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Elektrotechnik Formelsammlung © 2002 Niklaus Burren
Formelsammlung Elektrotechnik
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Inhaltsverzeichnis 1.
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Grundlagen....................................................................................6 1.1. Elementarladung ................................................................6 1.2. Elektronengeschwindigkeit .................................................6 1.3. Impulsgeschwindigkeit........................................................6 1.4. Stromstärke ........................................................................6 1.5. Ladung / Elektrizitätsmenge ...............................................7 1.6. Elektrische Spannung.........................................................7 1.7. Potential .............................................................................7 1.8. Stromdichte ........................................................................7 1.9. Elektrischer Widerstand......................................................8 1.10. Spezifischer Widerstand .....................................................8 1.11. Leiterwiderstand .................................................................8 1.12. Ohmsches Gesetz ..............................................................9 1.13. Leistung..............................................................................9 1.14. Celsius – Kelvin ..................................................................9 1.15. Leitwert und Leitfähigkeit ..................................................10 1.16. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes .....................10 1.17. Widerstandsreihen............................................................12 1.18. Elektrische Arbeit..............................................................12 1.19. Wirkungsgrad ...................................................................13 1.20. Kirchhoffsche Knotenregel................................................13 1.21. Kirchhoffsche Maschenregel ............................................13 1.22. Energieerhaltungssatz ......................................................13 1.23. Umrechung Arbeit – Energie ............................................14 1.24. Elektrowärme....................................................................14 1.25. Wärmewirkung / Stromdichte............................................15 Widerstandsschaltungen .............................................................16 2.1. Serieschaltung von Widerständen ....................................16 2.2. Parallelschaltung von Widerständen.................................16 2.3. Unbelasteter Spannungsteiler ..........................................17 2.4. Belasteter Spannungsteiler...............................................18 2.5. Vorwiderstand...................................................................18 2.6. Brückenwiderstand ...........................................................18 Spannungsquellen .......................................................................20 3.1. Reale Spannungsquelle....................................................20 3.2. Spannungsanpassung ......................................................22 3.3. Stromanpassung ..............................................................22 3.4. Leistungsanpassung.........................................................22 3.5. Serieschaltung von Spannungsquellen.............................23
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3.6. Parallelschaltung von Spannungsquellen .........................23 3.7. Überlagerungssatz (Helmholtz /Théverin).........................24 3.8. Ersatzspannungsquelle ....................................................25 3.9. Quellenwandlung..............................................................26 Wechselstrom..............................................................................28 4.1. Sinuskenngrössen ............................................................28 4.2. Momentanwert..................................................................28 4.3. Frequenz ..........................................................................29 4.4. Kreisfrequenz ...................................................................30 4.5. Liniendiagram ...................................................................31 4.6. Zeigerdiagramm ...............................................................31 4.7. Arithmetischer Mittelwert ..................................................32 4.8. Effektivwert.......................................................................33 4.9. Scheitel und Formfaktor....................................................35 4.10. Wellenlänge......................................................................35 Elektrisches Feld .........................................................................36 5.1. Coulomb’sches Gesetz.....................................................36 5.2. Elektrische Feldstärke ......................................................36 5.3. Kraft im elektrischen Feld .................................................37 5.4. Elektrische Flussdichte .....................................................37 Kondensator ................................................................................39 6.1. Kapazität ..........................................................................39 6.2. Plattenkondensator...........................................................39 6.3. Doppelleitung in Luft.........................................................39 6.4. Koaxialkabel .....................................................................40 6.5. Geschichteter Kondensator ..............................................40 6.6. Energie am Kondensator ..................................................40 6.7. Strom und Spannung am Kondensator.............................41 6.8. Zeitkonstante Tau (kapazitiv)............................................41 6.9. Ladevorgang eines Kondensators ....................................41 6.10. Entladevorgang eines Kondensators ................................42 6.11. Kapazitiver Blindwiderstander xC ......................................43 6.12. Blindleistung .....................................................................44 6.13. Realer Kondensator..........................................................44 Kondensatorschaltungen .............................................................46 7.1. Parallelschaltung ..............................................................46 7.2. Reihenschaltung...............................................................46 7.3. Gemischte Schaltungen....................................................47 7.4. Kapazitiver Spannungsteiler .............................................47 Magnetismus ...............................................................................48 8.1. Magnetische Flussdichte ..................................................48
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8.2. Magnetischer Fluss ..........................................................49 8.3. Magnetische Durchflutung ................................................49 8.4. Magnetische Feldstärke....................................................49 8.5. Mittlere Feldlinienlänge.....................................................50 8.6. Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises .................50 8.7. Magnetischer Widerstand .................................................50 8.8. Kraft auf ferromagnetische Stoffe .....................................51 8.9. Ablenkkraft / Lorenzkraft...................................................51 8.10. Linke und rechte Handregel..............................................52 8.11. Induktionsgesetz...............................................................52 8.12. Generatorregel .................................................................53 8.13. Transformatorprinzip (Induktion der Ruhe) .......................53 8.14. Lenzsche Regel................................................................54 8.15. Selbstinduktion .................................................................54 8.16. Kopplungsfaktor k.............................................................55 8.17. Gegeninduktivität M..........................................................55 8.18. Induktion bei gekoppelten Spulen.....................................56 8.19. Streufaktor σ.....................................................................56 8.20. Spannungsübersetzung im Transformator........................56 8.21. Gesamtinduktivität gekoppelter Spulen ............................57 8.22. Transformatorhauptgleichung...........................................58 8.23. Kernarten bei Kleintransformatoren ..................................58 8.24. Eisenfüllfaktor ...................................................................58 8.25. Windungsspannung..........................................................58 8.26. Lagenspannung................................................................59 8.27. Idealer Transformator .......................................................59 8.28. Realer Transformator .......................................................60 8.29. Spartransformator.............................................................61 Spule ...........................................................................................62 9.1. Induktivität ........................................................................62 9.2. Spulenkonstante AL ..........................................................62 9.3. Ringkernspule (Toroid) .....................................................63 9.4. Einlagige Zylinderluftspule................................................63 9.5. Energie des magnetischen Feldes....................................63 9.6. Zeitkonstante Tau (induktiv) .............................................64 9.7. Einschaltverhalten einer Spule .........................................64 9.8. Abschaltverhalten einer Spule ..........................................65 9.9. Induktiver Blindwiderstand................................................65 9.10. Scheinwiderstand/Impedanz (Induktivität) ........................66 9.11. Induktive Blindleistung ......................................................66 9.12. Reale Spule......................................................................67
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10. Spulenschaltungen ......................................................................69 10.1. Serieschaltung von Induktivitäten .....................................69 10.2. Parallelschaltung von Induktivitäten..................................69 11. Schaltungen mit R, xC und xL .......................................................70 11.1. RC-Serieschaltung ...........................................................70 11.2. Leistungen der RC - Serieschaltung .................................71 11.3. Leistungsfaktor cos(ϕ) ......................................................71 11.4. RC-Parallelschaltung........................................................72 11.5. Umrechnung Serie - und Parallelschaltung.......................73 11.6. Frequenzkompensierter Spannungsteiler .........................74 11.7. RL-Serieschaltung ............................................................74 11.8. RL-Parallelschaltung ........................................................76 11.9. RLC-Serieschaltung .........................................................78 11.10. RLC-Parallelschaltung ......................................................80 12. Impulsformerglieder .....................................................................82 12.1. Differenzierglied................................................................82 12.2. Integrierglied.....................................................................83 13. Schwingkreise .............................................................................84 13.1. RLC-Serieschwingkreis ....................................................84 13.2. RLC-Parallelschwingkreis.................................................86 14. Filterschaltungen .........................................................................89 14.1. RC-Hochpass ...................................................................89 14.2. RL-Hochpass....................................................................90 14.3. RC-Tiefpass .....................................................................91 14.4. RL-Tiefpass ......................................................................92 14.5. Bandpass .........................................................................93 14.6. Bandsperre.......................................................................94 14.7. Verstärkung - Dämpfung...................................................94 14.8. Leistungsverstärkungs – Dämpfungsmass .......................95 14.9. Spannungsverstärkungs - Dämpfungsmass .....................95 14.10. Stromverstärkungs - Dämpfungsmass..............................96 14.11. Dämpfungsmass “Neper”..................................................96 14.12. Spannungswerte in dB......................................................96 14.13. Absoluter Pegel ................................................................97 15. Dreiphasiger Wechselstrom.........................................................98 15.1. Sternschaltung..................................................................98 15.2. Dreieckschaltung ..............................................................99 15.3. Drehzahl von Synchron- und Asynchronmotoren............100
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1. Grundlagen 1.1. Elementarladung Elektronen sind negativ geladen. Protonen sind positiv geladen. Neutronen haben keine Ladung. Da ein Atom gleich viele Protonen wie Elektronen hat, ist es nach aussen neutral. Das Elektron (resp. Proton) trägt die kleinste Ladung. Æ Elementarladung Teilchen Elektron Proton Neutron Atom Atomkern
Ø 5,6 ⋅10-15m -10
~10 m ~10-14m
Masse 0.91⋅10-30kg 1.672⋅10-27kg 1.675⋅10-27kg Je nach Element Je nach Element
Ladung -1.602⋅10-19C/As +1.602⋅10-19C/As -
1.2. Elektronengeschwindigkeit ~ 3 mm/s
1.3. Impulsgeschwindigkeit ~ 300000 km/s Æ ~ 3 ⋅ 108 Æ ~ Lichtgeschwindigkeit
1.4. Stromstärke Je mehr Elektronen in einer Sekunde durch den Leiter fliessen, umso grösser ist die Stromstärke.
Anzahl Elektronen Anzahl Elementarteichen = Zeit Zeit Elektrizitaetsmenge Ladung Stromstaerke = = Zeit Zeit Stromstaerke =
Formelzeichen:
I Einheit: A (Ampère)
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1.5. Ladung / Elektrizitätsmenge Die Summe der Elementarteilchen ergibt eine bestimmte Elektrizitätsmenge (Ladung).
Q = I ⋅t Q I t
= = =
Ladung Strom Zeit
[C] [As] [A] [s]
C = Coulomb
1.6. Elektrische Spannung Die elektrische Spannung ist der Unterschied in der Anzahl Elektronen (oder Ionen) zwischen zwei Punkten. Formelzeichen: U
Einheit: V (Volt/Volta)
1.7. Potential Spannung zwischen einem geladenen Punkt und der Erde (oder einem beliebig gewählten Bezugspunkt) nennt man Potential. Eine Spannung zwischen zwei Punkten lässt sich als Differenz des Potentials angeben. Spannung = Potentialdifferenz
1.8. Stromdichte Die Stromdichte gibt uns an, wie gross der Strom bezüglich seines Querschnittes ist. Stromdichte
J=
I = Strom A = Fläche J = Stromdichte
I A [A] [mm2] [A/mm2]
(teilweise auch S)
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1.9. Elektrischer Widerstand Durch den „Zusammenstoss“ mit dem Atomrümpfen werden die Valenzelektronen in ihrer Bewegung gebremst. Der Leiter setzt dem Elektronenstrom einen Widerstand entgegen. Formelzeichen: Einheit:
R Ω (Ohm)
1.10. Spezifischer Widerstand Jeder Werkstoff setzt dem elektrischen Strom einen anderen Widerstand entgegen. Dieser Widerstand hängt von der Atomdichte und der Anzahl freier Elektronen des Stoffes ab. Spezifischer Widerstand
ρ (Roh)
Der spezifische Widerstand eines Leiters ist zahlenmässig gleich seinem Widerstand bei 1m Länge, 1mm2 Querschnitt und eine Temperatur von 20°C. ρCu (Kupfer) Aluminium Silber Konstantan Kohlenfaden
= = = = =
0.0178 0.03 0.017 0.5 30-40
Ω ⋅ mm2/m Ω ⋅ mm2/m Ω ⋅ mm2/m Ω ⋅ mm2/m Ω ⋅ mm2/m
1.11. Leiterwiderstand Leiterwiderstand R l A ρ γ
= = = = =
R=
ρ ⋅l
Leiterwiderstand Länge Querschnitt Spez. Widerstand Leitfähigkeit
A
=
l γ ⋅A
[Ω] [m] [mm2] [ Ω ⋅ mm2/m] [1/ρ]
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1.12. Ohmsches Gesetz Das Ohmsche Gesetz ist die Grundlage der Elektrotechnik und der Elektronik. Es gibt den Zusammenhang zwischen Spannung, Strom und elektrischem Widerstand an. Der Strom Entspricht also dem Verhältnis von Spannung und Widerstand
U = R⋅I U = R = I =
Spannung Widerstand Strom
[V] [Ω] [A]
1.13. Leistung Leistung P I U R
= = = =
U2 P = I ⋅U = = I2 ⋅R R
Leistung Strom Spannung Widerstand
1Ps = 736 Watt
[W] [A] [V] [Ω]
1.14. Celsius – Kelvin -273.15°C
Eiswasser 0°C
0K
273.15 K
Siedendes Wasser 100°C 373.15 K
Für TC < 100°C:
TK = 373.15K − (100°C − TC )
TK = TC =
[K] Kelvin [°C]
Temperatur Temperatur
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1.15. Leitwert und Leitfähigkeit Um nicht mit kleinen Widerstandswerten zu rechnen, wurden der Leitwert und die Leitfähigkeit definiert. Leitwert
G=
Leitfähigkeit
γ =
1 R 1
ρ
[S] Siemens
[m/Ω ⋅ mm2= Sm/mm2]
Die Leitfähigkeit ist der reziproke (Kehrwert) Wert des spezifischen Widerstandes. Beispiel:
R = 0.89 Ohm Æ
G = 1.12 S γCu = 6.18 Sm/mm2
1.16. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes Der Widerstand aller Stoffe ist mehr oder weniger stark von der Temperatur abhängig! Kupfer leitet im kalten Zustand besser! Æ Kaltleiter Kohle leitet im warmen Zustand besser! Æ Heissleiter Der Temperaturkoeffizient α gibt die Widerstandsänderung für einen Widerstand von 1 Ohm bei der Erwärmung um ein K (Kelvin) an.
Beispiel
α [1/K]
- Kupfer: - Aluminium: - Kohle: - Konstantan:
0.0043 0.0047 - 0.00004 - 0.00008... + 0.00004
Heissleiter = Negativer Temp. Koeffizient Kaltleiter = Positiver Temp. Koeffizient
= =
NTC PTC
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α bei reinen Metallen ca. 0.004 1/K
Widerstandsänderung
Δ R = α ⋅ Δ ϑ ⋅ Rk Rk α Δϑ ΔR Rw
= = = = =
RW = Rk + ΔR
Widerstand bei 20°C Temperaturkoeffizient Temperaturänderung Widerstandsänderung Widerstand im warmen Zustand
[Ω] [1/k] [°C;K] [Ω] [Ω]
RW = Rk (1 + α ⋅ Δϑ ) Bemerkungen Bei einigen Metallen verschwindet der Widerstand in der Nähe des absoluten Nullpunkts (0K entspricht -273,16°C) Æ Supraleiter (z.B. Aluminium, Blei, Zinn) Die Formel RW = Rk (1 + α ⋅ Δϑ ) gilt nur bis etwa Δϑ = 200K
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1.17. Widerstandsreihen Mit folgender Formel lassen sich die Widerstandswerte der verschiedenen Normreihen berechnen.
E 6 = 6 10 = 1.468 1. Wert: 2. Wert: 3. Wert: 4. Wert: 5. Wert: 6. Wert: 7. Wert:
( ( ( ( ( ( (
6
6 6 6
6 6
6
) 10 ) 10 ) 10 ) 10 ) 10 ) 10 ) 10
0
=
1
1.0
1
=
1.468
1.5
2
=
2.15
2.2
3
=
3.16
3.3
4
=
4.64
4.7
5
=
6.81
6.8
6
=
10.0
10.0
1.18. Elektrische Arbeit
W = Q ⋅u = I ⋅t ⋅u Andere Darstellung W Q t u I
= = = = =
U2 W = R ⋅ I ⋅t W = ⋅t R
Elektrische Arbeit Ladung Zeit Spannung Strom
2
[Ws] [C; As] [s] [V] [A]
1kWh = 3,6 ⋅ 10 6Ws K = k ⋅W K K W
= Kosten [Fr.] = Tarif in [Fr./kWh] = Elektrische Arbeit [kWh]
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1.19. Wirkungsgrad
η=
Pabgegeben Paufgenomme n
[ η ] Eta
η ≤1
oder in %
1.20. Kirchhoffsche Knotenregel Für den Knotenpunkt A gilt: Zufliessende Ströme = Abfliessende Ströme
I1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5 Die Summe aller Ströme in einem Knotenpunkt ist 0!
1.21. Kirchhoffsche Maschenregel In jedem geschlossenen Stromkreis (Masche) ist die Summe der Spannungen = 0
U 1 + U 2 + U 3 + U q1 + U q 2 = 0
1.22. Energieerhaltungssatz Energie kann nicht erzeugt werden oder verloren gehen, sondern nur umgewandelt werden!
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1.23. Umrechung Arbeit – Energie Arbeit = Energie SI-Einheit Wärme: 1J (Joule) 1J
=
Wärme
1Ws Elektrische Arbeit Elektrische Energie
Alte Einheit: 1kcal
=
=
Kalorie
1Nm Mech. Arbeit Mech. Energie
(bis 31. 12. 1977)
4.186kJ
1.24. Elektrowärme Um 1kg Wasser um 1k zu erwärmen, benötigt man die Wasserenergie (Wärmeenergie) von 4189J (oder 1kcal). Wärmeenergie = m Δϑ = = c
Q = m ⋅ Δϑ ⋅ c
Masse des Körpers Temperaturdifferenz spezifische Wärmekapazität
[kg] [k/°C] [J / (k ⋅ kg)]
c für: - Wasser - Aluminium - Kupfer - Stahl (Fe)
4186 899 390 466
J/k ⋅ kg J/k ⋅ kg J/k ⋅ kg J/k ⋅ kg
Elektrotechnik Tabellenbuch Westermann S. 303 ISBN 3-14-225035-2
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1.25. Wärmewirkung / Stromdichte Stromdichte
Leistung
Wärmeenergie
I [A/mm2] A I =J⋅A U2 = I2 ⋅R P =U ⋅I = R J=
Q = m ⋅ ρϑ ⋅ c
Q = W = P ⋅ t = I 2 ⋅ R ⋅ t = m ⋅ ρϑ ⋅ c I 2 ⋅ R ⋅ t = m ⋅ ρϑ ⋅ c
(J ⋅ A)2 ⋅ R ⋅ t = m ⋅ Δϑ ⋅ c A2 ⋅ R ⋅ t ρϑ = J ⋅ m⋅c 2
Wird die Stromdichte in einem Leiter erhöht, so nimmt die Temperatur quadratisch zu! Brandgefahr.
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2. Widerstandsschaltungen 2.1. Serieschaltung von Widerständen
I = I1 = I 2 = I 3
Rges = R1 + R2 + R3 U U1..U3 Rges R1..R3 Rges U I
= = = = = = =
Rges =
Quellenspannung Teilspannungen Gesamtwiderstand Einzelwiderstände Gesamtwiderstand Quellenspannung Stromstärke
U I
U = U1 + U 2 + U 3 [V] [V] [Ω] [Ω] [Ω] [V] [A]
2.2. Parallelschaltung von Widerständen U = U1 = U 2 = U 3 I = I1 + I 2 + I 3
Rges =
1 1 1 1 + + R1 R2 R3
Rges =
U = Quellenspannung [V] U1..U3 = Teilspannungen [V] I = Gesamtstromstärke [A]
U I
Formelsammlung Elektrotechnik I1..I3 = Teilstromstärken = Gesamtwiderstand Rges R1..R3 = Einzelwiderstände
[A] [Ω] [Ω]
Parallelschaltung von zwei Widerständen
Rges =
R1 ⋅ R2 R1 + R2
Rges = Gesamtwiderstand R1..R3 = Einzelwiderstände
[Ω] [Ω]
Parallelschaltung von n-gleichen Widerständen
Rges = Rges R1 n
R1 n = Gesamtwiderstand = Einzelwiderstand = Anzahl gleiche R1
[Ω] [Ω] [Ω]
2.3. Unbelasteter Spannungsteiler
U2 = U ⋅
R2 R1 + R2
U2 = Teilspannung [V] U = Quellenspannung [V] R1..2 = Teilwiderstände [Ω]
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2.4. Belasteter Spannungsteiler
U2 = U ⋅
U2 U R1..2 Rb
= = = =
Teilspannung Quellenspannung Teilwiderstände Lastwiderstand
R2 // Rb R1 + R2 // Rb
[V] [V] [Ω] [Ω]
2.5. Vorwiderstand
RV =
RV U UL I
= = = =
Vorwiderstand Quellenspannung Lastspannung Stromstärke
U −UL I
[Ω] [V] [V] [A]
2.6. Brückenwiderstand Abgeglichen Im abgeglichenen Zustand (R1 und R2 stehen im selben Verhältnis wie R3 und R4) ist die Spannung über der Brücke 0V!
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R1 R3 = R2 R4
R1..4 = Teilwiderstände
Unabgeglichen
U A, B = U UA,B = U = R1..4 =
R2 R4 −U R1 + R2 R3 + R4
Brückenspannung [V] Quellenspannung [V] Teilwiderstände [Ω]
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[Ω]
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3. Spannungsquellen 3.1. Reale Spannungsquelle Ersatzschaltung einer realen Spannungsquelle. Ri
Uq
RL
Klemmenspannung
U = U q − Ri ⋅ I L
Lehrlauf
U = Uq
Kurzschluss
Ik =
Belastung
I=
U0 Uq U Ri Ik RL
= = = = =
Uq Ri Uq
Ri + RL
Quellenspannung Klemmenspannung Innenwiderstand Klemmenstrom Lastwiderstand
U = RL ⋅ I U =
U q ⋅ RL Ri + RL
[V] [V] [Ω] [A] [Ω]
(Quellenspannung = Urspannung, ETK = Elektromotorische Spannung)
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Bestimmen des Innenwiderstandes Ri Bemerkung: Der Ri kann nicht mit dem Ohmmeter gemessen werden. Durch zwei Belastungszustände lässt sich der Innenwiderstand berechnen. Ri
I1
Uq
R1
Ri
I2
Uq
Innenwiderstand
R2
Ri =
U 1 − U 2 ΔU = I 2 − I1 ΔI
Vereinfachung Erster Belastungsfall = Lehrlauf Æ I1 = 0 U1 = Uq Innenwiderstand
Ri =
Uq −U2 I2
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3.2. Spannungsanpassung Ri
RL >> Ri
I1
Uq = URi + U URi = Ri ⋅ I1 ca. 0 Uq
RL U
U 0 = ca. U
3.3. Stromanpassung Ri
RL Nur kleine Leistungen sinnvoll)
Beispiel
Verstärker 8Ω / Lautsprecher 8Ω
3.5. Serieschaltung von Spannungsquellen Schaltet man Spannungsquellen mit verschiedenen Nennströmen in Serie, so werden Quellen mit kleineren Nennströmen im Betrieb überlastet und eventuell zerstört.
U qges = U q1 + U q 2 + U q 3 Riges = Ri1 + Ri 2 + Ri 3 Uqges Uq1..q3 Riges Ri1..3
= = = =
Gesamturspannung Teilurspannungen Gesamtinnenwiderstand Teilinnenwiderstand
[V] [V] [Ω] [Ω]
3.6. Parallelschaltung von Spannungsquellen I1
Ri’
I2 I3
Ri1 Uq1
Ri2
RL U
Uq’
U’
Uq2 Ersatz
RL’
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Gleiche Quellen Ri1 = U01 =
Ri2 U02
- Spannung bleibt gleich ( U01 = U0´ ) - Der Innenwiderstand wird kleiner.
Ri' = Ri1 // Ri 2 - Es kann mehr Strom verbraucht werden
I L = I1 + I 2 Ungleiche Spannungsquellen Lösungssatz - Überlagerungssatz - Ersatzspannungsquelle - Knoten - Maschenregel
3.7. Überlagerungssatz (Helmholtz /Théverin) Für Netzwerke mit linearen Strom und Spannungsquellen! Wir betrachten den Einfluss jeder Quelle auf die Gesamtschaltung!
Vorgehen Ri1 Uq1
Ri2
RL
Uq2
Spannungsquelle = Kurzschluss Stromquelle = Unterbruch
Die anderen Quellen werden weggelassen.
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RTot = Ri 2 // RL + Ri1 Ri1
Ri2
ITot =
RL IL1
Uq1
U 01 RTot
U Ri 2 // RL = Ri 2 // RL ⋅ ITot I L1 =
U Ri 2 // RL RL
RTot = Ri1 // RL + Ri 2 Ri1
Ri2
ITot =
RL IL2
Uq2
U 01 RTot
U Ri1 // RL = Ri1 // RL ⋅ ITot I L1 =
U Ri 1 // RL RL
I L = I L1 + I L 2
Laststrom
3.8. Ersatzspannungsquelle Ersatzinnenwiderstand Spannungsquelle = Kurzschluss Stromquelle = Unterbruch Innenwiderstand
Ri = (R1 // R2 ) + R3
R1
Uq
R3
R2
RL
Uq
RL
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Ersatzspannungsquelle Im Leerlauf ist die Quellenspannung gleich der Klemmenspannung. R1
R2
Uq
UEratz
Ersatzschaltung Ri
UErsatz
RL
U
Zur Berechnung schwieriger Schaltungen, welche einen Spannungserzeuger, feste Widerstände und einen veränderlichen Widerstand haben, verwendet man als Ersatzschaltung die Ersatzspannungsquelle oder die Ersatzstromquelle.
3.9. Quellenwandlung Ersatzspannungsquelle 3Ω
2Ω
4V
4Ω
RL
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Ri
UErsatz
RL
U
Ri' = 4. 3Ω U 0' = 2. 6V Umwandlung Spannungsquelle zu Stromquelle I’
UL RL = U 0 RL + Ri' Ri
RL
Ri' = 4. 3 Ω I ' = Kurzschluss I' =
U 0' Ri
=
2. 6 V 4. 3 Ω
= 0.615 A = konst.
Ri' IL = I ' Ri' + RL
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4. Wechselstrom 4.1. Sinuskenngrössen û Upp t ƒ2 ƒ1
û,Î
=
Upp, Ipp = u, i =
Scheitelwert = Spitzenwert = Maximalwert = Up, Ip (peak) = maximale Amplitude Spitzen - Spitzenwert Momentwert, Augenblickwert, Spannung oder Strom zu einem beliebigen Zeitpunkt.
In vielen Fällen unterscheiden sich die Anfangsphasen mehrerer Wechselgrössen voneinander und weisen eine gegenseitige Phasenverschiebung auf. ƒ1
=
ƒ2
=
Nacheilung der Sinusspannung U2 gegen U1 = Winkel negativ Voreilung = Winkel positiv
4.2. Momentanwert Bei gleichförmiger Drehung einer Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld ändert sich die induzierte Spannung sinusförmig. Bei bekanntem Scheitelwert û lässt sich der Momentanwert aus dem Winkel bestimmen. û Leiterschleife
u = uˆ ⋅ sin (α ) i = Iˆ ⋅ sin (α )
α t
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4.3. Frequenz u
positive Halbwelle t [ms] α [°]
360°
negative Halbwelle 1 Schwingung = 1 Welle = 1 Periode (pos. + neg. Halbwelle)
Frequenz Zahl der Perioden pro Sekunde!
f =
1 s
[Hz] Hertz
Frequenzbereiche
Stromnetz
1kHz = 103Hz 1MHz = 106Hz 1GHz = 109Hz
Schweiz USA SBB SVB
NF Rundfunk Natel / Satellit
= = = =
50 Hz 60 Hz 16 1/3 Hz 0 Hz Æ DC
Periodendauer u
f = 100 MHz 5
10 t [ns]
T Periodendauer
T=
1 f
[s]
Formelsammlung Elektrotechnik
30
4.4. Kreisfrequenz û
Für α
α 0° α 90° α 180° α 270 α 360°
u u u u u
= = = = =
0V û 0V û 0V
u = uˆ ⋅ sin (α ) Überlegung
T=
(bei f = 1,5kHz)
1 = 666 2 3 μs = 360° [Grad ] = 2π [rad ] f
Winkelgeschwindigkeit
360° ⎡ ° ⎤ T ⎢⎣ s ⎥⎦
2π ⎡ rad ⎤ = 2πf = ω T ⎢⎣ s ⎥⎦
= Kreisfrequenz
u = uˆ ⋅ sin (ω ⋅ t ) u = uˆ ⋅ sin (2πf ⋅ t ) u = Iˆ ⋅ sin (ω ⋅ t ) Mit Hilfe der oben stehenden Kreisfrequenzformeln lässt sich der Momentanwert von Spannung und Strom nach einer bestimmten Zeit t bestimmen. Es ist unbedingt nötig den Rechner, zum berechnen dieser Formeln, auf Radians zu stellen!!!
Formelsammlung Elektrotechnik
31
4.5. Liniendiagram U 10V u
u1
f = 50 Hz
u2
π
π 180
/2 90
10
5
1
1 /2π 270 15
T = 1/f = 20ms
2π 360 20
α [rad] α [°] t [ms]
T = 20ms Grad: Radians:
u u u u
= = = =
û ⋅ sin (30°) û ⋅ sin (π/6) û ⋅ sin (2πf ⋅ t) û ⋅ sin (ω ⋅ t)
Besteht eine Phasenverschiebung, so muss der Winkel ebenfalls im Bezugsmass angegeben werden: Grad: Radians:
u2 = û2 ⋅ sin (α + 60°) u2 = û2 ⋅ sin (α + π/3) u2 = û2 ⋅ sin (ω ⋅ t + π/3)
4.6. Zeigerdiagramm Da die Frequenz bei den meisten Vorgängen konstant ist kann der Û2
Voreilen Æ Gegenuhrzeigersinn (CCW)
Ûs
ϕ = Phasenverschiebung
Û1 Zeiger auch feststehend gedacht werden. Die Resultierende entspricht der Spannung der Summe von Û1 und Û2.
Formelsammlung Elektrotechnik
32
4.7. Arithmetischer Mittelwert Sinusgrösse U 10V
+ t
-10V Der Arithmetische Mittelwert über eine volle Periode einer Sinusgrösse ist 0! (Kurve ist symmetrisch).
u = 0; I = 0
Upp = 20V Up = û = 10V
Halbwelle
f = 1kHz T = 1ms
U 10V
0.5
1
t [ms]
Formelsammlung Elektrotechnik
33
Gesucht wird eine Gleichspannung, die die gleiche Fläche hat wie der Sinus.
u=
Totale Flaeche Zeit
u = uˆ ⋅
2
π
Für eine ganze Periode (2. Halbwelle fehlt) muss der Arithmetische Mittelwert noch halbiert werden.
Pulsierender Gleichstrom U 10V
t -10V
uˆ = 0.637 ⋅ uˆ Iˆ = 0.637 ⋅ Iˆ
Æ Gleichrichterwert
4.8. Effektivwert Von besonders grosser, praktischer Bedeutung ist der quadratische Mittelwert (Effektivwert).
Definition Der Effektivwert eines Wechselstromes ist der Wert, der in einem Widerstand die gleiche Wärme erzeugt, wie ein gleich grosser Gleichstrom.
Grund P = U ⋅ I = I ⋅ R ⋅ I = I2 ⋅ R Æ quadratisch
Formelsammlung Elektrotechnik
I2 [A2]
I
34
Fsin2 = FDC2 û2
9
I2
6
FDC2
3
3A
FDC2
û
I
û2 û2 û DC = ⇒ DC = = = U eff = U 2 2 2 2
Effektivwe rt = DC 2 + AC 2 Der Effektivwert ist vom Maximalwert (û) und dem Scheitelfaktor abhängig.
Schwingungsformen Sinus
Scheitelfaktor Fc
Dreieck / Sägezahn
3 = 1.732 1.00
Rechteck (symmetrisch)
2 = 1.414
Im Allgemeinen arbeitet man mit dem Effektivwert (U/I).
Rechtecksignal unsymmetrisch u up t ti
tp T
U eff = u P ⋅
ti T
Formelsammlung Elektrotechnik
Ueff uP ti T
= = = =
Effektivwert Spitzenwert Impulszeit Periodendauer
35
[V] [V] [s] [s]
4.9. Scheitel und Formfaktor Scheitelfaktor
KS =
û u
crest
2
Sinus Ks
Kf =
Formfaktor
u [u ]
û u π Kf = = 2 = = 1.11 [u ] û ⋅ 2 2 ⋅ 2
Sinus
π
4.10. Wellenlänge
λ = c ⋅T =
c f
[Lambda]
c = Ausbreitungsgeschwindigkeit [m/s] f = Frequenz [Hz] λ = Abstand zwischen zwei sich wiederladenden Punkten [m] Ausbreitungsgeschwindigkeit Medium elektrische Schwingung in freiem Raum elektrische Schwingung in Leitungen Schallschwingungen in Luft +20°C Lichtwellen Schallwellen in Wasser
Geschwindigkeit v = 300000 km/s v ≈ 240000 km/s v = 343 m/s v = 300000 km/s v = 1470 m/s
Formelsammlung Elektrotechnik
36
5. Elektrisches Feld 5.1. Coulomb’sches Gesetz Gilt nur für kleine Kugeln (Punktladungen)
F =k⋅
Q1 ⋅ Q2 l2
F Q1,Q2 L ε0 εr k
= = = = = =
k
=
Kraft, die zwei Körper aufeinander ausüben Ladungen Abstand der Körper elektrische Feldstärke ε0 = 8.85 ⋅ 10-12 Materialkonstante für Luft ≈ 1 Vom Stoff abhängige Konstante
[N] [As/C] [m] [As/Vm] [As/Vm]
1 4π ⋅ ε 0 ⋅ ε r
5.2. Elektrische Feldstärke Erhöht man die Spannung oder verkleinert man den Abstand, so gibt es einen Punkt, wo die Ladungen gewaltsam ausgetauscht werden. Æ elektrischer Durchschlag
UAB
E= ϕ UAB L E
ϕ A − ϕB
= = = =
l
ϕA
U = AB l
Potential Spannung Abstand elektrische Feldstärke
Andere Einheiten
V mm
ϕB
[V] [V] [m] [V/m]
kV m
V cm
U
Formelsammlung Elektrotechnik
37
5.3. Kraft im elektrischen Feld Kraft auf eine Punktladung Mechanische Arbeit
W = S⋅F
Elektrische Arbeit
W = P ⋅t =U ⋅ I ⋅t = u ⋅ W =U ⋅Q
Q ⋅t t
S ⋅ F =U ⋅Q U ⋅Q F= S E r r F = E ⋅Q Kraft zwischen zwei Platten Bedingungen: Vakuum, kleiner Abstand, homogenes Feld
u2 1 F = 2 ⋅ A⋅ε0 ⋅ d 2
F = E ⋅Q =
U ⋅Q d
5.4. Elektrische Flussdichte Wird die Flussdichte zu gross so kann es zu einem Ladungsaustausch kommen (Durchschlag). D nimmt bei abnehmender Fläche zu.
D=
Q A
⎡ As C ⎤ ⎢⎣ m 2 , m 2 ⎥⎦
Formelsammlung Elektrotechnik
38
Zusammenhang
D=
Q A
ε0
=
elektrische Feldkonstante
E
=
elektrische Feldstärke
D
=
elektrische Flussdichte
εr
=
Dielektrizitätszahl Permetivitätszahl
Æ
D = ε0 ⋅εr ⋅ E
Å
E=
U d
⎡ As ⎤ (8.86 ⋅ 10 12 As/Vm) ⎢⎣Vm ⎥⎦ ⎡V ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ ⎡ As C ⎤ ⎢⎣ m 2 , m 2 ⎥⎦ [1] [1]
Beispiele Elektrotechnik Tabellenbuch Westermann S. 317 ISBN 3-14-225035-2 Stoff Luft Glimmer Glas Keramik Poly Styrol PC
Dielektrizitätszahl 1 6...8 15...16 10000...50000 2.6 3
ε = ε0 ⋅εr Permetivität des Dielektrikums
Formelsammlung Elektrotechnik
39
6. Kondensator 6.1. Kapazität Definition Ein Kondensator besitzt eine Kapazität von 1F, wenn es bei einer Spannung von 1V die Ladung 1C (1As) gespeichert hat!
Q = C ⋅U Q U
c=
Q = Ladung U = Spannung C = Kapazität
[As] [V] [As/V, F]
6.2. Plattenkondensator
c= c ε0 εr A d
ε0 ⋅ε r ⋅ A d
= = = = =
Kapazität elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10-12 As/Vm Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl Wirksame Oberfläche Plattenabstand
[F] [m2] [m]
6.3. Doppelleitung in Luft c= c ε0 εr l d r
π ⋅ε0 ⋅ε r ⋅l
= = = = = =
ln (d r )
Kapazität elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10-12 As/Vm Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl Leiterlänge Leiterabstand Leiterradius
[F] [m] [m] [m]
Formelsammlung Elektrotechnik
40
6.4. Koaxialkabel c= c ε0 εr ra ri
2π ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ l ln (ra ri )
= = = = =
Kapazität elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10-12 As/Vm Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl Aussenradius Innenradius
[F] [m] [m]
6.5. Geschichteter Kondensator
n Platten
c ε0 εr A d n
= = = = = =
c = (n − 1) ⋅
ε0 ⋅ε r ⋅ A
Kapazität elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10-12 As/Vm Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl Wirksame Oberfläche Plattenabstand Anzahl Platten
6.6. Energie am Kondensator
W= W = C = U =
d
1 ⋅c ⋅u2 2 Energie Kapazität Spannung
[Ws] [F] [V]
[F] [m2] [m]
Formelsammlung Elektrotechnik
41
6.7. Strom und Spannung am Kondensator Jede Spannungsänderung erzeugt einen Strom. Der Strom ist umso grösser, je steiler die Flanke ist. Die Kurvenform des Stromes lässt sich als Steigung der Spannung in jedem Augenblick interpretieren.
Ic = c ⋅
ΛU Δt
Uc ΔU Δt Ic t
90° Phasenverschiebung. IC eilt vor. sin Æ cos
6.8. Zeitkonstante Tau (kapazitiv)
τ = R ⋅C τ R C
= = =
Zeitkonstante (Tau) Widerstand Kapazität
[s] [Ω] [F]
6.9. Ladevorgang eines Kondensators IC
R
U0
t − ⎛ uc = U 0 ⎜⎜1 − e τ ⎝
UC
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
t
⎛ −τt ic = I 0 ⎜⎜ e ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
I0 =
U0 R
Formelsammlung Elektrotechnik
Spannung
42
Strom
U
I
100% (U0)
100% (Imax)
63,2% 36,8%
t 1τ
t 1τ
5τ
Idealer Kondensator an konstantem Strom
ΔU =
I C ⋅ Δt C
ΔU IC Δt C
Kondensatorspannungsänderung konstanter Strom in Ampere verstrichene Zeit Kapazität in Farad
= = = =
[ ΔU ] = V [V] [A] [s] [F]
6.10. Entladevorgang eines Kondensators R
IC UC
U0
⎛ −τt uc = U 0 ⎜⎜ e ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ −τt ic = − I 0 ⎜⎜ e ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
I0 =
U0 R
5τ
Formelsammlung Elektrotechnik
Spannung
43
Strom 1τ
5τ
U 100% (U0)
36,8%
36,8%
100% (Imax) I
t 1τ
5τ
6.11. Kapazitiver Blindwiderstander xC Kondensator im Wechselstromkreis: - Der Strom eilt der Spannung um 90° voraus. - Der Strom ist ebenfalls sinusförmig! Da der Strom und die Spannung nicht mehr Phasengleich sind, darf man den Widerstand nicht mehr mit R bezeichnen! i
~ xc f c ω
UC
= = = =
xC =
Kapazitiver Widerstand Frequenz Kapazität Kreisfrequenz
1 1 = 2πf ⋅ c ω ⋅ c [Ω] [Hz] [F] [1/s]
t
Formelsammlung Elektrotechnik
44
6.12. Blindleistung Im idealen Kondensator wird die gespeicherte Energie wieder vollständig abgegeben. Die Energie (Leistung) pendelt zwischen dem Kondensator und dem Generator i
~ Q = U = I =
Q =U ⋅I
UC
Blindleistung Spannung Strom
[var] [V] [A]
Volt-Ampere-Reaktif
6.13. Realer Kondensator In jedem Kondensator treten Verluste auf. Der Widerstand des Dielektrikums ist endlich gross. Die Dipole ändern beim Anlegen einer Wechselspannung dauernd die Richtung. Beides bewirkt die Erwärmung des Dielektrikums (Verluste). Die Verluste werden durch einen Verlustwiderstand parallel zum Kondensator dargestellt. iC i G = Wirkleitwert, Konduktanz BC = Blindleitwert, Suszeptanz y = Scheinleitwert, Admittanz
⎛G ⎝ BC
Verlustwinkel
δ = arctan⎜⎜
Verlustfaktor
d = tan (δ )
iR Realer C
RP
C
⎞ ⎛x ⎞ ⎛i ⎟⎟ δ = arctan⎜⎜ C ⎟⎟ δ = arctan⎜⎜ R ⎝ RP ⎠ ⎝ iC ⎠
⎞ ⎟⎟ ⎠
Formelsammlung Elektrotechnik
Gütefaktor
Q=
Q=
1 d
i R 1 1 = = cot g (δ ) = C = P d tan (δ ) iR xC
45
Formelsammlung Elektrotechnik
7. Kondensatorschaltungen 7.1. Parallelschaltung C ges = C1 + C 2 + C 3 [C ] = F = Gesamtkapazität Cges C1..C3 = Teilkapazitäten
[F] [F]
U = U 1 = U 2 = U 3 [U ] = V U = Gesamtspannung [V] [V] U1..U3 = Teilspannungen
Q ges = Q1 + Q2 + Q3 [Q] = C = Gesamtladung Qges Q1..Q3 = Teilladungen
[C; As] [C; As]
7.2. Reihenschaltung
Qges = Q1 = Q2 = Q3 [Q] = C = Gesamtladung Qges Q1..Q3 = Teilladungen
U1 = U1 Q C1
Q C1
[C; As] [C; As]
[U ] = V
= Teilspannung [V] = Elektrische Ladung [C; As] = Teilkapazität [F]
U = U 1 + U 2 + U 3 [U ] = V U
= Gesamtspannung [V]
46
Formelsammlung Elektrotechnik
U1..U3 = Teilspannungen
C ges =
1 1 1 1 + + C1 C 2 C 3
47
[V]
[C ] = F
= Gesamtkapazität Cges C1..C3 = Teilkapazitäten
[F] [F]
7.3. Gemischte Schaltungen C ges =
1 1 1 + C1 C2 + C3
C ges = C1 +
1 1 1 + C 2 C3
Cges = Gesamtkapazität C1..C3 = Teilkapazitäten
[F] [F]
7.4. Kapazitiver Spannungsteiler
U2 U U = xC 2 ⋅ U2
U = U1 + U 2
C ges = C2 ⋅
U1 C2 xC1 = = U 2 C1 xC 2
xCges
[F] C1..C3 = Teilkapazitäten xCges = Gesamtblindwiderstand [Ω] [Ω] xC1, xC2 = Teilblindwiderstände
Formelsammlung Elektrotechnik
48
8. Magnetismus 8.1. Magnetische Flussdichte Die Magnetische Flussdichte gibt an, wie stark der Raum an einer bestimmten Stelle vom Magnetfeld durchsetzt ist. Magnetische Flussdichte in Vakuum oder Luft.
B = μ0 ⋅ H Magnetische Flussdichte mit beliebigem Kernmaterial.
B = μ0 ⋅ μ r ⋅ H
B H μ0 μr
= = = =
Magnetische Flussdichte (Induktion) Magnetische Feldstärke Magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl
[T] [Vs/m2] Tesla [A/m] 1,257 ⋅ 10-6
Grössenordnungen von magnetischen Flussdichten Magnetfeld der Erde Feld eines geraden Leiters (100A) Eisenfreie Spule (N = 500 ; I = 2A) Permanentmagnet Starker Elektromagnet
Ca. 0.00005T Ca. 0.00025T Ca. 0.02T Ca. 0.1T Ca. 100T
Formelsammlung Elektrotechnik
49
8.2. Magnetischer Fluss (vergl. Strom als Produkt von Stromdichte und Leiterquerschnitt) Magnetischer Fluss
Φ = B⋅ A
Φ = Magnetischer Fluss B = Magnetische Flussdichte A = Fläche
[wb] Weber [T] [m2]
8.3. Magnetische Durchflutung Man kann mit wenig Windungen und grosser Stromstärke die gleiche magnetische Flussdichte erzeugen, wie mit vielen Windungen und kleiner Stromstärke. Magnetische Durchflutung
Θ = N ⋅I
Θ = Magnetische Durchflutung I = Strom N = Windungen
[Aw] Ampèrewindungen [A]
8.4. Magnetische Feldstärke Die magnetische Feldstärke ist die magnetische Durchflutung bezogen auf die Feldlinienlänge. Magnetische Feldstärke H lm Θ I N
= = = = =
H=
Magnetische Feldstärke Mittlere Feldlinienlänge Magnetische Durchflutung Strom Windungen
N ⋅I Θ = lm lm [Aw/m] [m] [Aw] Ampèrewindungen [A]
Formelsammlung Elektrotechnik
50
8.5. Mittlere Feldlinienlänge Einige Beispiele zur vereinfachten Bestimmung der mittleren Feldlinienlänge:
l
l l
l = Spulenlänge
l = Kernlänge
l = mittlere Luftspaltbreite
l = mittlere Kernlänge
8.6. Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises
Θ Rm = Φ
Rm = Θ = Φ =
Magnetischer Widerstand Magnetische Durchflutung Magnetischer Fluss
[A/Vs] [Aw] [wb] Weber
8.7. Magnetischer Widerstand Magnetischer Widerstand
Rm =
Magnetischer Leitwert
Λ=
Rm = Magnetischer Widerstand
lm
μ0 ⋅ μr ⋅ A
μ ⋅μ ⋅ A 1 = 0 r Rm lm [A/Vs]
Formelsammlung Elektrotechnik
Δ lm A μ0 μr
= = = = =
Magnetischer Leitwert Mittlere Feldlinienlänge Kernquerschnitt Magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl
51 [Vs/A] [m] [m2] 1,257 ⋅ 10-6
8.8. Kraft auf ferromagnetische Stoffe Magnetfeld von Magneten und ferromagnetischen Stoffen.
F = 40 ⋅ B 2 ⋅ A F = Kraft [N] B = Magn. Flussdichte [T] A = Fläche [cm2]
8.9. Ablenkkraft / Lorenzkraft Stromdurchflossene Leiter werden im Magnetfeld abgelenkt. Das Magnetfeld des Stromes schwächt auf der einen Seite des Leiters das Feld des Magneten, während es auf der anderen Seite dieses Feld verstärkt. Der stormdurchflossene Leiter wird daher von der Stelle grosser Flussdichte zu der Stelle kleiner Flussdichte verdrängt. Ablenkungskraft F B l N I
= = = = =
F = B ⋅l ⋅ N ⋅ I
Ablenkungskraft Induktion Länge Windungszahl Strom
[N] [T] [m] [1] [A]
Formelsammlung Elektrotechnik
52
8.10. Linke und rechte Handregel Rechte Handregel Man hält die rechte Hand so, dass unsere Finger in Richtung des Stromes in den einzelnen Windungen zeigen. Dann zeigt der Daumen zum Nordpol der Spule
Linke Handregel Mit Hilfe der linken Handregel (Motorregel), lässt sich die Ablenkungsrichtung eines stromdurchflossenen Leiters aufgrund der Lorenzkraft bestimmen. Man halte die linke Hand so, dass die Feldlinien in die Handfläche eintreten. Die Finger zeigen die Stromrichtung an. Der Daumen zeigt die Bewegungsrichtung des Leiters an.
8.11. Induktionsgesetz Bewegt man eine Leiterschleife durch das magnetische Feld einer Feldspule oder eines Dauermagneten ändert sich der magnetische Fluss der Leiterschleife, wodurch eine Spannung induziert wird. Die Grösse der induzierten Spannung ist proportional der Windungszahl der Induktionsspule und der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses. Induktionsgesetz UInd N ΔΦ Δt ΔΦ/Δt
= = = = =
U Ind = − N ⋅
ΔΦ Δt
induzierte Spannung Windungszahl der Induktionsspule Flussänderung Zeit Flussänderungsgeschwindigkeit
[V] [1] [wb] [s] [wb/s]
Formelsammlung Elektrotechnik
53
Bei elektrischen Maschinen Liegt eine Spule vollständig im Magnetfeld und bewegt sich quer zu demselben (Drehspule), so wird in jeder Wicklungshälfte eine Spannung gemäss folgender Formel induziert. Induktionsgesetz UInd B l V N
= = = = =
U Ind = − N ⋅ B ⋅ l ⋅ V
induzierte Spannung magnetische Flussdichte wirksame Leiterlänge Geschwindigkeit Windungszahl der Induktionsspule
[V] [T] [m] [m/s] [1]
Wird der Leiter entlang d. h. in Richtung der Feldlinien bewegt, so ergibt sich keine Änderung des Flusses, somit wird auch keine Spannung induziert.
8.12. Generatorregel Die Richtung der induzierten Spannung hängt von der Bewegungsrichtung der Leiterschleife und von der Richtung des Magnetfeldes ab. Mit Hilfe der Generatorregel, oder auch Rechte - Hand - Regel genannt, lässt sich die Strom - und somit auch die Spannungsrichtung bestimmen. Hält man die rechte Hand so, dass die magnetischen Feldlinien in die Handfläche treten, der Daumen die Bewegungsrichtung anzeigt, so zeigen die Finger die Stromrichtung an.
8.13. Transformatorprinzip (Induktion der Ruhe) (Fluss der sich ändert) φ + Δφ Elektrisches Feld E
Ein Fluss, der sich ändert, ist immer von einem elektrischen Feld (Wirbelfeld) umgeben. Ein elektrisches Feld übt auf Ladungen Kräfte aus. Positive Ladungen werden dabei in Richtung des Feldes, negative in entgegengesetzter Richtung verschoben.
Formelsammlung Elektrotechnik
(Fluss der sich ändert) φ + Δφ Elektrisches Feld E Ladungsbewegung
54 Das Feld verursacht also in elektrischen Leitern Ladungsverschiebungen bzw. - Trennung und damit elektrische Spannung. Da dieses Prinzip beim Transformator verwendet, nennt man es auch Transformatorprinzip.
V
8.14. Lenzsche Regel Der induzierte Strom ist stets so gerichtet, dass er eine Bremskraft verursacht, welche dem Bewegungsvorgang entgegenwirkt. (Hätte z. B. der Induktionsstrom die gleiche Wirkung, so ergäbe sich eine zusätzliche Flusszunahme und der Generator würde sich selber antreiben!)
8.15. Selbstinduktion Die Selbstinduktionsspannung ist stets so gerichtet, dass sie der Änderung des Stromes entgegenwirkt. Selbstinduktionsspannung US L ΔI Δt
= = = =
U S = −L ⋅
Selbstinduktionsspannung Induktivität Stromänderung Zeitänderung
ΔI Δt
[V] [H, Henri] [A] [s]
Anwendungen Zündung beim Auto, Mofa (Zündspule, Unterbrecher, Zündkerze) Leuchtstofflampen Æ Starter Feuerzeuge
Formelsammlung Elektrotechnik
55
Nachteil Funkensprung bei Schaltern (Abhilfe Freilaufdiode)
8.16. Kopplungsfaktor k Bei zwei gekoppelten Spulen geht immer nur ein Teilfluss Φ1,2 des Gesamtflusses Φ1, der durch die einte Spule erzeugt wird, durch die andere Spule. Der Rest geht als Streufluss ΦS neben der sekundären Spule vorbei. Man berücksichtigt dies mit dem Kopplungsfaktor k, der das Verhältnis zwischen Φ1,2 und Φ1 angibt: Kopplungsfaktor
k=
Φ1, 2 Φ1
Φ1 = Erregerfluss primäre Spule Φ1,2 = Fluss sekundäre Spule k = Kopplungsfaktor
[wb] [wb]
k ≤ 1 oder in %
Bei Netztrafos und Übertragern mit geschlossenem Eisenkern beträgt k etwa 99%. Bei gekoppelten Luftspulen von Bandfiltern nur etwa 50%. Der Kopplungsfaktor k kann als Wirkungsgrad der Magnetischen Kopplung zwischen zwei Spulen angesehen werden.
8.17. Gegeninduktivität M M berücksichtigt die zwei Induktivitäten L1 und L2 und damit auch die Windungszahlen N1 und N2 sowie die magnetische Kopplung k zwischen den beiden Spulen. Gegeninduktivität L1 ; L2 = k = M =
M = k ⋅ L1 ⋅ L2
Induktivität der Spule 1 bzw. 2 Kopplungsfaktor Gegeninduktivität
[H] [1] [1]
Formelsammlung Elektrotechnik
56
8.18. Induktion bei gekoppelten Spulen Mit Hilfe der Gegeninduktivität M lässt sich U2, die in der sekundären Spule induzierte Spannung, bei zwei magnetisch gekoppelten Spulen berechnen. Induzierte Spannung U2 ΔI/Δt M ωM
= = = =
U 2 = −M ⋅
ΔJ 1 Δt
U 2 = ωM ⋅ J1
Induzierte Spannung sekundäre Spule Stromänderung primäre Spule Gegeninduktivität Blindwiderstand der Gegeninduktivität
[V] [A/s] [1] [Ω]
8.19. Streufaktor σ Der Streufaktor σ (sigma) ist ein Mass für den Kraftlinienvverlust durch die magnetische Streuung. Streufaktor Φ1 ΦS k σ
= = = =
σ=
ΦS = 1− k Φ1
Erregerfluss primäre Spule Streufluss Kopplungsfaktor Streufaktor
[wb] [wb] [1] [1]
8.20. Spannungsübersetzung im Transformator Transformatoren und Übertrager benuetzen induktiv gekoppelte Spulen zur übertragung von Spannung, Leistung und Energie.
Spannungsübersetzung
U 20 U1
=k⋅
L2 L1
im Leerlauf!
Formelsammlung Elektrotechnik
57
Fuer einen Trafo ist k ≈ 1 . Aufgrund des gemeinsamen Eisenkernes sind auch die magnetischen Eigenschaften μ, A, lm und somit Rm für beide Spulen gleich.
N12 N 22 L2 N 22 und L2 = Æ Æ L1 = = Rm1 Rm 2 L1 N12 Spannungsübersetzung U2 0 U1 L2 L1 N2 N1 k
= = = = = = =
U 20 U1
=
N2 N1
Sekundär Spannung (Leerlauf) Primär Spannung Induktivität sekundäre Spule Induktivität primäre Spule Windungszahl sekundäre Spule Windungszahl primäre Spule Kopplungsfaktor
L2 N 2 = L1 N1
im Leerlauf! [V] [V] [H] [H] [1] [1] [1]
8.21. Gesamtinduktivität gekoppelter Spulen Sind zwei Spulen oder Induktivitäten magnetisch gekoppelt, so erzeugt jede Spule ein Magnetfeld, das die andere Spule durchsetzt. Sind beide beide Felder gleichgerichtet, so verstärken sie sich und die Gesamtinduktivität wird erhöht. Sind sie entgegengesetzt gerichtet, so schwächen sie sich und die Gesamtinduktivität wird kleiner. Bei gleichgerichteten Magnetfeldern
LTot = L1 + L2 + 2 M
Bei entgegengesetzten Magnetfeldern
LTot = L1 + L2 − 2 M
Symbolik *
Der Punkt gibt den Wicklungssinn an. * Megnetfeldlinien
*
Formelsammlung Elektrotechnik
58
8.22. Transformatorhauptgleichung Diese Gleichung gilt für jede Wicklung des festgekoppelten, verlustfreien Transformators.
U IND = 4.44 ⋅ N ⋅ f ⋅ A ⋅ Bˆ N F A B
= = = =
Windungszahl Frequenz Kernquerschnitt Magnetische Flussdichte (Induktion)
[1] [Hz] [m2] [T] Tesla
8.23. Kernarten bei Kleintransformatoren Um Wirbelströme zu vermeiden, werden die Trafokerne aus Eisenblech, welches einseitig isoliert ist, gefertigt. (Dicke: 0.35mm) Æ mit SI legiert (bis 4%)
8.24. Eisenfüllfaktor Die Bleche werden mit isolierten Bolzen zusammengepresst.
A = AFE ⋅ k FE kFE = Eisenfüllfaktor (0.95 ... 0.99)
8.25. Windungsspannung Spannung zwischen aufeinander folgenden Wicklungen. Beispiel: U = 300V N = 120 Windungen Windungsspannung
UW =
U N
= 2.5V
Formelsammlung Elektrotechnik
59
8.26. Lagenspannung Spannung zwischen zwei übereinander liegenden Lagen. Beispiel: U = 300V 3 Lagen Lagenspannung
UL =
U ⋅2 Lagen
= 200V
200V 3. Lage 2. Lage 1. Lage
0V
100V
8.27. Idealer Transformator Beim idealen Transformator treten keinerlei Verluste auf. Magnetische Kopplung k = 1 (kein Streufluss). Lehrlaufspannung für Sinus:
U 0 = 4.44 ⋅ f ⋅ Bˆ ⋅ A ⋅ N N F A B
= = = =
Windungszahl Frequenz Kernquerschnitt Magnetische Flussdichte (Induktion)
[1] [Hz] [m2] [T] Tesla
Spannungsübersetzung
ü=
U1 N1 = U 2 N2
U1 = Primärspannung U2 = Sekundärsapnnung
[V] [V]
Beim idealen Transformator sind die Scheinleistungen S1 u. S2 gleichgross, daraus folgt.
Formelsammlung Elektrotechnik
S1 = S 2
60
U1 ⋅ I1 = U 2 ⋅ I 2
I1 U 2 N 2 1 = = = I 2 U 1 N1 ü Eingangsimpedanz (Primärimpedanz) 2
⎛N ⎞ Z1 = ü 2 ⋅ Z 2 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⋅ Z 2 ⎝ N2 ⎠ Z1 = Eingangsimpedanz (Primärimpedanz) [Ω] Z2 = Ausgangsimpedanz (Sekundärimpedanz) [Ω] ü = Spannungsübersetzungsfaktor [1]
8.28. Realer Transformator Durch den Kupferwiderstand, den Streufluss, Magnetisierungskurve, usw. weicht der reale Transformator teilweise stark vom idealen Transformator ab. Beim realen Transformator ist k < 1 (Streufluss): Sekundärspannung U1 U2 N1 N2 k
= = = = =
U 2 = U1 ⋅
N2 ⋅k N1
Primärspannung Sekundärsapnnung Windungszahl (primärseite) Windungszahl (sekundärseite) Kopplungsfaktor (magn. Wirkungsgrad)
[V] [V] [1] [1] [1]
Bei Leistungstrafos und Übertragern ohne Luftspalt ist k ≈ 1!
Formelsammlung Elektrotechnik
61
8.29. Spartransformator Beim Spartransformator sind zwei Wicklungsteile, die Parallelwicklung und die Reihenwicklung, hintereinandergeschaltet Bild 1. Unterspannungswicklung ist die Parallelwicklung. Oberspannungswicklung ist die Reihenschaltung von Reihenwicklung und Parallelwicklung. Bei Spartransformatoren ist die Eingangswicklung leitend mit der Ausgangswicklung verbunden.
Formelsammlung Elektrotechnik
62
9. Spule 9.1. Induktivität Eine Spule hat eine Induktivität von 1H, wenn eine gleichmässige Stromerhöhung von 1A je Sekunde in ihr die Spannung 1V induziert. Induktivität
N2 ⋅μ ⋅ A N2 = L= lm Rm
[H, Henri]
Lässt sich aus den geometrischen Grössen und dem Material für die Spule Berechnen:
L= L N lm Rm Φ A μ
N ⋅Φ I = = = = = = =
Induktivität Windungszahl mittlere Feldlinienlänge magnetischer Widerstand Magnetischer Fluss Querschnitt Permeabilität
[H] [1] [m] [A/Vs] [wb] Weber [m2] [Vs/Am] μr ⋅ μ0
9.2. Spulenkonstante AL N2 ⋅μ ⋅ A L= lm AL = Spulenkonstante
L = N 2 ⋅ AL L N lm A μ
= = = = =
Induktivität Windungszahl mittlere Feldlinienlänge Querschnitt Permeabilität
[H] [1] [m] [m2] [Vs/Am] μr ⋅ μ0
Formelsammlung Elektrotechnik
63
9.3. Ringkernspule (Toroid)
L = N2 ⋅
A
μr ⋅ A
[ μH ]
lm ⋅ 80
lm
9.4. Einlagige Zylinderluftspule
D
L = N2 ⋅
μ0 ⋅ A l
⋅K
l K = Korrekturfaktor
D l
9.5. Energie des magnetischen Feldes Das Abschalten einer Spule im Gleichstrom zeigt, dass der Strom noch eine Weile fliesst. Im magnetischen Feld einer Spule ist Energie gespeichert.
L⋅I2 ω= 2 ω L I
= = =
Energie des elektrischen Feldes Induktivität Strom
[Ws] [H] [A]
Formelsammlung Elektrotechnik
64
9.6. Zeitkonstante Tau (induktiv) Zeitkonstante
τ=
L = Induktivität R = Widerstand
L R
[s]
[H] [Ω]
- Der Endstrom ist jeweils nach 5τ fast erreicht - Die Stromstärke hat nach t = τ 63% des Endwertes erreicht.
9.7. Einschaltverhalten einer Spule i Uq
U
UR UL
uL = U Q ⋅ e
−
t
τ
t − ⎞ ⎛ i = I 0 ⎜⎜1 − e τ ⎟⎟ ⎝ ⎠
Spannung
I0 =
UQ RV
Strom
U
I
100% (U0)
100% (Imax) 63,2%
36,8%
t
t 1τ
5τ
1τ
5τ
Formelsammlung Elektrotechnik
65
9.8. Abschaltverhalten einer Spule i Uq
U
UR UL
⎛ −τt i = I 0 ⎜⎜ e ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ −τt uL = −U ⎜⎜ e ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
I0 =
Spannung
100% (Us)
RV
Strom 1τ
36,8%
UQ
5τ
t
I 100% (Imax)
36,8%
U
t 1
5
9.9. Induktiver Blindwiderstand Der Widerstand der Spule steigt mit der Frequenz. Aufgrund der Selbstinduktionsspannung steigt der Strom nur langsam an! Wird die Stromänderung schnell durchgeführt (= grössere Frequenz), so kann er seinen Endwert nicht erreichen (Æ grösserer Widerstand).
Formelsammlung Elektrotechnik
66
Für sinusförmigen Strom Blindwiderstand ω L f xL
= = = =
xL = 2πf ⋅ L = ω ⋅ L
Kreisfrequenz Induktivität Frequenz Blindwiderstand
[1/s; Hz] [H] [Hz] [Ω]
Bei der idealen Spule eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus.
9.10. Scheinwiderstand/Impedanz (Induktivität) Der Wechselstromwiderstand einer Spule ist erheblich grösser als der Gleichstromwiderstand. Infolge der dauernden Flussänderung im Wechselstromkreis tritt dauernd eine Selbstinduktionsspannung gegenphasig zur angelegten Spannung auf. Der Strom wird von der Selbstinduktionsspannung beeinflusst. Die strombegrenzende Wirkung heisst induktiver Widerstand. Scheinwiderstand / Impedanz
Z=
Z = Scheinwiderstand / Impedanz U = Wechselspannung J = Wechselstrom
U J
[Z] = Ω
[Ω] [V] [A]
9.11. Induktive Blindleistung Zum Aufbau des Magnetfeldes wird Energie benötigt. Die Energie wird beim Abbau wieder frei. Bei einer idealen Spule pendelt daher die Leistung, ähnlich wie beim Kondensator, hin und her. Beide Halbwellen sind gleich gross! Mittelwert ist gleich Null!
Formelsammlung Elektrotechnik
Induktive Blindleistung Q UL JL xL
= = = =
67
U L2 QL = U L ⋅ J L = = J L2 ⋅ xL xL
Induktive Blindleistung Spulenspannung (~) Spulenstrom (~) Induktiver Blindwiderstand
[var] [V] [A] [Ω]
Die aufgenommene Energie ist im Magnetfeld gespeichert! Wird das Magnetfeld abgebaut (Strom kleiner) so wird die gespeicherte Energie ins Netz zurückgeschoben.
9.12. Reale Spule Eine ideale, d.h. verlustfreie Sule gibt es nicht. in jeder Spue treten Verluste auf, di sich in einer mehr oder weniger starken Erwärmung von Wicklung und Eisenkern äusssern.
Wicklungsverluste PCU Wirbelstromverluste PWirbel Hystereseverluste PHysterese
I
U
R
UR
L
UL
L
Verlustwinkel
δ
δ = 90° − ϕ ⎛U ⎞ ⎛R⎞ ⎛ P ⎞ δ = tan ⎜⎜ R ⎟⎟ = tan −1 ⎜⎜ ⎟⎟ = tan −1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝UL ⎠ ⎝ xL ⎠ ⎝ QL ⎠ −1
U
UL
ϕ UR
Formelsammlung Elektrotechnik
Verlustfaktor
tan (δ ) =
1 P = =d QL Q
Gütefaktor
Q=
Q d P S QL δ ϕ
= = = = = = =
1 1 x L U L QL = = = = tan (ϕ ) = R UR P tan (δ ) d Gütefaktor Verlustfaktor Wirkleistung Scheinleistung Induktive Blindleistung Verlustwinkel Phasenverschiebung
[1] [1] [W] [VA] [var] [°] [°]
68
Formelsammlung Elektrotechnik
10. Spulenschaltungen 10.1. Serieschaltung von Induktivitäten L1 Ls
LS = L1 + L2
L2
10.2. Parallelschaltung von Induktivitäten
L1
L2
1 1 1 = + L p L1 L2
Bemerkung Die beiden Gesetze (Kap. 79, 80) gelten nur, wenn die Spulen unabhängig voneinander sind (magnetisch nicht gekoppelt).
69
Formelsammlung Elektrotechnik
70
11. Schaltungen mit R, xC und xL 11.1. RC-Serieschaltung i
UR
UC U~
Spannungsdreieck
U = U +U 2 R
2 C
⎛U ϕ = arctan ⎜⎜ C ⎝UR
⎞ ⎟⎟ ⎠
U = Gesamtspannung [V] UR = Spannung am Widerstand [V] UC = Spannung im Kondensator [V]
UR ϕ UC
U
Widerstandsdreieck UR
Z = R 2 + xC2 R xC Z
ϕ
= Wirkwiderstand = Blindwiderstand = Impedanz
[Ω] [Ω] [Ω]
UC
U
Leistungsdreieck
S = P +Q 2
P Q S
2
P
⎛Q⎞ ϕ = arctan ⎜ ⎟ ⎝P⎠
= Wirkleistung = Blindleistung = Scheinleistung
ϕ [W] [var] [VA]
S
Q
Formelsammlung Elektrotechnik
71
11.2. Leistungen der RC - Serieschaltung Wirkleistung Die Multiplikation der Augenblickwerte (Momentanwerte) von u und i führen zur Leistungskurve. Es treten positive und negative Leistungen auf, die aber nicht gleich gross sind. Sie hat die doppelte Frequenz und ist wiederum eine Sinuskurve. Wirkleistung
P = U R ⋅i = R ⋅i2
[W]
Die Leistung wird im Widerstand in Wärme umgesetzt.
Blindleistung Diese Leistung pendelt zwischen dem Kondensator und dem Generator hin und her! Blindleistung
Q = U C ⋅ i = xC ⋅ i 2
[var]
Scheinleistung Es ist eine rein rechnerische Grösse! Sie hat keine Bedeutung so wie Q und P! Scheinleistung
S = U ⋅i = Z ⋅i2
[VA]
11.3. Leistungsfaktor cos(ϕ) Der Leistungsfaktor gibt an, wie viel der Scheinleistung S als Wirkleistung P umgesetzt wird. Leistungsfaktor S P ϕ
cos(ϕ ) =
= Scheinleistung = Wirkleistung = Phasenverschiebung
P S [VA] [W] [°]
Formelsammlung Elektrotechnik
72
11.4. RC-Parallelschaltung iR
i U~
R
iC xC
U = U R = UC
Stromdreieck
i = iR2 + iC2 i i iR iC
= Gesamtstrom = Strom durch R = Strom durch C
[A] [A] [A]
iC u
iR
Leitwertdreieck Bei der Parallelschaltung verhalten sich die Teilströme wie die Leitwerte der Widerstände:
y = G 2 + BC2 tan (ϕ ) =
y
iC BC 1 / xC R = = = iR G 1 / R xC
G = Wirkleitwert (Konduktanz) BC = Blindleitwert (Suszeptanz) y = Scheinleitwert, Admittanz
ϕ G
[1/R] [1/xC] [1/Z]
Widerstandsdreieck
Z=
xC ⋅ R R +x 2
2 C
BC
R xC
Z
xC2 + R 2
Formelsammlung Elektrotechnik
xC R Z
= = =
kapazitiver Blindwiderstand Wirkwiderstand Impedanz
73 [Ω] [Ω] [Ω]
Leistungsdreieck
S = P2 + Q2 S P Q
= = =
Scheinleistung Wirkleistung Blindleistung
QC
S
[VA] [W] [var]
ϕ P
11.5. Umrechnung Serie - und Parallelschaltung Serie Æ Parallel
RS2 + xS2 RP = RS
RP = RS (1 + Q 2 )
RS2 + xS2 xP = xS
⎛ 1 ⎞ xP = xS ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎝ Q ⎠
RS
Q RS xS RP xP
= = = = =
xC
Serie
Parallel Æ Serie
RP ⋅ xP2 RS 2 RP + xP2
RP
Parallel
RP2 ⋅ xP xS = 2 RP + xP2
Blindleistung Widerstand Serienschaltung Blindwiderstand Serienschaltung Widerstand Parallelschaltung Blindwiderstand Parallelschaltung
[var] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω]
xC
Formelsammlung Elektrotechnik
74
11.6. Frequenzkompensierter Spannungsteiler Damit das Verhältnis von Ua und Ue unabhänig von der Frequenz bleibt, gilt: C1
R1 Z1 = R2 Z 2
Z1
Ue
Durch Einsetzen der Impedanzen Z1 und Z2 ergibt sich folgende Formel:
R1
C2
R2
Ua
Z2
Widerstand-Kondensatorverhältnis
R1 C 2 = R 2 C1 Wenn das Verhältnis
R1 C 2 gewählt wird, so werden die = R 2 C1
Spannungen Ue und Ua unabhängig von der Frequenz in ein konstantes Verhältnis (Ue/Ua = konst.) aufgeteilt.
Anwendungen Abgleichen einer KO-Sonde. Die Eingangs-Kapazität des KO’s wird durch die veränderbare Kapazität der Sonde kompensiert.
11.7. RL-Serieschaltung i
R
L
UR
UL U
Formelsammlung Elektrotechnik
75
Spannungsdreieck
U = U R2 + U L2
U
U R = U − U = U ⋅ cos(ϕ ) 2
2 L
ϕ
U L = U − U = U ⋅ sin(ϕ ) 2
UL
2 R
UR
⎛UL ⎞ ⎟⎟ ⎝UR ⎠
ϕ = arctan⎜⎜ ULp URp U UL UR ϕ
= = = = = =
Scheitelspulenspannung Scheitelwiderstandsspannung Angelegte Spannung Spulenspannung Widerstandsspannung Phasenverschiebung
[V] [V] [V] [V] [V] [°]
Widerstandsdreieck
U = R 2 + xL2 i U R = R = Z 2 − xL2 = Z ⋅ cos(ϕ ) i U xL = L = Z 2 − R 2 = Z ⋅ sin(ϕ ) i
Z=
Z ϕ R
⎛ xL ⎞ ⎟ R ⎝ ⎠
ϕ = arctan⎜ U UL UR i R
= = = = =
Angelegte Spannung Spulenspannung Widerstandsspannung Strom Widerstand
xL
[V] [V] [V] [A] [Ω]
Formelsammlung Elektrotechnik
xL Z
= =
76
Induktiver Blindwiderstand Scheinwiderstand - Impedanz
[Ω] [Ω]
Leistungsdreieck
U2 S = U ⋅i = = i2 ⋅ Z Z
ϕ
S = U ⋅i = P2 + Q2
P
P = U R ⋅ i = S 2 − Q 2 = S ⋅ cos(ϕ ) Q = U L ⋅ i = S 2 − P 2 = S ⋅ sin(ϕ ) Leistungsfaktor
cos(ϕ ) = U UL UR i S Q P ϕ
= = = = = = = =
P UR R = = S U Z
Angelegte Spannung Spulenspannung Widerstandsspannung Strom Scheinleistung Induktive Blindleistung Wirkleistung Phasenverschiebung
[V] [V] [V] [A] [VA] [var] [W] [°]
11.8. RL-Parallelschaltung i U~
iR R
QL
S
iL L
iR = i=
U U iL = xL R
U Z
Formelsammlung Elektrotechnik
77
Stromdreieck
i = i +i 2 R
iR
2 L
ϕ
iR = i 2 − iL2 = i ⋅ cos(ϕ ) iL = i − i = i ⋅ sin(ϕ ) 2
2 R
iL
i
⎛ iL ⎞ ⎟⎟ ⎝ iR ⎠
ϕ = arctan⎜⎜ i iR iL ϕ
= = = =
Gesamtstrom Widerstandsstrom Spulenstrom Phasenverschiebung
[A] [A] [A] [°]
Leitwertdreieck
1 = G 2 + BL2 Z 1 G = = Y 2 − BL2 R 1 BL = = Y 2 − G2 xL
Y=
G ϕ
y
⎛ BL ⎞ ⎟ ⎝G⎠
ϕ = arctan⎜ y G BL ϕ
= = = =
Scheinleitwert, Admittanz Wirkleitwert, Konduktanz Blindleitwert, Suszeptanz Phasenverschiebung
[1/Z] [1/R] [1/xC] [°]
BL
Formelsammlung Elektrotechnik
78
Widerstandsdreieck
1 Z= = y Z y R xL ϕ
= = = = =
R
R ⋅ xL R +x 2
xC
2 L
ϕ Z
xL2 + R 2
Scheinwiderstand - Impedanz Scheinleitwert, Admittanz Widerderstand Induktiver Blindwiderstand Phasenverschiebung
[Ω] [1/Z] [Ω] [Ω] [°]
Leistungsdreieck
P ϕ
S = U ⋅ J = P 2 + QL2 P = U R ⋅ J R = S 2 − QL2
S
QL = U L ⋅ J L = S 2 − P 2 P S QL ϕ
= = = =
Wirkleistung Scheinleistung Induktive Blindleistung Phasenverschiebung
Leistungsfaktor
cos(ϕ ) =
P JR G Z = = = S J y R
11.9. RLC-Serieschaltung i
UR
UL UT
UC
[W] [VA] [var] [°]
QL
Formelsammlung Elektrotechnik
79
Spannungsdreieck
J
UR
ϕ
U T = U R2 + (U C − U L ) 2
UT
⎛ UC −U L ⎞ ⎟⎟ ⎝ UR ⎠
ϕ = arctan⎜⎜
UL
UC
UL > UC Æ ϕ positiv UL < UC Æ ϕ negativ UT UL UC UR ϕ
= = = = =
Angelegte Spannung Spulenspannung Kondensatorspannung Widerstandsspannung Phasenverschiebung
[V] [V] [V] [V] [°]
Widerstandsdreieck
Z = R 2 + ( xL − xC ) 2
cos(ϕ ) =
sin (ϕ ) = xL > xC xL < xC Z R xL xC ϕ
= = = = =
xC
R Z
Z ϕ
xL − xC Z
Æ Induktives Verhalten Æ Æ Kapazitives Verhalten Æ
Scheinwiderstand - Impedanz Widerderstand Induktiver Blindwiderstand Kapazitiver Blindwiderstand Phasenverschiebung
R
ϕ positiv ϕ negativ [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [°]
xL
Formelsammlung Elektrotechnik
80
Leistungsdreieck
S = P 2 + (QL − QC )
QC
2
cos(ϕ ) = P S QL QC ϕ
= = = = =
S
P S
QL
ϕ
Wirkleistung Scheinleistung Induktive Blindleistung Kapazitive Blindleistung Phasenverschiebung
P
[W] [VA] [var] [var] [°]
11.10. RLC-Parallelschaltung i U~
iR
iL
R
L
iC xC
Stromdreieck
i = iR2 + (iC − iL ) 2
i ϕ
iL > iC Æ Induktives Verhalten iL < iC Æ Kapazitives Verhalten i iR iL iC
= = = =
Gesamtstrom Widerstandsstrom Spulenstrom Kondensatorstrom
[A] [A] [A] [A]
iC U iL
Formelsammlung Elektrotechnik
81
Leitwertdreieck
G ϕ
y = G 2 + ( BL − BC ) 2
BL
y y = Scheinleitwert, Admittanz G = Wirkleitwert, Konduktanz BL = Blindleitwert, Suszeptanz
[1/Z] [1/R] [1/xC]
Leistungsdreieck
S = P 2 + (QL − QC ) 2 P S QL QC
= = = =
Wirkleistung Scheinleistung Induktive Blindleistung Kapazitive Blindleistung
[W] [VA] [var] [var]
Anwendung - Parallelschwingkreis - Blindleistungskompensation in Firmen (Phasenschieber) (Maschinenfabrik).
BC
Formelsammlung Elektrotechnik
82
12. Impulsformerglieder 12.1. Differenzierglied
τ=
τ = R ⋅C
L R
Allgemein
g=
T = ti + t p
ti T
v=
1 g
ti
τ
≈5 Anwendung
U
- Regeltechnik - Analogrechner - Filter t
tp
ti T
U
RL - und LR - Glieder werden kaum verwendet.
t
τ R C L T ti
= = = = = =
Zeitkonstante Widerstand Kapazität Induktivität Periodendauer Impulsdauer
[s] [Ω] [F] [H] [s] [s]
tp = g = v =
Pausendauer Tastgrad Tastverhältnis
[s] [1] [1]
Formelsammlung Elektrotechnik
83
12.2. Integrierglied Bei τ >> T entsteht annähernd eine Gleichspannung (Siebwirkung von C). Mathematisch entspricht dies einer Integration.
τ=
τ = R ⋅C
L R
Allgemein
g=
T = ti + t p
ti T
v=
1 g
ti
τ
≈5 Anwendung
U
- Regeltechnik - Analogrechner - Filter t
tp
ti T
U
t τ R C L T ti
= = = = = =
Zeitkonstante Widerstand Kapazität Induktivität Periodendauer Impulsdauer
[s] [Ω] [F] [H] [s] [s]
tp = g = v =
Pausendauer Tastgrad Tastverhältnis
[s] [1] [1]
Formelsammlung Elektrotechnik
84
13. Schwingkreise 13.1. RLC-Serieschwingkreis Der Serieschwingkreis ist eine Sieb - oder Filterschaltung. Frequenzen in der Nähe der Resonanzfrequenz werden durchgelassen (Saugfrequenz).
Bemerkung R ist der externe Dämpfungswiderstand oder Spulenverlustwiderstand. i
U= U
2 Rv
+ (U C − U L )
2
Rv
L
C
URv
UL
UC
UT
Z = RV2 + ( xL − xC ) 2 R, xL, xC, Z
t Die Impedanz Z ist am kleinsten, wenn xL = xC ist:
2πf ⋅ L =
1 daraus folgt: 2πf ⋅ C
Resonanzfrequenz
f0 =
1 2π L ⋅ C
(Tomsonsche Schwingungsformel)
Formelsammlung Elektrotechnik
85
Bei der Resonanz xL = xC
Z = R 2 + ( xL − xC ) 2
Æ
Z 0 = RV
Phasenverschiebung
Æ
ϕ = 0°
Strom bei Resonanz
Æ
I0 =
U U = Z 0 RV
Æ der Strom ist bei Resonanz am grössten Æ im Idealfall R = 0 Æ I0 = ∞A!
Bei Resonanz gibt es eine Spannungsueberhöhung. Die Spannungen an L und C können grösser sein als die angelegte Spannung.
Güte Q Sie gibt die Spannungsueberhöhung an:
Q=
U L U C xL xC = = = U U RV RV
Dämpfung d
d=
1 Q
Bandbreite b J J J0
b
2
fgu
f0
fgo
f
Formelsammlung Elektrotechnik
b=
86
f0 f ⋅R f ⋅R R = f0 ⋅ d = 0 V = 0 V = V Q xL 2πfL 2πL
Je höher die Guete Q ist, desto schmalbandiger ist der Schwingkreis.
Grenzfrequenzen Obere Grenzfrequenz
f go = f 0 +
b 2
Untere Grenzfrequenz
f gu = f 0 −
b 2
Bei Grenzfrequenz gilt:
f = f go resp. f gu ϕ = 45° Jg =
J0 2
UR =
U 2
Z g = 2 ⋅ Z0 13.2. RLC-Parallelschwingkreis Parallelschwingkreise werden häufig zur Aussiebung von Frequenzen verwendet Æ Bandsperre (Sperrkreis).
i = iR2 + (iL − iC ) 2
y = G 2 + ( BL − BC ) 2
i U~
iR
iL
RP
L
iC xC
Formelsammlung Elektrotechnik
87
Z, y
t Der Scheinleitwert y ist am kleinsten, wenn BL = BC ist:
1 = 2πf ⋅ C daraus folgt: 2πf ⋅ L Resonanzfrequenz
f0 =
1 2π L ⋅ C
Bei Resonanzfrequenz BL = BC Æ xL = xC Phasenverschiebung = 0° Der Strom in der Zuleitung ist am kleinsten
i0 =
U RP
Durch die Spule und den Kondensator können grössere Ströme fliessen! Æ Stromüberhöhung Impedanz Z0 = RP
RP =
U i
L RP = C ⋅ RV
RP
2 ( 2πf ⋅ L ) =
RV
2 RP = QSpule ⋅ RV
Formelsammlung Elektrotechnik
Güte Q Sie gibt die Spannungsüberhöhung an:
Q=
J L J C BL BC RP RP = = = = = J J G G xL xC
Dämpfung d
d=
1 Q
Bandbreite b
b=
f0 = f0 ⋅ d Q
88
Formelsammlung Elektrotechnik
89
14. Filterschaltungen
14.1. RC-Hochpass Resonanzfrequenz
fg =
1 2 ⋅π ⋅ R ⋅ C
[ f g ] = Hz
Ue
Spannungsverhältnis
R
U 2 = U1 ⋅
R 2 + xC
2
[U 2 ] = V
Ua 1 = = 0.707 Ue 2
Phasenverschiebung
⎛ Ua ⎞ ⎟⎟ [ϕ ] = ° U ⎝ e⎠
ϕ = a cos⎜⎜
ϕ = 45°
Ua
Formelsammlung Elektrotechnik
90
Dämpfung
⎛U Vu = 20 ⋅ lg ⎜⎜ a ⎝ Ue fg C R Ue Ua xC ϕ
= = = = = = =
⎞ ⎟⎟ = −3dB ⎠
Grenzfrequenz Kapazität Widerstand Eingangsspannung Ausgangsspannung kapazitiver Blindwiderstand Phasenwinkel
au = 3dB [Hz] [F] [Ω] [V] [V] [Ω] [°]
14.2. RL-Hochpass Resonanzfrequenz
fg =
R
[ f g ] = Hz
2 ⋅π ⋅ L
Ue
Spannungsverhältnis
xL
U 2 = U1 ⋅
R 2 + xL
2
[U 2 ] = V
Ua 1 = = 0.707 Ue 2
Phasenverschiebung
⎛ Ua ⎞ ⎟⎟ [ϕ ] = ° ⎝ Ue ⎠
ϕ = a cos⎜⎜
ϕ = 45°
Dämpfung
⎛U Vu = 20 ⋅ lg ⎜⎜ a ⎝ Ue
⎞ ⎟⎟ = −3dB ⎠
au = 3dB
Ua
Formelsammlung Elektrotechnik
fg C R Ue Ua xL ϕ
= = = = = = =
Grenzfrequenz Kapazität Widerstand Eingangsspannung Ausgangsspannung induktiver Blindwiderstand Phasenwinkel
91 [Hz] [F] [Ω] [V] [V] [Ω] [°]
14.3. RC-Tiefpass Resonanzfrequenz
fg =
1 2 ⋅π ⋅ R ⋅ C
[ f g ] = Hz
Ue
Spannungsverhältnis
xC
U 2 = U1 ⋅
R 2 + xC
2
[U 2 ] = V
Ua 1 = = 0.707 Ue 2
Phasenverschiebung
⎛ Ua ⎞ ⎟⎟ [ϕ ] = ° ⎝ Ue ⎠
ϕ = a cos⎜⎜
ϕ = 45°
Dämpfung
⎛U Vu = 20 ⋅ lg ⎜⎜ a ⎝ Ue fg C R Ue Ua
= = = = =
⎞ ⎟⎟ = −3dB ⎠
Grenzfrequenz Kapazität Widerstand Eingangsspannung Ausgangsspannung
au = 3dB [Hz] [F] [Ω] [V] [V]
Ua
Formelsammlung Elektrotechnik
92
xC = kapazitiver Blindwiderstand [Ω] ϕ = Phasenwinkel [°]
14.4. RL-Tiefpass Resonanzfrequenz
fg =
R
[ f g ] = Hz
2 ⋅π ⋅ L
Ue
Spannungsverhältnis
R
U 2 = U1 ⋅
R 2 + xL
2
[U 2 ] = V
Ua 1 = = 0.707 Ue 2
Phasenverschiebung
⎛ Ua ⎞ ⎟⎟ [ϕ ] = ° U ⎝ e⎠
ϕ = a cos⎜⎜
ϕ = 45°
Dämpfung
⎛U Vu = 20 ⋅ lg ⎜⎜ a ⎝ Ue fg C R Ue Ua xL ϕ
= = = = = = =
⎞ ⎟⎟ = −3dB ⎠
Grenzfrequenz Kapazität Widerstand Eingangsspannung Ausgangsspannung induktiver Blindwiderstand Phasenwinkel
au = 3dB [Hz] [F] [Ω] [V] [V] [Ω] [°]
Ua
Formelsammlung Elektrotechnik
93
14.5. Bandpass Sehr tiefe und sehr hohe Frequenzen werden gesperrt.
Möglichkeit 1
Ue
Ua
CR - HP
RC - TP
Möglichkeit 2
Ue
Grenzfrequenz
Ausgangsspannung
Ua
fg =
1 2π R1 ⋅ C1 ⋅ R2 ⋅ C 2
U a max = U e
mit R1 = R2 und C1 = C2
U a max =
Phasenverschiebung
ϕ = 0°
Ue 3
1 1+
R1 C2 + R2 C1
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94
Ua/Ue HP
TP
f
14.6. Bandsperre Ua/Ue HP
TP Ue
Ue
f
14.7. Verstärkung - Dämpfung Verstärkungsfaktoren
Dämpfungsfaktoren
Ue < Ua
Ue > Ua
VP = VP DP VU DP Vi Di
= = = = = =
Pa Pe
VU =
Ua i Vi = a Ue ie
Leistungsverstärkungsfaktor Leistungsdämpfungsfaktor Spannungsverstärkungsfaktor Spannungsdämpfungsfaktor Stromverstärkungsfaktor Stromdämpfungsfaktor
DP =
Pe U DU = e Pa Ua
Di =
ie ia
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VP =
95
Pa 1 = Pe DP
14.8. Leistungsverstärkungs – Dämpfungsmass VP in Bel VP = log (VP) Um 1-2 Stellen vor dem Komma zu gewinnen, multipliziert man mit 10.
Leistungsverstärkungsmass vP in dB
⎛P ⎞ vP = 10 ⋅ log⎜⎜ a ⎟⎟ ⎝ Pe ⎠
Leistungsdämpfungsmass aP in dB
⎛P ⎞ a P = 10 ⋅ log⎜⎜ e ⎟⎟ ⎝ Pa ⎠
vP = − aP
14.9. Spannungsverstärkungs - Dämpfungsmass Für Spannungen gilt:
U2 P= R
( )
log U 2
Æ 2 ⋅ log(U )
Spannungsverstärkungsmass vU in dB
⎛U ⎞ vU = 20 ⋅ log⎜⎜ a ⎟⎟ ⎝ Ue ⎠
Spannungsdämpfungsmass aU in dB
⎛U ⎞ aU = 20 ⋅ log⎜⎜ e ⎟⎟ ⎝ Ua ⎠
vU = −aU
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14.10. Stromverstärkungs - Dämpfungsmass Für Spannungen gilt:
P = I 2 ⋅ R log(I 2 ) Æ 2 ⋅ log(I ) Stromverstärkungsmass vi in dB
⎛i ⎞ vi = 20 ⋅ log⎜⎜ a ⎟⎟ ⎝ ie ⎠
Stromdämpfungsmass ai in dB
⎛i ⎞ ai = 20 ⋅ log⎜⎜ e ⎟⎟ ⎝ ia ⎠
vi = −ai 14.11. Dämpfungsmass “Neper” In der Fernmeldetechnik verwendet man teilweise noch als Dämpfungsmass “Neper”.
⎛U ⎞ a = ln⎜⎜ e ⎟⎟ ⎝Ua ⎠
[Np] (Neper)
14.12. Spannungswerte in dB dB 0 3 6 10 20 40 60
Vi resp. Vu 1 2
2 3.2 10 100 1000
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14.13. Absoluter Pegel In der Antennen - , NF - und Nachrichtentechnik bezieht man die dB Rechnung oft auf eine Bezugsspannung.
⎛U ⎞ pa = 20 ⋅ log⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ u0 ⎠ u0 pa
= Bezugsspannung = Absoluter Pegel
Im Telefonbereich Im HF - Bereich
u0 = 775 mV u0 = 1 μ V
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15. Dreiphasiger Wechselstrom 15.1. Sternschaltung L1, L2, L3 N
= =
Polleiter Neutralleiter
Die vier Leiter (L1, L2, L3, N) bilden das Vierleitersystem. UST UL12 - UL23 I IST Strangstrom = Leiterstrom
I ST = I
= = = =
Strangspannung Leiterspannung Leiterstrom Stronstrom
Strangspannung
U ST =
U L12 3
Leistungen in der Sternschaltung
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos(ϕ )
S = 3 ⋅U ⋅ I Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin(ϕ ) Bei unsymetrischer Belastung der drei Stränge führt der Mittelleiter den sogenannten Ausgleichstrom. Dem Verbraucher stehen zwei verschiedene Spannungen zur Verfügung (230V / 400V).
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15.2. Dreieckschaltung L1, L2, L3 N
= =
Polleiter Neutralleiter
Die vier Leiter (L1, L2, L3, N) bilden das Vierleitersystem. UST UL12 - UL23 I IST Strangspannung = Leiterspannung
U ST = U
= = = =
Strangspannung Leiterspannung Leiterstrom Stronstrom
Strangspannung
I ST =
I L12 3
Leistungen in der Sternschaltung
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos(ϕ )
S = 3 ⋅U ⋅ I Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin(ϕ ) Haben eine Sternschaltung und eine Dreieckschalung indentische Wicklungen, so nimmt die Dreieckschaltung die dreifache Leistung der Sternschaltung auf.
PDreieck = 3 ⋅ PStern Diese Tatsache wird in Stern - Dreieckschaltern ausgenutzt. Beim einschalten eines Motors schaltet man zuerst in die Sternschaltung (Æ kleiner Anlaufstrom) und dann nach der Anlaufzeit für den Betrieb in die Dreieckschaltung.
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15.3. Drehzahl von Synchron- und Asynchronmotoren Drehzahl
N=
60 ⋅ f P
F = Frequenz [Hz] P = Poolpare (Sternschaltung = 1 Poolpaar) [1] N = Drehzahl [min-1] Nmax in EU und CH (1 Poolpaar): EU/CH 3000 min-1 USA 3600 min-1
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