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December 2, 2017 | Author: anon_858650213 | Category: Subset, Set (Mathematics), Multiplication, Exponentiation, Spanish Language
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Sexto grado de primaria

Conjuntos

1 •

Introducción

En una empresa trabajan los siguientes jóvenes: Ricardo Pedro Walter Benjamín Isaac

Equipo “Los tigres”

Luis Jhony Miguel Samuel Hilario

Por aniversario se programó un partido de fútbol y los señores Zubieta y Márquez formaron dos equipos con los jóvenes trabajadores, los denominaron “Los tigres” y “Los maravillosos”.

Equipo “Los maravillosos”

Ricardo

Luis

Pedro

Jhony

Walter

Miguel

Benjamín

Samuel

Isaac

Hilario

Miguel

Walter

Los equipos se tienen que enfrentar el domingo a las 10 a.m. “Los trigres y los maravillosos”

a)

¿Están bien conformados los equipos?

b)

¿Pueden enfrentarse dos equipos de seis jugadores cada uno?

c)

¿Cuáles son los “jugadores comunes” en ambos conjuntos?

d)

¿Cuáles son los “jugadores propios” que tiene cada conjunto?

e)

¿Es posible que cada integrante del equipo “Los tigres” pueda estrechar la mano a cada uno de los integrantes del equipo “Los maravillosos”? Finalmente se decide enfrentar a dos equipos de 5 jugadores.

f)

¿Pueden haber “jugadores comunes” en ambos conjuntos?

g)

¿Con los “jugadores comunes” se puede formar un conjunto?

h)

Si cada integrante del equipo “Los tigres” estrecha la mano a cada integrante del equipo “Los maravillosos”, ¿cuántas estrechadas de mano se podrá observar? Sexto Grado de Primaria 



Manuel Coveñas Naquiche 



Representación de conjuntos. Ejemplo Representa el conjunto formado por los días de la semana.

Diagrama de Venn

Diagrama entre llaves B 

B = {lunes , martes , miércoles , jueves, viernes , sábado, domingo} o B = {días de la semana}

B = Conjunto de los días de la semana



(Se escribe una coma para separar los elementos cuando son letras o palabras.)

Determinación de conjuntos  Conjunto formado por extensión  C = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 } 

Determinación de conjuntos por extensión El conjunto C se ha formado enumerando sus elementos. Por eso se dice que se ha formado por extensión. Se dice que un conjunto está definido por enumeración o extensión cuando se enumeran uno a uno los elementos que lo forman. Ejemplo:  E = {lunes , martes , miércoles , jueves, viernes , sábado , domingo} El conjunto E se ha formado enumerando sus elementos. Por eso se dice que se ha formado por extensión. Conjunto formado por comprensión C = {números pares}

Determinación de conjuntos por comprensión Todos los elementos del conjunto C tienen la propiedad de ser “números pares” El conjunto C se ha formado por elementos que cumplen esa propiedad.

10 

Sexto Grado de Primaria 

Sexto grado de primaria Se dice que un conjunto está definido por comprensión o propiedad cuando se da un criterio que permite decidir con certeza si un elemento pertenece o no al conjunto.

Ejemplo: E = {Meses del año} Todos los elementos del conjunto E tienen la propiedad de ser “meses del año”. *

Otra forma de expresar por comprensión el conjunto E es: E = {x / x es un mes del año}

Se lee: “E es el conjunto de los elementos x tal que x es un mes del año”.

Conjuntos formados por  extensión

Conjuntos formados por comprensión 

A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

A = {Números dígitos} o A = {x/x es un número dígito}

B = {verano, invierno, otoño, primavera}

B = {Estaciones del año} o B = {x/x es una estación del año}

C = {América, Europa, Asia, África, Oceanía}

C = {Continentes del mundo} o C = {x/x es un continente del mundo}

D = {Pacífico, Atlántico, Índico, Ártico, Antártico}

D = {Océanos del mundo} o D = {x/x es un océano del mundo}

Taller de ejercicios 1 Eje rcic io 1 Para cada caso siguiente debes responder la pregunta o las preguntas que se formulan. a)

4 0

A 3

15

8

10 5 2

Resolución:

12 1

14

6

B = {múltiplos de 2 menores que 16} ¿Qué elementos debemos quitar al conjunto A para que el conjunto que queda sea igual a B?

Sexto Grado de Primaria 

11 

Manuel Coveñas Naquiche 

b)

c)

10

2

9

0

B 7

3

12

u a

C

4 2

o

15

i

e

6

D = {múltiplos de 3 menores que 18} ¿Qué elementos debemos quitar al conjunto B para que el conjunto que queda sea igual a D. Resolución:

d)

F = {x/x es una vocal de la palabra vacaciones} ¿Qué elemento debemos quitar al conjunto C para que el conjunto que queda sea igual a F. Resolución:

e)

u

e

a

i

o

D

E = {x/x es un vocal de la palabra plátano} ¿Qué elementos debemos quitar al conjunto D para que el conjunto que queda sea igual a E. Resolución:

Si al conjunto E le quitas el elemento 5, ¿se convierte en un conjunto vacío? Resolución:

f) Si al elemento 4 del conjunto H lo pasas al conjunto G. I) ¿H se convierte en un conjunto vacío? II) ¿H se convierte en un conjunto unitario? Resolución:

Eje rcic io 2

Dada la operación siguiente: 487 × 95 2 435 4 3 83 4 6 265

12 

Sexto Grado de Primaria 

I.

Determina por extensión los siguientes conjuntos: a) P = {dígitos de la operación} b) Q = {dígitos pares de la opareción} c) R = {dígitos múltiplos de 3 de la operación} Resolución:

Sexto grado de primaria I I . Responde las siguientes preguntas a) Si a cada elemento del conjunto P se resta 1, el conjunto que resulta, ¿continúa siendo un conjunto formado por dígitos? b) Con la suma del multiplicando, el multiplicador y el producto, ¿se puede formar un conjunto unitario?

c)

Eje rcic io 3 Determine por extensión el conjunto: A = {x/x es un número impar 6 < x < 15} y calcule la suma de sus elementos. Resolución:

Eje rcic io 4 Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 3; 7; 2; 1; 0} B = {a; b; c; d; a; a; d; e; b; e; a; d; b} Hallar la diferencia entre el número de elementos del conjunto A y el conjunto B. Resolución:



Si con los elementos de Q y R formas un nuevo conjunto, ¿será igual al conjunto P? Resolución:

Relaciones en conjuntos Mediante este tipo de diagrama podemos representar informaciones sobre los conjuntos. •

U

Todos los elementos que están al interior del rectángulo forman el conjunto universo

U : universo En este caso: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} •

Los elementos pueden pertenecer o no a un conjunto

El símbolo Î se lee: pertenece En este caso:



El símbolo Ï se lee: no pertenece

4 Î A y 8 ÏB 2 Î A y 3 ÏB

Un conjunto es subconjunto de otro, si todos sus elementos también pertenecen a él.

Se puede leer de varias maneras: B está contenido en U B ÌU

B es una parte de U

Ì : Subconjunto; Ë : No es subconjunto En este caso: A Ì U y A Ë B

B está incluido en U B es un subconjunto de U



Observe en el diagrama anterior que los conjuntos A y B son subconjuntos de U .

Sexto Grado de Primaria 

13 

Manuel Coveñas Naquiche  Un conjunto es subconjunto de otro, si todos sus elementos pertenecen también a ese otro conjunto. •

U

Observa el diagrama, los conjuntos P , Q y R son subconjuntos de U. Todos los elementos que están al interior del rectángulo forman el Conjunto Universal (U). En este caso: U = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}



Del diagrama:

P Ì Q    y   R Ë Q 

Taller de ejercicios 2 Eje rcic io 1

Dados los conjuntos:

P = {2; 3; 5; 7; 9; 10; 11} ; Q = {3; 7; 10}; R = {2; 5; 7; 11} Escribe a la derecha de cada proposición (V) o (F), según la proposición sea verdadera o falsa, respectivamente. I) Q Ì P … (    ) I I ) R Ì P … (    ) III) P Ì Q … ( ) IV)

Q Ì R … (    )

V)

P Ì R … (    )

VI)

RÌQ…(

)

Eje rcic io 2 Dado el conjunto: A = {9; 13; 15; 18; 30; 45} Escribe a la derecha de cada proposición (V) o (F), según la proposición sea verdadera o falsa, respectivamente. I) {18; 30} Î A … ( IV) 30 Ì A … ( Eje rcic io 3

)

)

II) {13; 45} Ì A … (

)

V) {13; 15} Ì {9; 13; 15; 18} … (

)

III) 18 Î A … (

)

VI) A Ì A … (

)

Dado el diagrama. Escribe a la derecha de cada proposición (V) o (F), según la proposición sea verdadera o falsa, respectivamente. I) B Ì C ... ( ) III) B Ì C ... ( ) V) B Ì A ... ( )

Atención

Recuerda siempre lo siguiente: • Los símbolos Î y Ï relacionan un elemento con un conjunto. •  Los símbolos Ì y Ë relacionan un conjunto con otro.

14 

Sexto Grado de Primaria 

II) C Ì A ... ( IV) A Ì B ... ( VI) A Ì C ... (

) ) )

Sexto grado de primaria Eje rcic io 4

Dado el diagrama:

Escribe a la derecha de cada proposición (V) o (F), según la proposición sea verdadera o falsa, respectivamente.

I)

{2; 7} ÎR … (

)

IV) {5; 9; 10} Î P … (

)

II) {3; 5; 7} Ì P … (

)

III) 7ÎQ … (

V) {6; 9} Ì Q

)

VI) {3; 4; 8} Ì R … (

…(

) )

Eje rcic io 5 Observa los conjuntos representados en el diagrama y completa usando los símbolos Î; Ï; Ì o Ë según corresponda.

a) P … Q e) {11; 13} … Q

b) Q … R f) {15; 17; 19} … R

c) 7 … P g) 9 … R

d) 13 ... P h) {13} … Q

Eje rcic io 6 Observa los conjuntos representados en el diagrama y completa usando los símbolos Î; Ï; Ì o Ë según corresponda.

a) M … P

b) M … N

c) 18 … P

d) 12 … M

e) {14; 20} … N

f) {8; 140; 12} … M

g) 16 … P

h) {8} … M

Sexto Grado de Primaria 

15 

Manuel Coveñas Naquiche

Eje rcic io 7 En cada caso construye un diagrama para los conjuntos dados. a) A = { 1; 2; 5; 6; 7}

c ) M = {2; 4; 6; 8; 10; 12}

B = { 2; 3; 4; 5; 6; 8}

N ={1; 4; 5; 6; 8; 11} Resolución:

Resolución: • En primer lugar, reconocemos los elementos comunes para los 2 conjuntos. Veamos: A = {1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 7} B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8} • En segundo lugar, ubicamos los elementos comunes en la intersección de los 2 conjuntos, así:

A ={2; 3; 5; 6; 7} B = {3; 4; 5; 6; 8} C = {5; 6; 7; 9}

B

Resolución:

2 5 6

A

d)

Intersección

• En tercer lugar, ubicamos el resto de elementos para cada conjunto en el diagrama. Así:

e) P = {1; 2; 3; 5; 6; 7} Q = {2; 3; 4; 5; 7; 8}

B

1  A



2 5 6

3  4 

R = {3; 5; 6; 7; 9; 10} Resolución:

8

b) E = {6; 7; 8; 9} F ={5; 6; 8; 9; 10; 11} Resolución:

Eje rcic io 8 Considera estos conjuntos: A = {x / x es un número natural entre 4 y 13} C = {x / x es un número par mayor que 7 y menor que 12} B = {x / x es un número impar entre 3 y 12} D = {10}

16 

Sexto Grado de Primaria 

Sexto grado de primaria Completa usando el signo Ì o Ë, según corresponda: a) {8; 10; 12} ... C

f) {8; 10} ... C

k) B ... A

b) C ... A

g) {5} ... A

l) {5; 6; 7; 8} ... A

c) {6; 7; 8} ... A

h) D ... B

m) {8} ... C

d) {5; 7; 9} ... A

i) {5; 6; 7} ... A

n) {4; 6; 8} ... B

e) D ... A

j) D ... C

ñ) {1; 2; 3} ... A

Eje rcic io 9 correctas? I) IV)



Dado el conjunto

2ÎA {4} Î A

II) V)

A = {2; {3}; 4}, ¿cuál de las siguientes proposiciones son {3} Î A {{3}} Ì A

III) VI)

{2; 4} Ì A {2} Ì A

El conjunto vacío y el conjunto potencia El conjunto vacío no tiene elementos y se puede representar de estas dos maneras: f



:

Conjunto vacío

{ } : Conjunto vacío

Observa los subconjuntos que podemos formar con el conjunto A = {1; 2; 3} •

El número de subconjuntos que se ha formado es 8, es decir: 8 = 23



Observa los subconjuntos que podemos formar con el conjunto B = {6; 7}



El número de subconjuntos que se ha formado es 4, es decir: 4 = 22

Si continuamos analizando diferentes casos, veremos que el número de subconjuntos que podemos derivar de un conjunto dado corresponde siempre a una potencia de 2, cuyo exponente es el número de elementos del conjunto. Atención

Ejemplo: Si el conjunto M = {2 ; 4 ; 6} tiene 3 elementos, el número de subconjuntos será: 23 = 8

Si:  A = { ... ; ... ; ... ; ...},  "n" elementos

el número de subconjuntos de A = 2n

Sexto Grado de Primaria 

17 

Manuel Coveñas Naquiche Verificación:  N° de subconjuntos de M =

2 ;  4 ;  6 ;  2 ; 4ql  ;  2 ; 6ql  ;  4 ; 6ql  ;  2 ; 4 ; 6ql q  ;  l kpkpkpl  q  144244 3 1444424444 3 14243 3 

Subconjuntos con 1 elemento

Subconjuntos Subconjuntos con 2 elementos con 3 elementos

Subconjuntos sin elementos

P(M) = {{2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6}; { }}

\

El conjunto formado por todos los subconjuntos de M recibe el nombre de conjunto potencia de M. El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Taller de ejercicios 3 Eje rcic io 1 A 

Observa los conjuntos siguientes: B 

C

I) Si n(A) significa “el número de elementos del conjunto A” n(B) significa ”el número de elementos del conjunto B” n(C) significa “el número de elementos del conjunto C” responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto vale n(A) + n(B) + n(C)? b) ¿Quién es mayor “n(A) + n(B) ” o “n(C) + 1”? c) ¿Quién es menor “n(A) + n(B) + n(C)” o “n(A) · n(B) · n(C)”? d) ¿Es cierto que [n(A)]2 + [n(B)]2 + [n(C)]2 es igual que n(A) · n(B) · n(C)? II) Si n[P(A)] significa “número de elementos de la potencia de A” n[P(B)] significa “número de elementos de la potencia de B” n[P(C)] significa “número de elementos de la potencia de C” responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? b) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de B?

18 

Sexto Grado de Primaria 

Sexto grado de primaria

c) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de C? d) ¿El n[P(A)] + n[P(B)] es igual que el n[P(C)]? e) Si el conjunto C tuviera un elemento más, ¿sería 2n(A) + n(B) igual que el n[P(C)]? f) ¿Es cierto que 2n(A) + n(B)-1 es igual que 2n(C)? Eje rcic io 2

Si el conjunto potencia de A tiene 32 elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto A?

Eje rcic io 3

Si el conjunto potencia de B tiene 256 elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto B?

Eje rcic io 4 De acuerdo al diagrama.

Calcular: a) n[P(A)] – n[P(B)] b) n[P(B)] + n[P(C)]



Intersección de conjuntos  La intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a  esos dos conjuntos a la vez. Ç : Intersección  • 

U

Conjuntos disjuntos son los que no tienen ele­  mentos comunes.  La intersección de dos conjuntos disjuntos es  el conjunto vacío. f : conjunto vacío  ;  {  } : conjunto vacío  Ejemplo: 

A Ç B = {3; 4; 5} 



P Ç Q = f P y Q  son disjuntos 

Sexto Grado de Primaria 

19 

Manuel Coveñas Naquiche 

Taller de ejercicios 4 Eje rcic io 1 Las notas que obtuvieron Susana y Rebeca el año pasado,en matemática, en los cuatro bimestres, fueron: Susana: 12 ; 10 ; 16 ; 14 Rebeca: 09 ; 13 ; 12 ; 16 Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son las notas comunes? b) Si aumentas un punto a todas las notas de Rebeca, ¿cuáles son las nuevas notas comunes? c) ¿Si disminuyes tres puntos a todas las notas de Susana, ¿cuáles son las nuevas notas comunes? Ejercicio 

2  Con respecto a los diagramas I, II y III mostrados:  F A 





4  2 









3  (I) 







10  9 

(II) 

11  12 

13

(III) 

responde a las preguntas siguientes: a) ¿En cuál de los diagramas hay dos conjuntos disjuntos? b) ¿En cuál o cuáles de los diagramas, los conjuntos tienen elementos comunes? c) ¿En cuál o cuáles de los diagramas, un conjunto es subconjunto de otro? d) ¿Puede la intersección de dos conjuntos ser igual a uno de ellos? Ejercicio 

3  Observa el diagrama:  R

P  Q  5 

7  8 



12  9  10 13  14  11 

15  16  17 

y expresa por extensión cada conjunto siguiente:  a) P = { 



e) Q Ç R = { 

b) Q = { 



c) R = {  d) P Ç Q = { 

20 

}  } 

Sexto Grado de Primaria 



f) P Ç R = {  }  g) P Ç Q Ç R = { 



h) (P Ç Q) Ç Q = { 



Sexto grado de primaria 

Ejercicio 4

Observa el diagrama:

M  N 

15 

P

b) N = {

21 

c) P = {

7  11 17  9 13  23  19 



a) M = {

} } }

d) M Ç N = {

}

e) N Ç P = {

5

}

f) M Ç P = { y expresa por extensión cada conjunto siguiente: Ejercicio 5

}

g) M Ç N Ç P = {

}

h) (M Ç N) Ç (N Ç P) = {

}

Dados los conjuntos:

A = {(2n + 1) Î ¥ /1 < n < 6} ; B = {x/2 < x < 8; x es impar} Calcule A Ç B



Unión de conjuntos La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a esos dos conjuntos.

È : Unión

E È F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Taller de ejercicios 5 Eje rcic io 1 juntos.

En cada diagrama siguiente, pinta la región correspondiente a la unión de los con-

a)

b) A

B 1 2 3 4

5 6 7

8 9 10

Sexto Grado de Primaria 

21 

Manuel Coveñas Naquiche

c)

P

Q

e)

f)

g)

Eje rcic io 2

E

h)

Dados los conjuntos:

P = {41; 43; 45; 47; 49} y Q= {40; 42; 44; 46; 48} hallar P È Q y graficar dicha operación en un diagrama de Venn - Euler. Eje rcic io 4

d)

Eje rcic io 3

Dados los conjuntos:

M = {5; 7; 6; 8; 9; 11} y N = {9; 10; 7; 11; 8; 12; 13; 14} hallar M È N y graficar dicha operación en un diagrama de Venn - Euler.

Dados los conjuntos:

R = {7; 9; 11; 13} y S = {3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19} hallar R È S y graficar dicha operación en un diagrama de Venn - Euler. Eje rcic io 5

Dados los conjuntos:

T = {9; 10; 11; 12} Q = {11; 12; 13; 15; 17; 19; 21; 23} V = {19; 21; 23; 25; 27; 28; 30}

22 

Sexto Grado de Primaria 

Sexto grado de primaria 

hallar y graficar: a) T È Q d) T È Q È V b) Q È V e) (T Ç Q) È (Q Ç V) c) T È V f) (T È Q) Ç V

Eje rcic io 6

g) (Q È V) Ç T h) (T È V) Ç Q i) (T Ç Q Ç V) È ( Q Ç V)

Dado el siguiente gráfico:

Determinar la suma de los elementos de (A Ç B) È (A È C)



Propiedades de la intersección y de la unión de conjuntos Observa estos casos especiales de la intersección y de la unión de conjuntos.

La intersección de un conjunto A con un subconjunto suyo B es el subconjunto B.

La intersección de un conjunto A con sí mismo es el conjunto A.

La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío es el conjunto vacío.

AÇB=B

AÇA=A

AÇf=f

Sexto Grado de Primaria 

23 

Manuel Coveñas Naquiche

f La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B es el conjunto A.

La unión de un conjunto A con sí mismo es el conjunto A.

La unión de un conjunto A con el conjunto vacío es el conjunto A.

AÈB=A

AÈA=A

AÈf=A



Diferencia de conjuntos La diferencia de dos conjuntos (A - B) es la operación que nos permite obtener un nuevo conjunto que agrupe a todos los elementos de A que no pertenecen a B. Ej emplo

1

Si 

Si A = {3; 5; 7; 8} y B = {5; 7; 9; 10}

A = {3; 5; 7; 8}  B= {5; 7; 9; 10} 

A - B = {3 ; 8} Atención

Los elementos de la intersección no se consideran parte de la diferencia.

Ej emplo Si

A - B = {3 ; 8}

2

M = {2; 3; 5; 7; 8} y N = {3; 7; 9; 11} halla:

I) M - N

;

II) N - M

Resolución: M = {2; 3; 5; 7; 8} N = {3; 7; 9; 11} Atención

Recuerda que: M-N¹N­M

24 

Sexto Grado de Primaria 

M - N ={2; 5; 8}

N - M ={9; 11}

Sexto grado de primaria Ej emplo

3

Si W = {x / x es un número impar menor que 11} y Z = {6; 7; 9; 11; 13} hallar:

I) W - Z

;

II) Z - W

Resolución: • Del conjunto W = {x / x es número impar menor que 11}, hallamos cada uno de los elementos, veamos: W = {1; 3; 5; 7; 9} Luego :



W = {1; 3; 5; 7; 9} 7 

Z = {6; 7; 9; 11; 13}

W - Z = {1; 3; 5} 



Z - W = {6; 11; 13} 

Representación gráfica de la diferencia B A

A–B son

Los conjuntos A y B son no disjuntos . Ej emplo

4

Atención 

Dados los conjuntos

A = {1; 3; 6} Ù B = {2; 4} ; hallar

A– B

El símbolo lógico Ù se lee y.

Resolución: Como se observa los dos conjuntos son disjuntos, o sea, no hay ningún elemento en común. Luego: A – B = A ®

A – B = {1; 3; 6}

Graficando:

Ej emplo

5

Sean los conjuntos

A = {2; 4; 5; 6; 7} Ù B = {5; 6} ; hallar A – B Sexto Grado de Primaria 

25 

Manuel Coveñas Naquiche Resolución: A = {2; 4; 5; 6; 7}

®

B ={5;6}

A – B = {2; 4; 7} 123 Son los elementos que sobran en el conjunto A.

Graficando: Atención

En este caso el conjunto B está incluido en el conjunto A. Ej emplo

6

Sean los conjuntos

A = { x Î ¥ / 3 £ x < 7} Ù B = { x Î ¥ /2 < x £ 6}, hallar: A – B Resolución: De la expresión: 3 £ x < 7, los valores que toma x son: 3; 4; 5 y 6. Entonces: A = {3; 4; 5; 6} De la expresión: 2 < x £ 6; los valores que toma x son: 3; 4; 5 y 6 Entonces: B = {3; 4; 5; 6} Graficando:

• •

Atención

A–B=f={

}

Taller de ejercicios 6 Eje rcic io 1 En una feria artesanal los comerciantes Francisco y Eulogia exhiben los siguientes productos: Francisco: Sombreros, ponchos, mantas, chalinas, panes. Eulogia: Chicha de jora, ponchos, collares, chalinas, panes, quenas. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son los productos comunes que exhiben ambos comerciantes? b) ¿Cuáles son los productos que solamente vende Francisco? c) ¿Cuáles son los productos que solamente vende Eulogia? d) Si ambos juntaran sus productos, ¿cuántos productos diferentes exhibierían? Eje rcic io 2

Si F = {sombreros, ponchos, mantas, chalinas, panes} E = {chicha de jora, ponchos, collares, chalinas, panes, quenas} a) ¿A qué es igual el conjunto diferencia “F - E”?

b) ¿A qué es igual el conjunto diferencia “E - F”?

26 

Sexto Grado de Primaria 

Sexto grado de primaria

Eje rcic io 3

En cada diagrama siguiente pinta la región correspondiente a la diferencia indicada en el rectángulo: A-B B-A A B B 4 4 1 2 2 5 5 3 6 6

A 1 3

C-D C

5

11 12

7 9

D-C 13

D

C

5

11 12

7

15

9

17

E-F E

12

E 15 9

Observa el diagrama:

Q 8 10

19

16 23 14

20

17

12

15

11

a) P = { b) Q = {

P

15

F

11

Eje rcic io 4

D

F-E

F 9

13

R 27 30 36

12

}

c) R = {

}

d) P - Q = {

}

e) Q - P = { f) Q - R = { g) R - Q = {

y expresa por extensión cada conjunto siguiente:

}

} } }

h) P - R = {

}

Eje rcic io 5

Dados los conjuntos : A = {2; 3; 6} Ù B = {1; 4; 5; 7; 8}; hallar: B – A

Eje rcic io 6

Sean los conjuntos : A = {1; 3; 6} Ù B = {1; 2; 3; 5; 6}; hallar B – A

Ejercicio 7

Sean los conjuntos : A = { x Î ¥ /5 < x < 10} Ù B = { x Î ¥ /6 £ x £ 9}; hallar : B – A

Sexto Grado de Primaria 

27 

Manuel Coveñas Naquiche 



Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A D B es la operación que corresponde a la unión de (A - B) y (B - A) A D B = (A - B) È (B - A) Ej emplo 1 Si A = {2; 3; 5; 6} y B = {3; 5; 7; 8; 9}, buscamos ambas diferencias y luego hacemos la unión de los conjuntos encontrados.

A D B= {2; 6; 7; 8; 9} I)

A - B = {2; 6}

II)

B - A = {7; 8; 9} Luego : A - B È B - A = 2 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 144 42444 3

a  f  a  f  l 

\



A D B = {2; 6; 7; 8; 9}

Ej emplo 2 Dados los conjuntos: A = {x / x es un número par mayor que 3, pero menor que 16} B = {3; 4; 6; 7; 9; 10; 11}. Halla: A D B Resolución: Del conjunto A ={x / x es un número par mayor que 3, pero menor que 16}, hallamos cada uno de sus elementos, veamos: A = {4; 6; 8; 10; 12; 14} Luego:

R  A = l 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14q  S  B = k  3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11p T 

Ej emplo 3 Dados los conjuntos:

\

A D B = {8; 12; 14; 3; 7; 9; 11}

P = {x / x es un número natural menor que 12 y mayor que 3} y Q = {x / x es un número natural mayor que 7 y menor que 16}

28 

Sexto Grado de Primaria 

Halla : P D Q

Sexto grado de primaria Resolución: • Del conjunto P = {x / x es un número natural menor que 12 y mayor que 3}, hallamos cada uno de sus elementos, veamos: P = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} • Del conjunto Q = {x / x es un número natural mayor que 7 y menor que 16}, hallamos cada uno de sus elementos, veamos: Q = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}

Luego:

\

P D Q = {4; 5; 6; 7; 12; 13; 14; 15}

Ej emplo 4 Sean los conjuntos: A = { x Î ¥  /3 £ x < 9} Ù B = { x Î ¥ /4 < x £ 10}; hallar A D B. Resolución: • De la expresión: 3 £ x < 9 ; los valores que toma “x” son: 3; 4; 5; 6; 7 y 8. Þ

A = {3; 4; 5; 6; 7; 8}

• De la expresión: 4 < x £ 10 ; los valores que toma “x” son: 5; 6; 7; 8; 9 y 10 Þ

B = {5; 6; 7; 8; 9; 10}

B Luego:

A = {3; 4; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } B = { 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9; 10}

3 A 4

\

A D B = {3; 4; 9; 10}

5 6 7 8

9 10

Rpta.

Sexto Grado de Primaria 

29 

Manuel Coveñas Naquiche Recuerda que  Donde:  A D B = (A – B) È (B – A)  ó  A D B = (A È B) – (A Ç B)

Ej emplo 5

Graficando:

Sean los conjuntos:

A = {1; 4; 6} Ù B = {1; 4; 6; 7} ; hallar: ADB. Resolución A = {1; 4; 6}

® B = {1; 4; 6; 7}

A–B=f={ } B – A = {7}

Otra forma: A = {1; 4; 6}

Luego: ADB = (A – B) È (B – A) f

A È B = {1; 4; 6; 7}

B = {1; 4; 6; 7} B Ç A = {1; 4; 6} Luego: ADB = (AÈB) – (AÇB)

È {7} Rpta.

®

®

ADB = {7}

\

®

®

ADB =

®

ADB = {1; 4; 6; 7} – {1; 4; 6} ADB = {7}

Taller de ejercicios 7 Eje rcic io 1

Observa el diagrama:

luego, expresa por extensión cada conjunto siguiente: a) P = {

}

b) Q = {

}

c) P - Q = {

}

d) Q - P = {

}

e) P D Q = {

30 

Sexto Grado de Primaria 

}

Rpta.

Sexto grado de primaria

Eje rcic io 2

Observa el diagrama:

Eje rcic io 3

Observa el diagrama:

luego, expresa por extensión cada conjunto siguiente: a) R = { }

luego, expresa por extensión cada conjunto siguiente: a) T = { }

b) S = {

b) U = {

}

}

c) R - S = {

}

c) T - U = {

d) S - R = {

}

d) U - T = {

e) R D S = { Eje rcic io 4

}

} }

e) T D U = {

}

Dados los conjuntos:

A = {x/x es un número natural mayor que 18 y menor que 24} B = {x/x es un número natural mayor que 15 y menor que 21} hallar A D B Eje rcic io 5 Sean los conjuntos: P={ /2 < x £ 7} Ù B = { x Î ¥ /5 £ x < 10}; hallar: PDQ. Eje rcic io 6

Sean los conjuntos:

A = {2; 4; 5; 7} Ù B = {1; 2; 3; 4; 5; 7}; hallar ADB.

Ejercicios resueltos sobre teoría de conjuntos Eje rcic io 1 Si: A={x/x es una letra de la palabra HONESTIDAD} B={x/x es una letra de la palabra CARIDAD} halla n(A Ç B) Resolución: · n(A Ç B) significa “número de elementos de A intersección B”. · Expresamos cada conjunto por extensión: A={h, o, n, e, s, t, i, d, a} B={c, a, r, i, d,} Recuerda Þ A Ç B ={i, d, a}

b  g

\ n A ÇB = 3

Si en un conjunto hay elementos repetidos, estos se escriben una sola vez. Ej. {a, a, a, b, b,}={a, b}

Eje rcic io 2

Si:

A={x/x es una letra de la palabra SOLIDARIDAD} B={xÎA/x es una letra de la palabra LIBERTAD} determina: n(A) + n(B) Resolución: · Expresamos cada conjunto por extensión: A={s, o, l, i, d, a, r,} Þ n(A) = 7 · Las letras de la palabra LIBERTAD son: l,

i,

b,

B  B  ÎA ÎA

e,

r,

t,

B  ÎA

a,

d,

B  B ÎA ÎA

Sexto Grado de Primaria 

31 

Manuel Coveñas Naquiche De ellas escogemos las que pertenecen al conjunto

B

A, para formar el conjunto B. B={l , i , r , a , d} Þ n(B) = 5 \ n(A) + n(B) = 7 + 5 = 12

Eje rcic io 3

Dados los conjuntos:

A={4; 5; 7; 9; 11; 16} B={7; 8; 9; 10} C={7; 9; 16} Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. f Ì A II.

BÌA

III. C Ì A IV. n(B Ç C ) = 2 Resolución: I. f Ì A (V), porque el conjunto vacío está incluido en todo conjunto. II. B Ì A (F), porque en el diagrama vemos que el conjunto B no está incluido en el conjunto A:

A

5

4 11 16

B

7

8

9

10

III. C Ì A (V), porque todos los elementos de C son también elementos de A, como se aprecia en el diagrama:

A

5 4 7

C

9 16

11 IV. n(B Ç C ) = 2 (V) De acuerdo al diagrama vemos que B Ç C = {7 ; 9} luego, es verdadero afir-mar que n(B Ç C ) = 2 , ya que en la intersección hay 2 elementos.

32 

Sexto Grado de Primaria 

C 8

7

10

9

16

Eje rcic io 4 Si: A={4; 5; 5; 5; 7} B={0; f ; 2} C={0; 1; 2; 2; 2; 4; 4} calcula n(A) + n(B) + n(C) Resolución: A={4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 7}={4 ; 5 ; 7} Þ n(A)=3 B={0; f ; 2} Þ n(B)=3 C={0;1; 2; 2; 2; 4; 4}={0; 1; 2; 4} Þ n(C)=4 \ n(A) + n(B) + n(C)=3 + 3 + 4= 10 Eje rcic io 5 Dado el conjunto E: E={{2; 3}; 4; 2; {5}} Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. {4}Î E

II. {5}Î E

III. 2 Ì E

IV. {2; 3}Î E

V. {4; 2}ÎE

VI. {4; 2} Ì E

Resolución: I. {4}Î E (F), porque {4} no es elemento del conjunto E. Lo correcto sería afirmar que 4 Î E, ya que 4 sí es elemento de E. II. {5}ÎE (V), porque {5} es un elemento de E. III. 2 Ì E (F), porque el símbolo Ì se usa para relacionar un conjunto con otro conjunto. Lo correcto hubiera sido afirmar {2} Ì E. IV. {2; 3}Î E (V), porque {2; 3} es un elemento de E. V. {4; 2}ÎE (F), porque {4; 2} no es un elemento de E. Lo correcto sería afirmar que {4; 2} Ì E .

Sexto grado de primaria A

VI. {4; 2} Ì E (V). Es verdadero porque los elementos del conjunto {4; 2} son también elementos del conjunto E. Eje rcic io 6

4

C

9

6 7

1

15 13

11

18

b  g b  g

determina el conjunto A Ç B È B Ç C Resolución: Del gráfico: B

A 3 1 4

6

9

7

11

A Ç B = {6 ; 7}

13

C

B 6 7

9

15 13

B Ç C = {13} 18

11

Luego:

A Ç Bg È b  B Ç Cg = {6 ; 7 ; 13} b 

Si A È B ={1; 3; 4; 5; 7; 9} A Ç B ={3; 4; 5} A - B ={1; 7} calcula n(A) + n(B) + n(B - A) Resolución: Graficamos escribiendo primero los elementos de la intersección: A Ç B B A Eje rcic io 7

3 4 5

Enseguida agregamos los elementos de A - B, es decir, los elementos que son únicamente de A. A

B

1

3 4 7

4 7

B

A 3

1

Del gráfico:

U

B 3

5

Finalmente agregamos los elementos que faltan para completar A È B

9

5

De acuerdo al gráfico A={1; 3; 4; 5; 7} Þ n(A) = 5 B={3, 4; 5; 9} Þ n(B) = 4 B - A={9} Þ n(B - A) = 1 \ n(A) + n(B) + n(B - A) = 10 Eje rcic io 8

Sean los conjuntos:

l  q B = l 3 x + 1 / x Î IN Ù 2 < x < 7q C = l 2 x + 3 / x Î IN Ù 2 < x < 7q Indica la cantidad de elementos del conjunto: A Ç Bg È b  A Ç Cg b  A = x / x Î IN Ù 2 < x < 17

Resolución: Escribiendo por extensión: · A={3; 4; 5; ....; 15; 16} · Los elementos de B son de la forma (3x+1) donde 2< x 29 – 12

12 + n > 10

m – 6 < 17

son inecuaciones. Resolver una inecuación es hallar su conjunto solución. Por ejemplo si queremos resolver la primera inecuación: x + 7
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