Materi 3 Turunan Dan Integral Vektor

TURUNAN DAN INTEGRAL VEKTOR

TURUNAN (DERIVATIF) Misalkan r = if 1(t) + jf 2(t) + kf 3(t) = if 1 + jf 2 + kf 3 s = ig1(t) + jg2(t) + kg3(t) = ig1 + jg2 + kg3 r = ih1(t) + jh2(t) + kh3(t) = ih1 + jh2 + kh3, dimana i, j dan k adalah vektor-vektor satuan. Kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva r, adalah

             ..    .  .   �     �    �                     v=



 dan a =

.

Hasil kali titik (dot product)  r.s = f 1g1 + f 2g2 + f 3g3 Hasil kali silang (cross product)

 �



rxs=

.

.

OPERATOR  (“DEL”) Misalkan w = F(x, y, z), maka didefinsikan

 =

 =

 turunan

Jika a = a1i + a2 j + a3k, maka turunan berarah F dalam arah vektor a adalah DIVERGENSI DAN CURL Misalkan F = iF1(x, y, z) +  jF2(x, y, y, z) + kF3(x, y, z), maka divergensi dari vektor F adalah

div F = curl dari vektor F adalah

�.

berarah pada titik (x, y, z).

 .             �    

curl F =

=

 =

.

INTEGRAL GARIS Misalkan F = iF1(x, y, z) +  jF2(x, y, y, z) + kF3(x, y, z), dan r = x i + y j + z k adalah posisi titik P(x, y, z) pada busur C sepanjang vektor r, maka

 . �                

Dinamakan integral garis. Secara spesifik integral ini dinamakan usaha yang dikerjakan oleh sebuah partikel yang bergerak dari P 0 ke P1 sepanjang busur C.

LATIHAN 1. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva x = 4cos t, y = 4sin t, z = 6t. Carilah magnitude kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0 dan t = π /2. 2. Percepatan sebuah partikel pada sebarang waktu t > 0 diberikan oleh persamaan a = t 2t dv /dt = e i + e  j + k. Jika pada t = 0, r = 0 dan v = i + j, carilah r dan v pada sebarang waktu t. 2

2

2

3. Carilah turunan berarah vektor F(x, y, z) = x  – 2y  + 4z  pada titik P(1, 1, -1) dalam arah a = 2i + j – k. 2

2

2

4. Misalkan B = xy i + 2x yz j – 3yz k, carilah div B dan curl B. 5. Carilah turunan pertama dan kedua dari vektor s jika 2

3

2

(a) s = (t + 1)i + (t  + t + 1) j + (t  + t  + t + 1)k 2t

t

2

(b) s = ie  cos 2t + j e  sin 2t + t k. 2

3

2

6. Diberikan a = ui + u  j + u k, b = i cos u +  j sin u, c = 3u i – 4uk. Hitung a.b, a x b, a.(bxc), ax(bxc) dan cariral turunan masing-masing. 7. Hitung

 

, jika diberikan

2

2

(a) F(u) = u i + (3u  – 2u) j + 3k, a = 0, b = 2 u

-2u

(b) F(u) = e i + e  j + uk, a = 0, b = 2. 8. Carilah usaha yang dilakukan oleh F = (x + yz)i + (y + xz) j + (z + xy)k dalam menggerakkan partikel dari titik asal O(0,0,0) ke titik C(1, 1, 1) (a) Sepanjang garis lurus OC 2

(b) Sepanjang kurva x = t, y = t , z = t

3

(c) Sepanjang garis lurus O(0, 0, 0) ke A(1, 0, 0), A ke B(1, 1, 0), B ke C.