wi en er. Aztán amikor kijölt az órájáról, persze az A buszra szállt, hazament, ahol üres ház fogadta. „Hát persze! Ma volt a költözködés napja!" - mondta magának, visszament a Harvard térre, felszállt a B buszra, majd leszállt annál a negállónál, amit jónak gondolt. Mindenesetre az új címet elfelejtette. Sétálni kezdett a környéken, közben egész besötétedett. Végre megpillantott egy kislányt az utcán, odament hozzá, és megkérdezte: „Elnézést, de n em tudod véletlenül, hogy hol laknak Wienerék?" A kislány válasza: „Gyere apu, én majd hazakísérlek!"

F. MUZSIKUSOK 229. Róbert Schumann, a zeneszerző, egyik darabja elejére ezt írta: „Olyan gyorsan kell játszani, amennyire csak lehetséges." Néhány sorral később ezt írta: „Gyorsítani!" 230. Va n egy történet Richárd Wagnerről, aki egyszer Berlinben az utcán sétálva egy kintornásra bukkant. Az a Tannháuser-nyitányt játszotta. Wagner megállt, és így szólt: „Ö n egy kissé túl gyorsan játssza." A kintornás rögtön felismerte Wagnert, kalapot emelt, és ezt mondta: „Nagyon köszönöm, Wagner úr! Nagyon köszönöm, Wagner úr!" Másnap Wagner visszatért ugyanarra a helyre, és a kintornás most már a helyes tempóban játszotta a nyitányt. Mögötte egy hatalmas felirat állt: „RICHÁRD WAGNER TANÍTVÁNYA". 231. Ez a történet a Bostoni Filharmonikusok négy zenészéről szól, akik egyik nap elmentek csónakázni. Az egyik zenész beleesett a vízbe, és így kiáltott: „Segítség! N em tudok úszni!" Egy másik visszakiáltott neki: „Akkor imitáld!" 232. Brahms és az amat őr vonósnégyes. Ez a történet Johannes Brahmsról, a zeneszerzőről szól, akinek volt négy barátja, akik vonós hangszereken játszottak. Nagyon gyenge zenészek voltak, de kedves emberek, és Brahms nagyon kedvelte őket. Elhatározták, hogy meglepik Brahmsot, és hat hónapon át lankadatlanul gyakorolták Brahms utolsó vonósnégyesét. Egyik este összeültek Brahmsnál egy estélyen, és az elsőhegedűs így szólt: „Johannes, van egy kis meglepetésünk a számodra. Légy szíves, gyere át a másik szobába". Brahms követte őket a másik szobába, a zenészek elővették hangszereiket, és elkezdték játszani a vonósnégyest. Már az első tétel több volt annál, mint amit szegény Brahms el tudott volna viselni. Felugrott, udvariasan, de kissé bágyadtan rájuk mosolygott, és elindult kifelé a szobából. Az elsőhegedűs utánaszaladt, és megkérdezte: „Johannes, milyen volt az előadás? Jó volt a tempó?" Brahms válasza: „A tempók nagyon jók voltak. Azt hiszem, a tiéd tetszett a legjobban".

6. A SZÁMÍT ÓGÉPEK 233« Sok olyan kísérletet végeztek, amelynek során egy angol mondatot (rendszerint egy kifejezést) egy számítógéppel lefordíttattak oroszra, majd egy másik számítógéppel visszafordíttatták angolra. A kísérletek célja az volt, hogy megnézzék, mennyit torzul a szöveg. Egyik esetben ezzel a bibliai idézettel próbálkoztak: „A lélek kész, de a test erőtlen". Amit visszakaptak, az ez volt: „A vodka jó, de a hús vacak".* 234. Egy másik alkalommal a következő mondással próbálkoztak: „Csak azt hiszem, amit látok." Ez jött vissza: „A vakok hitetlenek." 235. Ez a vicc egy IBM-ügynökről szól, aki azzal próbált meg eladni egy számítógépet, hogy az „mindent tud." „Kérdezzen tőle bármit, amit csak akar, válaszolni fog Önnek." - mondta az ügynök az egyik vásárlónak. „Rendben van. Hol van az apám?" - kérdezte a vásárló. A gép gondolkodott egy percig, majd kiadott egy kártyát, amin ez állt: „Az Ön apja most Kanadában horgászik". „Na ugye, hogy nem jó a gép! Az apám már évekkel ezelőtt meghalt." - mondta a vásárló. „Nem, nem, I precízebben kell fogalmaznia. 1 [add legyem fel én a kérdést maga helyet t " - válaszolta az ügynök, majd odalépett a számítógéphez, és így ólt : „Ennek az embernek, aki itt áll, hol van az édesanyja férje?" A simítógép gondolkodott egy percig, majd kiadott egy kártyát: „Az desanyja férje évekkel ezelőtt meghalt. Az apja most Kanadában hor- •\ i sz i k."

236. Amikor felszállt a világ első automata vezérlésű repülőgépe, az utasok egy kissé izgatottak voltak. Aztán a hangosbeszélőn megszólalt a számítógép bizalomgerjesztő, megnyugtató hangja: „Hölgyeim és l íraim! Önöknek abban a kivételes szerencsében van részük, hogy a világ első teljesen automatizált repülőgépén utazhatnak. Nincsenek kiszolgáltatva a pilóta esetleges emberi tévedéseinek, tökéletesen megbízható számítógépek irányítják a gépet. Mindenben gondjukat viselik. Semmi miatt nem kell aggódniuk - aggódniuk - aggódniuk - aggódniuk -...". 237. A kat onai számít ógép. A kedvenc számítógépes történetem egy katonai számítógépről szól. A hadsereg éppen felküldött egy űrrakétát a Holdra. Az ezredes két kérdést tett fel a számítógépnek: 1. El fog-e érni az űrrakéta a Holdra? 2. Vissza fog-e az űrrakéta térni a Földre? A számítógép gondolkodott egy darabig, majd kiadott egy kártyát, amin ez állt: „Igen". Az ezredes dühbe gurult, nem tudta, hogy ez az „Igen" az első kérdésre válaszol, vagy a másodikra, vagy a kettő konjunkciójára. Ezért mérgesen visszakérdezett: „Igen, de miV A számítógép gondolkodott egy darabig, majd kiadott egy kártyát, amin ez állt: „Igen, uram."

14. Hogyan bizonyítsunk bármit? Olyasvalamire gondolok, mint a spicces matematikus, aki így kiáltott fel: „Bármit be tudok bizonyítani!" Platón „Euthüdémosz" c. dialógusában Szókratész így írja le Kritón számára a szofista testvérpár, Euthüdémosz és Dionüszodórosz csodálatos érvelőtehetségét: „Olyan ügyesek, hogy bármit meg tudnak cáfolni, akár igaz, akár hamis." Később a dialógus során Szókratész elmeséli, hogy hogyan bizonyítja be Dionüszodórosz a haligatóság egyik tagjának, Ktészipposznak, hogy Ktészipposz apja egy kutya. A beszélgetés a következőképp zajlott: D: Mondd csak, van neked kutyád? K: Mégpedig igen vad. D: És vannak kölykei? K: Vannak, azok is olyanok. D: Ugyebár apjuk ezeknek a kutya? K: Saját szememmel láttam, amikor meghágta a szukát. D: No már most! Nem a tiéd a kutya? K: De igen. D: Ugyebár apa ő és a tiéd, így hát a te apád a kutya, te pedig a kutyakölyköknek vagy fivére.* E nagy szofisták példáján felbuzdulva, ebben a fejezetben én is be fogok bizonyítani sok furcsa és meglepő dolgot.

A. KÜLÖNFÉLE DOLGOK BIZONYÍT ÁSA 238. Annak bizonyítása, hogy Subidu vagy Subidam létezik Ebből a bizonyításból nem az derül ki, hogy Subidu és Subidam mindketten léteznek, csupán az, hogy legalább egyikük létezik. Azt sem fogjuk megtudni a bizonyításból, hogy melyikük az, aki tényleg létezik. Egy papíron a következő három mondai olvasható: 1. SUBIDAM NEM LÉTEZIK. 2. SUBIDU NEM LÉTEZIK 3. EZEN A PAPÍRON LEGALÁBB EGY HAMIS MONDAT VAN. Vegyük szemügyre a harmadik mondatot. Ha ez hamis, akkor nem igaz, hogy a három állítás közül legalább egy hamis, ami azt jelenti, hogy mindhárom mondat igaz, tehát a harmadik mondat is igaz, ami ellentmondás. Tehát a harmadik mondat nem lehet hamis, csak igaz. Emiatt a három mondat közül legalább egy tényleg hamis, de ez nem lehet a harmadik, vagyis vagy az első, vagy a második mondat hamis. Ha az első mondat hamis, akkor Subidam létezik, ha a második mondat hamis, akkor Subidu. Tehát Subidam vagy Subidu létezik. Egyszer meghívtak egy beszélgetésre a logikai rejtvényeimről egy egyetemi matematikus klubba. Melvin Fitting (egy volt tanítványom, aki meglehetősen jól ismer engem) mutatott be. Bemutatása majdnem jobban megragadta könyvem szellemét, mint maga a könyv! Ezt mondta: „Bemutatom Smullyan professzort, aki be fogja bizonyítani nektek, hogy vagy ő nem létezik, vagy ti nem léteztek, de nem fogjátok tudni, hogy melyik."

239. Annak bizonyít ása, hogy Subidi lét ezik: 1. SUBIDI LÉTEZIK. 2. EZEN A PAPÍRON MINDKÉT MONDAT HAMIS. Nézzük először a második mondatot. Ha igaz lenne, akkor mindkét mondat hamis lenne, így a második mondat is hamis lenne, ami ellentmondás. Tehát a második mondat hamis. Ekkor nem igaz, hogy mindkét mondat hamis, vagyis legalább az egyik igaz. Mivel a második mondat nem igaz, az első mondat igaz. Tehát Subidi létezik. 240. És mi a helyzet a Mikulással? Sokan kétségbe vonják a Mikulás létezését. Iskolás éveimből emlékszem egy Mae Westről szóló tréfára: Miért nem lehet Mae West ugyanabban a telefonfülkében, mint a Mikulás? A válasz: Mert n i n c s Mikulás. (Ezt találóan „ontologikus" tréfának is nevezhetjük.) N o s, a kétségek eloszlatására három bizonyítást is adok, amelyek minden kételkedőt meggyőznek arról, hogy a Mikulás létezik, sőt léteznie kell. Ezek a bizonyítások J. Barkley Rosser módszerének változatai. Ezzel a módszerrel bármit be lehet bizonyítani. Első bizonyítás: A bizonyítást egy dialógus keretében mutatjuk be. Első logikus: A Mikulás létezik, ha nem tévedek Második logikus: Ha nem téved. Első logikus: Tehát állításom igaz. Második logikus: Természetesen! Első logikus: Akkor hát nem tévedtem, és Ön elismerte, hogy ha nem tévedek, akkor a Mikulás létezik. Tehát a Mikulás létezik. Második bizonyítás: Az előző bizonyítás J. Barkley Rosser következő bizonyításának az átfogalmazása: HA EZ A MONDAT IGAZ, AKKOR A MIKULÁS LÉTEZIK. Abizonyítás ötlete ugyanaz, mint amikor azt bizonyítjuk, hogy ha a lovagok és lókötők szigetének egy lakója ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor ez-meg-ez", akkor az illető lovag, és az ez-meg-ez igaz. Ha a mondat igaz, akkor biztos, hogy a Mikulás létezik (mivel ha a mondat igaz, akkor az is igaz, hogy ha a mondat igaz, akkor a Mikulás létezik, amiből következik, hogy a Mikulás létezik), tehát mivel fennáll az, amit a mondat állít, a mondat igaz. Tehát a mondat igaz, és ha a mondat igaz, akkor a Mikulás létezik. Ebből következik, hogy a Mikulás létezik. Kérdés: Tegyük fel, hogy a lovagok és lókötők szigetének egy lakosa ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor a Mikulás létezik!" Bizonyítja ez, hogy a Mikulás létezik? Válasz: Igen. Mivel ha a Mikulás nem létezne, akkor sem lovag, sem lókötő nem mondhatná ezt a mondatot. Harmadik bizonyítás: EZ A MONDAT HAMIS, ÉS A MIKULÁS NEM LÉTEZIK. A részleteket az Olvasóra bízom Diszkusszió. Mi a rossz ezekben a bizonyításokban? Ugyanaz a hiba 160- A l o g i ka ro p p a n t sz ó ra ko z t a t ó d o l o g bújik meg bennük, mint Portia N kérőjének okoskodásában: a szóban Ibrgó mondatok egy része nem jelent semmit (1. a 15. fejezetet), így nem tehetjük fel sem azt, hogy igazak, sem azt, hogy hamisak. A következő bizonyítás teljesen más elven alapul. 241. Annak bizonyít ása, hogy lét ezik egyszarvú. Szeretném bebizonyítani, hogy létezik egyszarvú. Ehhez nyilvánvalóan elég azt az erősebb állítást bizonyítani, hogy létezik létező egyszarvú. (Létező egyszarvún természetesen olyan egyszarvút értek, ami létezik.) Biztos, hogy ha létezik egy létező egyszarvú, akkor léteznie kell egyszarvúnak, így mindössze annyit kell bizonyítanom, hogy létezik egy létező egyszarvú. Két lehetőség van: 1. Egy létező egyszarvú létezik. 2. Egy létező egyszarvú nem létezik A második lehetőség nyilvánvaló ellentmondás, hogyan tudna nem létezni egy létező egyszarvú? Épp úgy, ahogy egy kék egyszarvú szükségszerűen kék, egy létező egyszarvú szükségszerűen létezik. Diszkusszió: Mi a rossz ebben a bizonyításban? A gondolatmenet nem más, mint Descartes

híres ontologikus istenbizonyításának kivonata. Descartes olyan lényként definiálja Istent, aki minden tulajdonsággal rendelkezik. így definíció szerint Isten rendelkezik a létezés tulajdonságával. Tehát Isten létezik. Immánuel Kant azon az alapon támadja Descartes érvelését, hogy a létezés nem tulajdonság. Én azt hiszem, hogy van egy sokkal szem-beötlőbb hiba a bizonyításban. Nem foglalkozom azzal, hogy a létezés tulajdonság vagy sem, azt szeretném megmutatni, hogy a bizonyítás még akkor sem jó, ha a létezés tulajdonság. Nézzük először az egyszarvú létezésére adott bizonyításomat (sic!). Ahogy én látom, a hiba az „egy" szó kettős értelmében van, ami bizonyos szövegkörnyezetben „minden"-t jelent, más környezetben pedig „legalább egy"-et. Pl. ha azt mondom, hogy „Egy bagolynak nagy szeme van", az azt jelenti, hogy a baglyoknak nagy szeme van, vagyis minden bagolynak nagy szeme van. De ha azt mondom, hogy „egy bagoly van a házban", természetesen nem arra gondolok, hogy minden bagoly a házban van,, hanem csak arra, hogy létezik egy bagoly, ami a házban van. Ugyanígy, ha azt mondom, hogy „egy létező egyszarvú létezik", akkor nem világos, hogy arra gondoltam-e, hogy az Ö S S Z C S létező egyszarvú létezik, vagy arra, hogy létezik létező egyszarvú. Ha az elsőre gondoltam, akkor ez igaz - természetesen minden létező egyszarvú létezik, hogyan is lehetne olyan létező egy szarvú, ami nem létezik. De ez nem jelenti azt, hogy az állítás a második értelemben is igaz, vagyis hogy valóban létezik létező egyszarvú. Hasonló a helyzet Descartes bizonyításával is, csak az következik belőle, hogy minden, ami isten, az létezik, vagyis bármi, ami kielégíti Descartes istendefinícióját, rendelkezik a létezés tulajdonságával. De ez nem jelenti azt, hogy szükségképpen létezik Isten. 242. Kényszerít ő bizonyít ék. Egy híres anekdota szerint Diderot a cárnő meghívására egyszer ellátogatott Oroszországba. Ott szabadon terjesztette ateista nézeteit, amin maga a cárnő jól szórakozott, de az egyik udvari tanácsos azt javasolta, hogy ellenőrizzék e tanok kifejtését. Összebeszéltek a matematikus Eulerrel, aki szintén ott tartózkodott, és aki személy szerint hívő volt. Euler közölte, hogy be tudja bizonyítani Isten létezését az udvar előtt, ha Diderot-nak sincs kifogása ellene. Diderot ehhez készségesen hozzájárult. Euler kihasználva, hogy Diderot matematikai ismeretei hiányosak, Diderot elé lépett, és komoly hangon így szólt: „A a négyzeten mínusz B a négyzeten egyenlő A mínusz B-szer A plusz B - tehát Isten létezik. Erre válaszoljon!" Diderot ettől teljesen zavarba jött, míg körös-körül nevetés tört ki. Engedélyt kért, hogy azonnal visszatérhessen Franciaországba, amit meg is kapott. 243. Annak bizonyítása, hogy Ön következetlen vagy beképzelt. Kb. harminc éve gondoltam ki ezt a bizonyítást, és több tanítványomnak, í 11. matematikusnak elmondtam. Néhány évvel ezelőtt valaki említette, hogy olvasta valamelyik filozófiai folyóiratban, de a szerzőre nem emlékezett. Akárhogy is, íme a bizonyítás. Az emberi agy is csak egy véges szerkezet, ezért csak véges sok olyan állítás van, amit Ön elhisz. Jelöljük ezeket az állításokat p\, pi, ... pn-nel, ahol n azoknak az állításoknak a száma, amit Ön elhisz. Szóval Ön a p\, p% ... pnállítások mindegyikében hisz. Ha már most Ön nem beképzelt, akkor tudja, hogy követ el néha hibákat, vagyis nem minden igaz, amit annak hisz. Vagy is ha Ön nem beképzelt, akkor tudja, hogy a p\, pl, ... pn állítások közül legalább egy hamis. De Ön a p\, p2, ... pn állítások mindegyikében hisz. Ez nyilvánvaló következetlenség. Diszkusszió, Hol a hiba a fenti okoskodásban? Szerintem sehol. Én n \ leg azt hiszem, hogy egy szerény ember biztos következetlen.

B. T OVÁBBI BEUGRAT OK 244. Russel és a pápa. Egyszer egy filozófust mélyen megdöbbeni k n, amikor Bertrand Russel azt mondta neki, hogy hamis állításból bármi következik. „Úgy érti" - kérdezte -, „hogy abból az állításból, hogy kettő meg kettő az öt, következik, hogy Ön a pápa?" „igen" -válaszolta Russel. „Be is tudná ezt bizonyítani?" - kérdezte a filozófus. Hogyne." - válaszolta Russel, és a következő bizonyítást rögtönözte: 1. Tegyük fel, hogy 2 + 2 = 5! 2. Kettőt elvéve mindkét oldalból ezt kapjuk: 2=3 3. Megcserélve a két oldalt: 3 = 2. 4. Egyet kivonva mindkét oldalból: 2 =1. Nos, a pápa és én az kettő. Mivel kettő egyenlő eggyel, a pápa és én, az egy. Tehát én vagyok

a pápa. 245. Mi a jobb? Mi a jobb, az örök boldogság vagy a sonkás szendvics? Úgy tűnhet, hogy az örök boldogság a jobb, de ez egyáltalán nincs így! Ugyanis semmi sem jobb, mint az örök boldogság, és a sonkásszendvics jobb, mint semmi sem. Tehát a sonkás szendvics jobb, mint az örök boldogság. 246. Melyik óra a jobb? Ez Lewis Carrolltól származik. Melyik a jobb, egy olyan óra, ami naponta késik egy percet, vagy egy olyan óra, ami egyáltalán nem jár? Lewis Carroll szerint az az óra, ami egyáltalán nem jár, jobb, mert naponta kétszer mutatja a helyes időt, míg a másik csak kétévente egyszer. „De - kérdezhetnénk - „mi a jó abban, hogy naponta kétszer a helyes időt mutatja, ha nem tudjuk, mikor?" Tegyük fel, hogy az óra nyolcat mutat! Ebben az esetben éppen nyolckor lesz pontos az óra. „De" - folytathatnánk - „honnan tudjuk, hogy mikor van nyolc óra?" A válasz nagyon egyszerű. Gondosan figyeljük az órát, és abban a pillanatban, ahogy az óra pontos, éppen nyolc óra van. 247. Annak bizonyít ása, hogy lét ezik t izenhárom lábú ló. Ez a bizonyítás nem sajátom, a matematikusfolklór része. Azt szeretnénk bizonyítani, hogy létezik legalább egy ló, aminek tizenhárom lába van. 14. H o g ya n b i z o n yí t su n k b á rm i t ' / •

163

Fessük be a világ összes lovát vagy kékre, vagy pirosra, a következő szabály szerint: mielőtt befestenénk egy lovat, számoljuk meg a lábait. Ha pontosan tizenhárom lába van, akkor fessük kékre, ha több vagy kevesebb, mint tizenhárom, akkor fessük pirosra. Tegyük fel, hogy befestettük az összes lovat, a kékeknek tizenhárom lába van, a pirosaknak nem! Most válasszunk ki véletlenszerűen egy lovat. Ha kék, akkor sejtésünk beigazolódott. Ha piros, akkor válasszunk ki véletlenszerűen egy második lovat. Ha a második ló kék, akkor sejtésünk beigazolódott. De mi van akkor, ha a második ló is piros? O, az teljesen más színben tüntetné fel a dolgokat! De a más színű ló; az csak kék lehet! 248. Eszembe jutott egy találós kérdés, amit Ábrahám Lincolnnak tettek fel: ha a kutya farkát is lábnak hívnánk, akkor hány lába lenne egy kutyának? Lincoln válasza: „Négy. Az, hogy a farkát is lábnak nevezzük, nem jelenti azt, hogy az is." 249. Kedvenc beugrat om. Ez a legjobb beugrató, amit ismerek. Teljesen cáfolhatatlan módszer, amivel bármit be lehet bizonyítani. Egyetlen hibája,hogy csak egy bűvész tudja bemutatni. Ezt csinálom: Tegyük fel, hogy azt szeretném bebizonyítani valakinek, hogy én vagyok Drakula! így szólok: „Az egyetlen dolog, amit tudnia kell, hogy ha adott két tetszőleges állítás, p és q, akkor ha p igaz, akkor p és q közül legalább egy igaz."Ezt gyakorlatilag mindenki elfogadja. „Nagyszerű" - mondom, és előveszek egy csomag kártyát a zsebemből - „amint látja, ez a kártya piros". Ezután a kártyát képével lefelé az „áldozat" bal tenyerére rakom, és megkérem az illetőt, hogy a kártya hátát takarja be a jobb kezével. „Legyen p az az állítás, hogy a kártya, amit a kezében tart piros, és legyen q az az állítás, hogy én vagyok Drakula. Mivel p igaz, ugye elfogadja, hogy p vagy q igaz?" O elfogadja. „És most" - folytatom - „p nyilvánvalóan hamis, fordítsa csak meg a kártyát!" Megfordítja, és legnagyobb meg lepetésére a kártya fekete! „Tehát" - fejezem be győzelemittasan - „q igaz, én vagyok Drakula!"

C. NÉHÁNY LOGIKAI KÜLÖNIEGESSÉG Az utóbbi két részben olyan helytelen gondolatmenetekkel foglalkoztunk, amelyek első ránézésre helyesnek látszottak. Most ennek az ellenkezője következik: o l ya n eljárásokkal foglalkozunk, amelyek első ránézésre teljes őrültségek, de végül kiderül, hogy helyesek. 250. Az ivás! elv. Ez az elv, amit néhány végzős hallgatóm „Ivási elv"-nek nevez, fontos szerepet ját szik a modern logikában. Talán azért k ap ta ezt a ne vet, mert i s me rt e n \s c i 1 n 1 n d i g a következő tréfával kezdem: Egy ember ül a bárban. Öklével hirtelen az asztalra csap, és így szól: „Aggyon nekem egy felest, és aggyon mindenki másnak is egy felest, mer' amikor én iszok, akkor mindenki iszik!" Boldogan körülhordják az italokat. Valamivel később az ember így szól: „Aggyon nekem még egy felest, és aggyon mindenki másnak is még egy felest, mer' amikor én iszok még egyet, akkor mindenki iszik még egyet!" Boldogan körülhordják a második italt. Nem sokkal ezután az

ember a pultra dob némi pénzt, és így szól: „És amikor én fizetek, mindenki fizet!" Hát ez volt a vicc. A kérdés pedig ez: létezik-e tényleg olyasvalaki, aki ha iszik, akkor mindenki iszik? A válasz sokukat meg fogja lepni. Még drámaibban fogalmazódott meg ez a kérdés a filozófus John Baconnel folytatott beszélgetésem során: bizonyítandó, hogy van olyan nő a földön, aki ha meddővé válik, akkor kihal a teljes emberi faj. Az ivási elv duálisa a következő: Bizonyítandó, hogy van legalább egy olyan ember, aki ha bárki is iszik, akkor ő is. Megoldás: Igen, tényleg igaz, hogy van olyasvalaki, aki ha iszik,ak-kor mindenki iszik. Ez egyenes következménye annak a furcsa elvnek, hogy hamis állításból bármi következik. Nézzük csak: vagy igaz, hogy mindenki iszik, vagy nem. Tegyük fel, hogy mindenki iszik! Vegyünk egy embert, mondjuk Jimet. Mivel mindenki iszik, és Jim is iszik, igaz, hogy ha Jim iszik, akkor mindenki iszik. Vagyis van legalább egy ember - nevezetesen Jim -, aki ha iszik, akkor mindenki iszik. És mi a helyzet akkor, ha azt tesszük fel, hogy nem iszik mindenki? Nos, ebben az esetben van legalább egy ember, mondjuk Jim, aki nem iszik. Mivel az, hogy Jim iszik hamis, igaz az, hogy ha Jim iszik, akkor mindenki iszik. Megint csak van egy ember - nevezetesen Jim -, aki ha iszik, akkor mindenki iszik. Összegezve, nevezzünk egy embert „rejtélyesnek", ha megvan az a furcsa tulajdonsága, hogy ha ő iszik, akkor ebből következik, hogy mindenki iszik. Eredményünk szerint ha mindenki iszik, akkor mindenki rejtélyes ember, ha nem iszik mindenki, akkor bármelyik nem ivó rejtélyes. Ami a drámaibb változatot illeti, ugyanezzel a logikával belátható, hogy van legalább egy nő, aki ha meddővé válik, akkor minden nő meddővé válik (ez a nő bárki lehet, ha minden nő meddővé válik, és bármelyik nő, aki nem válik meddővé, hanem minden nő válik meddővé). És természetesen ha mindennő meddővé válik, akkor kihal az emberi faj. Ami pedig a „duális" változatot illeti, vagyis hogy van valaki, aki ha bárki is iszik, akkor ő is; vagy van legalább egy ember, aki iszik, vagy nincs. Ha nincs, akkor vegyünk egy tetszőleges embert, mondjuk Jim-et. Mivel az, hogy valaki iszik, hamis, igaz az, hogy ha valaki iszik, akkor Jim is iszik. Másrészt ha van valaki, aki iszik, akkor vegyünk egy tetszőleges embert, aki iszik, mondjuk Jimet. Ekkor igaz, hogy valaki iszik, és az is igaz, hogy Jim iszik, így igaz, hogy ha valaki iszik, akkor Jim is iszik. Epilógus* Amikor elmeséltem tanítványaimnak, Linda Wetzelnek és Joseph Bevandónak az ivási elvet, nagyon tetszett nekik. Nem sokkal ezután egy karácsonyi lapot kaptam tőlük, amin a következő kitalált párbeszéd állt (állítólag vacsora közben találták ki, egy kávéházban): Logikus: Ismerek egy embert, aki ha iszik, akkor mindenki iszik. Hallgató: Nem értem. Úgy érti, hogy mindenki a Föld kerekén? Logikus: Igen, természetesen. Hallgató: Ez képtelenség! Úgy érti, hogy ahogy inni kezd, abban a pillanatban mindenki nekilát? Logikus: Persze. Hallgató: De ez azt jelenti, hogy valamikor mindenki egyszerre iszik. Ez biztos nem fordul elő soha! Logikus: Ön nem figyelt arra, amit mondtam. Hallgató: Dehogynem, sőt mi több, cáfoltam a logikáját. Logikus: Ez lehetetlen. A logikát nem lehet megcáfolni. Hallgató: De hát akkor mi az, amit épp az előbb tettem? Logikus: Nem említette egyszer, hogy Ön sosem iszik? Hallgató: Hm. . . beszéljünk valami másról. 251. Helyes ez az okoskodás? Sok olyan gondolatmenettel találkoztam életemben, ami helyesnek látszott, de valójában helytelen volt. (\sak a közelmúltban lát t am cg) olyan gondolátmenetet, ami első látásra hamisnak látszott (tényleg viccnek lát szik), de kiderült, hogy jó. Helyes gondolatmeneten a/l ért jük, hogy a konklúzió szükségszerűen következik a premisszákból, a premisszáknak nem kell igazaknak lenniük. íme a gondolatmenet:* 1. Mindenki fél DrakuIától. 2. Drakula csak tőlem léi. Tehát én vagyok Drakula. Hát nem úgy hangzik; mint egy ostoba tréfa? Pedig nem az, a következtetés helyes. Mivel mindenki fél Drakulától, Drakula is fél Drakulától. De Drakula senki inastól nem fél, csak tőlem. Tehát én vagyok Drakula!

Ez tehát egy olyan gondolatmenet, ami tréfának látszik, de kiderül, hogy nem az - és éppen ez a vicc benne! Ez R i c h á rd C a rt wri g h t f i l o z ó f u st ó l sz á rm a z i k.

15. A paradoxontól az igazságig A.PARADOXONOK 252. A Prot agorasz-paradoxon. Talán az egyik legrégebben ismert paradoxon szól Protagoraszról, a görög jogász-tanárról, aki elvállalt egy szegény, de tehetséges tanítványt. Megegyezett vele abban, hogy egyelőre ingyen tanítja, de majd ha a tanítvány befejezte tanulmányait és megnyerte első perét, akkor egy bizonyos összeget fog fizetni Protagorasznak. A tanítvány beleegyezett ebbe, de amikor befejezte tanulmányait, nem vállalt egyetlen pert sem. Egy idő elteltével Protagorasz beperelte tanítványát, hogy fizessen. íme az érveik, amelyeket a bíróság előtt mondtak: Tanítvány: Ha megnyerem a pert, akkor nem kell fizetnem, hiszen éppen erről folyik a per. Ha elvesztem a pert, akkor még nem nyertem meg az első peremet, márpedig amíg meg nem nyertem az első peremet, nem vagyok adósa Protagorasznak. Tehát akár megnyerem, akár elvesztem a pert, nem kell fizetnem. Protagorasz: Ha elveszti a pert, akkor fizetnie kell, hiszen éppen erről folyik a per. Ha megnyeri a pert, akkor megnyeri első perét, ezért kell fizetnie. Bármelyik esetben fizetnie kell. Kinek volt igaza? Diszkusszió. Nem vagyok benne biztos, hogy tudom a választ erre a kérdésre. Ez a rejtély (hasonlóan a könyv első rejtélyéhez, ami arról szólt, hogy bolonddá tettek vagy nem) jól képvisel egy egész paradoxoncsaládot. A legjobb megoldás, amit valaha is kaptam rá, egy ügyvédtől származott, akinek feladtam egyszer ezt a rejtvényt. Ezt mondta: „A bíróságnak a tanítvány javára kell döntenie - a tanítványnak nem kell fizetnie, hiszen még nem nyerte meg első perét. A tárgyalás befejeztével viszont már adósa lesz Protagorasznak, ezért Protagorasz másodszór is beperelhetné. Ekkor már a bíróságnak Protagorasz javára kell ítélnie, hiszen a tanítvány épp az imént nyerte meg első perét". 253. A hazudós paradoxon. Az ún. „Hazudós paradoxon" vagy 168- A l o g i ka ro p p a n t sz ó ra ko z t a t ó d o l o g .lípimenidész-paradoxon" tényleg egy egész paradoxoncsalád, a hazudós paradoxonok családjának az alapja. (Öregem, ez aztán csavarosán hangzik, nemde?) Eredeti formájában egy bizonyos Epimenidész nevű krétairól szólt, aki ezt mondta: „Minden krétai hazudik." Ebben a formájában persze egyáltalán nem kapunk paradoxont, épp úgy, ahogy abból sem, ha a lovagok és lókötők szigetének egy lakója ezt mondja: „A sziget minden lakója lókötő". Ami ebből következik: 1. a beszélő lókötő; 2. van legalább egy lovag a szigeten. Hasonlóan, az Epimenidész-paradoxon fenti alakjából az következik, hogy Epimenidész hazudik, és van legalább egy igazmondó krétai. Ez nem paradoxon. De ha Epimenidész volna az egyetlen krétai, akkor tényleg paradoxont kapnánk, éppen úgy, mint ha a lovagok és lókötők szigetének egyetlen lakosa mondaná azt, hogy a sziget mindenlakója lókötő (ami egyenértékű lenne azzal, mintha azt mondaná, hogy ő lókötő, ami lehetetlen). Jobb változata a paradoxonnak, ha valaki ezt mondja: „Én most hazudok". Hazudik, vagy nem? Akövetkező változat az, amire a továbbiakban a hazudós paradoxonként fogunk hivatkozni. Tekintsük a következő állítást: EZ A MONDAT HAMIS. Igaz ez a mondat vagy hamis? Ha hamis, akkor igaz, ha igaz, akkor hamis. Ennek a paradoxonnak a feloldását egy kicsit később tárgyaljuk. 254. A hazudós paradoxon keft ös vált ozat a. A hazudós paradoxon következő változatát P. E. B. Jourdain angol matematikus vetette fel 1913-ban. Néha „Jourdain kártyaparadoxonja"ként hivatkoznak rá. Van egy kártyánk, aminek egyik oldalára ezt írták: 1. ENNEK A KÁRTYÁNAK A MÁSIK OLDALÁN LEVŐ MONDAT IGAZ. Ha megfordítjuk a kártyát, a másik oldalán ezt találjuk 2. ENNEK A KÁRTYÁNAK A MÁSIK OLDALÁN LEVŐ

MONDAT HAMIS. A paradoxon a következő: Ha az első mondat igaz, akkor a második mondat is igaz (mivel az első mondat ezt mondja), tehát az első mondat hamis (mivel a második mondat ezt mondja). Ha ez első mondat hamis, akkor a második mondat is hamis, tehát az első mondat nem hamis, hanem igaz. Vagyis az első mondat akkor és csak akkor igaz, ha hamis, ami lehetetlen. 255. Még egy vált ozat . A hazudós paradoxon egy másik népszerű változata, amikor a következő három mondatot írják egy kártyára: 1. EZ A MONDAT HAT SZÓBÓL ÁLL. 2. EZ A MONDAT ÖT SZÓBÓL ÁLL. 3. EZEN A KÁRTYÁN PONTOSAN EGY IGAZ MONDAT VAN. Az első mondat nyilvánvalóan igaz, a második mondat nyilvánvalóan hamis. A bajok a harmadik mondattal kezdődnek. Ha a harmadik mondat igaz, akkor két igaz mondatunk van nevezetesen az első és a harmadik -, ami ellentmond annak, amit a harmadik mondat állít, ezért a harmadik mondatnak hamisnak kell lennie. Másrészt ha a harmadik mondat hamis, akkor az első az egyetlen igaz mondat, ami azt jelenti, hogy a harmadik mondatnak igaznak kell lennie! így a harmadik mondat akkor és csak akkor igaz, ha hamis. Diszkusszió. Mi a hiba a fonti paradoxonok gondolatmenetében? A dolog nehezen megragadható, és vitatott. Vannak (érdekes módon inkább filozófusok, mint matematikusok), akik nem tartják megengedhetőnek az olyan mondatokat, amik saját magukra vonatkoznak. Ő-szintén szólva én a magam részéről teljesen képtelennek tartom ezt az álláspontot! Egy olyasfajta önmagára vonatkozó mondatnál, mint ez: „Ez a mondat hat szóból áll.", a mondat jelentése olyan világos és egyértelmű, amilyen csak lehet, megszámoljuk a szavakat, és látjuk, hogy a mondat igaz. Hasonlóan, ez a mondat: „Ez a mondat öt szóból áll." bár hamis, teljesen világos, hogy mit jelent - azt állítja, hogy öt szóból áll, és nem annyiból áll. De nincs semmi kétségünk afelől, hogy a mondat mit állít. Másrészt tekintsük a következő mondatot: EZ A MONDAT IGAZ. Ez a mondat nem eredményez semmiféle paradoxont, nem jutunk ellentmondásra, akár azt tételezzük fel, hogy a mondat igaz, akár azt, hogy a mondat hamis. Mindamellett, a mondatnak semmiféle jelentése nincs, a következő okokból: Kiindulási elvünk: ahhoz, hogy megértsük, mit jelent az, hogy egy mondat igaz, először meg kell értenünk magát a mondatot. Pl. legyen X ez a mondat: Kettő meg kettő az négy. Mielőtt megérthetném, hogy mit jelent az, hogy X igaz, meg kell értenem X minden egyes szavának jelentését, és tudnom kell, hogy X pontosan mit állít. Ebben a példában X minden szavának jelentését ismerem, és tudom, hogy X azt jelenti, hogy kettő meg kettő az négy. Es mivel tudom, hogy kettő meg kettő az tényleg négy, tudom, hogy X igaz. De nem tudhattam volna, hogy X igaz, amíg nem tudtam, hogy kettő meg kettő az négy. Sőt még azt sem tudhattam volna, hogy mit jelent az, hogy X igaz, amíg nem tudtam, hogy kettő meg kettő az négy. Ebből látható, hogy mire gondolok, amikor azt mondom, hogy az, hogy mit jelent az, hogy egy X mondat igaz, függ attól, hogy mit jelent maga az X mondat. Ha X egy olyan különös fajta mondat lenne, aminek a jelentéseattól, hogy mit jelent az, hogy X igaz, akkor holtpontra jutunk. Pontosan ez a helyzet a bekeretezett mondattal. Mielőtt megtudhatnám, hogy mit jelent az, hogy a mondat igaz, először magának a mondatnak a jelentését kellene megértenem. De mi magának a mondatnak a jelentése, mit mond ez a mondat? Pusztán azt, hogy ez a mondat igaz, és én még nem tudom, hogy mit jelent az, hogy ez a mondat igaz (ne firtassuk, hogy most igaz-e vagy nem), amíg előbb meg nem értettem a mondat jelentését, és nem érthetem meg a mondat jelentését, amíg nem tudom, hogy mit jelent az, hogy ez a mondat igaz. Emiatt ez a mondat nem hordoz semmiféle információt. Az ilyesfajta mondatokra a gyakorlatban azt mondjuk, hogy nem megalapozottak. A hazudós paradoxon (és minden változata) megalapozatlan mondatok használatán alapszik. (Röviden „megalapozatlan"-nak nevezem azt, ami „nem megalapozott".) A 253. feladatban az „Ez a mondat hamis" kifejezés megalapozatlan. A 254. fel-adatban a kártya egyik oldalán álló mondat sem megalapozott.A 255. feladatban az első két mondat megalapozott, de a harmadik mondat nem.

Most már többet tudunk mondani arról, hogy Porti a N kérője miért jutott bajba gondolatmenetével (1. az 5. fejezetet, Portia ládikái). Az összes korábbi Portia csak megalapozott mondatokat használt, de Portia N ügyesen alkalmazta a megalapozatlan mondatokat, hogy megzavarja kérőjét. Ugyanez volt a hiba az utolsó fejezet első néhány bizonyításában. 256. És most mi a helyzet ? Visszatérünk a Portia ládikáiról szóló történetben szereplő barátainkhoz, Bellinihez és Cellinihez. A két mesterember nemcsak ládikákat, hanem feliratokat is készített. Ugyanúgy, mint a ládikáknál, valahányszor Cellini készített el egy feliratot, mindig hamis állítást írt, és valahányszor Bellini készített el egy feliratot, mindig igaz állítást írt. Azt is feltesszük, hogy az idő tájt Bellini és Cellini volt az egyetlen feliratkészítő (a fiaik csak ládikákat készítettek, feliratokat nem). Ön a következő felirattal találkozik: EZT A FELIRATOT CELLINI KÉSZÍTETTE. Ki készítette ezt a feliratot? Ha Cellini készítette volna, akkor igaz lenne az állítás, ami lehetetlen. Ha Bellini készítette volna,akkor hamis lenne az állítás, ami megint csak lehetetlen. Szóval, ki készítette? Most nem intézheti el azzal, hogy azt mondja, hogy a felirat nem megalapozott! Természetesen megalapozott, azt a történeti tényt állítja, hogy a feliratot Cellini készítette; ha tényleg Cellini készítette, akkor a felirat igaz, ha nem, akkor hamis. Tehát mi a megoldás? A megoldás természetesen az, hogy ellentmondó információkat adtam. Ha tényleg találkozna ezzel a felirattal, akkor az azt jelentené, hogy vagy Cellini írt néha igaz állításokat is (ellentétben azzal, amit mondtam), vagy volt egy másik feliratkészítő, aki néha hamis állításokat írt (megint ellentétben azzal, amit mondtam). Vagyis ez valójában nem paradoxon, hanem csalás. Nem találta még ki véletlenül, hogy mi a címe ennek a könyvnek? 257. Felakaszt ani vagy vízbe fojt ani? Ez a népszerű rejtvény egy emberről szól, akit halálbüntetéssel járó bűnténnyel vádolnak. Mondania kell egy állítást. Ha az állítás igaz, akkor vízbe fojtják, ha az állítás hamis, akkor felakasztják. Mit mondjon, amivel zavarba hozhatja kivég-zőit? 258. A borbélyparadoxon. Ez is egy ismert rejtvény. Egy bizonyos kisváros borbélya borotválja a város összes olyan lakóját, aki nem maga borotválkozik, és soha nem borotvál meg senkit, aki maga borotválkozik. A kérdés az, hogy vajon a borhely maga borotválkozik-e vagy nem. Ha igen, akkor megszegi a szabályt, mivel olyasvalakit borotvál, aki maga borotválkozik. Ha nem, akkor is megszegi a szabályt, mivel elmulaszt megborotválni valakit, aki nem maga borotválkozik. Szóval, mit kell tennie a borbélynak? 259. Es most mi a helyzet ? A lovagok és lókötők egyik szigetén két lakos, A és B, a következőket állítják: A: B lókötő. B: A lovag. Meg tudná mondani, hogy A lovag vagy lókötő? Mit mondana B-ről?

A 257., 258. ÉS 259. FELADAT MEGOLDÁSA 257. Csak ennyit kell mondania: „Engem fel fognak akasztani." 258. A válasz az, hogy ilyen borbély létezése logikai lehetetlenség. 259. Azt kell mondania, hogy a szerző megint hazudott. A leírt helyzet teljesen lehetetlen, valójában Jourdain kártyaparadoxona egy kissé más köntösben (La 254. feladatot). Ha A lovag, akkor B tényleg lókötő, ezért A valójában nem lovag! Ha A lókötő, akkor B igazából nem lókötő, hanem lovag, így állítása igaz, ezért A lovag. Tehát A nem lehet sem lovag, sem lókötő, anélkül, hogy ellentmondásra ne jussunk.

B. A PARADOXONT ÓL AZ IGAZSÁGIG Valaki egyszer azt mondta, hogy a paradoxon valamilyen módon az igazság hordozója. A helyzet tényleg az, hogy sok paradoxon tartalmaz olyan ötletet, ami kis változtatással fontos új felfedezéshez vezet. A következő három rejtvény jól szemlélteti ezt. 260. Hol a hiba a t ört énet ben? Craig felügyelő meglátogatott egyszer egy települést, ahol elbeszélgetett az egyik lakossal, egy McSnurd nevű szociológussal. McSnurd professzor a következő szociológiai észrevételeit mesélte el Craignek: „A település lakói különböző klubokat alakítottak. Egy lakos több klubnak is tagja lehet.

Mindegyik klubot valamelyik lakosról nevezték el, és nincs két olyan klub, ami ugyanarról a lakosról lenne elnevezve. Minden lakosról neveztek el klubot. Nem szükségszerű, hogy valaki tagja legyen a róla elnevezett klubnak; ha tagja, akkor azt mondják rá, hogy barátságos,, ha nem, akkor azt, hogy barátságtalan. A település érdekessége, hogy a barátságtalan emberek halmaza éppen egy klub." Craig felügyelő gondolkodott egy kicsit, majd rájött, hogy McSnurd nem lehet valami jó szociológus, a története egyszerűen hihetetlen. Miért? Megoldás. Ez valójában a borbélyparadoxon új köntösben. Tegyük fel, hogy McSnurd története igaz! Ekkor a barátságtalan emberek klubját is valamelyik lakosról nevezték el, mondjuk Jackről. Vagyis ezt a klubot „Jack klubjának" nevezik. Jack pedig vagy barátságos, vagy barátságtalan, de mindkét esetben ellentmondásra jutunk: Tegyük fel, hogy Jack barátságos! Ekkor Jack tagja Jack klubjának, de Jack klubjának csak barátságtalan emberek a tagjai, tehát ez lehetetlen. Másrészt ha Jack barátságtalan, akkor Jack tagja a barátságtalan emberek klubjának, ami azt jelenti, hogy Jack tagja Jack klubjának (ami a barátságtalanok klubja), ami azt jelenti, hogy Jack barátságos. Vagyis mindkét esetben ellentmondásra jutunk. 261. Van-e kém a t elepülésen? Craig felügyelő egyszer ellátogatott egy másik településre, ahol elbeszélgetett egy régi barátjával, egy McSnuff nevű szociológussal. Craig és McSnuff együtt végeztek Oxfordban, és Craig a kifogástalan következtetések emberének ismerte McSnuffot. McSnuff a következő észrevételeket mesélte Craignek a településről: „Ugyanúgy, mint a másik településen, nekünk is vannak klubjaink. Minden lakosról pontosan egy klubot neveztek el és minden klubot elneveztek valakiről. Nálunk ha valaki tagja egy klubnak, akkor ezt teheti nyíltan vagy titokban. Aki nem nyílt tag a róla elnevezett klubban, azt gyanúsnak mondják. Ha valaki titkos tagja a róla elnevezett klubnak, akkor azt kémnek nevezik. Különös sajátsága településünknek, hogy a gyanús egyének halmaza éppen egy klub". Craig felügyelő gondolkodott egy kicsit, majd rájött, hogy ellentétben az előző történettel, ez a t ört énet teljesen ellentmondás-mentes. Sőt, valami érdekes követ kezik belőle nevezetesen az, hogy ebből megállapítható, hogy van-e keni a településen. Van? Megoldás. A gyanús egyének klubját is elnevezték valakiről, mondjuk Johnról. Ez a klub tehát „John klubja". Maga John vagy tagja John klubjának, vagy sem. Tegyük fel, hogy nem! Ekkor ő nem lehet gyanús (hiszen minden gyanús egyén tagja John klubjának). Ez azt jelenti, hogy John nyíltan tagja John klubjának. Vagyis ha John nem tagja John klubjának, akkor John nyíltan tagja John klubjának, ami lehetetlen. Tehát John tagja kell hogy legyen John klubjának. Mivel John klubjának minden tagja gyanús, John is gyanús. Vagyis John nem nyíltan tagja John klubjának, de tagja, tehát titkos tagja - más szavakkal: John kém! Megjegyezném, hogy miután megoldottuk az előző feladatot, egyszerűbb megoldása is van ennek a feladatnak. Vegyük észre, hogy ha nincs kém a településen, akkor a gyanús egyének nem különböznek a barátságtalanoktól, így a gyanús egyének halmaza ugyanaz, mint a barátságtalan emberek halmaza, ami azt, jelenti, hogy a barátságtalan emberek halmaza éppen egy klub. De a 260. feladatnál bebizonyítottuk, hogy a barátságtalan emberek halmaza nem lehet klub. ^miatt ez a feltevés, hogy nincs kém a településen, ellentmondásra vezet, tehát kell lennie kémnek a településen (de ebből a bizonyításból nem tudjuk, hogy ki). Ez a két bizonyítás tökéletesen szemlélteti, hogy a matematikusok mit értenek „konstruktív bizonyításon". A második bizonyítás nem konstruktív abban az értelemben, hogy bár megmutattuk, nem lehetséges az, hogy nincs kém, nem derült ki senkiről, hogy ő történetesen kém. Ezzel szemben az első bizonyítást konstruktívnak nevezhetjük, mivel rámutatott egy tényleges kémre - nevezetesen arra az emberre („John"-nak hívtuk), akiről a gyanús egyének klubját elnevezték. 262. A világegyet em problémája. Egy bizonyos világegyetem -amelyben a lakosok bármelyik részhalmazának egy klub felel meg -irattárosa szeretne minden klubot egy lakosról elnevezni oly módon, hogy ne legyen két klub ugyanarról a lakosról elnevezve, és minden

lakoshoz legyen egy róla elnevezett klub. Ha ebben a világegyetemben csak véges sok lakos lenne, akkor ez lehetetlen volna (hiszen több klub lenne, mint lakos - pl. ha éppen 5 lakos lenne, akkor 32 klub volna (beleértve az üres halmazt); ha 6 lakos lenne, akkor 64 klub volna, általában, ha n lakos lenne, akkor 2 klubnak kellene lennie). De ebben a különleges világegyetemben történetesen végtelen sok lakos van, így az irattáros nem lát okot arra, hogy miért ne készíthetné el ezt a jegyzéket. Évmilliókon át próbálkozott a jegyzék elkészítésével, de minden kísérlete csődöt mondott. Vajon a sikertelenség oka az irattáros tehetségtelensége, vagy valami olyan kísérletbe vágott bele, ami eleve lehetetlen? Megoldás: Lehetetlennel kísérletezett, ezt a híres tényt Georg Can-tor matematikus fedezte fel. Tegyük fel, hogy az irattárosnak sikerült a klubokat elnevezni a lakosokról oly módon, hogy nincs két klub, ami ugyanarról a lakosról lenne elnevezve! Megint nevezzük barátságtalannak azt a lakost, aki nem tagja a róla elnevezett klubnak. A világegyetem barátságtalan embereinek csoportja egy jól definiált halmaz, és tudjuk, hogy a lakosok bármilyen halmaza egy klub. így a barátságtalan emberek lehetetlen klubját kapjuk - ugyanolyan okokból lehetetlen, mint a 260. feladatban (valakiről el van nevezve a klub, és ez a valaki sem barátságos, sem barátságtalan nem lehet anélkül, hogy ellentmondásra ne jussunk). 263. A felsorolt halmazok feladat a. Az előző feladat következik más köntösben; az itt használt fogalmak felbukkannak majd a következő fejezetben is. Egy bizonyos matematikusnak van egy könyve, az ún. Halmazok könyve. Minden oldalán egy számhalmaz leírása szerepel. A „szám" szón most a pozitív egész számokat értjük: 1,2,3...n, ... Egy olyan halmazt, amelyik szerepel valamelyik oldalon, felsorolt halmaznak nevezünk. Az oldalak számozása folyamatos. A feladat egy olyan halmaz megadása, ami nem szerepel a könyv egyik oldalán sem! Megoldás. Adott egy tetszőleges n szám. Nevezzük n-tt rendkívüli számnak, ha n eleme az rc-edik oldalon felsorolt halmaznak, és nevez/.ük n-et rendes számnak, ha n nem eleme az rc-edik oldalon felsorolt halmaznak. A rendes számok halmaza nem lehet felsorolt halmaz, mert ha az volna, akkor annak az oldalnak a száma, amelyen szerepelne, nem lehetne sem rendes, sem rendkívüli szám anélkül,hogy ellentmondásra ne jutnánk.

16. Godei felfedezése A. GÖDELI SZIGET EK Az ebben a fejezetben szereplő feladatok egy híres matematikai logikai tétel megvilágítására szolgálnak, amelyet Kurt Gödel matematikus fedezett fel, és amit a fejezet végén fogunk tárgyalni. 264. A G sziget . Egy bizonyos G sziget lakói kizárólag lovagok, akik mindig igazat mondanak és lókötők, akik mindig hazudnak. A lovagok egy részét „megalapozott lovagoknak" nevezik (ezek azok a lovagok, akik bizonyos értelemben „bizonyítják önmagukat"), és bizonyos lókötőket „megalapozott lókötőknek" hívnak. A sziget lakói különböző klubokat alakítottak. Egy lakos több klubhoz is tartozhat. Ha adott egy tetszőleges X lakos és egy tetszőleges C klub, akkor X vagy azt állítja, hogy ő tagja a C klubnak, vagy azt, hogy nem tagja C-nek. Tudjuk, hogy a következő négy feltétel, Ei, E2, C és G teljesül: Ej: A megalapozott lovagok halmaza éppen egy klub. E2: A megalapozott lókötők halmaza éppen egy klub. C: (Komplementer feltétel): Bármelyik adott C klub esetén a sziget azon lakóinak halmaza, akik nem tagjai C-nek, szintén egy klub. (Ezt a klubot C komplementerének nevezzük, és C-sal jelöljük.) Q: (Gödeli feltétel): Bármelyik adott C klub esetén van legalább egy lakója a szigetnek, aki azt állítja, hogy ő tagja C-nek. (Természetesen lehet, hogy állítása hamis: lehet, hogy az illető lókötő.) 264 a. (Gödel után) 1. Bizonyítandó, hogy van legalább egy megalapozatlan lovag a szigeten.

2. Bizonyítandó, hogy van legalább egy megalapozatlan lókötő a szigeten. 264 b. (Tarski után) 1. Klub-e a sziget lókötőinek halmaza? 2. Klub-e a sziget lovagjainak halmaza? A264 a^feladat megoldása. 1. Az Ei feltétel szerint a megalapozott lovagok E halmaza éppen egy klub. így a C feltétel szerint azoknak az embereknek az halmaza, akik nem megalapozott lovagok, szintén egy klub. Ekkor a G feltétel szerint van legalább egy ember a szigeten, aki azt állítja, hogy ő tagja az klubnak - más szavakkal, az illető azt állítja, hogy ő nem megalapozott lovag. Lókötő nem állíthatja, hogy ő nem megalapozott lovag (mivel egy lókötőre igaz, hogy ő nem megalapozott lovag), tehát az illető lovag. Ha viszont lovag, akkor igaz, amit mond, vagyis ő nem megalapozott lovag. Az illető tehát lovag, de megalapozatlan lovag. 2. Az E2 feltétel szerint a megalapozott lókötők halmaza éppen egy klub. Emiatt (a G feltétel szerint) van legalább egy ember a szigeten, aki azt állítja, hogy ő megalapozott lókötő (azt állítja, hogy tagja a megalapozott lókötők klubjának). Ez az ember nem lehet lovag (mivel egy lovag nem vallhatja magát semmiféle lókötőnek), tehát lókötő. Ezért állítása hamis, vagyis nem megalapozott lókötő. Ez azt jelenti, hogy az illető lókötő, de megalapozatlan lókötő. A264 b. feladat megoldása. 1. Ha a lókötők halmaza egy klub lenne, akkor legalább egy lakos lókötőnek vallaná magát, amit sem lovag, sem lókötő nem tehet. Ezért a lókötők halmaza nem lehet klub. 2. Ha a lovagok halmaza egy klub lenne, akkor (a C feltétel miatt) a lókötők halmaza is klub lenne, így a lovagok halmaza sem lehet klub. Megjegyzések. (1) A 264 b. feladat megoldása egy másik megoldást is ad a 264 a. feladatra, ami bár nem konstruktív, de talán valamivel egyszerűbb. Ha minden lovag megalapozott volna, akkor a lovagok halmaza ugyanaz lenne, mint a megalapozott lovagok halmaza. Ez viszont lehetetlen, hiszen a megalapozott lovagok halmaza (az E, feltétel szerint) klub, míg a lovagok halmaza nem (a 264 b.feladat szerint). Vagyis az a feltevés, hogy minden lovag megalapozott, ellentmondáshoz vezet, ezért kell lennie legalább egy megalapozatlan lovagnak. Hasonlóan, ha minden lókötő megalapozott lenne, akkor a megalapozott lókötők halmaza ugyanaz lenne, mint a lókötők halmaza, ami nem lehetséges, mivel a megalapozott lókötők halmaza klub, de a lókötők halmaza nem. Ellentétben ezzel a bizonyítással, előző bizonyításunkból az is kiderül, hogy bárki, aki azt állítja, hogy ő nem megalapozott lovag, az megalapozatlan lovag, és bárki, aki azt állítja, hogy ő megalapozott lókötő, az megalapozatlan lókötő. (2) Arra adott bizonyításunkban, hogy a lókötők halmaza nem klub, csak a G feltételt használtuk ki, az Ei, E2 és C feltételekre nem volt szükségünk. Vagyis magából a G feltételből következik, hogy a lókötők halmaza nem klub. Valójában a G feltétel ekvivalens azzal az állítással, hogy a lókötők halmaza nem klub. Ha feltesszük, hogy a lókötők halmaza nem klub, akkor ebből le tudjuk vezetni a G feltételt a következőképpen: Vegyünk egy tetszőleges C klubot! Mivel a lókötők halmaza nem klub, C nem a lókötők halmaza. Vagyis vagy van néhány lovag C-ben, vagy van néhány lókötő C-n kívül. Ha van lovag C-ben, akkor ő biztosan azt fogja állítani, hogy tagja C-nek (mivel igazat mond). Ha van lókötő C-n kívül, akkor ő is azt fogja állítani, hogy tagja C-nek (mivel hazudik). Vagyis mindkét esetben van valaki, aki azt állítja, hogy tagja C-nek. 265. Gödeli sziget ek ált alában. Tekintsünk most egy tetszőleges lovag-lókötő szigetet klubokkal. (Lovag-lókötő szigeten természetesen olyan szigetet értünk, amit kizárólag lovagok és lókötők laknak.) Göde-linek nevezünk egy szigetet, ha a G feltétel teljesül rajta, azaz, ha minden C klubhoz van legalább egy lakos, aki azt állítja, hogy tagja a klubnak. Craig felügyelő egyszer ellátogatott egy lovag-lókötő szigetre, ahol klubok voltak. Craig (aki történetesen nagyon művelt ember volt, akinek elméleti érdeklődése legalább olyan erős, mint a gyakorlati) szerette volna tudni, hogy vajon gödeli szigeten van-e. A következőkrejött rá: Minden klubot egy lakosról neveztek el, és mindenkiről elneveztek egy klubot. Egy lakos nem szükségszerűen tagja a róla elnevezett klubnak, ha az, akkor barátságosnak nevezik, ha nem, akkor barátságtalannak. Az X lakost az Y lakos barátjának mondják, ha X igazolja, hogy Y

barátságos. Craig még mindig nem tudta, hogy gödeli szigeten van-e, amíg rá nem jött, hogy a sziget kielégíti a következő feltételt, amit H feltételnek fogunk nevezni: H: Bármilyen C klubhoz létezik egy olyan D klub, hogy D minden tagjának van legalább egy barátja C-ben, és mindenkinek, aki nem tagja D-nek, van legalább egy barátja, aki nem tagja Cnek. Ebből a H feltételből Craig ki tudta deríteni, hogy a sziget gödeli-e. Az? Megoldás. Igen, az. Vegyünk egy tetszőleges C klubot. Legyen D a H feltétel által adott klub. Ezt a D klubot elnevezték valakiről, mondjuk Johnról. John vagy tagja a D klubnak, vagy nem. Tegyük fel, hogy John tagja a D klubnak! Ekkor van egy barátja -nevezzük Jacknek -, aki tagja C-nek, és aki igazolja, hogy John barátságos. Mivel John tagja D-nek, John tényleg barátságos, ezért Jack lovag. Vagyis Jack lovag, és tagja a C klubnak, így Jack azt fogja állítani, hogy tagja a C klubnak. Tegyük fel, hogy John nem tagja a D klubnak! Ekkor Johnnak van egy barátja - nevezzük Jimnek -, aki nem tagja C-nek,és Jim azt állítja, hogy John barátságos. Mivel John nem tagja a D klubnak, John valójában barátságtalan, ezért Jim lókötő. így Jim lókötő, és nem tagja a C klubnak, ezért hazudik, és azt állítja, hogy tagja C-nek. Vagyis John akár tagja a D klubnak, akár nem, létezik egy lakos, aki azt állítja, hogy tagja a C klub-nak. Megjegyzések: Összevetve a 264. és 265. feladat eredményeit, láthatjuk, hogy ha adott egy tetszőleges sziget, ami kielégíti az Ei, E2, C és H feltételeket, akkor lennie kell a szigeten megalapozatlan lovagnak és megalapozatlan lókötőnek. Ez az eredmény valójában Gödel híres nemteljességi tétele kissé más formában, amivel a fejezet C részében még találkozni fogunk. Mellékesen megjegyezném, hogy ha szeretne feladni valamelyik barátjának egy tényleg nehéz feladatot, akkor a 264. feladatot adja fel neki az Ei, E2, C és H feltételekkel (G-t ne említse). Érdekes lesz látni, hogy vajon rájön-e magától a G feltételre.

B. KÉT SZERESEN GÖDELI SZIGET EK Ennek a résznek a feladatai a különösen érdeklődők számára készültek, és lehet, hogy legjobb elhalasztani őket a C rész utánra. „Kétszeresen gödeli szigeten" olyan lovag-lókötő szigetet értünk, amelynek klubjaira a következő GG feltétel teljesül: GG: Ha adott két tetszőleges klub, Ci, és C 2, akkor van két olyan lakos, A és B, hogy A azt állítja, hogy B tagja Ci-nek, és B azt állítja, hogy A lagja C 2-nek. Ahogy én tudom, a GG feltételből nem következik a G feltétel, és a G feltételből sem következik a GG feltétel, teljesen függetlennek látszanak. Vagyis (hajói tudom) egy kétszeresen gödeli sziget nem szükségszerűen gödeli sziget. A kétszeresen gödeli szigetek témaköre egyik kedvenc témám. Az idetartozó rejtvények olyasfajta kapcsolatban vannak Jourdain kettős kártyaparadoxonával, mint amilyenben a gödeli szigetek rejtvényei a hazudós paradoxonnal. 266« A két szeresen gödeli S sziget . Volt szerencsém felfedezni egyszer egy kétszeresen gödeli szigetet, S-et, ahol a G sziget Ei, E2 és C feltételei teljesültek. a) Meghatározható-e, hogy vajon van-e megalapozatlan lovag S-en? És mi a helyzet a megalapozatlan lókötőkkel? b) Meghatározható-e, hogy vajon az S sziget lovagjainak halmaza klub-e? És mi a helyzet a lókötők halmazával? Megoldás: Nézzük először a b) kérdést. Ha a lovagok halmaza éppen, egy klub, akkor a lókötők halmaza is az (a C feltétel szerint), és ha a lókötők halmaza éppen egy klub, akkor a lovagok halmaza is az (megint a C feltétel szerint). Vagyis ha a kettő közül bármelyik halmaz klub, akkor mindkettő az. Tegyük fel, hogy mindkettő az! Ekkor a GG feltétel szerint lennie kell két lakosnak, A-nak és B-nek, akik a következőket állítják: A: B lókötő. B: A lovag. Ez pedig lehetetlen, amint azt a 259. feladat megoldásakor megmutattuk. Ebből tehát az következik, hogy sem a lovagok, sem a lókötők halmaza nem klub.

Ami az a) kérdést illeti, kétféleképpen is megoldhatjuk. Az egyik egyszerűbb, a már megoldott b) kérdésen alapul, de a másik tanulságosabb. Első lehetőség: Mivel a lovagok halmaza nem klub, de a megalapozott lovagok halmaza az, a két halmaz különböző, vagyis nem minden lovag megalapozott. A lókötőkkel hasonló a helyzet. Második lehetőség: Mivel a megalapozott lovagok halmaza klub, klub azoknak a lakosoknak a halmaza is, akik nem megalapozott lovagok. Válasszuk Ci-nek és C 2-nek ezt a két klubot, ekkor van (a GG feltétel szerint) két lakosunk, A és B, akik a következőket állítják: A: B megalapozott lovag. B: A nem megalapozott lovag. Az olvasóra hagyom annak igazolását, hogy A és B közül legalább az egyik megalapozatlan lovag (pontosabban, ha A lovag, akkor ő nem megalapozott lovag, és ha A lókötő, akkor B megalapozatlan lovag). Az érdekes az, hogy bár tudjuk, hogy A és B egyike megalapozatlan lovag, fogalmunk sincs, hogy melyik. (A helyzet pontosan ugyanaz, mint a 134. feladatban Bellini és Cellini két ládikájával: tudjuk, hogy az egyik ládikát Bellini készítette, de nem tudhatjuk, hogy melyiket.) Hasonlóan, mivel a megalapozott lókötők halmaza klub, klub azoknak a lakosoknak a halmaza is, akik nem megalapozott lókötők. Ezért (megint GG szerint) van két ember, A és B, akik a következőket állítják: A: B megalapozott lókötő. B: A nem megalapozott lókötő. Ebből következik, hogy ha B lókötő, akkor ő megalapozatlan lókötő, ha pedig B lovag, akkor A megalapozatlan lókötő (a bizonyítást megint az Olvasóra hagyom), vagyis A vagy B mindkét esetben megalapozatlan lókötő, de nem tudjuk, hogy melyikük. (Ez a feladat lényegében ugyanaz, mint a 135. Bellini-Cellini feladat. 267. Az 5' sziget . Egyszer felfedeztem egy másik kétszeresen gödeli szigetet, S-et, ami még több fejtörést okozott. Az Ei és E2 feltételek teljesültek ezen a szigeten, de azt nem lehetett tudni, hogy C teljesül vagy sem. (Emlékeztetőül: a C feltétel szerint tetszőleges C klub esetén azoknak az embereknek a halmaza is klub, akik nem tagjai C-nek.) Úgy tűnik, azt lehetetlen bebizonyítani, hogy van a szigeten megalapozatlan lovag, vagy hogy van megalapozatlan lókötő. Úgy tűnik, azt is lehetetlen bebizonyítani, hogy a lovagok halmaza nem klub, vagy hogy a lókötők halmaza nem klub. A következőket viszont be lehet bizonyítani: a) Bizonyítandó, hogy van a szigeten megalapozatlan lovag vagy megalapozatlan lókötő. b) Bizonyítandó, hogy nem lehet a lovagok halmaza is és a lókötők halmaza is klub. Megoldás. Először a b) kérdést intézzük el. Tegyük fel, hogy a lovagok halmaza klub, és a lókötők halmaza is klub! Ekkor lenne két lakos, A és B, úgy, hogy A azt állítja, hogy B lókötő, B pedig azt állítja, hogy A lovag, amiről tudjuk, hogy lehetetlen (1. az előző vagy a 259. feladatot). Vagyis nem lehetséges, hogy a lovagok halmaza is és a lókötők halmaza is klub; vagy a lovagok halmaza nem klub, vagy a lókötők halmaza nem klub. Ha a lovagok halmaza nem klub, akkor van megalapozatlan lovag (mivel a megalapozott lovagok halmaza klub), ha a lókötők halmaza nem klub, akkor van megalapozatlan lókötő. De nem tudhatjuk, hogy melyik halmaz nem klub. Ezzel a)-t is bebizonyítottuk. Egy másik (és érdekesebb) bizonyítás arra, hogy van megalapozatlan lovag vagy lókötő, a következő: Mivel a megalapozott lovagok halmaza klub, és a megalapozott lókötők halmaza is klub, van két lakos, A és B, akik a következőket állítják: A: B megalapozott lókötő. B: A megalapozott lovag. Tegyük fel, hogy A lovag! Ekkor állítása igaz, így B megalapozott lókötő, ezért B állítása hamis, vagyis A megalapozatlan lovag. Ha A lókötő, akkor B állítása hamis, ezért B lókötő. De A állítása is hamis, vagyis B nem megalapozott lókötő. Tehát ebben az esetben B egy megalapozatlan lókötő. Emiatt A megalapozatlan lovag vagy B megalapozatlan lókötő (de megint nem tudjuk, hogy melyik). Ez a feladat megint a kétládikás feladatra hasonlít (136. feladat), ahol a két ládika egyikét (nem tudjuk, melyiket) Cellini vagy Bellini készítette (de megint csak nem tudjuk, hogy melyikük).

268. Néhány megoldat lan probléma. Kigondoltam néhány olyan feladatot a gödeli és a kétszeresen gödeli szigetekről, amelyeket nem próbáltam megoldani, mert úgy gondoltam, szórakoztató lehet az Olvasónak megpróbálkoznia saját, eredeti munkával. 268 a. Említettem, hogy amennyire én tudom, a G és GG feltételek egyike sem következik a másikból. Be tudná bizonyítani, hogy sejtésem igaz? (Vagy esetleg cáfolni, de nagyon valószínűtlen, hogy sikerül.) Ehhez olyan szigetet kell konstruálnia, amelyen G teljesül, de GG nem, és egy olyan szigetet, amin GG teljesül, de G nem. Egy sziget konstruálásán azt értem, hogy megadja a következőket: a lakosokat, hogy kik lovagok és kik lókötők, és hogy a lakosok mely halmazai klubok és melyek nem. (Annak, hogy kik megalapozott lovagok és lókötők, ebben a feladatban nincs jelentősége.) 268 b. Be tudná bizonyítani (vagy cáfolni) azt a sejtésemet, hogy az S] szigeten nem feltételenül van megalapozatlan lovag, és nem feltétlenül van megalapozatlan lókötő (bár természetesen az egyik vagy a másik biztos van)? Vagyis tudna olyan szigetet konstruálni, ami kielégíti Ei-et, E2-t és GG-t, és ahol vannak lovagok, de nincsenek megalapozatlan lovagok? És olyat, ahol vannak lókötők, de nincsenek megalapozatlan lókötők? (Ezúttal ahhoz, hogy ilyen szigetet konstruáljon, nem csak a lovagokat, lókötőket és klubokat kell megadnia, hanem azt is, hogy kik a megalapozott lovagok és lókötők.) 268 C . Tegyük fel, hogy az említett szigetek mindegyike megkonstruálható (amiben biztos vagyok, még akkor is, ha én nem bizonyítottam)! Legalább hány lakosnak kell lennie a szigeten az egyes esetekben? Be tudná bizonyítani minden esetben, hogy kevesebbel nem megy?

C. GÖDEL T ÉT ELE 269. Teljes ez a rendszer? Egy bizonyos matematikusnak van egy könyve, amelynek címe: Mondatok könyve. A könyv oldalainak számozása folyamatos, és minden oldalán pontosan egy mondat áll. Egy mondat sem szerepel egynél több oldalon. Egy tetszőleges X mondat esetén annak az oldalnak a számát, amelyiken X szerepel, X oldalszámának hívjuk. A könyv minden mondata természetesen vagy igaz, vagy hamis. Az igaz mondatok egy része a matematikus számára teljesen magától értetődő, és ezeket a magától értetődő igazságokat választotta a matematikus logikai rendszerének axiómáivá. Rendszere bizonyos következtetési szabályokat is tartalmaz, amelyek lehetővé teszik számára, hogy különféle igaz mondatokat bebizonyíthasson az axiómákból, és különféle hamis mondatokat megcáfolhasson. A matematikus teljes mértékben meg van győződve arról, hogy rendszere korrekt abban az értelemben, hogy minden olyan mondat, ami a rendszerben bizonyítható, tényleg igaz, és minden olyan mondat, ami a rendszerben cáfolható, tényleg hamis. Abban viszont nem biztos, hogy rendszere teljes, abban az értelemben, hogy minden igaz mondat bizonyítható, és minden hamis mondat cáfolható. Bizonyítható minden igaz mondat a rendszerben? Cáfolható minden hamis mondat a rendszerben? Ezek azok a kérdések, amikre a matematikus igencsak szeretne választ kapni. Nos, matematikusunknak van egy második könyve is, a Halmazok könyve. Ennek is folyamatos az oldalszámozása, és minden oldalán egy számhalmaz leírása szerepel. („Számon" most a pozitív egész számokat értjük: 1 1, 3, .) Egy tetszőleges számhalmazt felsorolt halmaznak nevezünk, ha leírása szerepel valahol a könyvben. Ha adott egy tetszőleges n szám, akkor előfordulhat, hogy az rc-edik oldalon (a Halmazok könyvében) felsorolt halmaz elemként tartalmazza magát az rc-et. Ha ez történik, akkor n-et rendkívüli számnak fogjuk hívni. Ha pedig adott két szám, n és h, h-t az n asszociálnának nevezzük, ha a /z-adik oldalon szereplő mondat (a Mondatok könyvében) azt állítja, hogy n rendkívüli. Tudjuk, hogy a következő négy feltétel teljesül: Ei: A bizonyítható mondatok oldalszámának halmaza felsorolt halmaz. E2: A cáfolható mondatok oldalszámának halmaza felsorolt halmaz. __C: Tetszőleges felsorolt A halmaz esetén, azoknak a számoknak az A halmaza, amik nem elemei A-nak, felsorolt halmaz. H: Tetszőleges felsorolt A halmaz esetén létezik olyan felsorolt B halmaz, hogy B minden elemének van asszociáltja A-ban, és minden számnak, ami nem eleme B-nek, van olyan asszociáltja, ami nem eleme A-nak. Ez a négy feltétel elég ahhoz, hogy válaszoljunk a matematikus kérdéseire: Bizonyítható-e minden igaz mondat a rendszerben? Cáfolható-e minden hamis mondat a rendszerben? Még azt is meg tudjuk mondani, hogy igaz-e az, hogy az igaz mondatok oldalszámának halmaza felsorolt halmaz, és a hamis mondatok oldalszámának halmaza felsorolt halmaz. Hogyan? Megoldás. A feladat nem más, mint a gödeli szigetek rejtvényei az A részben, más köntösben. Ebben a szereposztásban az igaz mondatok oldalszámai játsszák a lovagok szerepét, a hamis mondatoké a lókötőkét, a bizonyítható mondatoké a megalapozott lovagokét, a cáfolható mondatoké a megalapozott lókötőkét. A felsorolt halmazok játsszák a klubok szerepét. Annak, hogy egy klubot egy adott lakosról neveztek el, most az felel meg, hogy egy halmaz egy adott oldalon szerepel a könyv-ben, így a rendkívüli számok játsszák a barátságos emberek szerepét, az „asszociált" játssza a „barát"-ét. Az első teendőnk ahhoz, hogy megoldjuk a feladatot, az, hogy bebizonyítjuk a G feltétel megfelelőjét, ami ez: G feltétel: Tetszőleges felsorolt A halmazhoz létezik egy mondat, ami akkor és csak akkor igaz, ha az oldalszáma eleme A-nak. Ahhoz, hogy bebizonyítsuk a G feltételt, vegyünk egy tetszőleges felsorolt A halmazt. Legyen

B a H feltétel által adott halmaz, és legyen n annak az oldalnak a száma, amelyen B szerepel. A H feltétel szerint, ha n eleme B-nek, akkor n-nek van egy h asszociáltja A-ban, ha pedig n nem eleme B-nek, akkor n-nek van egy olyan h asszociáltja, ami nem eleme A-nak. Azt állítjuk, hogy a /z-adik oldalon szereplő X mondat az, amit keresünk. Az X mondat azt állítja, hogy n rendkívüli - más szavakkal azt, hogy n eleme B-nek (mivel B az a halmaz, ami az n-edik oldalon szerepel). Ha X igaz, akkor n tényleg eleme B-nek, ezért h eleme A-nak. Vagyis ha X igaz, akkor az ő oldalszáma, h, eleme A-nak. Tegyük fel, hogy X hamis! Ekkor n nem eleme B-nek, ezért h nem eleme A-nak. Vagyis X igaz akkor és csak akkor, ha az oldalszáma eleme A-nak. Bebizonyítottuk a G feltételt, most már könnyen válaszolhatunk a matematikus kérdéseire. Tudjuk, hogy a bizonyítható mondatok oldalszámainak A halmaza felsorolt halmaz, ezért a C feltétel szerint azoknak a számoknak az A halmaza is felsorolt halmaz, amik nem oldalszámai bizonyítható mondatoknak. Emiatt van egy olyan X mondat (a G feltétel szerint), ami akkor és csak akkor igaz, ha oldalszáma eleme A-nak. Az, hogy X oldalszáma eleme A-nak, ugyanazt jelenti, mint hogy X oldalszáma nem eleme A-nak, ami viszont azt jelenti, hogy X nem bizonyítható (mivel A a bizonyítható mondatok oldalszámainak halmaza). Vagyis X akkor és csak akkor igaz, ha X nem bizonyítható. Ez vagy azt jelenti, hogy X igaz és nem bizonyítható, vagy azt, hogy X hamis, de bizonyítható. Azt tudjuk, hogy hamis mondatok nem bizonyíthatók a rendszerben, tehát X igaz, de nem bizonyítható mondat a rendszerben. Ami a hamis, de nem cáfolható mondatot illeti, válasszuk A-nak a cáfolható mondatok oldalszámainak halmazát. Alkalmazva a G feltételt, egy olyan Y mondatot kapunk, ami akkor és csak akkor igaz, ha az oldalszáma egy cáfolható mondat oldalszáma - más szavakkal, Y akkor és csak akkor igaz, ha cáfolható. Ezek szerint Y vagy igaz és cáfolható, vagy hamis és nem cáfolható. Az első lehetőséget ki kell zárnunk, mert cáfolható mondat nem lehet igaz, így Y hamis, de nem cáfolható mondata rendszerben. Ami a többi kérdést illeti, ha a hamis mondatok oldalszámainak halmaza felsorolt halmaz lenne, akkor volna egy olyan Z mondat, ami akkor és csak akkor igaz, ha az oldalszáma egy hamis mondat oldalszáma - más szavakkal, Z akkor és csak akkor lenne igaz, ha hamis lenne, ez pedig lehetetlen. (Ez olyasvalami lenne, mint ez a mondat: „Ez a mondat hamis.") Tehát a hamis mondatok oldalszámainak halmaza nem felsorolt halmaz. Ekkor a C feltétel miatt az igaz mondatok oldalszámának halmaza sem felsorolt halmaz. 270. Gödel t ét ele* A fenti rejtvény valójában Gödel híres nemteljességi tételének egy formája. Kurt Gödel 193 l-ben jelentkezett azzal a kezdeti felfedezéssel, hogy a matematikai igazság egy bizonyos értelemben nem teljesen formalizálható. Sokféle matematikai rendszernél kimutatta - olyan rendszereknél, amelyek bizonyos meglehetősen ésszerű feltételeknek tettek eleget -, hogy mindig lenniük kell mondatoknak, amik bár igazak, nem bizonyíthatók a rendszer axiómáiból! Vagyis nincs olyan formális axiómarendszer, bármilyen ötletesen is konstruálták, amely alkalmas lenne arra, hogy minden matematikai igazságot be lehessen bizonyítani. Gödel először ezt Whitehead és Russel művében, a Prin-cipia Mathematica-b'án bemutatott rendszerre bizonyította, de mint mondtam, a bizonyítás sok különböző rendszerre kiterjed. E rendszerek mindegyikében van a kifejezéseknek egy jól definiált halmaza, a mondatok, amelyek két osztályt alkotnak: vannak igaz mondatok, és hamis mondatok. Bizonyos igaz mondatok a rendszer axiómái, és pontosan adottak a következtetési szabályok, amelyek segítségével bizonyos mondatok bizonyíthatók, mások cáfolhatók. A mondatokon kívül különböző számhalmazok (pozitív, egész) neveit is tartalmazza a rendszer. Egy számhalmazt megnevezhető vagy definiálható halmaznak hívunk, ha a számhalmaz nevét tartalmazza a rendszer (ezek azok a halmazok, amelyeket a fenti rejtvényben „felsorolt" halmazoknak neveztünk). Az a lényeg, hogy az összes mondatot meg lehet számozni, és az összes definiálható halmazt fel lehet sorolni oly módon, hogy rejtvényünk El, E2, C és H feltételei teljesüljenek. (A mondatok sorszámait, amiket eddig „oldalszámnak" hívtunk, a gyakorlatban a mondat Gödel-számának nevezik). A C és H feltételek biztosítása valójában roppant egyszerű, de az Ei és E2 feltétel biztosítása hosszadalmas dolog, bár elvileg nem bonyolult.* Akárhogy is, ha már egyszer kielégítettük ezt a négy feltételt, azok elvezetnek egy olyan mondathoz, ami igaz, de nem bizonyítható a rendszerben.

mondathoz, ami igaz, de nem bizonyítható a rendszerben. A kérdéses X mondatot képzelhetjük olyannak, mint ami saját bizony íthatatlanságát állítja, egy ilyen mondat valóban igaz és nem bizonyítható (épp úgy, mint ha valaki a G szigeten azt állítja, hogy ő nem megalapozott lovag, akkor az illető lovag, de nem megalapozott lovag). Felmerülhet a következő kérdés: Ha egyszer tudjuk Gödel X mondatáról (ami saját bizonyíthatatlanságát állítja), hogy igaz, miért nem csatoljuk rendszerünkhöz mint további axiómát? Nos, ezt természetesen megtehetjük, de ekkor a kiterjesztett rendszer szintén kielégíti az Ei, E2, C és H feltételeket, így kapunk egy másik X mondatot, ami igaz és bizonyíthatatlan a kiterjesztett rendszerben. A kiterjesztett rendszerben több igaz mondatot tudunk bizonyítani, mint a régiben, de még mindig nem az összesét. Megjegyezném, hogy az, ahogy én leírtam Gödel eljárását, némileg különbözik Gödel eredetijétől - elsősorban abban, hogy én használtam az „igazság" fogalmát, Gödel pedig nem. A Gödel-tétel eredeti formájában nem azt mondja, hogy van olyan mondat, ami igaz, de nem (Am i a H f el t ét el t i l l et i : m i n d en

n sz á m h o z l ét ez i k eg y o l ya n m o n d a t , a m i a z t á l l í t j a , h o g y n ren d kí vü l i . En n ek a m o n d a t n a k (m i n t m i n d en m á s m o n d a t n a k i s) va n eg y

Gö d el -sz á m a - n evez z ü k ez t a sz á m o t n *-n a k. Bel á t h a t ó , h o g y eg y t et sz ő l eg es A d ef i n i á l h a t ó h a l m a z eset én a z o kn a k a z

n sz á m o kn a k a B h a l m a z a , a m i kh ez t a rt o z ó

n*

sz á m o k el em ei A-n a k - sz i n t én d ef i n i á l h a t ó h a l m a z . M i vel /?* a z n a ssz o c i á l t j a , a H f el t ét el t el j esü l .)

bizonyítható, hanem azt, hogy ha bizonyos ésszerű feltevéseket teszünk a rendszerről, akkor kell lennie egy olyan mondatnak (amit Gödel meg is mutatott), ami se nem bizonyítható, se nem cáfolható a rendszerben. Az igazság fogalmának szigorú formalizálását Alfréd Tarski végezte el, és ő volt az, aki megmutatta, hogy az ilyen rendszereknél az igaz mondatok Gödel-számának halmaza nem definiálható a rendszerben. Ezt néha így idézik: „Elegendően erős rendszerek esetén a rendszer mondatainak igazsága nem definiálható a rendszeren belül". 271. Végszó. Tekintsük a következő paradoxont: EZT A MONDATOT NEM LEHET BIZONYÍTANI. A paradoxon a következő: Ha a mondat hamis, akkor hamis az, hogy sosem bizonyítható, vagyis bizonyítható, ami azt jelenti, hogy igaz. Tehát ha hamis, akkor ellentmondásra jutunk, vagyis igaz. Most bizonyítottuk, hogy a mondat igaz. Mivel igaz, az amit mond, az tényleg fennáll, ami azt jelenti, hogy sosem bizonyítható. Hát akkor hogy lehet, hogy épp most bizonyítottam (hogyigaz)? Mi a hiba a fenti okoskodásban? Nos, a hiba ott van, hogy a „bizonyíthatóság" fogalma nincs jól definiálva. A „matematikai logika" néven ismert tudományág egyik fontos feladata, hogy a bizonyítás fogalmát pontosan körülírja. Az igazság az, hogy eddig még semmilyen abszolút értelemben nem sikerült teljesen szigorú meghatározást adni a bizonyítás fngalmára; inkább csak egy adott rendszeren belüli bizonyíthatóságról beszélünk. Tegyük fel most, hogy van egy rendszerünk - nevezzük S rendszemek -, ahol az S rendszeren belüli bizonyíthatóság már pontosan definiált fogalom! Tegyük fel azt is, hogy az S rendszer korrekt abban az értelemben, hogy minden, ami bizonyítható a rendszerben, igaz! Tekintsük a következő mondatot: EZ A MONDAT NEM BIZONYÍTHATÓ AZ S RENDSZERBEN. Most egyáltalán nem paradoxont kapunk, hanem inkább egy érdekes igazságot. Ez az érdekes igazság az, hogy a fenti mondat igaz, és nem bizonyítható az S rendszerben. Ez a mondat valójában egy durva megfogalmazása Gödel X mondatának, ami saját bizonyíthatatlanságát állítja, nem abszolút értelemben, hanem csak egy adott rendszeren belül. Szólnék még pár szót a „kétszeresen gödeli" feltételről is, amit a B részben vizsgáltunk. Az igazság az, hogy azok a különféle rendszerek, amiket Gödel vizsgált, nem csak „gödeliek" abban az értelemben, hogy ha adott egy tetszőleges A definiálható halmaz, akkor van egy mondat, ami akkor és csak akkor igaz, ha a Gödel-száma eleme A-nak, hanem „kétszeresen gödel iek" is, amin azt értem, hogy ha adott két tetszőleges definiálható halmaz, A és B, akkor van két olyan mondat, X ésY, hogy X akkor és csak akkor igaz, ha Y Gödel-száma eleme Anak és Y akkor és csak akkor igaz, ha X Gödel-száma eleme B-nek. Ebből (az Ei, E2, és C feltételek felhasználásával) konstruálható egy olyan X, Y pár, hogy X azt állítja, hogy Y bizonyítható (amin azt értem, hogy X akkor és csak akkor igaz, ha Y bizonyítható), és Y azt állítja, hogy X nem bizonyítható. Egyikük (nem tudjuk, hogy melyik) igaz, de nem bizonyítható. Vagy olyan X, Y párt is konstruálhatunk, hogy X azt állítja, hogy Y cálfolható, Y pedig azt

állítja, hogy X nem cáfolható - amibői következik, hogy legalább az egyikük (nem tudjuk, hogy melyik) hamis és nem cáfolható. Olyan X, Y párt is konstruálhatunk (még a C feltételt sem kell használnunk), hogy X azt állítja, hogy Y bizonyítható, Y pedig azt, hogy X cáfolható; egyikük ekkor (nem tudjuk, melyik) igaz, de nem bizonyítható, vagy hamis, de nem cáfolható (megint nem tudjuk, hogy melyik). O, még valami, mielőtt elfelejteném: mi a címe ennek a könyvnek? Nos, a könyv címe: „Mi a címe ennek a könyvnek?"