Mecánica Cuántica y Álgebra de Operadores

October 19, 2021 | Author: Anonymous | Category: N/A

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Temas Selectos de Ingenier´ıa F´ısica III Mecánica Cuántica y Algebra de Operadores

Alejandro Kunold

Escrito con LATEX 2ε

2

Índice general 1. El Experimento de Stern-Gerlach 1.1. Momento magnético . . . . . . . . . . . 1.2. Experimento de Stern-Gerlach . . . . . . 1.2.1. Experimento 1 . . . . . . . . . . 1.2.2. Experimento 2 . . . . . . . . . . 1.2.3. Experimento 3 . . . . . . . . . . 1.3. El estado cu´ antico . . . . . . . . . . . . 1.4. An´ alisis del Experimento 3 . . . . . . . 1.5. Cuarto Experimento de Stern-Guerlach 1.6. Quinto Experimento de Stern-Guerlach

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5 5 6 6 6 7 7 8 9 9

2. Mec´ anica Matricial 2.1. Representaci´ on matricial de los bra’s y los ket’s . . . 2.2. Operadores de Rotaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. El generador de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Eigenestados y Eigenvalores . . . . . . . . . . . . . . 2.5. El operador identidad y los operadores de proyección 2.6. Representaci´ on Matricial de los Operadores . . . . . 2.7. Elementos de matriz del operador adjunto . . . . . . 2.8. Productos de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Valores esperados de los operadores . . . . . . . . . . 2.10. Polarizaci´ on de Fotones . . . . . . . . . . . . . . . .

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11 11 12 12 13 14 14 15 15 16 16

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17 17 18 18 19 20 22 23

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3. Momento Angular 3.1. Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Operadores que Conmutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Eigenestados y Eigenvalores del Momento Angular . . . . . . . . 3.3.1. Esp´ın 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Operadores de Ascenso y Descenso . . . . . . . . . . . . . 3.4. Los elementos de matriz de los operadores de ascenso y descenso 3.5. El Problema de Eigenvalores de Esp´ın 12 . . . . . . . . . . . . . .

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´ INDICE GENERAL

4 4. Evoluci´ on Temporal 4.1. Evoluci´ on Temporal y Ecuación de Schrödinger . 4.2. Dependencia Temporal de los Valores Esperados 4.3. Precesi´ on del esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Resonancia Magnética . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Principio de Incertidumbre de Heisemberg . . . . 4.5.1. Desigualdad de Schwarz . . . . . . . . . . 4.5.2. Principio de Incertidumbre . . . . . . . .

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25 25 27 27 29 31 31 31

5. Mec´ anica Cu´ antica en Una Dimensi´ on 5.1. Eigenestados de la Posici´ on . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. El Operador de Translación . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. El generador de Translaciones . . . . . . . . . . . . . . 5.4. El Operador de Momento en la Base de Posición . . . 5.5. Espacio de Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Paquete de Ondas Gausiano . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Evoluci´ on Temporal de una Part´ıcula Libre . . . . . . 5.8. La Ecuaci´ on de Schr¨ odinger en el Espacio de Posición 5.9. Pozo de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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35 35 36 37 40 41 43 45 46 47

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6. Oscilador Arm´ onico 49 6.1. El Operador Hamiltoniano del Oscilador Armónico . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2. Elementos de Matriz de los Operadores de Ascenso y Descenso . . . . . . . . 51 6.3. La Funci´ on de Onda en el Espacio de Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7. Teor´ıa de Perturbaciones 7.1. Teor´ıa de Perturbaciones 7.1.1. Ejemplo . . . . . 7.2. Teor´ıa de Perturbaciones 7.2.1. ejemplo . . . . .

Independiente del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . Dependientes del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . .

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55 55 57 58 61

Cap´ıtulo 1

El Experimento de Stern-Gerlach El experimento de Stern-Gerlach consiste en la detección del momento magnético de una part´ıcula a través de su trayectoria en un campo magnético altamente no uniforme. En la figura 1.1 puede verse el resultado experimental obtenido por Walther Gerlach en 1922.

1.1.

Momento magn´ etico

El momento magnético de una part´ıcula µ está dado por µ=

IA q r×v qv r×p q u= πr2 = πr2 = L c cT rv 2πrc mrv 2mc

(1.1)

donde I es la corriente, q es la carga de la part´ıcula, v la velocidad, r el radio de la órbita, T su per´ıodo, p el momento lineal y L el momento angular. Esto es cierto si la masa y la carga de la part´ıcula est´ an localizadas en un punto. Para una esfera sólida con carga y masa uniformemente distribuidas 5 q µ= L. (1.2) 6 2mc En general se puede decir que q µ=g L. (1.3) 2mc donde g es el factor giromagnético y depende de como se distribuye la carga y la masa desde el punto de vista cl´ asico. Cu´ anticamente veremos que no es tan simple. En el caso particular del electr´ on y el esp´ın q µ=g S. (1.4) 2mc donde S es el esp´ın del electr´ on. La energ´ıa de una part´ıcula con esp´ın en un campo magnético está dada por U = −µ · B

(1.5)

6

El Experimento de Stern-Gerlach

Figura 1.1: Resultados del experimento de Stern - Gerlach

entonces la fuerza experimentada por la part´ıcula es F = −∇U = ∇ (µ · B) = µz

∂Bz , ∂z

(1.6)

suponiendo que B = kBz (z), es s´ olo función de z y no tiene componentes en x y y.

1.2.

Experimento de Stern-Gerlach

En el experimento de Stern-Gerlach, que puede verse en la figura 1.2, se evapora plata en un horno en el que hay un peque˜ no orificio. Los átomos calientes de plata salen por el orificio y posteriormente son colimados por medio de sucesivos orificios. El haz obtenido pasa por una regi´ on de campo magnético no homogéneo. La fuerza de la eq. (1.6) divide al haz en dos partes, aquella cuyas part´ıculas tienen proyección del esp´ın Sz = −~/2 y aquella que tiene Sz = ~/2. Se puede pensar en tres experimentos de Stern-Gerlach:

1.2.1.

Experimento 1

Un haz de electrones pasa por el campo magnético alineado en z. Salen por un lado la mitad de los ´ atomos de plata que entraron y por el otro la otra mitad. Ver figura 1.3 (a).

1.2.2.

Experimento 2

Un haz de electrones pasa por el campo magnético alineado en z. El haz resultante es pasado nuevamente por un campo magnético alineado en z. Sale un haz de electrones que contiene la mitad de los ´ atomos originales. Ver figura 1.3 (b).

1.3 El estado cu´ antico

7

Figura 1.2: Esquema del experimento de Stern - Gerlach.

1.2.3.

Experimento 3

Un haz de electrones pasa por el campo magnético alineado en z. El haz resultante es pasado nuevamente por un campo magnético alineado en x. En esta etapa intermedia salen la mitad de los electrones por un lado y la otra mitad por el otro lado. Cualquiera de estos dos haces resultantes es pasado por un campo magnético alineado en z. Salen nuevamente dos haces. Ambos contienen la cuarta parte de los átomos originales. Ver figura 1.3 (c)

1.3.

El estado cu´ antico

Dependiendo por donde sale un átomo podemos asignarle un vector que describa su estado. Si sale por el lado positivo de la proyección en z del esp´ın asignamos |+zi y si sale por el lado negativo |−zi. |+zi recibe el nombre de ket. El ket |+zi tiene esp´ın ~/2 y el ket |−zi tiene esp´ın −~/2. Hacemos una serie de suposiciones sobre estos vectores: 1. |+zi y |−zi forman una base completa y ortonormal. Es decir c+ |+zi + c− |−zi = 0

(1.7)

s´ olo si c+ = c− = 0 y el producto interno de estos vectores es h+z |+z i = h−z |−z i = 1,

h+z |−z i = h−z |+z i = 0,

(1.8)

debido a que una part´ıcula con Sz = ~/2 tiene cero amplitud de estar en el estado descrito por Sz = −~/2. h+z| recibe el nombre de bra. 2. El estado m´ as general en el que podemos pensar es |ψi = c+ |+zi + c− |−zi

(1.9)

de donde se puede deducir que c+ = h+z |ψ i ,

c− = h−z |ψ i .

(1.10)

8

El Experimento de Stern-Gerlach

Figura 1.3: Esquema del experimento de Stern - Gerlach. 3. A cada ket le corresponde un bra entonces hψ| = c∗+ h+z| + c∗− h−z| ,

(1.11)

lo que garantiza que 2

2

hψ |ψ i = |c+ | + |c− | .

(1.12)

Adem´ as puede verse que c+ c−

= h+z |ψ i = h−z |ψ i

(1.13) (1.14) 2

Los coeficientes c+ y c− son las amplitudes de probabilidad y sus cuadrados |c+ | y 2 |c− | son las probabilidades de que el átomo de plata tenga esp´ın Sz = ~/2 o Sz = −~/2 respectivamente. Una consecuencia de todo esto es que (|+zi h+z| + |−zi h−z|) |ψi = |ψi

(1.15)

|+zi h+z| + |−zi h−z| = 1.

(1.16)

entonces

1.4.

An´ alisis del Experimento 3

En la primera etapa el estado de los átomos de plata cumple con eiδ− eiδ+ |ψi = √ |+zi + √ |−zi 2 2

(1.17)

1.5 Cuarto Experimento de Stern-Guerlach

9

donde se puede verificar que se cumple que hψ |ψ i = 1. La probabilidad de que un átomo tenga Sz = ~/2 o Sz = −~/2 son respectivamente iδ+ iδ+ ∗ iδ+ −iδ+ e e e e 1 2 √ √ p+ = |h+z |ψ i| = √ = √ = , (1.18) 2 2 2 2 2 iδ− iδ− ∗ iδ− −iδ− e e e e 1 2 √ √ p− = |h−z |ψ i| = √ = √ = , (1.19) 2 2 2 2 2 el promedio del esp´ın a la entrada es ~ ~ hSz i = p+ + p− − =0 2 2

(1.20)

y la dispersi´ on de Sz es

2 ∆Sz2 = Sz2 − hSz i = p+

2 2 ~2 ~ ~ . + p− − = 2 2 4

(1.21)

Una vez que el haz de ´ atomos entra al aparato de Stern-Gerlach alineado en z se divide en dos y la probabilidad de que salga por el lado de Sz = ~/2 es p+ = 1/2 y la de que salga por el lado de Sz = −~/2 es p+ = −1/2. El haz de Sz = ~/2 est´ a en un estado descrito por |+zi entonces p+ = 1 y p− = 0. Adem´ as hSz i = ~/2 y ∆Sz = ~/2. Como la base {|+zi , |−zi} es completa entonces el estado |+xi queda dado por eiδ+ eiδ− |+xi = √ |+zi + √ |−zi . 2 2

(1.22)

Por esto, el haz cuyo estado es |+xi tiene ambas proyecciones en z y da lugar a dos haces: uno con Sz = ~/2 y otro con Sz = −~/2.

1.5.

Cuarto Experimento de Stern-Guerlach

En este se utiliza el dispositivo dise˜ nado por Feynman que regresa a los átomos de plata al lugar original.

1.6.

Quinto Experimento de Stern-Guerlach

En este experimento se utiliza la misma configuración que en el tercer experimento de Stern-Guerlach pero en lugar de proyectar en z proyectamos primero en y y luego en x. Tenemos que el vector de estado correspondiente a Sy = ~/2 es eiγ− eiγ+ eiγ− −iγ+ eiγ+ √ |+yi = √ |+zi + √ |−zi = √ |+zi + |−zi . (1.23) 2 2 2 2 Multiplicando el conjugado de la ecuación anterior por la ec. (1.22) tenemos que |h+y |+x i| =

1 [1 + cos (δ − γ)] . 2

(1.24)

10

El Experimento de Stern-Gerlach

donde δ = δ− − δ+ y γ = γ− − γ+ . Es importante notar que las fases no pueden ser arbitrarias. Para que la ecuaci´ on anterior esté normalizada δ − γ = ±π/2. Se suele tomar δ = 0 y γ = π/2 por lo que obtenemos 1 1 |+xi = √ |+zi + √ |−zi . 2 2

(1.25)

Se puede comprobar f´ acilmente que el ket 1 1 |−xi = √ |+zi − √ |−zi . 2 2

(1.26)

cumple las condiciones de ortonormalidad h+x |+x i = h−x |−x i = 1,

h+x |−x i = h−x |+x i = 0.

(1.27)

Análogamente, los kets que se obtienen para las proyecciones en y i 1 |+yi = √ |+zi + √ |−zi , 2 2

1 i |−yi = √ |+zi − √ |−zi , 2 2

(1.28)

h+y |−y i = h−y |+y i = 0.

(1.29)

cumplen las condiciones de ortonormalidad h+y |+y i = h−y |−y i = 1,

Cap´ıtulo 2

Mec´ anica Matricial En este cap´ıtulo representaremos los bra’s y los ket’s en forma matricial.

2.1.

Representaci´ on matricial de los bra’s y los ket’s

Hacemos las siguientes asignaciones → h+z |ψ i c+ |ψi = Sz h−z |ψ i c− → hψ |+z i hψ |−z i = hψ| Sz

c∗−

c∗+

.

(2.1)

Esto quiere decir que hemos elegido una representación muy particular para la base {|+zi , |−zi}, ésta se muestra a continuaci´ on → h+z |+z i 1 |+zi = Sz h−z |+z i 0 → h+z |−z i 0 |−zi = (2.2) Sz h−z |−z i 1 |+xi

→ Sz

|−xi

→ Sz

|+yi

→ Sz

|−yi

→ Sz

1 =√ 2 1 h+z |−x i =√ h−z |−x i 2

1 1

1 i

h+z |+x i h−z |+x i

1 =√ 2 1 h+z |−y i =√ h−z |−y i 2 h+z |+y i h−z |+y i

1 −1

(2.3)

1 −i

(2.4)

En las ecuaciones anteriores, el sub´ındice Sz significa que la base corresponde a las proyecciones en z del esp´ın.

12

2.2.

Mec´ anica Matricial

Operadores de Rotaci´ on

Si rotamos al vector |+zi 90o sobre el eje j debemos obtener al vector |+xi π |+xi = R j |+zi 2 π |−xi = R j |−zi . (2.5) 2 Al actuar sobre un estado completamente general obtenemos π π π j |ψi = c+ R j |+zi + c− R j |−zi = c+ |+xi + c− |−xi (2.6) R 2 2 2 Es natural preguntarnos cuales son los bras de los kets de la ec. 2.5; una posibilidad es que π h+x| = R j h+z| 2 π h−x| = R j h−z| , (2.7) 2 pero esto es incorrecto ya que, por ejemplo π π π E D E D 1 j R j + z = +z R j + x = h+x |−z i = √ (2.8) h+x |+x i = +z R 2 2 2 2 Por este motivo definimos al operador adjunto π j h+z| 2 π h−x| = R† j h−z| . (2.9) 2 Para el caso particular del operador de rotaciones puede verse que π π D E h+x |+x i = +z R† j R j +z =1 (2.10) 2 2 por lo tanto R† π2 j R π2 j = 1. Los operadores que cumplen esta condición reciben el nombre de operadores unitarios. h+x| = R†

2.3.

El generador de rotaciones

Ahora tratamos de construir un operador que genere rotaciones infinitesimales en lugar de rotaciones de 90o . Veamos si el operador dado por i Jz dφ (2.11) ~ cumple con las condiciones generales de las rotaciones. En la ecuación anterior Jz es un operador que tiene unidades de esp´ın. Además suponemos que es hermitiano, es decir Jz = Jz† . Se puede probar que este operador es unitario R (dφk) = 1 −

R (dφk) R† (dφk) = 1 +

i † Jz − Jz dφ + O dφ2 ~

(2.12)

2.4 Eigenestados y Eigenvalores

13

Ahora tratamos de encontrar las rotaciones finitas R (φk) R (dφk) = R ([dφ + φ] k) i R (φk) 1 − Jz dφ = R ([dφ + φ] k) ~ i R (φk) − R ([dφ + φ] k) = Jz dφR (φk) ~ R (φk) − R ([dφ + φ] k) i l´ım = Jz R (φk) dφ→0 dφ ~ ∂ i − R (φk) = Jz R (φk) . ∂φ ~

(2.13)

La soluci´ on formal de esta ecuaci´ on es

i R (φk) = exp − Jz ~

(2.14)

Esto también se puede demostrar usando la definición de la exponencial exp (x) = l´ım

N →∞

1+

x N N

(2.15)

y el hecho de que N

l´ım R (dφk)

N →∞

2.4.

= R (φk) ,

dφ = l´ım

N →∞

φ . N

(2.16)

Eigenestados y Eigenvalores

Dos estados representan la misma situación f´ısica si los kets que los describen difieren a lo más en una fase. Si rotamos a |+zi o |−zi sobre el eje z deber´ıamos obtener la misma situaci´ on f´ısica R (φk) |+zi = exp (iα) |+zi (2.17) y para esto es importante que Jz |+zi = ζ |+zi

(2.18)

donde ζ es un n´ umero real. Esto puede verse del hecho de que R (φk) |+zi =

i exp − Jz |+zi ~ n n ∞ ∞ X X 1 i 1 i = − Jz |+zi = − ζ |+zi n! ~ n! ~ n n i = exp − ζ |+zi . ~

(2.19)

14

2.5.

Mec´ anica Matricial

El operador identidad y los operadores de proyecci´ on

Como ya hemos visto |ψi = (|+zi h+z| + |−zi h−z|) |ψi = |ψi

(2.20)

|+zi h+z| + |−zi h−z| = 1.

(2.21)

por lo que Los operadores P+ = |+zi h+z| ,

P− = |−zi h−z|

(2.22)

se llaman proyectores ya que al actuar sobre un estado dejan solo la proyección P+ |ψi = c+ |+zi ,

P− |ψi = c− |−zi .

(2.23)

P−2 = P− , P− P+ = 0,

(2.24) (2.25) (2.26)

Estos operadores cumplen con las propiedades P+2 = P+ , P+ P− = 0, P+ + P− = 1.

Esto est´ a relacionado con el experimento de Stern-Gerlach. Cada operador de proyección corresponde a una de las salidas del experimento de Stern-Gerlach.

2.6.

Representaci´ on Matricial de los Operadores

Un operador actuando sobre un ket da por resultado otro ket A |ψi = |ϕi .

(2.27)

Insertando un 1 en medio y multiplicando por |+zi y |−zi obtenemos h+z |A| + zi h+z |A| − zi h+z |ψ i h+z |ϕ i = h−z |A| + zi h−z |A| − zi h−z |ψ i h−z |ϕ i

(2.28)

Ya hab´ıamos visto que |ψi

→ Sz

h+z |ψ i h−z |ψ i

,

|ϕi

→ Sz

h+z |ϕ i h−z |ϕ i

(2.29)

por lo tanto A

→ Sz

h+z |A| + zi h−z |A| + zi

h+z |A| − zi h−z |A| − zi

(2.30)

Por ejemplo, podemos calcular la representación matricial de Jz . En notación de brakets tenemos que ~ ~ (2.31) Jz = P+ − P− 2 2 → h+z |Jz | + zi h+z |Jz | − zi ~/2 0 A = (2.32) Sz h−z |Jz | + zi h−z |Jz | − zi 0 −~/2

2.7 Elementos de matriz del operador adjunto

2.7.

15

Elementos de matriz del operador adjunto

Si el operador A act´ ua sobre un ket se obtiene otro ket diferente y los mismo ocurre con los bras A |ψi = |ϕi , hψ| A = hϕ| . (2.33) Los elementos de matriz del operador A y su adjunto A† son hχ |A| ψi = hχ |ϕ i ,

hψ |A| χi = hϕ |χ i

(2.34)

∗

y como hχ |ϕ i = hϕ |χ i entonces ∗

hχ |A| ψi = hψ |A| χi

(2.35)

Se puede decir entonces que la matriz correspondiente al adjunto de un operador es la transpuesta conjugada del operador original. Si hacemos la asignaci´ on |1i = |+zi y |2i = |−zi y la matriz del operador A queda como Aij = hi |A| ji

(2.36)

entonces A†

ij

∗ = i A† j = hj |A| ii = A∗ji .

(2.37)

De otra forma A→

2.8.

A11 A21

A12 A22

,

†

A∗11 A∗12

A →

A∗21 A∗22

.

(2.38)

Productos de Operadores

De lo que ya hemos visto 2 X

|ii hi| = 1,

i=1

2 X

Pi = 1.

(2.39)

i=1

Los elementos de matriz del producto de dos operadores A y B es (AB)ij = hi |AB| ji .

(2.40)

Insertando un 1 entre los dos operadores en la ecuación anterior obtenemos que (AB)ij =

2 X n=1

hi |A| ni hn |B| ji =

2 X

Ain BAnj

n=1

es el producto de las matrices que representan a los operadores.

(2.41)

16

2.9.

Mec´ anica Matricial

Valores esperados de los operadores

Para un estado dado por |ψi = c+ |+zi + c− |−zi = |+zi h+z |ψ i + |−zi h−z |ψ i

(2.42)

el valor promedio del esp´ın est´ a dado por ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 |c+ | − |c− | = |h+z |ψ i| − |h−z |ψ i| 2 2 2 2 ~ ~ hψ |+z i h+z |ψ i − hψ |−z i h+z |ψ i = 2 2 hψ| Jz (|+zi h+z| + |−zi h−z|) |ψi = hψ |A| ψi

hSz i =

2.10.

(2.43)

Polarizaci´ on de Fotones

Reconocemos dos estados de polarización en los fotones: |xi y |yi. Si un fotón pasa por un polarizador cuyo eje de transmisi´ on es horizontal, los fotones que pueden pasar son aquellos que se encuentran en el estado |yi. La base de estados 1 |Ri = √ (|xi + i |yi) , 2

1 |Li = √ (|xi − i |yi) . 2

(2.44)

Esto corresponde a un campo eléctrico circularmente polarizado E = E0 i exp (ikz − ωt) + iE0 j exp (ikz − ωt) en cuyo frente de onda gira.

(2.45)

Cap´ıtulo 3

Momento Angular El orden en el que realizamos un rotación es importante. Por esto, las rotaciones en general no conmutan y sus generadores tampoco.

3.1.

Rotaciones

Una rotaci´ on al rededor del eje z está dada por    A0x Ax  A0y  = S (φk)  Ay  , Az A0z 



 cos φ − sin φ 0 S (φk) =  sin φ cos φ 0  0 0 1

(3.1)

Una rotaci´ on alrededor del eje x está dada por 

1 S (φi) =  0 0

 0 0 cos φ − sin φ  sin φ cos φ

(3.2)

Una rotaci´ on alrededor del eje y está dada por 

 cos φ 0 sin φ 0 1 0  S (φj) =  − sin φ cos φ

(3.3)

Ahora hacemos dos rotaciones sucesivas infinitesimales al rededor de x y y y le restamos dos rotaciones sucesivas primero al rededor de y y x obteniendo 

0 S (∆φi) S (∆φj) − S (∆φj) S (∆φi) =  ∆φ2 0

−∆φ2 0 0

 0 0  = S ∆φ2 k − I 0

(3.4)

18

Momento Angular

Queremos que las rotaciones de estados cuánticos hagan los mismo entonces R (∆φi) R (∆φj) − R (∆φj) R (∆φi) ( 2 ) ( 2 ) iJx ∆φ 1 Jx ∆φ iJy ∆φ 1 Jy ∆φ = 1− − 1− − ~ 2 ~ ~ 2 ~ ( 2 ) ( 2 ) iJy ∆φ 1 Jy ∆φ iJx ∆φ 1 Jx ∆φ − 1− − 1− − ~ 2 ~ ~ 2 ~ (Jx Jy − Jy Jx ) ∆φ2 (3.5) 1− ~2 Queremos entonces que [Jx , Jy ] = Jx Jy − Jy Jx = i~Jz

(3.6)

donde [Jx , Jy ] recibe el nombre de conmutador. Podemos repetir este procedimiento para las otras dos rotaciones obteniendo [Jz , Jx ] = i~Jy ,

3.2.

[Jy , Jz ] = i~Jx

(3.7)

Operadores que Conmutan

Se dice que dos operadores conmutan cuando [A, B] = 0

→

AB = BA.

(3.8)

Dos operadores que conmutan tienen los mismos eigenvectores A |ai = a |ai BA |ai = Ba |ai AB |ai = Ba |ai A (B |ai) = a (B |ai)

(3.9)

Como supusimos que s´ olo hay uno de estos estados entonces B |ai = b |ai

(3.10)

donde b es una constante entonces podemos reetiquetar a |ai |ai → |a, bi

(3.11)

y se dice que |a, bi es eigenestados simultáneo de A y B.

3.3.

Eigenestados y Eigenvalores del Momento Angular

Aunque la relaci´ on de conmutación de las ecs. (3.6) y (3.7) prueban que los operadores de las componentes del momento no conmutan entre si, se puede ver que el conmutador de J 2 conmuta con cualquiera de ellos J 2 = Jx2 + Jy2 + Jz2

(3.12)

3.3 Eigenestados y Eigenvalores del Momento Angular

19

entonces Jz , J 2 = Jz , Jx2 + Jz , Jy2 = 0

(3.13)

El resultado anterior puede demostrarse utilizando las identidades de conmutadores siguientes [A, B + C] [A, BC]

= [A, B] + [A, C] = B [A, C] + [A, B] C

(3.14) (3.15)

Utilizando el resultado de la secci´ on anterior podemos ver que J 2 |λ, mi = λ~2 |λ, mi Jz |λ, mi = m~ |λ, mi

(3.16) (3.17)

donde λ ≥ 0 dado que J 2 es la magnitud de un vector y además suponemos que hλ, m |λ0 , m0 i = δλ,λ0 δm,m0 .

3.3.1.

(3.18)

Esp´ın 1

M´ as adelante veremos que para λ = 1 los operadores Jx , Jy y Jz se pueden representar matricialmente como     0 1 0 0 −i 0 ~ ~ Jy → Jy = √  i 0 −i  , Jx → Jx = √  1 0 1  , 2 2 0 1 0 0 i 0   1 0 0 Jz → Jz = ~  0 0 0  , (3.19) 0 0 −1 y el cuadrado del m´ odulo de J 

1 J 2 → J2 = 2~  0 0 Los eigenvectores de J2 pueden ser   1 v1 =  0  , 0

0 1 0



 0 v2 =  1  , 0

 0 0  1

(3.20)



 0 v3 =  0  . 1

(3.21)

Pero puede elegirse otra base distinta. Lo que resulta conveniente de esta base es que además son eigenestados de Jz . Esto se debe a que estos estados son degenerados, es decir, que para un sólo estado de J 2 hay, como veremos más adelante, 2λ + 1 estados de Jz . Definimos las siguientes matrices J± = Jx ± iJy

(3.22)

20

Momento Angular

y notamos que tiene el efecto de hacer subir o bajar a los eigenvectores encontrados anteriormente. √ √ J+ v3 = 2~v2 , J+ v2 = 2~v1 , J+ v1 = 0, (3.23) √ √ J− v1 = 2~v2 , J− v2 = 2~v3 , J− v3 = 0. (3.24) (3.25) Decimos entonces que estos son operadores de ascenso y descenso.

3.3.2.

Operadores de Ascenso y Descenso

Los operadores de ascenso y descenso se definen como J+ = Jx + iJy

(3.26)

y †

† J− = Jx − iJy = (Jx + iJy ) = J+ .

(3.27)

El conmutador de estos operadores con Jz es [Jz , J± ] = [Jz , Jx ± iJy ] = i~ (Jy ± iJx ) = ±~J±

(3.28)

En la secci´ on anterior vimos que estos operadores en su forma matricial actuando sobre los eigenvectores de Jz nos llevan de un vector al siguiente. Vemos que esto mismo ocurre con los operadores Jz J± |λ, mi = (J± Jz + [Jz , J± ]) |λ, mi = (J± Jz + ±~J± ) |λ, mi = J± (Jz + ±~) |λ, mi = ~ (m ± 1) |λ, mi .

(3.29)

Adem´ as, para J 2 tenemos que J 2 J± |λ, mi = λ~2 |λ, mi

(3.30)

J± |λ, mi = c± |λ, m ± 1i

(3.31)

Por lo tanto Dado que el cuadrado de la magnitud debe ser mayor que el cuadrado de cualquiera de sus componentes tenemos que

λ, m J 2 − Jz2 λ, m ≥ 0 (3.32) de donde se deduce que ~2 λ − m2 h λ, m| λ, mi ≥ 0

(3.33)

m2 ≤ λ

(3.34)

y finalmente Supongamos que j es el m´ aximo valor que puede tomar m entonces J+ |λ, ji = 0

(3.35)

3.3 Eigenestados y Eigenvalores del Momento Angular

21

Multiplicando J− J+ = Jx2 + Jy2 + i [Jx , Jy ] = J 2 − Jz2 − ~Jz

(3.36)

por el ket |λ, ji debemos obtener cero debido al operador J+ en el lado izquierdo de la ecuaci´ on anterior J− J+ |λ, ji = J 2 − Jz2 − ~Jz |λ, ji = λ − j 2 − j ~2 |λ, ji = 0 (3.37) obteniéndose que λ = j(j + 1). Análogamente, suponemos que j 0 es el m´ınimo valor posible de m J− |λ, j 0 i = 0 J+ J− = Jx2 + Jy2 − i [Jx , Jy ] = J 2 − Jz2 + ~Jz J+ J− |λ, j 0 i = J 2 − Jz2 + ~Jz |λ, j 0 i = λ − j 02 − j 0 ~2 |λ, j 0 i = 0

(3.38)

y por lo tanto λ = j 0 (j 0 − 1). Ambas ecuaciones deben ser iguales j (j + 1) = j 0 j 02 − j 0 j 2 − j 02 + (j + j 0 ) = 0 (j + j 0 ) (j − j 0 ) + (j + j 0 ) = 0 (j + j 0 ) (j − j 0 + 1) = 0

(3.39)

y por lo tanto hay dos soluciones posibles j + j 0 = 0,

j − j 0 + 1 = 0.

(3.40)

La segunda ecuaci´ on no es v´ alida ya que si j = j 0 + 1, se viola nuestra hipótesis inicial en la que j es el valor m´ aximo de m. Por lo tanto nos quedamos con j 0 = j. Podemos reetiquetar los kets de la manera |λ, mi → |j, mi (3.41) donde J 2 |λ, mi = λ~2 |λ, mi Jz |λ, mi = m~ |λ, mi

→ →

J 2 |j, mi = j (j + 1) ~2 |j, mi , Jz |j, mi = m~ |j, mi

(3.42)

Si aplicamos un cierto n´ umero de veces el operador J− al ket |j, ji eventualmente debemos llegar al ket |j, −ji. De no ser as´ı, llegar´ıamos a un estado con m 6= −j para el cual se cumple la ec. (3.38). Esto es una contradicción ya que suponemos que |j, −ji es el estado con menor m. Adem´ as, dado que el n´ umero de veces que aplicamos el operador de descenso J− es un entero j − j 0 = 2j = n, con n un entero, entonces j=

1 3 5 n = 0, , 1, , 2, , 3, · · · 2 2 2 2

(3.43)

Por otro lado, −j ≤ m ≥ j entonces m = j, j − 1, j − 2, j − 3, · · · , 3 − j, 2 − j, 1 − j, −j | {z } 2j+1

estados

(3.44)

22

3.4.

Momento Angular

Los elementos de matriz de los operadores de ascenso y descenso

Cuando J+ o J− act´ uan sobre un estado con proyección z del momento angular dada por el n´ umero cu´ antico m, se obtiene otro estado con m + 1 o m − 1 respectivamente, como puede verse en la ec. (3.31). En la nueva notación J+ |j, mi = c+ ~ |j, m + 1i ,

J− |j, mi = c− ~ |j, m − 1i

(3.45)

Nuestro objetivo ahora es calcular c+ y c− . Calculando el adjunto de las ecuaciones anteriores obtenemos que † hj.m| J+ = hj.m| J− = c∗+ hj.m + 1| ,

† hj.m| J− = hj.m| J+ = c∗− hj.m − 1| .

(3.46)

entonces hj, m |J− J+ | j, mi = c∗+ c+ ~2 hj, m + 1 |j, m + 1 i .

(3.47)

Usando la ec. (3.36) j, m J 2 − Jz2 − ~Jz j, m = j (j + 1) − m2 − m ~2 hj, m |j, m i

hj, m |J− J+ | j, mi =

2

= |c+ | ~2 hj, m + 1 |j, m + 1 i , de donde se deduce, salvo por una fase, que p c+ = j (j + 1) − m (m + 1)

(3.48)

(3.49)

y adem´ as J+ |j, mi =

p

j (j + 1) − m (m + 1)~ |j, m + 1i

(3.50)

Es importante notar que cuando m = j, c+ = 0 como esperábamos de la acción del operador J+ en la ec. (3.35). Similarmente, hj, m |J+ J− | j, mi = c∗− c− ~2 hj, m − 1 |j, m − 1 i ,

(3.51)

y, calculando el braket j, m J 2 − Jz2 + ~Jz j, m = j (j + 1) − m2 + m ~2 hj, m |j, m i

hj, m |J+ J− | j, mi =

2

= |c− | ~2 hj, m − 1 |j, m − 1 i , de donde se deduce, salvo por una fase, que p c− = j (j + 1) − m (m − 1)

(3.52)

(3.53)

y finalmente J− |j, mi =

p j (j + 1) − m (m − 1)~ |j, m − 1i

También se puede notar que se cumple la ec. (3.38)

(3.54)

3.5 El Problema de Eigenvalores de Esp´ın

3.5.

1 2

23

El Problema de Eigenvalores de Esp´ın

1 2

Cambiamos la notaci´ on. Cuando hablamos de momento angular orbital utilizamos la letra L, cuando hablamos de esp´ın utilizamos la letra S y cuando hablamos genéricamente de momento angular o de momento angular total utilizamos la letra J . Para esp´ın 1/2 tenemos las ecuaciones de eigenvalores S 2 |s, mi = s (s + 1) ~2 |s, mi Sz |s, mi = m~ |s, mi .

(3.55) (3.56) donde s = 1/2 y m = 1/2, −1/2. La base está formada entonces por los kets 12 , 21 , 12 , − 12 donde 1 1 1 1 , (3.57) 2 2 = |+zi , 2 , − 2 = |−zi En esta base Sz toma la forma 1 1 1 1

12 , 21|Sz | 21, 21 Sz → 2 , − 2 |Sz | 2 , 2 De la misma forma podemos calcular 1 1 , 2 |S+ | 21 , 12 2

S+ → 1 1 1 1 2 , − 2 |S+ | 2 , 2

1 1 1 1 ~ 1 0

12 , 21|Sz | 21, − 21 = 0 −1 2 2 , − 2 |Sz | 2 , − 2

1 1 1 1 0

12 , 21|S+ | 21, − 21 =~ 0 , − |S | , − + 2 2 2 2

1 0

1 1 1 1 0

12 , 21|S− | 21, − 21 =~ 1 , − |S | , − − 2 2 2 2

0 0

(3.58)

(3.59)

y S− →

1 1 1 1

12 , 21|S− | 21, 21 2 , − 2 |S− | 2 , 2

(3.60)

De las ecs. (3.26) y (3.27) S+ S−

= Sx + iSy = Sx − iSy

Sx

=

Sx

=

(3.61) (3.62)

y sus relaciones inversas son S+ + S− 2 S+ − S− 2i

(3.63) (3.64) (3.65)

y sus representaciones matriciales son Sx →

~ 2

0 1

1 0

(3.66)

y ~ Sy → 2

0 −i i 0

(3.67)

24

Momento Angular

De estos resultados podemos definir las matrices de Pauli de la relación Sx → donde

σx =

0 1

1 0

~ σx , 2

Sy →

,

σy =

~ σy , 2

0 −i i 0

Sz →

~ σz 2

,

σz =

(3.68)

1 0 0 −1

(3.69)

Cap´ıtulo 4

Evoluci´ on Temporal En este cap´ıtulo estudiamos como cambian en el tiempo los estados de un sistema. Veremos que el generador de las evoluciones temporales es el Hamiltoniano del sistema.

4.1.

Evoluci´ on Temporal y Ecuaci´ on de Schr¨ odinger

Queremos encontrar un operador que nos especifique como evoluciona en el tiempo el estado de un sistema |ψ (t)i = U (t) |ψ (0)i . (4.1) Este operador debe ser unitario para que se conserve la probabilidad igual a uno o bien la normalizaci´ on. De igual manera que lo hicimos para las rotaciones podemos escribir al operador de evoluci´ on temporal de un diferencial de tiempo como i Hdt (4.2) ~ donde H es el generador de translaciones temporales. Pero no hemos contestado que es H. En el cap´ıtulo anterior vimos que Jz era el generador de rotaciones al rededor del eje z. En otras palabras, Jz genera rotaciones de la forma θ → θ + ∆θ. Puede decirse que Jz genera una transformaci´ on en su variable canónicamente conjugada. La función lagrangiana de un rotor es 1 (4.3) L θ, θ˙ = I θ˙2 − V 2 El momento conjugado de la variable θ es U (dt) = 1 −

pθ =

∂L = I θ˙ = Jz ∂ θ˙

(4.4)

Esto mismo puede deducirse de las ecuaciones de la función Hamiltoniana H

=

θ˙

=

1 2 p +V 2I θ ∂H 1 1 = pθ = J z ∂pθ I I

(4.5) (4.6)

26

Evoluci´ on Temporal

Resumiendo pθ = Jz produce una transformación θ → θ + ∆θ sobre su variable conjugada. Queremos que las evoluciones temporales tengan esta misma propiedad. Por ahora sabemos que la transformaci´ on que se produce es de la forma t → t + ∆t y queda la pregunta ¿Cuál es la variable conjugada de t?. Es fácil verificar que el momento conjugado de t es H ya que ∂H ∂H t˙ = = = 1. ∂pt ∂H

(4.7)

Entonces, el operador hermitiano que produce evoluciones temporales es el Hamiltoniano. Adem´ as si H no depende del tiempo entonces

hψ (t) |H| ψ (t)i = ψ (0) U † (t) HU (t) ψ (0) = hψ (0) |H| ψ (0)i . (4.8) Por otro lado, si la funci´ on hamiltoniana no depende del tiempo entonces esta coincide con la energ´ıa del sistema y se conserva por lo tanto hEi = hψ (t) |H| ψ (t)i = hψ (0) |H| ψ (0)i .

(4.9)

Es f´ acil inferir que U (t + dt) = U (dt) U (t) =

i 1 − Hdt U (t) ~

(4.10)

por lo tanto i U (t + dt) − U (t) = − HU (t) . (4.11) dt ~ Esto quiere decir que el operador de evolución temporal satisface la ecuación diferencial ∂ i U (t) = − HU (t) . ∂t ~

(4.12)

Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por el estado inicial |ψ (0)i obtenemos ∂ i |ψ (t)i = − H |ψ (t)i , ∂t ~

(4.13)

esta es la ecuaci´ on de Schr¨ odinger. Si H no es una funci´ on del tiempo, entonces, la solución de la ecuación diferencial (4.12) i U (t) = exp − H . (4.14) ~ Otra forma de reproducir este resultado es U (t) = l´ım U N →∞

N

(dt) = l´ım

N →∞

i 1 − Hdt ~

N

i = exp − H . ~

(4.15)

Los eigenestados del hamiltoniano cumplen con H |Ei = E |Ei

(4.16)

4.2 Dependencia Temporal de los Valores Esperados

27

y adem´ as n ∞ X i |Ei − tH ~ n=0 n ∞ X i i = − tE |Ei = exp − Et |Ei ~ ~ n=0

i exp − Ht |Ei = ~

Entonces, si el estado inicial es un eigenestado de la energ´ıa |ψ (0)i = |Ei i i |ψ (t)i = exp − Ht |Ei = exp − Et |Ei , ~ ~

(4.17)

(4.18)

estos se llaman estados estacionarios.

4.2.

Dependencia Temporal de los Valores Esperados

El valor esperado de un operador A se define como hAi = hψ (t) |A| ψ (t)i

(4.19)

i ∂A d hAi = hψ (t) |[H, A]| ψ (t)i + ψ (t) ψ (t), dt ~ ∂t

(4.20)

y su derivada temporal es

donde el término ∂A/∂t conserva la variación del operador en si. Si el operador no tiene variaci´ on temporal entonces, la variación de su valor esperado sólo depende del conmutador [H, A]. Se puede decir que si un operador conmuta con el hamiltoniano entonces, la cantidad f´ısica representada por el operador se conserva.

4.3.

Precesi´ on del esp´ın

El hamiltoniano para un esp´ın en presencia de campo magnético es H = −µ · S =

ge BSz = ω0 Sz 2mc

(4.21)

donde B = Bk y ω0 = geB/2mc. Como [Sz , H] = 0

(4.22)

entonces, los eigenestados de Sz son eigenestados de H ~ω0 |+zi = E+ |+zi 2 ~ω0 H |−zi = ω0 Sz |−zi = − |−zi = E− |−zi 2

H |+zi = ω0 Sz |+zi =

(4.23) (4.24)

28

Evoluci´ on Temporal

Se puede notar que en este caso en particular el operador de evolución temporal coincide con una rotaci´ on al rededor del eje z por un ángulo ω0 t ω0 t U (t) = exp −i Sz = R (φk) . (4.25) ~ Si por ejemplo |ψ (0)i = |+zi, entonces, el estado es estacionario y tenemos ω0 t ω0 t |ψ (t)i = exp −i Sz |+zi = exp −i |+zi ~ 2

(4.26)

Si por otro lado |ψ (0)i = |+xi entonces ω0 t 1 ω0 t Sz |+xi = exp −i Sz √ (|+zi + |−zi) |ψ (t)i = exp −i ~ ~ 2 1 −iω0 t/2 = √ e |+zi + eiω0 t/2 |−zi 2 1 = √ e−iω0 t/2 |+zi + eiω0 t |−zi 2

(4.27)

Las probabilidades de que el electrón se encuentre en alguno de los eigenestados de Sz son −iω t/2 2 e 0 = 1, |h+z |ψ (t) i| = √ 2 2

iω t/2 2 e 0 1 |h−z |ψ (t) i| = √ = . 2 2 2

2

(4.28)

Esto es lo que esper´ abamos ya que |ψ (t)i es siempre perpendicular al eje z. El valor esperado de Sz es entonces 1 ~ 1 ~ hSz i = hψ (t) |Sz | ψ (t)i = + − (4.29) 2 2 2 2 En cambio, para las componentes x y y se observa un comportamiento no trivial. Las amplitudes de probabilidad est´ an dadas por

1 √ h+z| + 2 ω0 t = cos 2 1 √ h+z| − h−x |ψ (t) i = 2 ω0 t = cos 2

h+x |ψ (t) i =

−iω0 t/2 e 1 eiω0 t/2 √ h−z| √ |+zi + √ |−zi 2 2 2 (4.30) −iω0 t/2 1 e eiω0 t/2 √ h−z| √ |+zi − √ |−zi 2 2 2 (4.31)

y las probabilidades son entonces 2

|h+x |ψ (t) i| = cos

2

ω0 t 2

,

2

2

|h−x |ψ (t) i| = sin

ω0 t 2

.

(4.32)

4.4 Resonancia Magn´ etica

29

Con estos resultados podemos calcular el valor esperado del esp´ın Sx ω0 t ~ ω0 t ~ ~ hSx i = cos2 + sin2 − = cos (ω0 t) 2 2 2 2 2

(4.33)

o bien hSx i = hψ (t) |Sx | ψ (t)i ~ ~ 0 iω t/2 −iω t/2 0 0 = √ e e 1 2 2 ~ = cos (ω0 t) . 2

1 0

~ √ 2

e−iω0 t/2 eiω0 t/2

(4.34)

obteniéndose el mismo resultado. De la misma forma podemos calcular las probabilidades y el valor esperado del operador Sy 2

=

2

=

|h+y |ψ (t) i|

|h−y |ψ (t) i|

hSy i =

1 + sin (ω0 t) , 2 1 − sin (ω0 t) , 2 ~ sin (ω0 t) . 2

(4.35) (4.36) (4.37)

De estos resultados puede verse que el esp´ın hace una precesión alrededor del eje del campo magnético.

4.4.

Resonancia Magn´ etica

En la secci´ on anterior el campo magnético era independiente del tiempo por lo tanto sólo obtuvimos una precesi´ on al rededor de su eje. Si ahora agregamos una componente del campo magnético que dependa del tiempo podemos observar efectos de resonancia. El hamiltoniano est´ a dado por H = −µ · B =

ge ge S·B = S · (B1 cos ωti + B0 k) = ω0 Sz + ω1 cos ωtSx 2mc 2mc

(4.38)

donde hemos definido ω0 = egB0 /2mc y ω1 = egB1 /2mc. La evolución temporal del estado queda dada por a (t) |ψ (t)i = a (t) |+zi + b (t) |−zi → (4.39) b (t) suponiendo que el estado inicial es |ψ (0)i = |+zi →

1 0

(4.40)

30

Evoluci´ on Temporal

En la base de los eigenestados de Sz el hamiltoniano (4.38) se escribe como ~ω0 ~ω1 1 0 0 cos (ωt) H = ω0 Sz + ω1 cos ωtSx → + 0 −1 1 2 2 ~ ω0 ω1 cos ωt = ω1 cos ωt ω0 2

1 0

(4.41)

La ecuaci´ on de Schr¨ odinger dependiente del tiempo es ∂ |ψ (t)i → ∂t ~ a˙ (t) ω0 ω1 cos ωt a (t) = i~ ω1 cos ωt ω0 b (t) b˙ (t) 2

H |ψ (t)i = i~

(4.42)

Si ω1 = 0 entonces la soluci´ on ser´ıa a (t) = a (0) e−iω0 t/2 ,

b (t) = b (0) eiω0 t/2

Esto sugiere que la soluci´ on general sea de la forma a (t) c (t) e−iω0 t/2 = . b (t) d (t) eiω0 t/2 Sustituyendo esta ecuaci´ on en (4.42) obtenemos ω1 c˙ (t) d (t) eiω0 t cos (ωt) i = c (t) e−iω0 t d˙ (t) 2 ω1 d (t) ei(ω0 +ω)t + ei(ω0 −ω)t = c (t) ei(ω−ω0 )t + e−i(ω+ω0 )t 4 Suponiendo que nos encontramos cerca de la resonancia, ω ∼ ω0 , obtenemos que Z t Z t ic˙ (t) = d (t) ei(ω0 +ω)t + d (t) ei(ω0 −ω)t 0

(4.43)

(4.44)

(4.45)

(4.46)

0

la primera integral en el lado derecho de la ecuación anterior consiste de un término que oscila lentamente d (t) multiplicado por un término que oscila rápidamente exp [i (ω0 + ω) t]. Si el tiempo t en esa integral es suficientemente largo entonces las rápidas oscilaciones anulan la integral. Entonces Z t

ic˙ (t) =

d (t) .

(4.47)

0

Llevando a cabo este mismo c´ alculo para la otra ecuación obtenemos ω1 c˙ (t) d (t) i = c (t) d˙ (t) 4 derivando con respecto al tiempo una vez más obtenemos ω1 c˙ (t) d (t) i = c (t) d˙ (t) 4

(4.48)

(4.49)

4.5 Principio de Incertidumbre de Heisemberg

4.5.

31

Principio de Incertidumbre de Heisemberg

En esta secci´ on veremos el principio de incertidumbre de Heisemberg.

4.5.1.

Desigualdad de Schwarz

Si tenemos dos vectores no necesariamente ortonormales |αi y |βi entonces cumplen con la siguiente desigualdad 2 hα |α i hβ |β i ≥ |hα |β i| (4.50) Para demostrar esta desigualdad proponemos un estado |ψi = |αi + λ |βi

(4.51)

hα |α i + λ hα |β i + λ∗ hβ |α i + λλ∗ hβ |β i ≥ 0

(4.52)

dado que hψ |ψ i ≥ 0 tenemos que

Encontramos el valor de λ que minimiza el término de la izquierda ∂ hψ |ψ i = hα |β i + λ∗ hβ |β i = 0 ∂λ ∂ hψ |ψ i = hβ |α i + λ hβ |β i = 0 ∂λ∗

(4.53) (4.54)

De estas ecuaciones puede deducirse que λ=

hβ |α i , hβ |β i

λ∗ =

hα |β i hβ |β i

(4.55)

y sustituyendo el valor de λ y λ∗ en la ec. (4.52) obtenemos hα |α i −

hβ |α i hα |β i hα |β i hβ |α i hα |β i − hβ |α i + hβ |β i ≥ 0 2 hβ |β i hβ |β i hβ |β i

hα |α i −

|hα |β i| ≥0 hβ |β i

2

2

hα |α i hβ |β i ≥ |hα |β i|

(4.56)

Con esto queda demostrada la desigualdad.

4.5.2.

Principio de Incertidumbre

Ahora supongamos que los estados |αi y |βi están dados por |αi = (A − hAi) |ψi |βi = (B − hBi) |ψi

(4.57) (4.58)

donde A y B son dos operadores hermitianos cuyo conmutador está dado por [A, B] = iC.

(4.59)

32

Evoluci´ on Temporal

Por construcci´ on C debe ser hermitiano también. Notamos que D E

2 2 hα |α i = (A − hAi) = ∆A2 = A2 − hAi D E

2 2 hβ |β i = (B − hBi) = ∆B 2 = B 2 − hBi

(4.60) (4.61)

También se puede verificar f´ acilmente que ∆A∆B

= =

1 1 (∆A∆B − ∆B∆A) + (∆A∆B + ∆B∆A) 2 2 1 1 [∆A, ∆B] + {∆A, ∆B} 2 2

(4.62)

El valor esperado del conmutador de la expresión anterior es un n´ umero puramente imaginario ya que † † [∆A, ∆B] = [A, B] = − [A, B] = iC = (iC) , (4.63) por otro lado, el anticonmutador es puramente real ya que †

{∆A, ∆B} = {∆A, ∆B} .

(4.64)

Entonces el valor esperado de (4.62) es h∆A∆Bi =

1 1 h[A, B]i + h[A, B]i 2 | {z } 2 | {z } imaginario

(4.65)

real

entonces

1 1 2 2 |h[A, B]i| + |h[A, B]i| (4.66) 4 4 Si quitamos el u ´ltimo término de la derecha, la relación se hace más fuerte ya que si c2 ≥ 2 2 a + b entonces también c2 ≥ a2 por lo tanto 2

|h∆A∆Bi| =

2

|h∆A∆Bi| =

1 2 |h[A, B]i| 4

(4.67)

y finalmente 1 2 |hCi| 4 Sustituyendo esta relaci´ on y las ecs. (4.60) y (4.61) en (4.56) obtenemos 2

|h∆A∆Bi| ≤

∆A2

1 2 ∆B 2 ≥ |hCi| . 4

(4.68)

(4.69)

Esta recibe el nombre de desigualdad de Heisemberg. Un caso particular interesante es el de la energ´ıa y el tiempo. El operador de energ´ıa que se define como ∂ pt = i~ (4.70) ∂t es conjugado al tiempo t ya que [pt , t] = i~. (4.71)

4.5 Principio de Incertidumbre de Heisemberg

33

Si hacemos A = pt y B = t en la desigualdad de Heisemberg (4.69) obtenemos

∆p2t

1 2 ∆t2 ≥ |hi~i| . 4

(4.72)

~2 . ∆t2 ≥ 4

(4.73)

que es lo mismo que

∆E 2

34

Evoluci´ on Temporal

Cap´ıtulo 5

Mec´ anica Cu´ antica en Una Dimensi´ on Hasta ahora solo hemos estudiado el momento angular, pero los sistemas f´ısicos son representados por otras cantidades f´ısicas importantes. En este cap´ıtulo estudiamos cantidades como la posici´ on y el momento de part´ıculas restringidas a una sola dimensión.

5.1.

Eigenestados de la Posici´ on

Los eigenestados de la posici´ on cumplen con la ecuación x ˆ |xi = x |xi

(5.1)

donde x ˆ es el operador de posici´ on y |xi es el estado de posición con −∞ < x < ∞. Entre estos estados y los estados de esp´ın hay una gran diferencia. Los estados de esp´ın tienen dos eigenvalores posibles y puede llevarse a cabo una medición obteniéndose alguno de ellos. Sin embargo, en estos estados no tiene sentido hacer una medición de la posición, en todo caso podemos encontrar la posición de la part´ıcula en alg´ un rango ∆x. En este caso un estado general puede escribirse como la superposición de varios estados de posici´ on Z ∞ |ψi = dxc (x) |xi (5.2) −∞

Si consideramos que estos estados están ortonormalizados seg´ un hx |x0 i = δ (x − x0 )

(5.3)

entonces podemos encontrar que los coeficientes en la ec. (5.2) se pueden calcular como hx0 |ψ i =

Z

∞

−∞

dxc (x) hx0 |x i =

Z

∞

−∞

dxc (x) δ (x − x0 ) = c (x0 )

(5.4)

36

Mec´ anica Cu´ antica en Una Dimensi´ on

por lo que podemos reescribir la ec. (5.2) como Z Z ∞ |ψi = dx |xi hx |ψ i =

∞

dx |xi hx| |ψi .

(5.5)

−∞

−∞

En forma similar a las ecs. (1.15) y (1.16) podemos ver que Z ∞ dx |xi hx| = 1.

(5.6)

−∞

Supongamos ahora que |ψi es un estado normalizado pero arbitrario en todo lo demás, entonces Z Z Z Z 0 0 0 hψ |ψ i = dx dx hψ |x i hx |x i hx |ψ i = dx0 dx hψ |x i hx0 |ψ i δ (x − x0 ) Z 2 = dx |hx |ψ i| = 1. (5.7) 2

Podemos identificar a dx |hx |ψ i| con la probabilidad de encontrar a la part´ıcula entre x y x + dx. As´ı, el n´ umero complejo hx |ψ i es la amplitud de probabilidad de encontrar a la part´ıcula entre x y x + dx y en general depende de la posición. A esta función de posición la denominamos funci´ on de onda y se denota de la siguiente forma ψ (x) = hx |ψ i y la condici´ on de unitariedad (5.7) toma la forma Z Z 2 ∗ dxψx ψx = dx |ψx| = 1.

(5.8)

(5.9)

Con esta definiciones podemos ver que forma toman algunas cantidades comunes: 1. El producto de dos kets |ϕi y |ψi Z Z hϕ |ψ i = dx hϕ |x i hx |ψ i = dxϕ∗ (x) ψ (x) .

(5.10)

2. El valor esperado de un operador tal como la posición Z Z hψ |ˆ x| ψi = hψ| dxˆ x |xi hx |ψ i = hψ| dxx |xi hx |ψ i Z Z Z 2 = dxx hψ |x i hx |ψ i = dxxψ ∗ (x) ψ (x) = dxx |ψ (x)| (5.11)

5.2.

El Operador de Translaci´ on

La transformaci´ on natural para la base de eigenestados es la translación definida como T (a) |xi = |x + ai .

(5.12)

5.3 El generador de Translaciones

37

Supongamos que |ψi es un estado arbitrario y al ser modificado por una translación se obtiene |ψ 0 i = T (a) |ψi , hψ 0 | = hψ| T (a) . (5.13) insertando un 1 en el lado derecho de la ecuación anterior obtenemos Z Z |ψ 0 i = T (a) dx0 |x0 i hx0 |ψ i = dx0 |x0 + ai hx0 |ψ i ,

(5.14)

por lo tanto, el estado |ψ 0 i en representación de coordenadas espaciales toma la forma Z ψ 0 (x) = hx |ψ 0 i = hx |T (a)| ψi = dx0 hx |T (a)| x0 i hx0 |ψ i Z Z 0 0 0 = dx hx |x + a i hx |ψ i = dx0 δ (x − x0 − a) hx0 |ψ i = ψ (x − a) (5.15) en la ecuaci´ on anterior hemos insertando un 1 entre el operador T (a) y el ket |ψi. El operador de translaciones debe ser unitario ya que

hψ 0 |ψ 0 i = ψ T † (a) T (a) ψ = hψ |ψ i ,

(5.16)

entonces T † (a) T (a) = 1

(5.17)

T (−a) T (a) = 1

(5.18)

T † (a) = T (−a) .

(5.19)

y adem´ as, como entonces De esta ecuaci´ on y (5.13) podemos ver que

ψ 0 (x) = hx |ψ 0 i = hx |T (a)| ψi = x T † (−a) ψ = hx − a |ψ i = ψ (x − a) .

(5.20)

lo que reproduce el resultado obtenido de la ec. (5.15).

5.3.

El generador de Translaciones

De la misma forma que hemos hecho antes, consideramos el operador de translaciones infinitesimales dado por i T (dx) = 1 − pˆx dx (5.21) ~ donde la acci´ on de este operador sobre un ket de posición está dado por T (dx) |xi = |x + dxi

(5.22)

y pˆx es un operador desconocido por el momento. Deseamos que esta transformación sea unitaria como lo vemos en la ec. (5.17) por lo tanto i i † i † 1 − pˆx dx 1 + pˆx dx = 1 + pˆ − pˆx dx (5.23) ~ ~ ~ x

38

Mec´ anica Cu´ antica en Una Dimensi´ on

por lo tanto pˆ†x = pˆx .

(5.24)

En otras palabras, el operador generador de translaciones pˆx es hermitiano. Por otro lado, en la secci´ on 4.1 hemos visto que un operador genera transformaciones en su operador can´ onicamente conjugado. En el caso de la posición en un problema unidimensional ∂L px = (5.25) ∂ x˙ lo que indica que px y x son variables canónicamente conjugadas y por lo tanto px genera transformaciones de la forma x → x + dx. De la misma forma que lo hicimos en el cap´ıtulo 4 i (5.26) T (x + dx) = T (x) T (dx) = T (x) 1 − pˆx dx ~ análogamente T (x + dx) T (x + dx) − T (x) dx ∂T (x) ∂x

= T (dx) T (x) =

i 1 − pˆx dx T (x) ~

i = − pˆx T (x) ~ i = − pˆx T (x) , ~

(5.27)

la soluci´ on a esta ecuaci´ on diferencial, con la condición inicial T (0) = 1 da por resultado i px T (x) = exp − xˆ (5.28) ~ Al igual que en el cap´ıtulo 4, también podemos utilizar la definición de la función exponencial N i a a = dx. (5.29) T (a) = l´ım 1 − pˆx , l´ım N →∞ N →∞ N ~ N Calculamos el efecto del conmutador [ˆ x, T (dx)] sobre un estado |ψi arbitrario [ˆ x, T (∆x)] |ψi = =

= = =

[ˆ xT (∆x) − T (∆x) x ˆ] |ψi Z [ˆ xT (∆x) − T (∆x) x ˆ] dx |xi hx |ψ i Z Z x ˆ dx |x + ∆xi hx |ψ i − T (∆x) dxx |xi hx |ψ i Z Z dx (x + ∆x) |x + ∆xi hx |ψ i − dxx |x + ∆xi hx |ψ i Z Z ∆x dxx |x + ∆xi hx |ψ i = ∆xT (∆x) dxx |xi hx |ψ i i ∆xT (∆x) |ψi = ∆x 1 − pˆx ∆x |ψi = ∆x |ψi (5.30) ~

5.3 El generador de Translaciones

39

y como |ψi es un ket arbitrario, podemos generalizar [ˆ x, T (∆x)] = ∆x.

(5.31)

Por otro lado

∆x [ˆ x, pˆx ] . ~ Juntando los resultados de las ecs. (5.31) y (5.32) vemos que [ˆ x, T (∆x)] = −i

[ˆ x, pˆx ] = i~.

(5.32)

(5.33)

En general, podemos escribir el hamiltoniano de una part´ıcula unidimensional en la forma ˆ = pˆx + V (ˆ H x) y (5.34) 2m podemos encontrar las ecuaciones de movimiento a partir de la ecuación de Schrödinger (4.13) ∂ hˆ xi = ∂t = = =

∂ hψ (t)| ∂ |ψ (t)i x ˆ |ψ (t)i + hψ (t)| x ˆ ∂t ∂t h E iD E i E iD iD ˆ ˆ ˆ ψ (t) H x ˆ ψ (t) − ψ (t) ˆ xH ψ (t) = ψ (t) H, x ˆ ψ (t) ~ ~ ~ 1 i (ˆ px [ˆ px , x ˆ] + [ˆ px , x ˆ] pˆx ) ψ (t) ψ (t) ~ 2m 1 hˆ px i hψ (t) |ˆ px | ψ (t)i = , (5.35) m m

donde hemos utilizado la identidad de conmutadores [A, BC] = B [A, C] + [A, B] C.

(5.36)

De la misma manera podemos hacer ∂ hψ (t)| ∂ |ψ (t)i pˆx |ψ (t)i + hψ (t)| pˆx ∂t ∂t h E E iD E i iD iD ˆ ˆ ˆ = ψ (t) H pˆx ψ (t) − ψ (t) ˆ px H ψ (t) = ψ (t) H, pˆx ψ (t) ~ ~ ~ i i ∂V (ˆ x) = hψ (t) |[V (ˆ x) , pˆx ]| ψ (t)i = ψ (t) [ˆ x, pˆx ] ψ (t) ~ ~ ∂x ˆ ∂V (ˆ x) ∂V (ˆ x) = − ψ (t) ψ (t) = − . (5.37) ∂x ˆ ∂x ˆ

∂ hˆ px i = ∂t

En esta u ´ltima ecuaci´ on utilizamos el siguiente teorema: Sean A, B y C operadores tales que [A, B] = C (5.38) y [A, C] = [B, C] = 0

(5.39)

40

Mec´ anica Cu´ antica en Una Dimensi´ on

entonces

∂ ∂ f (B) = C f (B) ∂B ∂B

(5.40)

∂ ∂ f (A) = −C f (A) . ∂A ∂A

(5.41)

[A, f (B)] = [A, B] y [B, f (A)] = [B, A]

5.4.

El Operador de Momento en la Base de Posici´ on

Estudiamos el operador de momento en la base de posición. Una translación infinitesimal actuando sobre un estado arbitrario da por resultado Z Z T (∆x) |ψi = T (∆x) dx |xi hx |ψ i = dx |x + ∆xi hx |ψ i Z Z 0 0 0 = dx |x i hx − ∆x |ψ i = dx0 |x0 i ψ (x0 − ∆x) . (5.42) La funci´ on de onda desplazada un infinitesimal puede expresarse como una expansión en series de potencias como ψ (x0 − ∆x) = ψ (x0 ) − ∆x

∂ ∂ ψ (x0 ) + · · · = hx0 |ψ i − ∆x 0 hx0 |ψ i · · · ∂x0 ∂x

Sustituyendo este u ´ltimo resultado en la ec. (5.42) obtenemos Z ∂ T (∆x) |ψi = dx0 |x0 i hx0 |ψ i − ∆x 0 hx0 |ψ i ∂x Z Z ∂ = dx0 |x0 i hx0 |ψ i − ∆x dx0 |x0 i 0 hx0 |ψ i ∂x Z Z ∂ = dx0 |x0 i hx0 | |ψi − ∆x dx0 |x0 i 0 hx0 |ψ i ∂x Z ∂ = |ψi − ∆x dx0 |x0 i 0 hx0 |ψ i . ∂x

(5.43)

(5.44)

Esta u ´ltima ecuaci´ on puede escribirse también en términos de la forma expl´ıcita del operador de translaci´ on (5.21) i (5.45) T (∆x) |ψi = 1 − pˆx ∆x |ψi ~ comparando las ecuaciones (5.44) y (5.45) obtenemos que R i ∂ 0 − pˆx ∆x |ψi = −∆x dx0 |x0 i ∂x 0 hx |ψ i ~ R 0 0 ∂ R ∂ ~ 0 pˆx = −i~ dx0 |x0 i ∂x dx |x i ∂x0 hx0 |ψ i 0 hx |ψ i = i Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por el bra hx| obtenemos que Z Z ~ ∂ ~ ∂ 0 0 0 hx |ˆ px | ψi = dx hx |x i 0 hx |ψ i = dx0 δ (x − x0 ) 0 hx0 |ψ i i ∂x i ∂x ~ ∂ ~ ∂ = hx |ψ i = ψ (x) . i ∂x i ∂x

(5.46) (5.47)

(5.48)

5.5 Espacio de Momento

41

En el caso particular en el que |ψi = |xi, tenemos los elementos de matriz del momento en la base de posici´ on ~ ∂ ~ ∂ hx |ˆ px | x0 i = hx |x0 i = δ (x − x0 ) (5.49) i ∂x i ∂x y el valor esperado del momento puede calcularse como Z ~ ∂ ψ (x) . (5.50) hˆ px i = hψ |ˆ px | ψi = dxψ ∗ (x) i ∂x Todos estos resultados sugieren que el operador de momento en el espacio de posiciones toma la forma ~ ∂ → pˆx . (5.51) basede x i ∂x

5.5.

Espacio de Momento

An´ alogamente al espacio de posiciones, la base formada por los eigenvectores de los momentos cumple con la ecuaci´ on de eigenvalores pˆx |pi = |pi .

(5.52)

Un estado arbitrario puede ser expresado como una superposición de estados de momento Z Z Z |ψi = dp |pi hp| |ψi = dp |pi hp |ψ i = dp |pi ψ (p) (5.53) y consecuentemente, en esta base el 1 puede representarse por medio de Z 1 = dp |pi hp| .

(5.54)

Dado que el operador de momento es hermitiano, los estados de momento son ortonormales al igual que los de posici´ on hp |p0 i = δ (p − p0 ) (5.55) entonces Z 1 = hψ |ψ i =

Z dp hψ |p i hp |ψ i =

2

Z

dpψ ∗ (p) ψ (p) =

dp |hp |ψ i| =

Z

2

dp |ψ (p)| . (5.56)

Esto nos permite identificar a 2

2

dp |hp |ψ i| = dp |ψ (p)|

(5.57)

con la probabilidad de que la part´ıcula tenga un momento que se encuentre en el intervalo [p, p + dp]. Puede demostrarse, en la misma forma que para la posición, que hp |ˆ x| ψi = i~

∂ ∂ hp |ψ i = i~ ψ (p) . ∂p ∂p

(5.58)

42

Mec´ anica Cu´ antica en Una Dimensi´ on

Ahora queremos calcular el braket hx |p i. Primero calculamos hx |ˆ px | pi = p hx |p i =

~ ∂ hx |p i i ∂x

(5.59)

La soluci´ on formal de esta ecuaci´ on es px hx |p i = N exp i ~ donde N es un factor de normalización que puede calcularse de Z Z p − p0 2 hp0 |p i = dx hp0 |x i hx |p i = |N | dx exp i x , ~

(5.60)

(5.61)

adem´ as sabemos que 1 δ (p − p ) = 2π 0

√

Z

dx exp [ix (p − p0 )]

(5.62)

entonces N = 1/ 2π~ y px 1 exp i . (5.63) ~ 2π~ Las funciones de onda en el espacio de coordenadas espaciales y de momentos están relacionadas Z Z ψ (p) = hp |ψ i = dx hp |x i hx |ψ i = dx hp |x i ψ (x) Z Z ψ (x) = hx |ψ i = dp hx |p i hp |ψ i = dp hx |p i ψ (p) (5.64) hx |p i = √

sustituyendo la ec. (5.63) en las ecuaciones anteriores obtenemos Z Z 1 ψ (p) = dx hp |x i hx |ψ i = dx √ e−ipx/~ hx |ψ i 2π~ Z Z 1 ψ (x) = dp hx |p i hp |ψ i = dp √ eipx/~ hp |ψ i 2π~

(5.65) (5.66)

Como ya hemos visto, la funci´ on de onda (5.63) es eigenfunción del operador de momento como consecuencia de la ec. (5.52). Puede verse fácilmente que el momento conmuta con el hamiltoniano de una part´ıcula libre h i ˆ pˆx = 0 H, (5.67) donde

2 ˆ = pˆx H (5.68) 2m entonces, de lo visto en la secci´ on 3.2, los eigenestados del momento pˆx son también eigenˆ Particularmente, de la ecuación estados del hamiltoniano H. 2 2 ˆ |pi = pˆx |pi = p |pi H 2m 2m

(5.69)

puede verse que los eigenvalores del hamiltoniano en la base de los momentos son E = p2 /2m.

5.6 Paquete de Ondas Gausiano

5.6.

43

Paquete de Ondas Gausiano

Los eigenestados de la posici´ on tienen h∆xi = 0 y por lo tanto h∆pi → ∞. De la misma forma los eigenestados de momento tienen h∆pi = 0 y por lo tanto h∆xi → ∞. En ambos casos una de las cantidades est´ a completamente determinada y la otra está totalmente indeterminada. El paquete gausiano tiene la dispersión m´ınima, es decir ∆x∆p = ~/2. Empezamos con un paquete gausiano 2

ψ (x) = hx |ψ i = N e−x

/2a2

donde N es una constante de normalización que puede obtenerse de la condición Z Z 2 2 2 hψ |ψ i = dxψ ∗ (x) ψ (x) = |N | dxe−x /a = 1.

(5.70)

(5.71)

Hacemos esta integral utilizando la fórmula general √ Z

2

dxe−αx

+βx

obteniéndose que 2

|N | entonces

=

√

2 β π exp 4α √ α

πa = 1

1 N= √ 1 . ( πa2 ) 2

(5.72)

(5.73) (5.74)

La densidad de probabilidad est´ a dada por 2 2 1 2 |ψ (x)| = √ e−x /a . πa

(5.75)

Podemos calcular la posici´ on promedio y el cuadrado de la posición promedio de los paquetes como Z Z 2 2 1 ∗ dxe−x /a x hxi = dxψ (x) xψ (x) = √ (5.76) πa Z 2 2 ∂ 1 √ = dxe−x /a +βx =0 ∂β πa β=0 Z Z

2 2 2 1 x = dxψ ∗ (x) x2 ψ (x) = √ dxe−x /a x2 πa Z 2 2 ∂2 1 a2 −x /a +βx √ = dxe = (5.77) ∂β 2 2 πa β=0 y entonces, la incertidumbre est´ a dada por q a 2 h∆xi = hx2 i − hxi = √ . 2

(5.78)

44

Mec´ anica Cu´ antica en Una Dimensi´ on

En las ecuaciones anteriores hemos utilizado las relaciones Z

2

dxe−x

/a2 +βx

=

Z 2 2 ∂ dxe−x /a +βx ∂β Z 2 2 ∂2 dxe−x /a +βx 2 ∂β

= =

√ √ √

2πae

a2 β 2 2

2πa3 e

a2 β 2 2

β

a2 β 2 2πa3 1 + β 2 a2 e 2

(5.79) (5.80)

La incertidumbre del momento puede calcularse como Z

Z 2 2 ~ ∂ 2~ dxψ ∗ (x) ψ (x) = − √ dxe−x /a x i ∂x i πa Z 2 2 ∂ 2~ −x /a +βx = − √ 3 dxe =0 ∂β i πa β=0 2 Z Z 2 2 ~ ∂ ~2 ∗ dxe−x /a a2 − x2 = dxψ (x) ψ (x) = √ 5 i ∂x πa 2 Z Z 2 2 2 ~ ~2 3 ~2 ∂ −x /a 5 −x2 /a2 +βx 2 √ , = √ a dxe a dxe x = − ∂β 2 2a2 π π

hˆ px i =

pˆ2x

(5.81)

(5.82)

por lo tanto h∆pi =

q ~ 2 hˆ p2x i − hˆ px i = √ 2a

(5.83)

Otra forma de hacer este c´ alculo es utilizando la relación (5.65) para obtener la función de onda en el espacio de momentos y posteriormente calcular los valores esperados de hˆ px i y pˆ2x . La funci´ on de onda en el espacio de momentos puede obtenerse como Z ψ (p)

= hp |ψ i = =

1 2π 3/2 ~

Z dx hp |x i hx |ψ i = Z

21 =

2

dxe−x

dx √

1 1 −x2 /2a2 e−ipx/~ √ 1 e 2π~ ( πa) 2

/2a2 −ipx/~a

(5.84)

y utilizando la integral de la ec. (5.72) ψ (p) =

a √

~ π

12

2 2

e−p

a /2~2

.

(5.85)

5.7 Evoluci´ on Temporal de una Part´ıcula Libre

45

Los valores esperados del momento y el cuadrado del momento son entonces Z Z hˆ px i = hψ |ˆ px | ψi = dp hψ |p i p hp |ψ i = dpψ ∗ (p) pψ (p) Z 2 2 2 a √ = dpe−p a /~ p = 0, ~ π Z Z

2

pˆx = ψ pˆ2x ψ = dp hψ |p i p2 hp |ψ i = dpψ ∗ (p) p2 ψ (p) Z 2 2 2 a ~2 √ = dpe−p a /~ p = 2 2a ~ π

(5.86)

(5.87) (5.88)

esto reproduce los resultados encontrados en las ecs. (5.81) y (5.82).

5.7.

Evoluci´ on Temporal de una Part´ıcula Libre

En la secci´ on (5.5) vimos que los eigenestados del operador de momento también lo son del hamiltoniano de part´ıcula libre dado por 2 ˆ = pˆx . H 2m

(5.89)

La representaci´ on de momentos es entonces la forma más directa de estudiar la evolución de un paquete de ondas. Un estado arbitrario |ψi evoluciona en la forma ! !Z ˆ ˆ H H |ψ (t)i = exp −i t |ψ (0)i = exp −i t dp |pi hp |ψ i ~ ~ Z Z pˆ2x p2 = dp exp −i t |pi hp |ψ i = dp exp −i t |pi hp |ψ i . (5.90) 2m~ 2m~ Para el paquete gausiano de la ec. (5.70) tenemos que ψ (x, t)

pˆ2 = hx |ψ (t) i = x exp −i x t ψ 2m~ Z 2 pˆ = hx| exp −i x t dp |pi hp |ψ i 2m~ Z =

dp exp −i

p2 t hx |p i hp |ψ i = 2m~

exp − 2a2 √

x2 i~t (1− ma 2)

π a+

i~t ma

12

(5.91)

donde hemos utilizado los resultados (5.63) y (5.85) para hx |p i y hp |ψ i respectivamente. Para la funci´ on de onda en la ecuación anterior podemos calcular la incertidumbre de la posici´ on como p ∆x = h∆x2 i (5.92)

46 donde

2 ∆x

Mec´ anica Cu´ antica en Una Dimensi´ on

Z E 2 2 dx |xi hx |ψ (t) i x − hxi) x − hxi) ψ (t) = hψ (t)| (ˆ = ψ (t) (ˆ Z Z 2 2 = dx (ˆ x − hxi) hψ (t) |x i hx |ψ (t) i = dx (ˆ x − hxi) ψ ∗ (x, t) ψ (x, t) D

=

a √ 2

~ 2 t2 1+ 2 4 m a

12 .

(5.93)

Para el c´ alculo de la ecuaci´ on anterior revisa el problema 6.4 de la Tarea 7.

5.8.

La Ecuaci´ on de Schr¨ odinger en el Espacio de Posici´ on

Empezamos por multiplicar la ec. de Schrödinger dada en (4.1) por el bra hx| D E d ˆ ψ (t) . x H ψ (t) = i~ x dt

(5.94)

Suponemos que el hamiltoniano está dado por H=

p2 + V (x) 2m

→

2 ˆ = pˆx + V (ˆ H x) . 2m

(5.95)

Necesitamos entonces calcular los términos V (ˆ x) |xi = V (x) |xi ,

hx| V (ˆ x) = hx| V (x)

(5.96)

y por lo tanto hx |V (ˆ x)| ψ (t)i = V (x) hx |ψ (t) i = V (x) ψ (x, t) . El término de la energ´ıa cinética está dado por 2

2 ~ ∂ ∂2 ∂2 x pˆx ψ (t) = hx |ψ (t) i = −~2 2 hx |ψ (t) i = −~2 2 ψ (x, t) , i ∂x ∂x ∂x entonces, la ec. de Schr¨ odinger toma la forma ~2 ∂ 2 ∂ − + V (x) hx |ψ (t) i = i~ hx |ψ (t) i 2m ∂x2 ∂t

(5.97)

(5.98)

(5.99)

que es lo mismo que ~2 ∂ 2 ∂ − + V (x) ψ (x, t) = i~ ψ (x, t) 2 2m ∂x ∂t

(5.100)

En el caso particular en el que |ψ (t)i es un eigenestado de la energ´ıa, la función de onda está dada por ψE (x, t)

= hx |ψE (t) i = hx |U (t)| ψ (0)i = hx |U (t)| Ei = exp (−iEt/~) hx |E i = exp (−iEt/~) ψE (x) ,

(5.101)

5.9 Pozo de Potencial

47

donde, los eigenestados de la energ´ıa |Ei cumplen con la ecuación de eigenvalores ˆ |Ei = E |Ei . H

(5.102)

Al introducir la forma (5.101) de la función de onda en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo obtenemos la ecuación de Schrödinger estacionaria ~2 ∂ 2 + V (x) hx |E i = E hx |E i , − 2m ∂x2 ~2 ∂ 2 − + V (x) ψE (x) = EψE (x) (5.103) 2m ∂x2

5.9.

Pozo de Potencial

Resolvemos un ejemplo particular, el pozo de potencial rectangular dado por el potencial 0, |x| < a/2, V (x) = . (5.104) V0 , |x| ≥ a/2, En la regi´ on del pozo de potencial la solución de la ec. de Schrödinger es d2 ψ 2mE = − 2 ψ = −k 2 ψ, 2 dx ~

|x| <

a , 2

(5.105)

y en las regiones de las barreras toma la forma 2m (V0 − E) d2 ψ = ψ = q 2 ψ, dx2 ~2

a , 2

|x| <

(5.106)

Las soluciones de estas ecuaciones son las siguientes  x ≤ a/2,  Ceqx , A sin kx + B cos kx, |x| < a/2, ψ (x) =  De−qx , x ≥ a/2.

(5.107)

donde r k=

2mE , ~2

r q=

2m (V0 − E) . ~2

(5.108)

Esta forma de la soluci´ on garantiza que la función tenga norma definida. Como es fácil ver del primer y u ´ltimo rengl´ on de la ecuación anterior, la función decae exponencialmente en los extremos. Dado que tenemos la solución de una ecuación de segundo orden, deseamos que todas las derivadas por debajo de esta sean continuas. Por esto, pedimos a la función de onda y su primera derivada que sean continuas en todo el intervalo de los n´ umeros reales l´ım

x→−a/2+

l´ım

ψ (x) =

x→a/2+

l´ım

x→−a/2−

ψ (x) =

l´ım

x→a/2−

ψ (x) , ψ (x) ,

l´ım

x→−a/2+

l´ım

x→a/2+

ψ 0 (x) =

ψ 0 (x) =

l´ım

x→−a/2−

l´ım

x→a/2−

ψ 0 (x) ,

ψ 0 (x) ,

(5.109)

48

Mec´ anica Cu´ antica en Una Dimensi´ on

Si sustituimos la forma particular de la función de onda obtenemos a a a a a a Ce−q 2 = −A sin k + B cos k , Cqe−q 2 = k A cos k + B sin k 2 2 2 2 a a a a a −q a 2 A sin k + B cos k = De , k A cos k − B sin k = −Dqe−q 2 (5.110) 2 2 2 2 Estas ecuaciones pueden ponerse en forma matricial  a − sin k a2 cos k a2 −e−q 2 0 a a a −q  k cos k 2 k sin k −qe 0 2 2  a  sin k a cos k a2 0 −e−q 2 2 a a −q a k cos k 2 −k sin k 2 0 qe 2 Si el determinante de la matriz M  − sin k a2  k cos k a 2 M =  sin k a 2 k cos k a2

cos k a2 k sin k a2 cos k a2 −k sin k a2



 A  B     C  = 0 D

a

−e−q 2 a −qe−q 2 0 0

 0  0  −q a  2 −e a −q 2 qe

(5.111)

(5.112)

es distinto de cero la soluci´ on a la ecuación es A = B = C = D = 0 en cuyo caso la probabilidad de encontrarse a la part´ıcula ser´ıa cero en todos lados. Por esto, la u ńica forma de producir un resultado distinto del trivial es exigir que det M = 0 a fin de que A 6= 0, B 6= 0, C 6= 0 y D 6= 0. La matriz M es una función de la energ´ıa y por lo tanto, el determinante de ella también depende de la energ´ıa. Por lo tanto la condición det M (E) = 0 da lugar a la discretización de los niveles de energ´ıa. Finalmente, A, B, C y D pueden hallarse por medio de la condición de normalización Z ∞ 1 = dxψ ∗ (x) ψ (x) −∞ −a 2

Z =

dxψ ∗ (x) ψ (x) +

a 2

−a 2

−∞

=

Z

dxψ ∗ (x) ψ (x)

Z

∞

dxψ ∗ (x) ψ (x)

−a 2

e−qa ak A2 + B 2 − A2 − B 2 sin ak C +D + . q 2k 2

2

(5.113)

que también depender´ a de los valores encontrados para la energ´ıa y consecuentemente de k ≡ k (E) y q ≡ q (E). Los estados en los que se cumple que E < V0 tienen la caracter´ıstica de que su probabilidad decae exponencialmente para l´ımx→∞ mientras que tienen una solución oscilatoria en el intervalo x ∈ [−a/2, a/2]. Este tipo de estados reciben el nombre de estados ligados.

Cap´ıtulo 6

Oscilador Arm´ onico El oscilador arm´ onico es la base para un gran n´ umero de sistemas f´ısicos tales como moléculas, cristales y permite modelar procesos tan complicados como la disipación .

6.1.

El Operador Hamiltoniano del Oscilador Arm´ onico

El hamiltoniano del oscilador armónico está dado por 2 ˆ = pˆx + 1 mω 2 x ˆ2 H 2m 2

(6.1)

donde el primer término corresponde a la energ´ıa cinética y el segundo término es la energ´ıa de un resorte con frecuencia caracter´ıstica ω y, como ya hab´ıamos visto [ˆ x, pˆx ] = i~. p Utilizando la longitud caracter´ısita ~/mω podemos definir nuevos operadores ζˆ =

r

mω x ˆ, ~

ηˆ = √

1 pˆx mω~

(6.2)

(6.3)

que cumplen la mismas reglas de conmutación que el momento y las coordenadas pero renormalizadas h i ˆ ηˆ = i ζ, (6.4) y que nos permiten expresar el hamiltoniano en la forma ˆ = ~ω ηˆ2 + ζˆ2 . H 2

(6.5)

Podemos también definir los nuevos operadores 1 a ˆ = √ ζˆ + iˆ η , 2

1 a ˆ† = √ ζˆ − iˆ η , 2

(6.6)

50

Oscilador Arm´ onico

que cumplen con la siguiente relación de conmutación a ˆ, a ˆ† = 1. Las relaciones inversas de (6.6) están dadas por r r ~ ˆ ~ x ˆ = ζ= a ˆ+a ˆ† , mω 2mω r √ mω~ mω~ˆ η = −i a ˆ−a ˆ† . pˆx = 2

(6.7)

(6.8) (6.9)

Estas expresiones pueden ser utilizadas para escribir el hamiltoniano como ~ω † ~ω † 1 1 † † † † ˆ ˆ H= a ˆ a ˆ+a â ˆ = a ˆ a ˆ+ a ˆ, a ˆ +a ˆ a ˆ = ~ω a ˆ a ˆ+ = ~ω N + (6.10) 2 2 2 2 ˆ es el operador de n´ donde N umero. Las relaciones de conmutación entre el operador de n´ umero y a ˆya ˆ† son h i h i ˆ, a ˆ, a N ˆ = −ˆ a, N ˆ† = a ˆ† . (6.11) Supongamos que |νi es un eigenestado del operador de n´ umero, ˆ |νi = ν |νi N

(6.12)

y adem´ as forma una base de estados ortonormales dado que el operador de n´ umero es ˆ =N ˆ † . Entonces hermitiano, N hν |ν 0 i = δν,ν 0 . (6.13) Queremos averiguar en primer lugar si a ˆ† |νi es también un eigenestado del operador de momento y en segundo lugar qué eignevalor tiene i h ˆ, a ˆ |νi â ˆ −a ˆ |νi = N â ˆ† + a ˆ† N N ˆ† + a ˆ† N ˆ† N N ˆ† |νi = = a ˆ† + a ˆ† ν |νi = (ν + 1) a ˆ† |νi (6.14) donde hemos utilizado uno de los conmutadores de (6.11) Comparando con (6.14) con (6.12) podemos ver que efectivamente a ˆ† |νi es un eigenvector del operador de n´ umero con eigenvalor igual a ν + 1 y por lo tanto a ˆ† |µi = c+ |µ + 1i

(6.15)

donde c+ est´ a relacionada a la normalización. Dado que a ˆ† no es un operador unitario c+ debe ser distinto a uno. An´ alogamente podemos ver que a ˆ |νi es un eigenvector del operador de n´ umero con eigenvalor ν − 1 como se muestra a continuación h i â â ˆ −a ˆ |νi = N ˆ, a ˆ |νi N ˆ |νi = N ˆ+a ˆN ˆN ˆ +a ˆN = −ˆ a+a ˆ† ν |νi = (ν − 1) a ˆ† |νi (6.16)

6.2 Elementos de Matriz de los Operadores de Ascenso y Descenso51 y por lo tanto a ˆ |µi = c− |µ − 1i

(6.17)

donde c− est´ a relacionada a la normalización. Dado que a ˆ no es un operador unitario c− debe ser distinto a uno. Definimos el ket y su correspondiente bra |ψi = a ˆ |νi ,

hψ| = hν| a ˆ

(6.18)

y su norma debe cumplir

† hψ |ψ i = ν a ˆ a ˆ ν = ν hν |ν i = ν ≥ 0.

(6.19)

A diferencia que en el caso del momento angular, no tenemos un l´ımite superior para ν. Sin embargo, si tenemos un eigenestado y un eigenvalor correspondientes al l´ımite inferior caracterizados por a ˆ |νmin i = 0, (6.20) de otra forma, a ˆ |νmin i = c− |νmin − 1i y la hipótesis inicial ser´ıa violada. Si multiplicamos la ecuaci´ on anterior por a ˆ† obtenemos ˆ |νmin i = νmin |νmin i = 0, a ˆ† a ˆ |νmin i = N

(6.21)

y como las ecuaciones (6.20) y (6.21) deben ser ciertas simultáneamente entonces νmin = 0.

(6.22)

Con esto hemos encontrado la base completa del oscilador armónico que está constituida por estados de la forma ˆ |ni = n |ni , N n = 0, 1, 2, . . . (6.23) y el hamiltoniano tiene eigenvalores y eigenvectores dados por ˆ |ni = ~ω N ˆ + 1 |ni = ~ω n + 1 |ni = En |ni , H 2 2

n = 0, 1, 2, . . .

(6.24)

donde En = ~ω (n + 1/2)

6.2.

Elementos de Matriz de los Operadores de Ascenso y Descenso

No hemos determinado todav´ıa las constantes c+ y c− de las ecs. (6.15) y (6.17). Definimos un ket |ψ+ i = a ˆ† |ni = c+ |n + 1i , (6.25) su adjunto hψ+ | = hn| a ˆ = c∗+ hn + 1|

(6.26)

52

Oscilador Arm´ onico

y el producto interno de los dos da como resultado

† † ˆ a n a â ˆ n = n a ˆ+ a ˆ, a ˆ† n E D ˆ + 1 n = hn |n + 1| ni = n + 1 = n N

hψ+ |ψ+ i =

2

= c∗+ c+ hn + 1 |n + 1 i = |c+ | por lo tanto c+ = y a ˆ† |ni =

√

√

(6.27) (6.28) (6.29)

n+1

(6.30)

n + 1 |n + 1i .

(6.31)

Análogamente, podemos repetir el cálculo para a ˆ |ni a ˆ |ni = c− |n − 1i donde c− = entonces a ˆ |ni =

√

√

(6.32)

n

(6.33)

n |n − 1i

(6.34)

De estas ecuaciones es posible calcular los elementos de matriz de a ˆ†

† 0 √ √ √ n0 a ˆ n = n n + 1 n + 1 = n + 1 hn0 |n + 1 i = n + 1δn0 ,n+1 ,

(6.35)

y análogamente los de a ˆ √

√ √ hn0 |ˆ a| ni = n0 n n − 1 = n hn0 |n − 1 i = nδn0 ,n−1 .

(6.36)

La representaci´ on matricial de los operadores de ascenso y descenso en la base de los eigenestados del operador de n´ umero y la energ´ıa tiene la forma    a ˆ† →   

0 0 0 √0 1 √0 0 0 0 2 √0 0 0 0 3 √0 0 0 0 4

... ... ... ... ...

     

(6.37)

Por medio de aplicaciones sucesivas del operador de ascenso es posible obtener estados con energ´ıas arbitrarias 2 ∞ X a ˆ† √ |0i . |ni = (6.38) n! n

6.3 La Funci´ on de Onda en el Espacio de Posici´ on

6.3.

53

La Funci´ on de Onda en el Espacio de Posici´ on

Hemos visto en la secci´ on anterior que a partir del estado |0i es posible conocer cualquier otro estado por medio de aplicaciones sucesivas del operador de ascenso. En el espacio de posici´ on es posible hacer lo mismo. Empezamos con el estado de más baja energ´ıa hx |ˆ a| 0i = 0. Sustituyendo la ec. (6.6) en la anterior obtenemos r r mω i mω ~ ∂ ˆ+ hx |ˆ a| 0i = x x pˆx 0 = x hx |0 i + hx |0 i = 0. 2~ mω 2~ mω ∂x En la ecuaci´ on anterior utilizamos la relación (5.48). Si resolvemos esta ecuaci´ on diferencial obtenemos que mωx2 ψ0 (x) = hx |0 i = N exp − 2~ que puede normalizarse utilizando la fórmula general (5.72) mω 14 mωx2 ψ0 (x) = hx |0 i = exp − π~ 2~

(6.39)

(6.40)

(6.41)

(6.42)

Utilizando la ec. (6.38) podemos conseguir cualquier estado ψn (x)

= hx |n i r n n mω mω 14 mωx2 ~ d 1 exp − x− = √ 2~ mω dx π~ 2~ n!

(6.43) (6.44)

Podemos calcular los dos primeros estados como 1 4 mω 4 mωx2 , ψ1 (x) = hx |1 i = x exp − π ~ 2~ mω 14 mω mωx2 2 ψ2 (x) = hx |2 i = 2 x − 1 exp − . 4π~ ~ 2~

(6.45)

Estas ecuaciones pueden verificarse resolviendo la ecuación diferencial para el oscilador armónico dada por D E pˆ2 1 ˆ x 2 2 + mω x ˆ (6.46) x H E = x E = E hx |E i 2m 2 que puede escribirse también como −

~2 ∂ 2 1 hx |E i = mω 2 x2 hx |E i = E hx |E i 2m ∂x2 2

(6.47)

54

Oscilador Arm´ onico

y que es lo mismo que −

~2 ∂ 2 1 ψ (x) = mω 2 x2 hx |E i = Eψ (x) . 2 2m ∂x 2

(6.48)

Esta ecuaci´ on puede resolverse haciendo el cambio de variable por la cantidad adimensional r mω x (6.49) y= ~ obteniéndose la ecuaci´ on diferencial d2 ψ (y) + − y 2 ψ = 0 dy

(6.50)

donde es una cantidad adimensional que representa a la energ´ıa y está dada por =

2E . ~ω

(6.51)

Cap´ıtulo 7

Teor´ıa de Perturbaciones Si tenemos un sistema descrito por el hamiltoniano ˆ =H ˆ 0 + Vˆ H

(7.1)

ˆ 0 es un hamiltoniano cuyos eigenestados y eigenfunciones son conocidos y Vˆ es un donde H potencial débil o perturbativo entonces, los eigenvalores y eigenfuciones del hamiltoniano ˆ pueden ser calculados por medio de la teor´ıa de perturbaciones. Cuando Vˆ no completo H depende del tiempo se utiliza teor´ıa de perturbaciones independiente del tiempo y cuando Vˆ es una funci´ on del tiempo, se utiliza teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo.

7.1.

Teor´ıa de Perturbaciones Independiente del Tiempo

Supongamos que tenemos un sistema descrito por el hamiltoniano ˆ =H ˆ 0 + λVˆ H

(7.2)

ˆ 0 es un hamiltoniano cuyos eigenestados y eigenfunciones son conocidos, Vˆ es un donde H potencial perturbativo independiente del tiempo y λ es un parámetro adimensional mucho menor que uno, λ 1. ˆ a primer orden en λ Nuestro objetivo es conocer los eigenvalores y eigenfunciones de H como lo muestra la siguiente ecuación ˆ |ψn i = En |ψn i . H

(7.3)

Para esto supondremos que tanto la energ´ıa como los eigenestados pueden expandirse en λ = En(0) + λEn(1) + . . . , E E |ψn i = ψn(0) + λ ψn(1) + . . . En

(7.4) (7.5)

56

Teor´ıa de Perturbaciones

Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de Schrödinger estacionaria (7.3) y reagrupamos por ´ ordenes en λ E E ˆ 0 − En(0) ψn(1) = 0. (7.6) Vˆ − En(1) ψn(0) + H D (0) Multiplicando la ecuaci´ on por la izquierda por ψk obtenemos D

E D E (0) (0) ˆ (0) (1) ψ ψk Vˆ − En(1) ψn(0) + ψk H − E = 0. 0 n n

En el caso en el que k = n obtenemos los eigenvalores E E D D ˆ (0) (1) =0 ψn(0) Vˆ − En(1) ψn(0) + ψn(0) H 0 − En ψ n D E D E ψn(0) Vˆ − En(1) ψn(0) + ψn(0) En(0) − En(0) ψn(1) = 0 D E ψn(0) Vˆ − En(1) ψn(0) = 0 D E D E ψn(0) Vˆ ψn(0) − ψn(0) En(1) ψn(0) = 0 D E ψn(0) Vˆ ψn(0) − En(1) = 0.

(7.7)

(7.8)

y finalmente D E En(1) = ψn(0) Vˆ ψn(0)

(7.9)

La energ´ıa a primer orden puede obtenerse sustituyendo este u ´ltimo resultado en la ec. 7.4 E D (7.10) En = En(0) + λ ψn(0) Vˆ ψn(0) . Haciendo k 6= n en la ec. (7.7) obtenemos E E D D (0) ˆ (0) (0) (1) =0 ψk Vˆ − En(1) ψn(0) + ψk H 0 − En ψ n E E D D (0) (0) (0) ψk Vˆ − En(1) ψn(0) + ψk Ek − En(0) ψn(1) = 0 (7.11) entonces, D

 E  (0) ψk ψn(1) = 

D

(0)

ψk

|Vˆ −En(1) |ψn(0) (0)

(0)

En −Ek

an

E

,

k 6= n, , k = n.

(7.12)

donde el coeficiente indeterminado an se determina por medio de la normalización de la funci´ on de onda. E (0) Multiplicando esta u ´ltima ecuación por ψk y sumando sobre k obtenemos D E E E E X ψk(0) Vˆ − En(1) ψn(0) X (0) E D (0) (0) |ψn i = ψk ψn(1) = an ψn(0) + ψk ψk . (0) (0) E n − Ek k k6=n

(7.13)

7.1 Teor´ıa de Perturbaciones Independiente del Tiempo

57

de esta forma, podemos obtener los estados del hamiltoniano completo, a primer orden en λ como E D (1) (0) (0) ˆ E E ψ V − E ψ X n n k (0) . (7.14) |ψn i = (1 + λan ) ψn(0) + λ ψ k (0) (0) En − Ek k6=n

7.1.1.

Ejemplo

Consideremos el hamiltoniano 1 α 1 H→ = α 2 0

0 2

0 2

+

0 α

α 0

(7.15)

donde 1 < 2 . El hamiltoniano no perturbado es H0 →

1 0

(7.16)

y la perturbaci´ on est´ a dada por V →

0 α

α 0

.

(7.17)

El hamiltoniano (7.15) puede resolverse exactamente como se muestra en la Actividad 6. Los eigenvalores del hamiltoniano (7.15) son E1

=

E1

=

q α2 1 2 2 1 + 2 − 4α + (2 − 1 ) = 1 − 2 + ... 2 2 − 1 q α2 1 2 1 + 2 + 4α2 + (2 − 1 ) = 1 + 2 + ... 2 2 − 1

(7.18) (7.19)

Los eigenvectores a primer orden en α están dados por w1 =

1 α − 2 − 1

,

w1 =

α 2 −1

1

,

(7.20)

donde es importante notar que estos vectores son ortonormales a primer orden en α. Ahora podemos intentar reproducir estos resultados por medio de la teor´ıa de perturbaciones. Los eigenvalores de la energ´ıa a orden cero son (0)

E1

= 1,

(0)

E2

= 2

(7.21)

y los eigenestados E 1 (0) → v1 = , ψ1 0

E 0 (0) → v2 = . ψ2 1

(7.22)

58

Teor´ıa de Perturbaciones

La energ´ıa a primer orden en α es entonces (1) E1

= =

(1)

E2

= =

E ˆ (0) † = v1 V ψ1 0 α 1 0 α 0 E D (0) ˆ (0) † = v2 ψ2 V ψ2 0 α 0 1 α 0

D

(0) ψ1

0 α 1 0 0 α 0 1

α v1 0 =0 α v2 0 =0

(7.23)

y entonces las energ´ıas a primer orden el α son E1 E2

(0)

(1)

= 1 ,

(0) E2

(1) E2

= 2 ,

= E1 + E1 =

+

(7.24)

es importante notar que en estas ecuaciones λ no figura explicitamente ya que el parámetro de la expansi´ on en este caso α es el parámetro de expansión. Este u ´ltimo resultado coincide con el obtenido de la diagonalización de la ecuación (7.18) al menos en primer orden en α. Ahora calculamos los eigenestados E D (0) ˆ (0) E E E V ψ ψ 1 2 (0) (1) (0) |ψ1 i = ψ1 + ψ1 = (1 + a1 ) ψ1 + (0) (0) E1 − E2 0 α v2† v1 α 0 1 + a1 → w1 = (1 + a1 ) v1 + v2 = α 1 − 2 − 1 2 E D (0) (0) E E E ψ1 Vˆ ψ2 (0) (1) (0) |ψ2 i = ψ2 + ψ2 = (1 + a2 ) ψ2 + (0) (0) E2 − E1 0 α v1† v2 α α 0 − 2 1 → w2 = (1 + a2 ) v2 + . (7.25) v1 = 1 + a2 1 − 2 A fin de que la normalizaci´ on sea correcta a1 = a2 = 0 y reproducimos el resultado obtenido en (7.20).

7.2.

Teor´ıa de Perturbaciones Dependientes del Tiempo

Supongamos que tenemos un hamiltoniano de la forma ˆ (t) = H ˆ 0 + Vˆ (t) H

(7.26)

ˆ 0 es la parte no perturbada del hamiltoniano y cuyos eigenestados y eigenvalores donde H conocemos y Vˆ (t) es una perturbación dependiente del tiempo.

7.2 Teor´ıa de Perturbaciones Dependientes del Tiempo

59

La ecuaci´ on de Schr¨ odinger dependiente del tiempo está dada por h i ˆ (t) |ψ (t)i = H ˆ 0 + Vˆ (t) |ψ (t)i = i~ ∂ |ψ (t)i H ∂t

(7.27)

ˆ (t) Nuestro objetivo es encontrar el operador de evolución temporal del hamiltoniano H tal que ˆ (t) U ˆ (t) = i~ ∂ U ˆ (t) H (7.28) ∂t y donde ˆ (t) |ψ (0)i . |ψ (t)i = U (7.29) Ahora introducimos la imagen de interacción. El estado del sistema en la imagen de interacci´ on |ψI (t)i se define a través de la relación ! ˆ 0t H ˆ |ψI (t)i . (7.30) |ψ (t)i = U0 (t) |ψI (t)i = exp −i ~ De esta ecuaci´ on es f´ acil ver que el estado inicial es el mismo en la imagen de interacción |ψ (0)i = |ψI (0)i .

(7.31)

Si sustituimos la ec. (7.30) en la ec. (7.28) obtenemos que la ecuación de movimiento en la imagen de interacci´ on h i ∂ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H (t) U0 (t) |ψI (t)i = H0 + V (t) |ψI (t)i = U0 (t) H0 + i~ |ψI (t)i ∂t ˆ0 (t) |ψI (t)i = U ˆ0 (t) i~ ∂ |ψI (t)i Vˆ (t) U (7.32) ∂t y por lo tanto ˆ † (t) Vˆ (t) U ˆ0 (t) |ψI (t)i = i~ ∂ |ψI (t)i . U (7.33) 0 ∂t De esta u ´ltima ecuaci´ on definimos al potencial perturbativo en la imagen de interacción como ˆ0 (t) ˆ † (t) Vˆ (t) U VÎ (t) = U 0

(7.34)

y finalmente escribimos la ecuaci´ on de evolución como ∂ VÎ (t) |ψI (t)i = i~ |ψI (t)i . ∂t

(7.35)

De manera an´ aloga a como hicimos con el operador de evolución temporal, podemos proceder con la ecuaci´ on de movimiento en la imagen de interacción. Suponemos que el estado en la imagen de interacci´ on en un instante puede ser representado por medio del Î (t) como operador de evoluci´ on en la imagen de interacción U Î (t) |ψI (0)i |ψI (t)i = U

(7.36)

60

Teor´ıa de Perturbaciones

donde el operador de evoluci´ on temporal en la imagen de interacción cumple la ecuación de movimiento siguiente ∂ VÎ (t) UI (t) = i~ UI (t) (7.37) ∂t Es importante notar que si en la ecuación anterior sustituimos la definición del estado en la imagen de interacci´ on (7.30) regresamos nuevamente a la ecuación de movimiento (7.28) ∂ VÎ (t) UI (t) = i~ UI (t) ∂t ˆ † (t) Vˆ (t) U ˆ0 (t) U ˆ † (t) U ˆ (t) U ˆ0 (t) U ˆ † (t) U 0 0 0 ∂ † ˆ (t) i~ U ˆ (t) − H ˆ 0U ˆ (t) U ˆ0 (t) =U 0 ∂t ˆ 0 de la izquierda a la derecha pasando el término que contiene H h i ˆ † (t) H ˆ 0 + Vˆ (t) U ˆ0 (t) U ˆ † (t) U ˆ (t) U ˆ0 (t) U ˆ † (t) U 0 0 0 ˆ0 (t) ˆ (t) U ˆ † (t) i~ ∂ U =U 0 ∂t

(7.38)

(7.39)

ˆ0 (t) y por la derecha por U ˆ † (t) y cancey finalmente multiplicando por la izquierda por U 0 † ˆ ˆ lando todos los términos que contengan U0 (t) U0 (t) obtenemos nuevamente la ecuación de movimiento h i ˆ (t) . ˆ 0 + Vˆ (t) U ˆ (t) = i~ ∂ U (7.40) H ∂t Integrando ambos lados de la ec. (7.37) obtenemos Z t i h Î (t) − U Î (0) (7.41) dt0 VI (t0 ) UI (t0 ) = i~ U 0

y por lo tanto Î (t) U

Z 1 t 0 ˆ = UI (0) + dt VI (t0 ) UI (t0 ) i~ 0 Z 1 t 0 = 1+ dt VI (t0 ) UI (t0 ) i~ 0

Aplicando la ec. (7.42) iterativamente obtenemos que " # Z t Z t0 1 1 Î (t) = 1 + U dt0 VI (t0 ) 1 + dt00 VI (t00 ) UI (t00 ) i~ 0 i~ 0 2 Z t Z Z t0 1 t 0 1 0 0 = 1+ dt VI (t ) + dt dt00 VI (t0 ) VI (t00 ) i~ 0 i~ 0 0 3 Z t Z t0 Z t00 1 0 00 + dt dt dt000 VI (t0 ) VI (t00 ) VI (t000 ) + . . . i~ 0 0 0

(7.42)

(7.43)

7.2 Teor´ıa de Perturbaciones Dependientes del Tiempo

61

Esta ecuaci´ on es el fundamento de la teor´ıa de perturbaciones dependientes del tiempo. A primer orden podemos utilizar el operador de evolución temporal dado por Î (t) = 1 + 1 U i~

7.2.1.

t

Z

dt0 VI (t0 )

(7.44)

0

ejemplo

Para entender el método de perturbaciones dependientes del tiempo estudiamos el problema de un oscilador arm´ onico con forzamiento dependiente del tiempo. El hamiltoniano de este sistema est´ a dado por (ver la tarea 8) 1 ˆ = ~ω a + γ ∗ (t) a ˆ + γ (t) a ˆ† . (7.45) H ˆ† a ˆ+ 2 Por simplicidad supondremos que γ (t) = γ0 exp (iω0 t) donde γ0 es una constante con unidades de energ´ıa. El hamiltoniano no perturbado es 1 ˆ 0 = ~ω a H ˆ† a ˆ+ (7.46) 2 y el potencial perturbativo es entonces Vˆ (t) = γ0 e−iω0 t a ˆ + eiω0 t a ˆ† .

(7.47)

Primero necesitamos el potencial perturbativo en la imagen de interacción, es decir VÎ (t)

†

= ei~ω(aˆ

†

V (t) e−i~ω(aˆ

a ˆ+ 21 )t ˆ

a ˆ+ 12 )t

† † = eitωâ aˆ Vˆ (t) e−itωâ aˆ

† † = eitωâ aˆ γ0 e−iω0 t a ˆ + eiω0 t a ˆ† e−itωâ aˆ

(7.48)

Por esto, debemos calcular términos de la forma †

†

†

eitωâ aˆ a ê−itωâ aˆ ,

†

eitωâ aˆ a ˆ† e−itωâ

a ˆ

(7.49)

Procedemos de la siguiente manera. Definimos †

†

a ˆ (α) = eiαâ aˆ a ê−iαâ

a ˆ

(7.50)

y le derivamos con respecto a α † † † † ∂ a ˆ (α) = ieiαâ aˆ a ˆ† a ˆ, a ˆ e−iαâ aˆ = −ieiαâ aˆ a ê−iαâ aˆ = −iˆ a (α) . ∂α

(7.51)

en esta ecuaci´ on utilizamos los resultados de (6.11). Al resolver esta ecuación diferencial con la condici´ on inicial a ˆ (0) = a ˆ obtenemos que a ˆ (α) = e−iα a ˆ

(7.52)

62

Teor´ıa de Perturbaciones

y calculando el adjunto obtenemos a ˆ† (α) = eiα a ˆ†

(7.53)

y en particular podemos ver que †

†

eitωâ aˆ a ê−itωâ

a ˆ

= e−iωt a ˆ,

†

†

eitωâ aˆ a ˆ† e−itωâ

a ˆ

= eiωt a ˆ† .

(7.54)

Sustituyendo este ultimo resultado en (7.48) obtenemos el potencial en la imagen de interacción h i VÎ (t) = γ0 e−i(ω0 +ω)t a (7.55) ˆ + ei(ω0 +ω)t a ˆ† . Ahora obtenemos el potencial de evolución temporal sustituyendo (7.55) en la ec. (7.44) para el operador de evoluci´ on temporal en la imagen de interacción Z i 0 1 t 0 h −i(ω0 +ω)t0 ˆ dt γ0 e a ˆ + ei(ω0 +ω)t a ˆ† UI (t) = 1 + i~ nh 0 i h i o γ0 =1+ e−i(ω0 +ω)t − 1 a ˆ − ei(ω0 +ω)t − 1 a ˆ† (7.56) ~ (ω + ω0 ) Para obtener el operador de evolución temporal, aplicamos la transformación inversa de la imagen de interacci´ on obteniendo ˆ (t) = U ˆ0 (t) U Î (t) U ˆ † (t) = 1 + U 0

−iω0 t † γ0 e − eiωt a ˆ − eiω0 t − e−iωt a ˆ . (7.57) ~ (ω + ω0 )

Este operador podr´ıa permitirnos la probabilidad de transición entre dos estados o la dependencia temporal de alg´ un operador.

Mecánica Cuántica y Álgebra de Operadores

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