Les Sources Sismiques (Le Vibroseis)

Les sources sismiques (le vibroseis)

To cite This version –pour citer cette version Djeddi Mabrouk : les sources sismiques (le vibroseis) .Département de Géophysique. FHC-Université M’Hamed Bougara de Boumerdes Algérie 12/2016. -Introduction - La trace sismique - Les sources sismiques - La Notion de source sismique idéale - Les sources sismiques réelles - L’évolution du signal émis avec la profondeur - Les qualités d’une source sismique - Les différentes sources sismiques - Les sources sismiques terrestres LE VIBROSEIS - Les Types de sweep - Le Procédé de corrélation en vibroseismique - La Fonction d’auto corrélation - La Fonction d’inter corrélation - La cross-Corrélation du sweep - Bibliographie

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INTRODUCTION La sismique pétrolière est une puissante technique géophysique d’exploration ou les excitations et les enregistrements se font à la surface du sol ou près de celle-ci. Elle est un outil d’investigation qui permet de fournir une imagerie du sous-sol et de reconstituer la structure des couches géologiques ainsi que leur agencement à moyenne et grande profondeur. La source sismique appliquée à la surface du sol ou près de celle-ci donne naissance à des ondes élastiques de volumes longitudinales(𝑃) et transversales(𝑆) réfléchies et réfractées et des ondes de surface. La propagation des ondes sismiques dans le sous-sol respecte certains grands fondements physiques tels que le principe de Huygens (montrant la manière dont un front d’onde se propage), le principe de Fermat ou principe de stationnarité (relatif au chemin suivi par l’onde entre le point d’émission et le point de réception), les lois de Snell- Descartes et le principe de réciprocité (symétrie entre le point d’émission et le point de réception en sismique). Dans ce qui suit il est abordé les cas de la sismique pétrolière qui utilise les ondes longitudinales réfléchies comme ondes utiles. LA TRACE SISMIQUE Le sous-sol est composé de couches géologiques séparées par des interfaces (surface de discontinuité) sur lesquelles le signal incident émis par la source se réfléchit et se réfracte. En sismique réflexion quand une onde élastique se déplaçant dans un premier milieu d’indice « 𝒊 » atteint, sous une incidence normale (très faible), l’interface que le sépare d’un second milieu d’indice « 𝒊 + 𝟏 », une faible partie de l’énergie est réfléchie avec un angle de réflexion égal à l’angle d’incidence. L’autre partie de l’énergie est réfractée dans le second milieu où elle donne naissance à une onde élastique qui s’y propage jusqu’à rencontrer une seconde interface où, de nouveau il se produira une réflexion et une réfraction .Et il en est ainsi jusqu’à dissipation totale de l’énergie sismique. Chaque surface de discontinuité est définie par son coefficient de réflexion (compris entre −𝟏 et 𝟏) qui est égal au contraste du produit de la vitesse et de densité entre les deux milieux séparant l’interface. L’amplitude et la polarité de l’onde réfléchie sont fonction du coefficient de réflexion 𝑲 défini par la relation :

𝑲 =

𝑨𝒓 𝑨𝒊

=

𝒅𝒊+𝟏 𝑽𝒊+𝟏 − 𝒅𝒊 𝑽𝒊 𝒅𝒊+𝟏 𝑽𝒊+𝟏 + 𝒅𝒊 𝑽𝒊

(Cas d’incidence normale)

𝒅𝒊 . . 𝑽𝒊 : Impédance acoustique (produit de la densité par la vitesse) du milieu 𝒊.Elle correspond à la capacité du milieu à s’opposer au passage d’une onde sismique Il y aura une inversion de phase lorsque le coefficient de réflexion est négatif c’est-àdire quand le rayon incident se trouve dans la couche d’impédance acoustique plus grande. 𝑨𝒓 : Amplitude de l’onde réfléchie 𝑨𝒊 : Amplitude de l’onde incidente 2

Lorsque l’angle d’incidence augmente, la proportion d’énergie réfléchie augmente, et le coefficient de réflexion augmente aussi. Le signal émis par la source sismique et enregistré (après réflexion sur les différents interfaces) par le géophone (ou trace sismique) s’écrit donc comme le produit de convolution du signal source 𝒔(𝒕) et de la réponse impulsionnelle 𝒌(𝒕) du sous-sol .Le sous-sol est assimilé généralement à un filtre linéaire et stationnaire. La propagation des ondes sismiques dans le sous-sol est présumée comme un processus spatio- temporel linéaire et stationnaire, car elles sont enregistrées donc dans le domaine spatio-temporel (𝒙, 𝒕) La trace sismique (signal sismique réfléchi) suite de convolutions .Elle s’exprime par :

𝑻(𝒕) à traiter

est le résultat d’une

𝑻(𝒕) = 𝑺(𝒕) ∗ 𝑲(𝒕) ∗ 𝒆(𝒕) ∗ 𝒈(𝒕) ∗ 𝒉(𝒕) ∗ 𝒎(𝒕) ∗ 𝒑(𝒕) 𝑺(𝒕) : Le signal source émis par la source sismique 𝑲(𝒕) : Le film impulsionnel (suite des coefficients de réflexion). C’est une quantité qui est à l’origine des réflexions des ondes sismiques. 𝒆(𝒕) : Le filtrage dû au couplage source sismique terrain et à l’étalement de la source. 𝒈(𝒕) : Le filtrage dû au couplage géophone terrain et à l’étalement de la sismique.

trace

L’étalement de la source sismique et de la trace sismique sont maitrisables, toutefois l’obstacle du couplage avec le sol reste encore péniblement soluble. 𝒉(𝒕) : tous les filtrages terrains (transmissivité, absorption, divergence géométrique, hétérogénéités, effets de coupes haut etc…) 𝒎(𝒕) : Le filtrage dû à la chaine d’enregistrement (laboratoire d’acquisition terrain). La technologie actuelle n’affecte pas la trace sismique 𝑻(𝒕) 𝒑(𝒕) : La chaine de traitement. Elle a pour but d’obtenir à partir des données brutes terrain une section sismique interprétable .Elle permet théoriquement de compenser les effets sur 𝑺(𝒕), 𝒆(𝒕), 𝒈(𝒕), 𝒉(𝒕) et 𝒎(𝒕). un traitement classique consiste à effectuer un démultiplexage ,des corrections statiques , des corrections dynamiques , une récupération du gain ,une compensation de la divergence sphériques et de l’absorption(récupération des amplitudes), une sommation en couverture multiple, une déconvolution , un filtrage , une égalisation dynamique , une migration etc…

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La trace sismique (fig.1a) correspondant à un enregistrement au niveau du géophone (hydrophone) peut être modélisée (dans le cas simplifié sans le bruit additif) .Elle a pour expression (en présence du bruit additif) : 𝑻(𝒕) = 𝑺(𝒕) ∗ 𝒌(𝒕) + 𝒃(𝒕) (Fig 1b) 𝒃(𝒕) : Le bruit additif 𝑺(𝒕): Le signal source (ondelette) émis Une sismique idéale pour une interprétation lithologique serait celle ou : 𝑻(𝒕) = 𝑲(𝒕) La source sismique 𝑺(𝒕) n’est généralement pas connue sauf si l’on utilise la source vibroseismique .En l’absence d’information on estime que le signal source émis est un signal très bref à minimum délai autrement dit où toute l’énergie est concentrée en tête.

(𝒂)

4

(𝒃) Fig.1 modèle de la trace sismique

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LES SOURCES SISMIQUES Les sources sismiques peuvent être des instruments, ou des phénomènes physiques capables de produire un signal sismique, autrement dit engendrer une énergie mécanique en quantité suffisante pour qu’elle se propage dans le sous-sol. Pour exciter les ondes sismiques, il y a plusieurs types de sources : -

Les sources créant une impulsion Les sources créant des vibrations

Dans ce qui suit, nous passerons très succinctement en revue les différentes sources sismiques mais, il sera traité essentiellement le cas d’une source vibroseismique. L’optimisation de la résolution de l’imagerie sismique du sous-sol nécessite des sources sismiques bien adaptées aux conditions de terrain et aux profondeurs d’intérêt. Notion de source sismique idéale Les sources sismiques idéales n’existent pas réellement. On définit une source idéale comme étant une source sismique qui fournirait une énergie grande et finie durant un très court laps de temps . Elle doit donc posséder un contenu fréquentiel à large spectre et riche en hautes fréquences. L’exemple le plus connu est le signal correspondant à une impulsion de Dirac (Fig2). L’impulsion de Dirac joue un rôle d’impulsion unité dans de nombreux problèmes de physique impulsionnelle. C’est une impulsion dont l’aire est égale à 𝟏 et dont son spectre d’amplitude, constant, montre qu’il comporte toutes les fréquences (spectre blanc) et son spectre de phase est nul fig. 2b. Un tel signal est impossible à créer. Elle possède deux formes - la forme d’un rectangle de largeur 𝜀 et de hauteur

1 𝜀

- la forme d’une cloche très étroite et très haute (fig2a) 𝜀 2 𝜀 − 2

∫

+

+∞

𝛿(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫−∞ 𝛿(𝑡) 𝑑𝑡 =1

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(𝑎)

(b)

𝜹(𝒇): Spectre d’amplitude

𝜹(𝒕)

𝝋(𝒇) ∶spectre de phase

Fig.2 : impulsion de Dirac

Les deux domaines de l’impulsion de Dirac -

Le domaine temporel

Avec 𝛿(𝒕) = {

∞, 𝒕 = 𝟎 𝟎, 𝒂𝒊𝒍𝒍𝒆𝒖𝒓𝒔

+∞

∫−∞ 𝜹(𝒕 − 𝝉) 𝒅𝒕 = 1 𝜹(−𝒕) = 𝜹(𝒕) : 𝜹(𝒂𝒕) = -

𝟏 |𝒂|

La fonction de Dirac est paire

𝜹(𝒕)

Le domaine fréquentiel

Le spectre de l’impulsion de Dirac est : +∞

𝜹(𝒇) = ∫−∞ 𝜹(𝒕) 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝒅𝒕 = 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 │𝒕=𝟎 = 𝟏, ∀𝒇 Lorsque l’impulsion de Dirac théorème du retard.

est excentrée, son spectre

+∞

∫−∞ 𝜹(𝒕 − 𝝉) 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝒅𝒕 = 𝜹(𝒇) 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉 TF[𝜹(𝒏) (𝒕)] = [𝒊𝟐𝝅𝒇]𝒏

Selon

Convolution comprenant une impulsion de Dirac le théorème

𝒔(𝒕) ∗ 𝒚(𝒕)

𝒔(𝒇) . 𝒚(𝒇)

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se modifie

selon le

Tenant compte que la convolution d’un signal avec une impulsion de Dirac donne une réplique de ce signal, munie d’un retard égal à celui de l’impulsion, soit : 𝒔(𝒕) ∗ 𝜹(𝒕 − 𝝉) = 𝒔(𝒕 − 𝝉) On a 𝑠(𝒕) ∗ 𝜹(𝒕 − 𝝉)

𝒔(𝒇) 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉

𝑻𝑭 [𝜹(𝒕 − 𝝉)] = 𝜹(𝒇) . 𝒆𝒙𝒑 (−𝟐𝝅𝒊𝒇𝝉) = 𝒆𝒙𝒑 (−𝟐𝝅𝒊𝒇𝝉) , car 𝜹(𝒇) = 𝟏 𝜹(𝒕 − 𝝉𝟏 ) * 𝜹(𝒕 − 𝝉𝟐 ) = 𝜹[𝒕 − (𝝉𝟏 + 𝝉𝟐 )] ∗ Produit de convolution La convolution de deux signaux de Dirac donne un troisième signal de Dirac, dont le retard est la somme des retards des impulsions convoluées.

Les sources sismiques réelles La figure 3 représente l’exemple un signal dans le domaine temporel .On remarque que les amplitudes 𝑨(𝒕) varient avec le temps avec des pics positifs et négatifs La représentation dans le domaine fréquentiel se définit par un spectre d’amplitude et un spectre de phase. Pour un signal 𝑺(𝒕), sa transformée de Fourier directe est : +∞

𝑺(𝒇) = ∫−∞ 𝒔(𝒕) 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝒅𝒕 Sa transformée de Fourier inverse est : +∞

𝑺(𝒕) = ∫

𝒔(𝒇) 𝒆+𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝒅𝒇

−∞

𝑺(𝒇) = |𝑺(𝒇)|𝒆𝒊𝝋(𝒇) |𝑺(𝒇)| = √𝐑𝐞{𝑺(𝒕)}𝟐 + 𝐈𝐦{𝑺(𝒕)}𝟐 : étant le spectre d’amplitude 𝝋(𝒇) : étant le spectre de phase.

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Fig.3 : exemple de source idéale et source réelle

Evolution du signal émis avec la profondeur La figure 4 montre l’évolution d’un signal dans le domaine temporel et fréquentiel avec la profondeur. Elle se résume comme suit (de haut en bas) : 1234-

une impulsion théorique et son spectre un signal en pratique et son spectre le signal à quelques mètres de profondeur et son spectre le signal et son spectre situé à quelques dizaines de mètres de profondeur

On remarque que plus le temps de propagation est grand et plus le signal s’allonge. Il perd de plus en plus les composantes hautes fréquences ce qui détériore la définition ou le pouvoir de résolution. Le contenu en fréquence contrôle la résolution. Comme la longueur d’onde diminue lorsque la fréquence d’une onde augmente, des fréquences élevées permettent de détecter des structures plus fines dans un milieu que les basses fréquences. Etant donné que la résolution sismique augmente avec la largeur du spectre d’une onde, plus le spectre est large, plus une ondelette devient étroite ce qui permet de distinguer des structures rapprochées .La source idéale serait donc une source de grande puissance avec un contenu fréquentiel à large spectre et riche en hautes fréquences

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Fig.4 exemple d’évolution d’un signal en fonction de la profondeur.

Les qualités d’une source sismique Toute bonne source sismique doit posséder les caractéristiques énergétique, la signature, la fidélité, la sureté la maniabilité et le prix de revient. - Energétique La source sismique doit être énergétique. En effet c’est l’énergie engendrée qui déterminera (la pénétration) la profondeur maximale à atteindre par le signal sismique qui, une fois réfléchi ou réfracté, renferme encore une énergie suffisante pour être décelé par les géophones en surface du sol. C’est ce qu’on appelle pouvoir de pénétration. Celui -ci définit la profondeur au-delà de laquelle les réflexions et ou les réfractions ne peuvent être pointées c’est-à-dire la profondeur au delà de laquelle le rapport signal sur bruit (S/B) devient assez faible. La profondeur de pénétration dépend du phénomène d’atténuation et d’absorption des ondes sismiques lors de leur propagation dans les différents milieux, de l’énergie émise par la source, de l’énergie des différents bruits qui interfèrent avec le signal utile etc. 10

- Signature Une source sismique doit avoir une signature aussi brève que possible. Celle –ci représente l’aspect du signal sismique émis, c’est-à-dire son amplitude en fonction du temps ou en fonction des fréquences. La signature doit avoir l’amplitude des pics secondaires plus petite par rapport à l’amplitude du pic principal, afin de représenter un bon pouvoir de résolution. La source doit émettre un signal court en temps c’est-à-dire caractérisé par un spectre d’amplitude le plus étendu possible (riche en hautes fréquences), et ce pour obtenir un pouvoir de résolution (de définition) aussi élevé que possible. Pour rappel, le pouvoir de définition définit l’aptitude de différencier deux évènements sismiques aussi proches que possible l’un de l’autre .On distingue deux types de pouvoir de résolution en sismique réflexion : la résolution verticale et la résolution latérale (liée à la zone de Fresnel). 𝝀 La résolution verticale est généralement prise dans la proportion de 𝟐 en présence d’un bruit intense ou

𝝀

𝟒

lorsque le bruit est faible. Elle est estimée à l’aide du critère

de Rayleigh, issu de l’optique. - La fidélité Les signatures des différentes émissions (tirs sismiques) successives aussi constantes que possible c’est-à-dire identiques.

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doivent être

Les différentes sources sismiques Il existe différents types de sources sismiques pouvant être utilisées pour provoquer un ébranlement. Ils varient en puissance et en contenu fréquentiel Les différents types de sources sismiques sont résumés au tableau 1

Tableau 1

Dans ce qui suit nous nous contentons de présenter très brièvement les différents types de sources sismiques .Seule la source vibroseismique sera abordée plus amplement. Les sources sismiques terrestres Les sources sismiques terrestres sont nombreuses. Mis à part l’explosif qui fut utilisé longtemps autrefois, il existe autres types de sources terrestres toutes caractérisées par un signal bref .Les sources sismiques d’énergie impulsives les plus connues sont le dinoseis, les sources à air, la chute de poids, le cordeau détonant, le mini –sosie, le Betsy etc…

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Les explosifs Les explosifs sont des substances ou un mélange de substance qui, soumis à une action physique ou mécanique plus ou moins violente , est susceptible de se décomposer dans un temps très court en donnant naissance à un grand volume de gaz porté à haute température et à une pression assez élevée. La dynamite fut largement utilisée comme source sismique dès le début de la prospection sismique réflexion et réfraction , mais elle est de nos jours utilisée de moins en moins à cause de ses nombreux inconvénients tels que son coût, sa manipulation, le stockage, le transport , nécessité de faire des trous de tir etc…Mais elle possède un spectre fréquentiel assez large .L’explosif peut être utilisé dans un trou foré, Elle est la rare source sismique qui permet de fournir une signature de grande amplitude à la surface du sol ou encore en l’air (charges suspendues). Lors de l’explosion de la dynamite qui ne dure que quelques centaines de microsecondes, le front d’explosion se propage à grande vitesse pouvant atteindre 7000 m/s. Elle engendre des pressions énormes qui fracturent voir pulvériser les roches se trouvant autour de la dynamite, créant ainsi une réelle cavité. Depuis la détonation jusqu’à la formation de la vraie cavité, la propagation de l’énergie est purement non élastique. La propagation d’énergie continue de se propager en élargissant la vraie cavité pour former une autre cavité plus grande .Cette dernière appelée cavité équivalente est considérée comme élastique. La Chute de Poids Dans ce type de source sismique, on utilise l’énergie développée par la chute d’un poids de 3000 kg, lâché du dessus du sol d’une hauteur de 3 mètres. La chute de poids fournit une signature assez fournie en haute fréquence mais moins que celle de la dynamite. Le transfert de l’énergie sismique dans le sous-sol dépend essentiellement de la nature de la couche superficielle. Ce procédé est utilisé en prospection sismique haute résolution (faible profondeur) en raison de sa faible énergie. Le Canon à air Ce type de source porté sur un véhicule lourd, utilise l’explosion engendrée par la pression d’air comprimé dans une chambre d’eau. Le camion soulève ses roues arrières et met tout son poids sur le canon à air grâce à un système hydraulique .L’air comprimé pénètre dans la chambre d’eau et produit une explosion (émission d’un choc transmis au sol). La source Betsy Le Betsy est une source sismique terrestre de faible énergie destinée à la sismique haute résolution .Il est léger et facilement transportable à la main. Il est constitué d’ un canon qui envoie un choc d’une vitesse de 500 à 600 m/s dans le sol grâce a une membrane placée au -dessous de l’appareil. 13

Le Mini-sosie L’intérêt porté sur la petite sismique en subsurface a amené les chercheurs de la SNPA (1973) à mettre au point une nouvelle technique appelée mini-sosie. Cette technique consiste en l’utilisation d’une dameuse comme source sismique qui frappe le sol et surtout dans le changement du taux d’émission par variation de vitesse de « frappe » de la source. LA SOURCE VIBROSEISMIQUE La source vibroseismique (vibroseis) est une source sismique dont l’énergie émise n’est pas impulsive. Ce procédé, très répandu en sismique terrestre est basé sur le principe de produire à la surface du sol, en intervalles réguliers, des séries de vibrations d’une bande de fréquences choisie soigneusement. Le vibroseis est un mode d’exploitation sismique qui permet de faire varier la bande de fréquences vibrée ; il est possible d’adopter les fréquences paraissant les plus favorables au vu de l’analyse du spectre d’un tir conventionnel. Le vibroseis émis des trains d’ondes de durée de temps fini et de fréquences progressivement variables (appelés sweep) fig.5 .Le sweep est un signal source long qui a pour expression mathématique de la forme : 𝑺(𝒕) = 𝒂(𝒕). 𝒔𝒊𝒏 [𝟐𝝅(𝒂 + 𝒃𝒕)𝒕 ]. La fréquence est une fonction linéaire du temps et les paramètres a et b permettent d’émettre dans la gamme des fréquences souhaitées.

Temps Fig.5: signal vibroseismique (sweep)

Une onde sinusoïdale, de fréquence variant de façon monotone dans le temps émise aux fréquences variables se fait grâce à une masse (plaque métallique) de quelques tonnes solidaire avec le sol sur laquelle s’appuie le véhicule .La plaque 14

métallique est actionnée à l’aide d’un vibrateur électro - hydraulique monté sur un véhicule tout terrain. Fig. 6(a) Le vibroseis produit de l’énergie sur une plus ou moins longue période de temps avec un contenu en fréquence qui varie dans le temps. C’est une source de faible énergie, ce qui nécessite l’utilisation de plusieurs unités de vibrateurs pour effectuer un seul point de tir fig. 6c. Le signal de vibration qui se propage dans le sol émis à partir d’un point ébranlé (vibré) qui est le centre gravité d’un ensemble des vibreurs. La disposition des vibrateurs (géométries) joue le même rôle que celui d’une nappe (multiplication) de géophones c’est-à-dire jouant le rôle d’un filtrage en nombre d’onde .Les vibrateurs fonctionnent en synchronisme, ils ne provoquent pratiquement pas de dégâts .Ils sont montés sur différents types de véhicules spéciaux à larges roues ou sur des véhicules chenillés (fig.5b)

(𝒂)

(𝒃) Fig. 6. Le vibroseis

(𝒄)

Expression mathématique générale d’un sweep Le sweep suivante.

provoquant

la vibration

a

pour expression mathématique générale

𝑺(𝒕) = 𝒂(𝒕) . 𝐬𝐢𝐧[∅𝒊 (𝒕) + ∅ ] ∅𝒊 (𝒕) : La phase instantanée ∅ : La phase initiale

La fréquence instantanée du sweep l’expression :

est liée

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à la phase instantanée

par

𝟐 𝝅. 𝒇𝒊 (𝒕) = 𝝎(𝒕) =

𝒅∅ 𝒅𝒕

(Fréquence instantanée étant la dérivée de la phase).

Le sweep est caractérisé par une bande de fréquence à générer .Cette bande doit répondre au besoin de la résolution sismique recherchée et à la répartition de ses fréquences dans le temps. Lorsque la fréquence instantanée augmente progressivement et linéairement de la fréquence 𝑓0 à 𝑓𝑚 avec le temps 𝒕 on a en général (Sheriff and kim, 1970, Baeten, 1989), le sweep (up sweep) provoquant la vibration a pour expression mathématique 𝑺(𝒕) = 𝒂(𝒕). 𝒔𝒊𝒏 [𝟐𝝅(𝒂 + 𝒃𝒕)𝒕 ] = 𝒂(𝒕) . 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅[ 𝒇𝟎 + 𝒃𝒕 ] 𝒕 𝑏 : constante

𝒂(𝒕) : Est une fonction spéciale jouant le rôle de fenêtre du temps .Elle définit l’amplitude instantanée c’est-à-dire la loi de modulation d’amplitude de sweep (effilement –taper) .Elle a la forme linéaire ou cosinus et elle permet de réduire les effets de troncature (phénomènes de Gibbs) qui produisent des lobes secondaires. 𝟏 𝒅

𝒇𝒊 (𝒕) = 𝟐 𝝅 𝒅𝒕 [𝟐 𝝅( 𝒇𝟎 + 𝒃𝒕)𝒕] = 𝒇𝟎 + 𝟐 𝒃𝒕 𝑏 est donné par l’expression 𝒃 =

𝒇𝒊 − 𝒇𝟎 𝟐𝒕

=

𝒇𝒎𝒂𝒙 − 𝒇𝟎 𝟐𝑻

=

𝑮 𝟐

𝑮=

𝒇𝒎𝒂𝒙 − 𝒇𝟎 𝑻

𝑇 : étant la longueur du sweep 𝐺 : Le gradient de fréquence c’est-à-dire la variation de la fréquence avec le temps Pour le cas de balayage descendant où la fréquence instantanée diminue avec le temps, les mêmes équations sont utilisées avec une fréquence initiale supérieure à la valeur finale. Types de sweep Il existe différents types de sweep selon les lois de variation des fréquences fig.7 L’up-sweep Pour un sweep caractérisé par une longueur 𝑻 secondes et une bande de fréquence B = [ 𝒇𝒎𝒂𝒙 - 𝒇𝒎𝒊𝒏 ] le up-sweep se définit par des fréquences croissant de 𝑓𝑚𝑖𝑛 vers 𝑓𝑚𝑎𝑥 L’up-sweep a pour expression.

𝑺𝒖 (𝒕) = 𝒂(𝒕) . 𝐬𝐢𝐧[𝟐𝝅( 𝒇𝒎𝒊𝒏 + 𝒃𝒕)𝒕]

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Le down-sweep Pour un sweep caractérisé par une longueur 𝑻 secondes et une bande de fréquence B = [ 𝒇𝒎𝒂𝒙 - 𝒇𝒎𝒊𝒏 ]. Le down-sweep se caractérise par des fréquences croissant de 𝒇𝒎𝒂𝒙 vers 𝒇𝒎𝒊𝒏 Le down-sweep a pour expression.

𝑺𝒅 (𝒕) = 𝒂(𝒕) . 𝐬𝐢𝐧[𝟐𝝅( 𝒇𝒎𝒂𝒙 + 𝒃𝒕)𝒕]

Fig.7 Type de Sweep

Le Sweep linéaire Le sweep linéaire décrit le sweep dont la fréquence instantanée est une fonction linéaire du temps (équation d’une droite) fig.8. Il est fait de sorte que les fréquences contribueraient de façon égale en amplitude (toutes les fréquences ont le même poids) .Son spectre d’amplitude serait inéluctablement plat.

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Fig 8. La phase et la fréquence d’un sweep linéaire

Le Sweep non linéaire Un sweep non linéaire est un sweep dont la loi de la fréquence instantanée est une fonction non linéaire du temps. (La loi des fréquences n’étant pas l’équation d’une droite). La loi d’un sweep non linéaire est habituellement évaluée en fonction des composantes fréquentielles qu’on désirerait favoriser. Les lois de sweep les plus connues sont : - les sweep logarithmiques Les sweep logarithmiques sont des sweep ou la grande partie de la durée du signal est favorisée par les hautes fréquences. La fréquence instantanée d’un sweep logarithmique a pour expression. 𝒇𝒊 (𝒕) = 𝒇𝟎 +

𝑩. 𝒕𝟏/𝜶 𝑻𝟏/𝜶

, avec 𝜶 > 𝟏

- les sweep exponentiels Ils ont pour expression. 𝒇𝒊 (𝒕) = 𝒇𝟎 +

𝑩. 𝒕𝟏/𝜶 𝑻𝟏/𝜶

Avec 𝛼 < 1

Les sweep exponentiels fréquences

sont utilisés pour favoriser généralement les

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basses

Le Polysweep Le polysweep est un procédé qui permet de faire varier les paramètres du sweep dans la même nappe .Il est utilisé pour fournir la forme spectrale la plus appropriée d’un signal particulier qui s’accompagnerait d’une diminution du bruit de corrélation. Le polysweep est utilisé pour certaines applications spécifiques. Remarque La sélection du sweep optimal en début d’une étude de prospection sismique est souvent une opération délicate qui nécessite la connaissance de nombreuses caractéristiques telles que la profondeur de l’objectif, la bande fréquentielle moyenne du signal et la bande en octaves, les hautes fréquences indispensables à la résolution espérée, la fenêtre de pondération, la durée de l’effilement, le temps d’arrivée de l’harmonique supérieur au temps d’arrivée de la dernière réflexion d’intérêt, la fréquence maximale 𝒇𝒎𝒂𝒙 et bien d’autres. La fréquence maximale

doit être prise selon la formule :

𝒇𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝒕

𝟏𝟓𝟎 𝒐𝒃𝒋𝒆𝒄𝒕𝒊𝒇

Effilement L’effilement (tapering) représente le temps que met le vibrateur pour passer de l’état de repos à la vibration avec amplitude maximale ( passage au régime permanent ).Le Taper a donc pour but à pondérer de manière identique le sweep brut par une fonction d’apodisation c’est-à-dire pour palier au problème de génération des lobes secondaires en vibroseismique lors du processus de corrélation en adoucissant les pentes du spectre d’amplitude en utilisant des fonctions d’adoucissement des pentes de l’enveloppe. La fonction d’apodisation peut prendre l’une des formes suivantes : 1-Cas linéaire

𝒂(𝒕) =

𝒕⁄𝑻𝟏 𝟏

𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻𝟏 𝑻𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻 − 𝑻𝟏

𝒕

− 𝑻 (𝒕 − 𝑻) 𝟏

𝑻 − 𝑻𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻

2-Cas sinusoïdal

𝒂(𝒕) =

𝒔𝒊𝒏 (𝝅𝒕⁄𝟐𝑻𝟏 ) 𝟏 𝝅𝒕

𝒔𝒊𝒏 [ 𝟐𝑻 (𝒕 − 𝟐𝑻𝟏 ) ] 𝟏

𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻𝟏 𝑻𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻 − 𝑻𝟏 𝑻 − 𝑻𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻

3-Cas cosinusoïdal 19

𝟏

[ 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 (𝝅𝒕⁄𝑻𝟏 )]

𝟐

𝒂(𝒕) =

𝟏 𝟏 𝟐

𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻𝟏 𝑻𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻 − 𝑻𝟏

𝝅𝒕

{𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 [ 𝑻 (𝒕 − 𝑻)] } 𝟏

𝑻 − 𝑻𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻

La longueur du sweep La longueur du sweep correspond au temps mis par un vibrateur (ou un ensemble de vibrateurs) à balayer la bande fréquentielle retenue c’est-à-dire à émettre la quantité d’énergie libérée. Cette longueur exprimée en seconde peut durer plusieurs secondes. Le rapport 𝑺/𝑩 (signal/bruit) en méthode vibroseismique est largement lié à la longueur du sweep utilisé. Il a pour expression : 𝑺/𝑩 = 𝟐𝟎. 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 [𝑵. 𝑮. (𝒏. 𝑪. 𝑩. 𝑻)𝟏/𝟐 ] 𝑁 : Nombre de vibrateurs 𝐺 : Peak force appliquée 𝑛 : Nombre de sweep par VP 𝐶 : Ordre de la couverture multiple 𝐵 : Bande de fréquences 𝑇 : Longueur du sweep exprimée en seconde Energie L’énergie émise par un point vibrant dépend du nombre de vibreurs, de leur force, du nombre de sweep et de la longueur de celui-ci .Elle s’exprime par la relation suivante. 𝑬(𝒅𝒃) = 𝑵. 𝑮. √𝒏. 𝑻

Le temps d’enregistrement En méthode vibroseismique, le temps de l’enregistrement sur le terrain de la trace sismique se compose de deux temps (𝑻 + 𝑻𝒆 ). - Un temps 𝑻 correspondant à la longueur du sweep - Un temps d’écoute 𝑻𝒆 comparable à la durée d’enregistrement informative en méthode dynamite. Ce 𝑻𝒆 est appelé listening –time en anglo-saxon. A titre d’exemple, un sweep de 16 secondes aura 𝑇 = 12 𝑠 et 𝑇𝑒 = 4 secondes 20

Bande fréquentielle La bande fréquentielle représente la série de fréquences contenue dans le sweep et injectée dans le sol par le vibrateur. La bande fréquentielle du sweep est comprise entre deux fréquences limites 𝑩 (𝒇𝒎𝒊𝒏 , 𝒇𝒎𝒂𝒙 ) (formulation linéaire) La bande fréquentielle octaves. 𝑩 =

du sweep (formulation logarithmique) a pour expression en

𝐥𝐨𝐠 𝒇𝒎𝒂𝒙 −𝐥𝐨𝐠 𝒇𝒎𝒊𝒏 𝒍𝒐𝒈𝟐

Procédé de corrélation en vibroseismique L‘utilisation de la source vibroseismique sollicite une opération de traitement sismique complémentaire .En effet, le signal sismique enregistré par l’utilisation du vibroseis possède généralement une longue durée .Pour transformer ce signal vibroseismique en une impulsion sismique brève (impulsionnelle) , il est nécessaire de le corréler avec le sweep. Le signal envoyé dans le sol par un vibroseis est un train d’onde dont la fréquence de balayage est soigneusement contrôlée .Il n’est pas une brève impulsion mais un signal généralement long c’est-à-dire un signal modulé dont la fréquence varie avec le temps. Si 𝑺(𝒕) est le sweep émis et 𝒌(𝒕) la série des coefficients de réflexion (réflectivité du sous-sol) la trace vibroseismique enregistrée 𝑻(𝒕) est le résultat de la convolution (cas le plus simple) 𝑻(𝒕) = 𝑺(𝒕) ∗ 𝒌(𝒕) * Désigne le produit de convolution Dans le domaine spectral (domaine de Fourier), multiplication qui s’écrit comme suit. 𝑻(𝒇) = 𝑺(𝒇) . 𝒌(𝒇) Avec 𝑻(𝒇) = │𝑻(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝑻(𝒇) 𝑺(𝒇) = │ 𝑺(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒔(𝒇) 𝒌(𝒇) = │ 𝒌(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒌(𝒇) │𝑻(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝑻(𝒇) = │ 𝑺(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒔(𝒇) . │ 𝒌(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒌(𝒇)

21

il

s’agit

d’une simple

Soit

│𝑻(𝒇)│ = │ 𝑺(𝒇)│. │ 𝒌(𝒇)│ : (Multiplication des spectres d’amplitude)

𝝋𝑻 (𝒇) = 𝝋𝒔 (𝒇) + 𝝋𝒌 (𝒇) ∶ (Addition des spectres de phase) La cross-Corrélation du sweep La cross- corrélation du sweep avec la trace vibroseismique brute donne. 𝜱𝒔𝑻 (𝒕) = 𝑻(𝒕) ∗ 𝑺(−𝒕) La combinaison de celle-ci avec l’équation de la trace vibroseismique donne 𝜱𝒔𝑻 (𝒕) = [ 𝑺(𝒕) ∗ 𝒌(𝒕)] ∗ 𝑺(−𝒕) = 𝒌(𝒕) ∗[𝑺(𝒕) ∗ 𝑺(−𝒕) ] Le terme [𝑺(𝒕) ∗ 𝑺(−𝒕)] est la fonction d’autocorrelation 𝜱𝒔𝒔 (𝒕) du sweep, soit. +∞

𝜱𝒔𝒔 (𝒕) = ∫

𝑺(𝝉) 𝑺(𝝉 + 𝒕) 𝒅 𝝉

−∞

D’où

𝜱𝒔𝑻 (𝒕) = 𝜱𝒔𝒔 (𝒕) ∗ 𝒌(𝒕)

𝑻𝑭[𝜱𝒔𝑻 (𝒕)] = 𝑻𝑭[ 𝜱𝒔𝒔 (𝒕) ∗ 𝒌(𝒕)]

= 𝑻𝑭[ 𝜱𝒔𝒔 (𝒕)] . 𝐓𝐅[ 𝒌(𝒕)]

𝜱𝒔𝑻 (𝒇)] = 𝜱𝒔𝒔 (𝒇) . 𝒌(𝒇) La cross -corrélation du sweep avec la trace vibroseismique brute facteur près l’autocorrélation du sweep .Cette dernière constitue Klauder (Sheriff, 2002).

22

fournit à un l’ondelette de

(a)

23

(b)

Fig.9.

Principe de la corrélation vibroseismique

La figure 9 illustre le principe de la corrélation vibroseismique .Elle se résume comme suit : -

Le signal 𝐴 représente le signal vibroseismique, le sweep camion vibroseis. .Dans notre cas, il s’agit d’un up-sweep.

𝑆(𝑡) émis par le

-

Les signaux 𝐵, 𝐶, et 𝐷 constituent les réponses d’un modèle de sous- sol composé de 4 couches (série des coefficients de réflexion).On remarque que le premier et le troisième réflecteur possèdent un coefficient de réflexion inversé (phase inversée) au second réflecteur . Il s’agit d’une deuxième couche d’impédance acoustique supérieure à celle de la couche de dessous 𝜌1 > 𝜌2 , 𝜌3 > 𝜌2 et 𝜌3 > 𝜌4

-

La trace 𝐸 représente la trace vibroseismique 𝑇(𝑡) brute enregistrée par le géophone avant l’application de la corrélation. Elle résulte du produit de convolution du signal sweep avec la série des coefficients de réflexion.

-

La trace 𝑇 ′ (𝑡) (𝐹) est la trace sismique 𝐸 après avoir effectué la corrélation. Elle représente la trace vibroseismique (signaux réfléchis des 3 horizons sismiques) après application de la corrélation par le signal émis par le vibroseis (sweep)𝐴.

La corrélation est habituellement effectuée à l’aide de la transformée de Fourier comme suit. 𝑻𝑭[𝑻(𝒕)] = 𝑻(𝒇) = │𝑻(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝑻(𝒇) corrélée

,

la Transformée de la trace vibroseismique non

24

𝑻𝑭[𝑺(𝒕)] = 𝑺(𝒇) = │ 𝑺(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒔(𝒇) , la Transformée

du sweep émis(𝐴)

La Transformée de Fourier de la trace sismique (𝐹) , 𝑇 ′ (𝑡) correlée est : 𝑻𝑭[𝑻′ (𝒕)] = │(𝑻′ (𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝑻′ (𝒇) = │𝑻(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝑻(𝒇) .│ 𝑺(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒔(𝒇) = │𝑻(𝒇)│ .│ 𝑺(𝒇)│ 𝒆𝒊[𝝋𝑻(𝒇)−𝝋𝒔(𝒇)] Soit │(𝑻′ (𝒇)│ = │𝑻(𝒇)│ . │ 𝑺(𝒇)│ : Spectre d’amplitudes Et le spectre de phase est : 𝝋𝑻′ (𝒇) = 𝝋𝑻 (𝒇) − 𝝋𝒔 (𝒇) Lorsque les phases 𝝋𝑻 (𝒇) et 𝝋𝒔 (𝒇) sont proches, c’est-à-dire 𝝋𝑻 (𝒇) − 𝝋𝒔 (𝒇) ≅ 0, la trace vibroseismique corrélée sera proche d’un signal zéro-phase (fig.10) La figure 10 illustre la notion de phase des signaux

-

Le signal à phase nulle, il est pair et a un spectre de phase nul (il est le plus intéressant (fig. 10a)

-

Le signal à phase minimale est un signal lorsque son énergie maximale est en tête et celui qui pour toute fréquence a la phase la plus petite (fig. 10b)

-

Le signal à phase maximale est le signal queue .Il est le signal le moins intéressant

(𝑎) Signal à phase nulle

ou son pic principal se trouve à la

(fig. 10c)

(𝑏)

(𝑐)

Fig. 10. Signal minimum phase

Signal maximum phase

Fonction d’auto corrélation La fonction d’autocorrélation (en abrégé 𝑭. 𝑨. 𝑪) 25

d’un signal 𝑺(𝒕)

est définie par :

∞

𝜱𝒔𝒔 (𝝉) = ∫−∞ 𝑺(𝒕)𝑺(𝒕 + 𝝉) 𝒅𝒕 = 𝑺(𝒕) ∗ 𝑺(−𝒕) * produit de convolution Les principes propriétés de la fonction d’auto corrélation sont : 1- La FAC 𝛷𝑠𝑠 d’un signal 𝑠(𝑡) est paire de son argument 𝜱𝒔𝒔 (𝝉) = 𝜱𝒔𝒔 (−𝝉) 2- La FAC à argument nul est égale à la valeur quadratique moyenne du signal 𝜱𝒔𝒔 (𝟎) = 𝑺𝟐 (𝒕) Ou encore égale à la variance de 𝑺(𝒕) lorsque le signal est centré . 𝟐 𝜱𝒔𝒔 (𝟎) = 𝝈

3- La FAC est toujours bornée en module par sa

valeur à l’origine

│𝜱𝒔𝒔 (𝝉)│ ≤ 𝜱𝒔𝒔 (𝟎) 4- Si le signal 𝑆(𝑡) contient des composantes périodiques ou une composante continue, la FAC 𝜱𝒔𝒔 (𝝉) contient des composantes périodiques, de mêmes périodes ou une composante continue. 5-

A tout signal 𝑺(𝒕) ne correspond qu’une seule fonction d’autocorrélation mais a toute fonction d’auto corrélation 𝛷𝑠𝑠 (𝜏) donnée peut correspondre une infinité de signaux différents.

6- La Transformée de Fourier (𝑇𝐹) de 𝛷𝑠𝑠 (𝜏) est toujours positive ou nulle 𝑻𝑭[ 𝜱𝒔𝒔 (𝝉)] ≥ 𝟎 7- Lorsque le signal 𝑺(𝒕) est purement aléatoire , sans composante periodique, la fonction d’autocorrélation tend vers le carré de la valeur moyenne de 𝑆(𝒕) quand 𝝉 tend vers l’infini (∞ ) 𝐥𝐢𝐦 [ 𝜱𝒔𝒔 (𝝉)] = {𝐄[𝐒(𝐭)]}𝟐 = 𝐒 𝟐 (𝒕)𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆

𝝉→∞

𝐸: Espérance mathématique Cette expression traduit le fait que pour un décalage très grand de la fonction du temps, les deux signaux 𝑺(𝒕) 𝑒𝑡 𝑺(𝒕 + 𝝉) deviennent pratiquement indépendantes. 26

8- Lorsque le signal est composé de deux composantes aléatoires stationnaires sa fonction d’autocorrélation est : Si

𝒁(𝒕) = 𝑺(𝒕) + 𝒀(𝒕)

On a 𝒁(𝒕). 𝒁(𝒕 + 𝝉) = 𝑺(𝒕)𝑺(𝒕 + 𝝉) + 𝑺(𝒕)𝒀(𝒕 + 𝝉) + 𝒀(𝒕)𝑺(𝒕 + 𝝉) + 𝒀(𝒕)𝒀(𝒕 + 𝝉) D’où 𝜱𝒛𝒛 (𝝉) = 𝜱𝒔𝒔 (𝝉) + 𝜱𝒔𝒚 (𝝉)+𝜱𝒚𝒔 (𝝉) + 𝜱𝒚𝒚 (𝝉) Dans le cas où les deux composantes aléatoires sont statistiquement indépendantes (non corrélables), et si l’une au moins des variables est centrée, on a : (𝝉) (𝝉) 𝜱𝒔𝒚 = 𝜱𝒚𝒔 =𝟎 La fonction d’autocorrélation se réduit alors : 𝜱𝒛𝒛 (𝝉) = 𝜱𝒔𝒔 (𝝉) + 𝜱𝒚𝒚 (𝝉) Dans le cas d’une trace sismique (modèle impulsionnel)

modélisée par :

𝑻(𝒕) = 𝑺(𝒕) ∗ 𝑲(𝒕) + 𝒃(𝒕) Si l’on suppose que le bruit additif 𝒃(𝒕) est absent, elle devient : 𝑻(𝒕) = 𝑺(𝒕) ∗ 𝑲(𝒕) La suite des coefficients de réflexion est présumée par principe être une suite aléatoire d’amplitudes, distribuées suivant une loi gaussienne de moyenne nulle et de variance 𝝈𝟐 quand les fenêtres temporelles sont assez grandes. Il est admet (par hypothèse) que le film impulsionnel est une fonction aléatoire. Cela implique que son autocorrélation est égale à 𝟏 au moment de la coïncidence parfaite et 𝟎 au-delà de cette coïncidence .Il est alors admet que la fonction d’autocorrélation de la trace sismique représente l’autocorrélation du signal d’arrivée pour les premières arches et des ondes sismiques multiples pour les arches plus éloignées.

𝑻(𝒕) = 𝑺(𝒕) ∗ 𝒌(𝒕) La Fac de la trace est : 27

+∞

𝜱𝑻𝑻 (𝒕) = ∫

𝑻(𝝉) 𝑻(𝝉 + 𝒕) 𝒅 𝝉 = 𝑻(𝒕) ∗ 𝑻(−𝒕) = 𝑺(𝒕) ∗ 𝒌(𝒕) ∗ 𝑺(−𝒕) ∗ 𝒌(−𝒕)

−∞

= [𝑺(𝒕) ∗ 𝑺(−𝒕)] ∗ [𝒌(𝒕) ∗ 𝒌(−𝒕)] = 𝜱𝒔𝒔 (𝒕) ∗ 𝜱𝒌𝒌 (𝒕) Comme la série des coefficients de réflexion est aléatoire, c’est-à-dire que le sismogramme possède les caractéristiques de l’ondelette. On a alors. 𝜱𝒌𝒌 (𝒕) = 𝝈𝟐 𝜹(𝒕) 𝝈𝟐 : 𝜹(𝒕)

Variance de la série des coefficients de réflexion : Impulsion de Dirac

La Transformée de Fourier (TF) de la FAC donne : 𝑻𝑭[𝜱𝑻𝑻 (𝒕)] = 𝑻𝑭[𝜱𝒔𝒔 (𝒕) ∗ 𝜱𝒌𝒌 (𝒕)] = 𝑻𝑭[ 𝜱𝒔𝒔 (𝒕) ] . 𝐓𝐅 [ 𝜱𝒌𝒌 (𝒕) ] = 𝜱𝒔𝒔 (𝒇) . 𝜱𝒌𝒌 (𝒇) 𝜱𝑻𝑻 (𝒇) = 𝝈𝟐 𝜱𝒔𝒔 (𝒇) La TF de la FAC de la trace sismique émis 𝑺(𝒕), on a alors :

est égale au spectre de puissance du signal

𝜱𝑻𝑻 (𝒇) = 𝝈𝟐 │𝐒(𝐟)│𝟐 │𝐒(𝐟)│𝟐 ∶Spectre de puissance de l’ondelette L’examen de la Fac de la trace sismique permet de fournir des renseignements sur les caractéristiques de l’ondelette, notamment sur sa longueur, le nombre de lobes secondaires, la présence des ondes sismiques multiples et bien d’autres.

(𝒂)

(𝒃)

(𝒄)

Spectre de l’ondelette émise X spectre de la série des coefficients de réflexion = spectre de la trace sismique enregistrée

𝑻𝑭 [𝑻(𝒕)] = 𝑻𝑭 [𝑺(𝒕) ∗ 𝑲(𝒕)] = 𝑻𝑭 [𝑺(𝒕)] . 𝑻𝑭[ 𝑲(𝒕)] = 𝑺(𝒇) . 𝑲(𝒇) Avec 𝑻(𝒇) = │𝑻(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝑻(𝒇) 𝑺(𝒇) = │ 𝑺(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒔(𝒇) 𝑲(𝒇) = │ 𝒌(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒌(𝒇) 28

Soit

│𝑻(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝑻(𝒇) = │ 𝑺(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒔(𝒇) . │ 𝒌(𝒇)│ 𝒆𝒊𝝋𝒌(𝒇)

│𝑻(𝒇)│ = │ 𝑺(𝒇)│. │ 𝒌(𝒇)│ : (Multiplication des spectres d’amplitude) 𝝋𝑻 (𝒇) = 𝝋𝒔 (𝒇) + 𝝋𝒌 (𝒇) ∶ (Addition des spectres de phase) L’autocorrélation d’une trace supposée aléatoire est 𝑭𝑨𝑪[𝑺(𝒕) ∗ 𝑲(𝒕)] = 𝑭𝑨𝑪[𝑻(𝒕)] = 𝜱𝑻𝑻 (𝒕) = 𝑭𝑨𝑪[𝑺(𝒕)] ∗ 𝑭𝑨𝑪[𝑲(𝒕)] = 𝜱𝒌𝒌 (𝒕) ∗ 𝑺(𝒕) ∗ 𝑺(−𝒕) +∞

𝑺(𝒕) ∗ 𝑺(−𝒕) = 𝜱𝒔𝒔 (𝒕) = 𝑬{ 𝑺(𝝉). 𝑺(𝝉 − 𝒕)} = ∫−∞ 𝑺(𝝉). 𝑺(𝝉 − 𝒕) 𝒅𝝉 𝑬: Espérance mathématique D’où 𝜱𝑻𝑻 (𝒕) = 𝜱𝒔𝒔 (𝒕) ∗ 𝜱𝒌𝒌 (𝒕) = 𝝈𝟐 𝜹(𝒕) * 𝜱𝒔𝒔 (𝒕) 𝜹(𝒕): Impulsion de Dirac 𝒏

𝟏 ̅]𝟐 } 𝝈 = {∑[𝒙𝒊 − 𝒙 𝒏−𝟏 𝟐

𝒊=𝟏

̅= 𝒙

∑𝒏 ̅ 𝒊=𝟏 𝒙 𝒏

: étant la moyenne des 𝑛 valeurs de 𝒙𝒊

Le Spectre de puissance de la FAC est la TF de la FAC Soit +∞

∫−∞ 𝜱𝑻𝑻 (𝒕) 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝒅𝒕 = 𝑻𝑭 [ 𝜱𝑻𝑻 (𝒕)] = 𝜱𝑻𝑻 (𝒇) = 𝝈𝟐 . [𝑺(𝒇)]𝟐

-

Fonction d’inter corrélation

La Fonction d’inter corrélation (FIC) appelée aussi fonction de cross-corrélation de deux signaux 𝑺(𝒕) et 𝒀(𝒕) est pour le cas de deux signaux aléatoires réels et stationnaires du second ordre

𝜱𝒔𝒚 (𝝉) = 𝑬 {𝑺(𝒕)𝒀(𝒕 + 𝝉) } ∞

𝜱𝒔𝒚 (𝝉) = ∫−∞ 𝑺(𝒕)𝒀(𝒕 + 𝝉) 𝒅𝒕 La FIC possède les propriétés suivantes : 𝜱𝒔𝒚 (𝝉) = 𝜱𝒚𝒔 (−𝝉) 𝜱𝒔𝒚 (𝝉) ≠ 𝜱𝒔𝒚 (−𝝉) 29

𝜱𝒔𝒚 (𝝉)

Peut ne pas présenter un maximum pour 𝝉 = 𝟎

│𝜱𝒔𝒚 (𝝉)│ ≤ √𝜱𝒔𝒔 (𝟎). 𝜱𝒚𝒚 (𝟎)

Remarque En pratique, la FAC et la FIC pour les signaux déterministes s’estiment à l’aide des moyennes temporelles et à l’aide des moyennes d’ensemble pour les signaux aléatoires.

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Bibliographie [1] Benhama .A .1999/2000.Cours de traitement sismique (1ere partie) Institut Algérien du pétrole réf : SH –IAP/GP2000/02 [2] G. Henry .1994 . Géophysique des Bassins sédimentaires .Editions Technip [3] J.Choppy .1968. Pratique de la sismique réflexion : essais et dispositifs spéciaux Masson et Cie, Editeurs [4] Mesay Geletu Gebre 2013. Tunnel Health monitoring using active seismic. Master Thesis in Geosciences. Discipline: Geophysics. Department of Geosciences. Univ of Oslo [5] M.Lavergne 1986. Méthodes sismiques .Editions Technip [6] Paul Chapel.1980.Géophysique appliquée dictionnaire et plan d’étude. Masson [7] W.M Telford, L.P.Geldart, R.E. Sheriff, D.A.Keys .1976.Prospection Géophysique – Tome I: Prospection sismique Edition Erg (Traduction de O.Leenhardt) [8] https://fr.scribd.com/document/324427324/sismique-reflexion-et-refraction-lesprincipes-de-base [9] https://fr.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabrouk

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