EJERCICIOS PENDIENTE Y DEFLEXION.pdf

Análisis Estructural Método de Pendiente Deflexión Carlos Alberto Riveros Jerez

Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniería Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 3 Calcular los momentos de la viga. Los asentamientos en los soportes son: A=32mm B=62mm C=70mm D=28mm E=210GPa I=800 (10^6) mm4

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 3 MOMENTOS POR CARGAS EXTERNAS: • Tramo AB: (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM AB =- 2 == -225 kNm 2 l 6 (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM BA = 2 = =225 kNm 2 l 6

• Tramo BC: Pab 2 (200)(3)(32 ) FEM BC =- 2 == -150 kNm 2 l 6 (Pab 2 ) (200)(3)(32 ) FEM BA = 2 = =150 kNm 2 l 6 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 3 • Tramo CD(igual al tramo AB): (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM CD =- 2 == -225 kNm 2 l 6 (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM DC = 2 = =225 kNm 2 l 6 EFECTOS DE ASENTAMIENTO: • Tramo AB: △ 0.03m = =0.005 l 6m Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 3 • Tramo BC: △ 0.008m = =0.00133 l 6m

• Tramo CD:

△ 0.042m = =0.007 l 6m

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 3 ECUACIÓN DE MOMENTO: Sabiendo que EI=16800 kNm

2EI 3△ (2θ A +θ B - ) L L M AB =-225+56000(2θ A +θ B -0.015)

M AB =FEM AB +

2EI 3△ (θ A +2θ B - ) L L M BA =225+56000(θ A +2θ B -0.015) M BA =FEM BA +

2EI 3△ (2θ B +θ C - ) L L M BC =-150+56000(2θ B +θ C -0.00399) M BC =FEM BC +

2EI 3△ (θ B +2θ C - ) L L M CB =150+56000(θ B +2θ C -0.00399)

M CB =FEM CB +

2EI 3△ (2θ C +θ D - ) L L M CD =-225+56000(2θ C +θ D +0.021) M CD =FEM CD +

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2EI 3△ M DC =FEM DC + (θ C +2θ D - ) L L M DC =225+56000(2θ C +θ D +0.021)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 3 • Ecuaciones de equilibrio: luego como las rotulas y las articulaciones no soportan momentos; se tiene: M AB =0

(1)

M BA +M BC =0

(2)

M CB +M CD =0

(3)

M DC =0

(4)

Luego de (1):

-225+56000(2θ A +θ B -0.015)=0 (a) Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 3 De (2):

225+56000(θ A +2θ B -0.015)-150+56000(2θ B +θ C -0.00399)=0 ( b) De (3):

150+56000(θ B +2θ C -0.00399)-225+56000(2θ C +θ D -0.021)=0 (c) De (4):

225+56000(2θ C +θ D -0.021)=0

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(d)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 3 Resolviendo (a), (b), (c) y (d):

M AB =0 M BA =153.88 kNm M BC =-153.88 kNm M CB =-107.08 kNm M CD =107.08 kNm M DC =0

θ A =0.0081 rad θ B =0.0028 rad θ C =-0.0017 rad θ D =-0.0117 rad

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 4 Encontrar los diagramas de momento y cortante para una viga continúa de dos luces de igual longitud . W

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO: -WL2 FEM AB = 12 WL2 FEM CB = 12

-WL2 FEM BC = 12 WL2 FEM BA = 12

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 4 ASENTAMIENTOS: Δ=0 ECUACIONES DE PENDIENTE DEFLEXION: 2EI WL2 M AB = (2θ A +θ B )L 12 2EI WL2 M BA = (θ A +2θ B )+ L 12 2EI WL2 M BC = (2θ B +θ C )L 12 2EI WL2 M CB = (θ B +2θ C )+ L 12 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

(1) (2) (3) (4)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 4 Además se sabe que: M +M =0 BA BC

(5)

M AB =0

(6)

M CB =0

(7)

Organizando las ecuaciones (6) en (1) y (7) en (4) se obtiene: 4EI 2EI WL2 θA + θB =0 L L 12 2EI 4EI WL2 θB + θC + =0 L L 12

(8) (9)

De (2): M BA

2EI 4EI WL2 = θA + θB + L L 12 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

(10)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 4

De (3) :

4EI 2EI WL2 = θB + θC L L 12

(11)

2 EI 8EI 2EI θA + θB + θ C =0 L L L

(12)

M BC

De (5):

De (8) se tiene que: WL3 θ B θA = 48EI 2

(13)

De (13) en (12) se tiene que: WL3 2 θ B =- θC 168EI 7 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

(14)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 4 De (14) en (9) se tiene que: WL3 θ C =48EI

(15)

De (15) en (14) se tiene que:

θB =0

(16)

De (16) en (13) se tiene que: WL3 θA = 48EI

(17)

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 4 • Momentos: Sustituyendo (15), (16) y (17) en (10) se obtiene: WL2 M BA = 8

(18)

Sustituyendo (15), (16) y (17) en (11) se obtiene:

WL2 M BC =8

(19)

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 4 Diagrama de cortante y momentos

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 Encontrar los diagramas de momento y cortante para la viga de la figura, la cual sufre un desplazamiento en el apoyo C de 12 mm.

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO: En este caso no se presentan momentos de empotramiento. ASENTAMIENTOS: Δc=12mm Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

2EI (2θ A +θ B ) L 2EI M BA = (θ A +2θ B ) L 2EI 3△ M BC = (2θ B +θ C - ) L L 2EI 3△ M CB = (θ B +2θ C - ) L L 2EI 3△ M CD = (2θ C +θ D + ) L L 2EI 3△ M DC = (θ C +2θ D + ) L L 2EI M DE = (2θ D +θ E ) L 2EI M ED = (θ D +2θ E ) L M AB =

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 5

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(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 Además se sabe que: M BA +M BC =0

(9)

M CB +M CD =0

(10)

M DC +M DE =0

(11)

M AB =0

(12)

M ED =0

(13)

Organizando las ecuaciones para Δ=0.012m y L=7m con (12) en (1) y (13) en (8) se obtiene: Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 4EI 2EI θA + θ B =0 7 7 2EI 4EI θA + θ B -M BA =0 7 7 4EI 2EI 9EI -M BC =0 θB + θC 7 7 6125 2EI 4EI 9EI -M CB =0 θB + θC 7 7 6125 4EI 2EI 9EI -M CD =0 θC + θD + 7 7 6125 2EI 4EI 9EI -M DC =0 θC + θD + 7 7 6125 4EI 2EI θD + θ E -M DE =0 7 7 2EI 4EI θ E =0 θD + 7 7 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

(14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que: • (2) y (3) en (9): 2EI 4EI 4EI 2EI 9EI =0 θA + θB + θB + θC 7 7 7 7 6125 2 8 2 9 =0 θ A + θB + θC 7 7 7 6125

(22)

• (4) y (5) en (10): 2EI 4EI 9EI 4EI 2EI 9EI θB + θC + θC + θD + =0 7 7 6125 7 7 6125 2 8 2 θ B + θ C + θ D =0 7 7 7 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

(23)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 • (6) y (7) en (11): 2EI 4EI 9EI 4EI 2EI + θC + θD + θD + θ E =0 7 7 6125 7 7 2 8 9 2 + θ E =0 θC + θD + 7 7 6125 7

(24)

• Despejando θA de (14) y remplazando en (22): 1 8 2 9 - θB + θB + θC =0 7 7 7 6125 2 9 θ B =- θ C + 7 6125

(25)

• (25) en (23): 24 18 8 2 θC + + θ C + θ D =0 49 42875 7 7 7 9 θC =- θ D 26 22750 -

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(26)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 • (26) en (24): 1 9 8 9 2 θD + θD + + θ E =0 13 79625 7 6125 7 26 108 θ D =- θ E 97 84875 -

(27)

• (27) en (21): 52 216 4 θE + θ E =0 679 594125 7 9 θE = 12250 -

(28)

• (28) en (27) θ D =-

9 6125

(29) Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 • (29) en (26):

θC =0

(30)

• (30) en (25):

9 6125 • (31) en (14)

θB =

(31)

9 θ A =12250

(32)

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 CALCULO DE LOS MOMENTOS:

• (32) y (31) en (15): 27 M BA = 42875

(33)

• (31) y (30) en (16): M BC =-

27 42875

(34)

• (31) y (30) en (17): 9 M CB =8575 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

(35)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 • (30) y (29) en (18): 9 M CD = 8575

(36)

• (30) y (29) en (19): M DC =

27 42875

(37)

• (29) y (28) en (20):

27 M DE =42875

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(38)

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 CALCULO DE LAS REACCIONES: Tramo AB: ∑ M =0: -R (7)-M =0 B

AB

BA

27 =0 300125 27 R AB =300125 -R AB +R BA =0 -R AB (7)-

∑ F =0: Y

R BA =

Tramo BC:

∑M

C

=0:

27 300125 - R BC (7)+M BC +M CB =0 27 9 + =0 42875 8575 72 R BC = 300125 R BC +R CB =0

-R BC (7)+

∑ F =0: Y

R CB =-

72 300125

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 • Tramo CD:

∑M

D

=0:

-R CD (7)-M CD -M DC =0 9 27 =0 8575 42875 72 R CD =300125 -R CD +R DC =0

-R CD (7)-

∑F

Y

=0:

R DC =

• Tramo DE:

∑M

D

=0:

72 300125

R ED (7)+M DE =0 27 =0 300125 27 R ED =300125 -R ED +R DE =0 R ED (7)+

∑F

Y

=0:

R DE =

27 300125

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 5 DIAGRAMA DE MOMENTO Y CORTANTE:

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