Control Procesos

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Lección 1: Transformada z de sistemas en tiempo discreto L. Moreno, S. Garrido Dpto. Ing. de Sistemas y Automática Universidad Carlos III Madrid

Enero 2012

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Índice de contenidos

1

Señales de tiempo discreto

2

Propiedades de las señales de tiempo discreto

3

Definición y propiedades de la transformada z

4

Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales de tiempo discreto Señales en t. continuo y en t. discreto.

Una señal x(t) se dice que es de tiempo continuo si t es una variable continua, y de tiempo discreto cuando la señal x(t) sólo está definida en ciertos instantes discretos de tiempo, que con frecuencia se representa por secuencias de números denotadas por {xk } o bien x(k).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales de tiempo discreto

Las señales de tiempo discreto pueden corresponder a procesos que son implícitamente discretos o bien corresponder a señales de tiempo continuo que se han muestreado. x(t0 ), x(t1 ), . . . , x(tk ), . . . Se representan x(0), x(1), . . . , x(k), . . . cuando se muestrea con periodo fijo T x(tk ) = x(kT ) = x(k)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales básicas

Impulso unitario. A veces denominada muestreo unitario (unit sample), que se denota por δ(k) y cuya definición es:  1 si k = 0 δ(k) = (1) 0 en otro caso

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales básicas Escalón unitario. En inglés denominada (unit step), se denota por u(k) y cuya definición es:  1 si k > 0 u(k) = (2) 0 en otro caso Esta señal se puede interpretar como una suma de impulsos unitarios desplazados en el tiempo en la siguiente forma u(k) =

k X

δ(n)

(3)

n=0

Alternativamente la señal impulso puede escribirse como la diferencia entre dos escalones. Esta señal se puede interpretar como una suma de impulsos unitarios desplazados en el tiempo en la siguiente forma δ(k) = u(k) − u(k − 1) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(4)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales básicas

Exponencial. La secuencia exponencial se define como: x(k) = ak

(5)

donde a puede ser un número real o complejo. Una de un particular interés es cuando a = e jω0 , donde ω0 es un número real. En este caso se tiene una exponencial compleja e jkω0 = cos(kω0 ) + j sin(kω0 )

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(6)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales Duración de la señal

Las señales de tiempo discreto pueden clasificarse por su duración: Secuencia de longitud finita. Es cuando los valores de la secuencia son nulos fuera de un intervalo finito [N1 , N2 ]. Secuencia de longitud infinita. Es cuando los valores de la secuencia no son finitos en longitud, como por ejemplo el escalón unitario o la secuencia exponencial. Secuencia unilateral. Es cuando todos los valores de la secuencia son cero para un cierto valor de k < n0 o k > n0 , en el primer caso seria lateral derecha y en el otro lateral izquierda. Secuencia bilateral. Es cuando la secuencia extiende sus valores hasta el infinito a derecha e izquierda.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales Otras propiedades de la señal

Las señales de tiempo discreto pueden ser: Periódicas o aperiódicas. Una señal se dice que es periódica cuando existe un entero real positivo N tal que x(k) = x(k + N)

(7)

Es decir la secuencia se repite cada N muestras, a N se le denomina periodo de la señal y es el número positivo más pequeño para el que se verifica 7. Pares o impares. Dependiendo del tipo de simetría que tienen se denominan secuencias pares o impares. Se dice que la secuencia es par cuando x(k) = x(−k) y se dice que es impar cuando x(k) = −x(−k) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales Otras propiedades de la señal (cont.)

Las señales de tiempo discreto pueden ser también: Simétrica y antisimétrica conjugada. Se dice que una señal es simétrica conjugada cuando x(k) = x ∗ (−k) y se dice que es antisimétrica conjugada cuando x(k) = −x ∗ (−k) .

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales Manipulaciones básicas

Desplazamiento temporal. Se dice que una señal se desplaza n0 muestras a la derecha cuando y (k) = x(k − n0 ) Si −n0 < 0 se denomina retardo y si −n0 > 0 se denomina adelanto.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales Manipulaciones básicas

Inversión temporal. Se dice que una señal se invierte en el tiempo cuando x(k) = x(−k)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Señales Manipulaciones básicas

Escalado temporal. Se dice que una señal se escala en el tiempo cuando se multiplica o divide por N el coeficiente temporal  x( Nk ) if k = 0, ±N, ±2N, . . . y (k) = (8) 0 en otro caso

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Descomposición de señales

Utilizando la señal impulso unitario una señal puede ser descompuesta en una suma de impulsos desplazados en el tiempo y ponderados x(k) = . . . + x(−1)δ(k + 1) + x(0)δ(k) + x(1)δ(k − 1) + x(2)δ(k − 2) + . . . que puesto en una notación más compacta x(k) =

∞ X

x(n)δ(k − n)

n=−∞

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(9)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformada z unilateral Definición

Dada una secuencia de números x(k), se define la transformada z de dicha secuencia como Definición de Transformada z unilateral X (z) =

∞ X

x(k)z −k

k=0

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(10)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformada z bilateral Definición

Dada una secuencia de números x(k), se define la transformada z bilateral de dicha secuencia como X (z) =

∞ X

x(k)z −k

−∞

La transformada z bilateral y la unilateral son equivalentes cuando x(k) = 0 para todo k < 0.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(11)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Operador transformada z Definición

Es muy usual considerar la transformada z como un operador que transforma una secuencia x(k), en una función X (z), lo que se representa simbólicamente de la forma X (z) = Z[x(k)]

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(12)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformada z unilateral. Relación con Laplace La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada x(t)

∞ X

δ(t − nT ) =

n=−∞

∞ X

x[n]δ(t − nT )

n=−∞

donde x(t) es la señal continua muestreada, x[n] = x(nT ) la n-ésima muestra, T el periodo de muestreo, y con la sustitución z = e sT . Del mismo modo, la TZ unilateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Región de convergencia Se denomina región de convergencia al rango de valores de la variable compleja z para los que la transformada z converje. Ejemplo: Dada la secuencia x(k) = ak u(k), donde u(k) es la secuencia escalón unitario y a es un valor real, la transformada z de dicha secuencia es X (z) = Z[x(k)] =

∞ X (az −1 )k = k=0

1 1 − az −1

(13)

o multiplicando el numerador y denominador por z X (z) =

z z −a

(14)

y X (z) converge en la región del espacio dónde |az −1 | < 1, es decir dónde |z| > |a|. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Función racional de z

En el caso anterior la transformada z se podía expresar en función de z −1 o de z. Cada tipo de expresión tiene diferente utilidad, si bien la segunda expresión es una función racional de z y al igual que en la transformada de Laplace puede ser caracterizada por sus polos (raíces del polinomio del denominador) y ceros (raíces del polinomio del numerador).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Región de convergencia Regiones de convergencia para el ejemplo anterior .

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la Región de Convergencia Asumiendo que X (z) es una función racional de z. 1 La RdC no contiene ningún polo. 2 Si x(k) es una secuencia finita (es decir si x(k) = 0 excepto en un cierto intervalo n1 ≤ k ≤ n2 ) y X (z) converje para algún valor de z, entonces la RdC es el plano-z excepto posiblemente los puntos z = 0 y z = ∞. 3 Si x(k) es una secuencia en la parte derecha con valor x(k) = 0 para k < n2 < ∞ y X (z) converje para algún valor de z, entonces la RdC es de la forma |z| > rmax o ∞ > |z| > rmax donde rmax es la magnitud menor de cualquiera de los polos de X (z). Es decir la RdC es el exterior del círculo |z| = rmax en el plano-z con la posible excepción de z = ∞. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la Región de Convergencia Continuación 1

Si x(k) es una secuencia en la parte izquierda con valor x(k) = 0 para k > n2 > −∞ y X (z) converge para algún valor de z, entonces la RdC es de la forma |z| < rmin o 0 < |z| < rmin

2

donde rmax es la magnitud menor de cualquiera de los polos de X (z). Es decir la RdC es el interior del círculo |z| = rmin en el plano-z con la posible excepción de z = 0. Si x(k) es una secuencia bilateral (es decir es un secuencia infinita) y X (z) converje para algún valor de z, entonces la RdC es de la forma r1 < |z| < r2 donde r1 y r2 son las magnitudes de los dos polos de X (z). La RdC es el anillo entre los círculos de radio |z| = r1 y |z| = r2 en el plano-z que no contiene ningún polo. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Región de Convergencia Transformada z unilateral

La transformada z unilateral tiene muchas propiedades importantes, algunas de las cuales son similares en las transformada z bilateral (linealidad, escalado en el dominio z, expansión en el tiempo, conjugación y diferenciación en el dominio z) y otras difieren de forma significativa. Entre las que difiere de forma significativa está la la Región de Convergencia, que en el caso de las transformadas z unilaterales siempre es el exterior de un círculo. Por ejemplo la RdC para una función racional de la transformada unilateral está siempre fuera del polo más externo. En el campo de control nos interesan fundamentalmente las transformadas unilaterales.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformadas z unilaterales de algunas funciones

Ejemplo 1 La transformada z de la función impulso unitario δ(k) que se define como   0, k > 0 1, k = 0 f (k) = δ(k) = (15)  0, k < 0 se obtiene como F (z) = Z[δ(k)] =

∞ X

δ(k)z −k = z −0 = 1

k=0

para todo z.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformadas z unilaterales de algunas funciones Ejemplo 2 La transformada z de la función escalón unitario u0 (k) que se define como  1, k > 0 f (k) = u0 (k) = (16) 0, k < 0 se obtiene como F (z)

= =

Z[u0 (k)] = 1+z

−1

+z

∞ X

1z −k =

∞ X

z −k

k=0

k=0

−2

z 1 = −1 1−z z −1

L. Moreno, S. Garrido

+ ... =

Curso de Ing. de Control II

(17)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformadas z unilaterales de algunas funciones Ejemplo 3 La transformada z de la función exponencial f (k) = e −αk para k ≥ 0 se obtiene como

F (z)

∞ X

=

Z[e −αk ] =

e −αkT z −k

=

1 + e −αT z −1 + e −α2T z −2 + . . . 1 1 − e −αT z −1 z z − e −αT

k=0

= =

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(18)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Ejemplo 4 Calcularla transformada z unilateral de la función rampa unitaria: t, t ≥ 0 x(t) = 0, t < 0 Tener en cuenta que la función se puede reescribir teniendo en cuenta el periodo de muestreo: x(kT ) = kT , k = 0, 1, 2... Solución: Aplicando la definición de la transformada y la fórmula que permite obtener el sumatorio de la serie resultante, la transformada sería: X (z) =

∞ X

x(kT )z −k =

k=0

kTz −k =T

k=0

X (z) = T (z X (z) = T

∞ X

−1

+ 2z

−2

∞ X k=0

+ 3z

−3

+ ...)

Tz z −1 = (1 − z −1 )2 (z − 1)2

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

kz −k

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformadas z unilaterales de algunas funciones En la tabla se pueden ver las transformadas de algunas de las funciones más usuales. Tabla de transformadas z f(k) δ(k) δ(k − n) u0 (k) ak k k +1 sin(αk) cos(αk)

L. Moreno, S. Garrido

F(z) 1 z −n z z−1 z z−a z (z−1)2 z2 (z−1)2 (sin α)z z 2 −(2 cos α)z+1 z 2 −(cos α)z z 2 −(2 cos α)z+1

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la transformada z unilateral

Linealidad. Una propiedad muy importante de la transformada z es que es un operador lineal. Dadas dos funciones (secuencias) f (k) y g (k) y una constante α arbitraria se verifica que: Z[f (k) + g (k)] = Z[f (k)] + Z[g (k)]

(19)

Z[αf (k)] = αZ[f (k)] = αF (z)

(20)

y

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la transformada z unilateral Traslación real o temporal La transformada z de una secuencia f (k) retardada n ciclos en el tiempo f (k − n) se puede expresar de la siguiente manera: Z[f (k − n)] = z −n F (z)

(21)

Z[f (k + 1)] = zF (z) − zf (0)

(22)

y cuando es adelantada

Z[f (k + n)] = [z n F (z) −

n−1 X

f (k)z n−k ]

k=0

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(23)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la transformada z unilateral

Traslación compleja Si f (t) tiene la transformada z, F (z), entonces la transformada z de e −at f (t) se define como F (ze aT ), lo que se conoce como teorema de la traslación compleja. Z[e −at f (t)] =

n−1 X

f (kT )e −akT z −k =

k=0

n−1 X

f (kT )(ze aT )−k = F (ze aT )

k=0

(24)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la transformada z unilateral

Teorema del valor inicial Si la transformada z de la función f (k) es F (z), y si el lim F (z) existe, z→∞

entonces el valor inicial f (0) de f (k) viene dado por f (0) = lim f (k) = lim F (z) k→0

L. Moreno, S. Garrido

z→∞

Curso de Ing. de Control II

(25)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la transformada z unilateral

Teorema del valor final Si la transformada z de la función f (k), con f (k) = 0 para k < 0, es F (z), y dicha función F (z) tiene todos sus polos dentro del círculo unitario, con la posible excepción de un polo simple en z=1. Entonces el valor final de f (k), puede obtenerse como lim f (k)

k→∞

= =

L. Moreno, S. Garrido

lim [(1 − z −1 )F (z)]

z→1

lim [

z→1

z −1 F (z)] z

Curso de Ing. de Control II

(26)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la transformada z unilateral

Multiplicación por ak Si la transformada z de la función f (k) es F (z), entonces la transformada z de ak f (k) se obtiene como Z[ak f (k)] = F (a−1 z) = F (z/a)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(27)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la transformada z unilateral Convolución real Sean F1 (z) y F2 (z) las transformadas z de las funciones f1 (t) y f2 (t), respectivamente, entonces F1 (z)F2 (z) = Z[

N X

= Z[f1 (k) ∗ f2 (k)]

f1 (k)f2 (N − k)]

k=0

= Z[

N X

f2 (k)f1 (N − k)]

k=0

En esta expresión el símbolo ∗ denota la operación convolución en el dominio del tiempo (discreto). Una excepción a este caso se produce si una de las dos funciones es el retardo integral e NTs , ya que en este caso Z[e −NTs F (s)] = Z[e −NTs ]Z[F (s)] = z −N F (z) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(28)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la transformada z unilateral Primera diferencia La transformada z unilateral de la primera diferencia entre dos señales f (k) − f (k − 1) es Z[f (k) − f (k − 1)] = (1 − z −1 )F (z) =

z −1 F (z) z

Sumatorio La transformada z unilateral de la suma de una secuencia de señales f (k) viene dada por N X Z[ f (k)] = n=0

1 z F (z) = F (z) −1 1−z z −1

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de la transformada z unilateral

Diferenciación en el campo complejo La derivada respecto a z de la transformada z unilateral de una señal F (z) multiplicada por z es igual a: Z[kx(k)] = −z

L. Moreno, S. Garrido

dF (z) dz

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformada z inversa La transformada z en los sistemas de tiempo discreto juega un papel equivalente al de la transformada de Laplace en los sistemas de tiempo continuo. De forma similar a lo que ocurría en aquella, es necesario después de operar en el plano z para resolver la ecuación en diferencias convertir dicha solución al dominio del tiempo. En este caso, al pasar de nuevo al dominio del tiempo lo que obtendremos como resultado es la correspondiente secuencia en el tiempo f (k). En el caso de la transformada z inversa, la secuencia que se obtiene sólo está definida en el tiempo en los instantes de muestreo, por lo que resulta una única secuencia f (k) pero que puede corresponder al muestreo de un número infinito de funciones f (t).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformada z inversa Fórmula de inversión

Al igual que en el caso de la transformada de Laplace existe una expresión que nos da la transformada inversa z en función de una expresión integral en el plano z I 1 X (z)z n−1 dz x(k) = 2πj C donde C es un contorno de integración en sentido contrario a las agujas del reloj que encierra el origen de coordenadas (teoría de v. compleja).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformada z inversa Tablas de transformadas

Es posible calcular la transformada inversa z mediante su expresión integral, pero esto requiere resolver la expresión integral. Un método alternativo mucho más simple es utilizar las tablas de transformadas. Esto se puede hacer cuando la X (z) puede expresarse como la suma de transformadas z de señales tabuladas X (z) = X1 (z) + . . . + Xn (z) cuya inversa se conoce x1 (k), . . . , xn (k), es decir x(k) = x1 (k) + . . . + xn (k)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformada z inversa Expansión en serie de potencias

La expresión de la transformada z de una señal es una serie de potencias donde los valores de la secuencia x(k) son los coeficientes de la serie de potencias de z −k . Por lo tanto X (z) =

∞ X

x(k)z −k = x(0)z 0 + x(1)z −1 + . . . + x(k)z −k + . . .

k=0

y de aquí se pueden obtener los valores de la secuencia. El problema es que esto da una secuencia pero no una expresión analítica cerrada.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformada z inversa Expansión en fracciones parciales

En la mayor parte de las aplicaciones de control, tanto las ecuaciones en diferencias como las soluciones de las mismas suelen tener la forma de funciones racionales en z, del tipo F (z) =

N(z) D(z)

(29)

donde N(z) y D(z) son polinomios en z. Se asume que el grado del polinomio N(z) del numerador en z es menor o igual que el grado del polinomio D(z) del denominador. Esta expresión puede escribirse en la siguiente forma F (z) =

zn

+ a1

z n−1

N(z) + . . . + an−1 z + an

donde los coeficientes ai son coeficientes reales. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(30)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Transformada z inversa Expansión en fracciones parciales

De forma similar al caso de la transformada inversa de Laplace, el método de expansión en fracciones parciales nos dará la forma más general de obtener la transformada inversa en z cuando F (z) es una función racional de z. La idea básica del método de la expansión en fracciones parciales ya se comentó para el caso de la transformada de Laplace, y consiste en descomponer el polinomio F (z) en una suma de fracciones simples de forma que éstas sean las transformadas de funciones simples y conocidas, de forma que para cada fracción resulte muy fácil calcular la transformada inversa. F (z) =

(z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zm ) N(z) =k D(z) (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn )

Veamos los diferentes casos que se pueden presentar. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Caso de polos simples y reales Si todos los polos de D(z) son simples y reales, y hay por lo menos un cero en el origen, entonces se expande F (z) de la siguiente forma z F (z) A0 A1 A2 An = + + + ... + z z (z − p1 ) (z − p2 ) (z − pn )

(31)

donde los coeficientes A1 , . . . , An se obtienen como  F (z)  Ai = (z − pi ) z z=pi y el A0 = F (z)

z=0

Se realiza la expansión de la función F (z)/z en vez de la función F (z) para que las fracciones simples de la expansión queden de la misma forma que para las expansiones en fracciones parciales en s. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Caso de polos múltiples y reales Si los polos de D(z) son múltiples, entonces la ecuación (30) toma la siguiente forma N(z) F (z) = (32) (z − p1 )2 y en ella z1 tiene un orden de multiplicidad de 2. Descomponiendo la expresión (32) en fracciones parciales obtenemos A1 A2 F (z) = + z (z − p1 )2 (z − p1 )

(33)

donde los coeficientes A1 y A2 correspondientes al polo múltiple se obtienen como  F (z)  d F (z)  A1 = (z − p1 )2 A2 = (z − p1 )2 (34) z dz z z=p1 z=p1

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Caso de polos múltiples y reales Expresión general

En general si F (z) tiene polos de orden múltiple, por ejemplo el polo pi es múltiple con orden r , la expansión del término correspondiente a este polo será de la forma c1 c2 cr + + ... + 2 z − pi (z − pi ) (z − pi )r donde cr −k

  1 dk r F (z) = (z − pi ) k! dz k z z=pi

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Expansión en fracciones parciales Caso de más ceros que polos

Cuando se tiene que F (z) =

N(z) (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zm ) =k D(z) (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn )

m > n, aunque este caso no suele presentarse en control ya que implicaría la no causalidad del sistema, desde un punto de vista teórico el tratamiento sería desarrollar la expansión en fracciones parciales de F (z) de la siguiente forma F (z) =

m−n X

bq z q +

q=0

n X k=1

ck

z z − pk

donde los coeficientes b0 , . . . , bq se obtienen como resultado de la división polinómica directa del numerador por el denominador. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(35)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Expansión en fracciones simples Ejemplo

Dada la transformada z F (z) =

z(1 − e −αT ) (z − 1)(z − e −αT )

(36)

siendo α constante y T el periodo de muestreo, obtener la transformada z inversa por el método de descomposición en fracciones. La expansión en fracciones viene dada por la siguiente expresión F (z) A1 A2 = + z (z − 1) (z − e −αT )

(37)

y si aplicamos la expresión correspondiente a los coeficientes tenemos que  F (z)  A1 = (z − 1) =1 z z=1  F (z)  A2 = (z − e −αT ) (38) −αT = −1 z z=e L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Expansión en fracciones simples Ejemplo cont.

con lo que la expansión en fracciones parciales quedará en la forma F (z) 1 −1 = + z (z − 1) (z − e −αT )

(39)

o lo que es lo mismo F (z) =

1 −1 + −1 (1 − z ) (1 − e −αT z −1 )

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(40)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Expansión en fracciones simples Ejemplo cont.

y si vamos a una tabla de transformadas z veremos que i 1 (1 − z −1 ) i h −1 Z −1 (1 − e −αT z −1 ) Z −1

h

= 1 = −e −αkT

(41)

k = 0, 1, 2, . . .

(42)

y por tanto su transformada z inversa será f (kT ) = 1 − e −αkT ,

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Resolución de ecuaciones en diferencias Ejemplo

Supongamos un cierto sistema, cuya ecuación en diferencia es la siguiente x(k + 2) + 2x(k + 1) + x(k) = 0

(43)

sabemos además que para dicho sistema los valores de x para k = 0 y k = 1 son respectivamente x(0) = 1 y x(1) = 0, y queremos obtener la salida x(k) que dará el sistema (43). Aplicando la propiedad de la traslación real de la transformada z tendremos lo siguiente [z 2 X (z) − z 2 x(0) − zx(1)] + 2[zX (z) − zx(0)] + X (z) = 0 Si ahora sustituimos x(0) y x(1) por su valor nos quedará [z 2 X (z) − z 2 ] + 2zX (z) + X (z) 2

z X (z) + 2zX (z) + X (z) X (z) L. Moreno, S. Garrido

= 0 = z2 =

z2 z2 = z 2 + 2z + 1 (z + 1)2

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Resolución de ecuaciones en diferencias Ejemplo (cont.)

Expandiendo en fracciones parciales esta expresión A1 X (z) A2 = + z (z + 1)2 (z + 1)

(44)

Los coeficientes vendrán determinados por A1

=

A2

=

 X (z)  (z + 1)2 = z = −1 z z=−1 z=−1 d X (z)  =1 (z + 1)2 dz z z=−1

y su transformada inversa será la solución de la ecuación en diferencias para las condiciones iniciales que se han supuesto, es decir x(k) = −(−1)k−1 + (−1)k L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(45)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Operador retardo También en el caso de los sistemas en tiempo discreto es frecuente la utilización de un operador de transferencia que nos permita expresar en forma polinómica la relación en el tiempo de la señal de entrada con la de salida. En los sistemas de tiempo discreto dicho operador es el denominado operador adelanto, operador adelanto que se suele representar por el símbolo q, qu(k) = u(k + 1)

(46)

o su inverso el operador retardo, q −1 u(k) = u(k − 1)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(47)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Operador retardo Utilizando este operador una ecuación en diferencias de orden n quedará en la siguiente forma y (k)

+ a1 y (k − 1) + . . . + an−1 y (k − (n − 1)) + an y (k − n) = b1 u(k − 1) + . . . + bn−1 u(k − (n − 1)) + bn u(k − n)

puede expresarse en forma polinómica y (k)

+

a1 q −1 y (k) + . . . + an−1 q −(n−1) y (k) + an q −n y (k)

=

b1 q −1 u(k) + . . . + bn−1 q −(n−1) u(k) + bn q −n nu(k)

es decir [1 + a1 q −1 + . . . + an−1 q −(n−1) + an q −n ]y (k) = A(q −1 )y (k) y (k)

[b1 q −1 + . . . + bn−1 q −(n−1) + bn q −n ]u(k)

= B(q −1 )u(k) B(q −1 ) = u(k) A(q −1 )

El operador retardo es equivalente a z −1 , aunque en dominio del tiempo. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Relación entre las transformadas z y de Laplace Definición 1: Dada una secuencia u(k) = u(0), u(1), . . . , u(k), . . . su transformada z se define como u(0) + u(1)z −1 + u(2)z −2 + . . . + u(k)z −k + . . . ∞ X = u(n)z −n (48)

U(z)

=

n=0

Definición 2: Dada una secuencia u(k) = u(0), u(1), . . . , u(k), . . . su representación como tren de impulsos (muestreo de una señal continua con periodo T ) se define como u ∗ (t)

= =

u(0)δ(t) + u(1)δ(t − T ) + . . . + u(k)δ(t − kT ) + . . . ∞ X u(n)δ(t − nT ) (49) n=0 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Relación entre las transformadas z y de Laplace Y si hacemos la transformada de Laplace de esta expresión U ∗ (s)

= L[u ∗ (t)] = u(0) + u(1)e −sT + u(2)e −2sT + . . . + u(k)e −ksT + . . . ∞ X = u(n)(e −sT )n (50) n=0

Si definimos z = e sT y sustituimos en la expresión anterior obtenemos la expresión de la transformada z de la secuencia. Ambas expresiones significan lo mismo, pero cada una tiene sus ventajas e inconvenientes. La primera definición nos ahorra el usar impulsos y transformadas de Laplace y simplifica notablemente los análisis y diseños. La segunda nos permite usar la transformada de Laplace para estudiar señales discretas. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Sistemas de tiempo discreto

Un ejemplo de sistema de tiempo discreto puede ser el siguiente y (k) = 0,5y (k − 1) + x(k)

(51)

donde la señal de entrada a un cierto sistema x(k) es transformada en una señal de salida y (k) mediante una cierta transformación T () de forma que y (k) = T [x(k)] (52)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Propiedades de los sistemas de tiempo discreto

Sin memoria. Se dice que un sistema no tiene memoria cuando la salida del sistema y (k) en el instante k depende sólo del valor de la entrada x en el instante k. Por ejemplo, el sistema y (k) = x 2 (k) no tiene memoria, mientras que y (k) = x(k) − x(k − 1) si tiene memoria.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Respuesta impulsional de un sistema de tiempo discreto Sistema lineal e invariante en el tiempo

La respuesta de un sistema de tiempo discreto a un impulso unitario se denomina secuencia respuesta impulsional . Esta secuencia de respuesta impulsional puede utilizarse para representar la respuesta de un sistema lineal de tiempo discreto a una secuencia de entrada arbitraria al sistema {u(k)} = {u(0), u(1), . . . , u(k), . . .}. Esta secuencia puede expresarse como u(k)

= u(0)δ(k) + u(1)δ(k − 1) + . . . + u(i)δ(k − i) + . . . ∞ X = u(i)δ(k − i) (53) i=0

Y para un sistema lineal aplicando el principio de superposición la salida del sistema ante una entrada es la suma de las secuencias de respuesta impulsionales a cada uno de los impulsos que forman la señal de entrada {y (k)} = {h(k)}u(0) + {h(k − 1)}u(1) + . . . + {h(k − i)}u(i) + . . . (54) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Respuesta impulsional de un sistema de tiempo discreto Sistema lineal e invariante en el tiempo

que puesto en forma de sumatorio nos da la convolución de la respuesta impulsional del sistema con la señal de entrada y (k) = h(k) ∗ u(k) =

∞ X

h(k − i)u(i)

i=0

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(55)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Respuesta temporal de un sistema de tiempo discreto Suma de convolución

Dado un sistema cuya respuesta impulsional en tiempo discreto viene dada por la secuencia h(k), la relación entre la entrada y salida del sistema en el dominio del tiempo (discreto) viene expresada por medio de la suma de convolución, es decir: y (k) = h(k) ∗ x(k) =

∞ X

h(n)x(k − n)

(56)

n=−∞

Esta relación entre x(k) e y (k) puede expresarse por medio de la transformada z en el campo complejo como Y (z) = H(z)X (z) donde H(z) es la transformada z de h(k).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(57)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Función de transferencia Sistema lineal e invariante en el tiempo

La relación entre la entrada y la salida del sistema x(k) e y (k) puede expresarse por medio de la transformada z en el campo complejo como Y (z) = H(z)X (z)

(58)

donde H(z) es la transformada z de h(k) que se denomina función de transferencia discreta del sistema. La función de transferencia del sistema en tiempo discreto es la transformada z de su respuesta impulsional: ∞ X H(z) = h(n)z −n (59) n=−∞

De esta expresión es muy fácil de obtener la respuesta en frecuencia evaluando H(z) alrededor del círculo unidad H(e jw ) = H(z)|z=e jw L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(60)

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Respuesta de un sistema de tiempo discreto Teorema de convolución

Aunque la suma de convolución es mucho más simple que la integral de convolución equivalente en sistemas de tiempo discreto, veamos cómo es posible evitarla. Para lo cual se usará el siguiente teorema.

Teorema de convolución. La transformada z de la convolución de dos secuencias temporales es igual al producto de sus transformadas z.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Respuesta de un sistema de tiempo discreto Teorema de convolución

Demostración: Y (z)

=

∞ X

y (k)z −k

k=0

=

∞ ∞ X X k=0

u(i)h(k − i) z −k

(61)

i=0

intercambiando los sumatorios y sustituyendo j = k − i se obtiene ∞ X ∞ X Y (z) = u(i)h(j) z −(i+j)

(62)

i=0 j=−i

y por la propiedad de causalidad ∞ ∞ X  X Y (z) = u(i)z −i h(j)z −j i=0

j=0

= H(z)U(z) L. Moreno, S. Garrido

(63) Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Aplicaciones del teorema de convolución

Nos permite obtener la respuesta de sistemas lineales usando la transformada z para obtener la salida sin realizar la convolución, para lo que se realizan las siguientes operaciones: Obtener la transformada z de la entrada. Multiplicar la transformada z de la entrada por la función de transferencia del sistema. Obtener la transformada inversa z para obtener la secuencia de salida del sistema a la entrada introducida. Nos da la salida en forma cerrada

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Aplicaciones del teorema de convolución Ejemplo

Sea el sistema discreto y (k + 1) − y (k) = u(k + 1) con y (0) = 0. Encontrar la función de transferencia del sistema y su respuesta a un escalón unitario muestrado. Solución: De la ecuación se tiene que y (k) − y (k)z −1 = u(k). Reescribiendo H(z) =

Y (z) 1 z = = U(z) 1 − z −1 z −1

Multiplicando la función de transferencia por la función de transferencia del escalón unitario muestreado obtenemos z z z Y (z) = H(z)U(z) = =z z −1z −1 (z − 1)2 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Señales de tiempo discreto Propiedades de las señales de tiempo discreto Definición y propiedades de la transformada z Respuesta temporal de los sistemas de tiempo discreto

Aplicaciones del teorema de convolución Ejemplo cont.

Y si recordamos que la transformada z de la rampa unitaria muestreada z era F (z) = (z−1) 2 y que multiplicar por z implica un avance en el tiempo, entonces tenemos la respuesta en el tiempo  k + 1, k = 0, 1, 2, 3, . . . y (k) = (64) 0, k 0 las raíces de este polinomio están dentro del círculo de radio unidad si y sólo si F (1) > 0 (−1)n F (−1) > 0 |a0 | < an |b0 | < |bn−1 | |c0 | < |cn−2 | ... |r0 | < |r2 |

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Criterio de Jury cont

Donde los términos bk , ck , . . . , rk se calculan del siguiente modo: a an−k , k = 0, 1, . . . , n − 1 bk = 0 xn xk b0 bn−k ck = , k = 0, 1, . . . , n − 2 bn−1 bk ... s0 s2 s 0 s1 s0 s3 r0 = , r1 = , r2 = s3 s0 s3 s1 s 3 s2 En base a estos coeficientes se construye la tabla de Jury

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Criterio de Jury Tabla

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Criterio de Jury Condiciones para la estabilidad 1

2

3 4

5

6

La primera fila está formada por los coeficientes de F (z) en orden creciente de su potencia de z. El número de filas en la tabla 2n − 3 es siempre impar, y los coeficientes de cada fila par son los mismos que los de la fila impar situada directamente encima pero en orden inverso. Hay n + 1 condiciones que corresponden a los n + 1 coefs de la tabla. Las condiciones 3 a 2n − 3 se calculan usando los coeficientes de la primera columna de la tabla de Jury junto con el último coeficiente de la fila precedente. Los coeficientes intermedios de la última fila nunca se usan y no requieren ser calculados. Las condiciones 1 y 2 se calculan directamente a partir de F (z), si una de las dos primeras condiciones no se cumple, F (z) tienen polos fuera del círculo unidad y no es necesario construir la tabla. La condición 3, con an = 1, requiere que el término constante del polinomio sea menor que la unidad en magnitud, ya que el término constante es el producto de las raíces y debe ser menor que 1. L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Ejemplo 1 Test de Jury

Determinar la estabilidad por Jury del polinomio F /z) = z 5 + 2,6z 4 − 0,56z 3 − 2,05z 2 + 0,0775z + 0,35 = 0 Se calcula la tabla de Jury

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Ejemplo 1(cont) Test de Jury

Las dos primeras condiciones requieren observar F (z) en z ± 1 y el resto 3 a 6 se obtienen rápidamente de la tabla de Jury. 1 2

3 4 5 6

F (1) = 1 + 2,6 − 0,56 − 2,05 + 0,0775 + 0,35 = 1,4175 > 0. (−1)5 F (−1) = (−1)(−1 + 2,6 + 0,56 − 2,05 − 0,0775 + 0,35) = −0,3825 < 0 |0,35| < 1 | − 0,8775| > |0,8325| |0,0770| < |0,5151| | − 0,2593| < | − 0,3472|

Las condiciones 2, 5 y 6 no cumplen el criterio de Jury, luego hay polos fuera del círculo unidad. Factorizada se puede comprobar: F (z) = /z − 0,7)(z − 0,5)(z + 0,5)(z + 0,8)(z + 2,5) = 0

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Ejemplo 2 Test de Jury

Determinar el rango estable de ganancia K para un sistema muestreado con periodo 0,05 segundos, con bloqueador y cuya función de transferencia es K G (s) = s(s + 10) Solución. La función de transferencia discreta equivalente para el conjunto bloqueador-sistema-muestreador es:  G (s) GBSM (z) = (1 − z −1 )Z L−1 [ ] s  K = (1 − z −1 )Z L−1 [ 2 ] s (s + 10)  10 1 1 ]) = (1 − z −1 )Z L−1 [0,1K ( 2 − + s s s + 10 1,065 × 10−2 K (z + 0,847) = (2) (z − 1)(z − 0,606 L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Ejemplo 2 (cont) Test de Jury

Si el sistema se realimenta unitariamente la ecuación característica 1 + GBSM (z) es z 2 + (1,065 × 10−2 K − 1,606)z + 0,606 + 0,92 × 10−3 K = 0 Las condiciones de estabilidad de Jury son: 1

2

3

F (1) = 1 + (1,0653 × 10−2 K − 1,6065) + 0,6065 + 9,02 × 10−3 K > 0≡K >0 F (−1) = 1 − (1,0653 × 10−2 K − 1,6065) + 0,6065 + 9,02 × 10−3 K > 0 ≡ K < 1967,582 |0,6065 + 0,0902K | < 1 ≡ +(0,6065 + 0,0902K ) < 1 −(0,6065 + 0,0902K ) < 1 ≡ −178,104 < K < 43,6199

Y de estas tres condiciones se obtiene que 0 < K < 43,6199 L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Análisis de la estabilidad de un sistema con Matlab El criterio de Jury es un método poco usado hoy en día debido a la existencia de potentes herramientas númericas de análisis. En MATLAB, veamos como se puede hacer: 1 2

3

Supongamos el siguiente sistema G (s) = s 22s+1 +4s+3 Se introduce el modelo >> num=[2 1]; >> den=[1 4 3]; >> G=tf(num,den) Transfer function: 2s+1 -----------s^2+4s+3 >> roots(den) ans = -3 -1 y de las posiciones de las raíces se analiza la estabilidad. L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Lugar de las raíces en el plano z

La ecuaciión característica de un sistema en bucle cerrado con realimentación unitaria viene dada por 1 + G (z)H(z) = 0 donde H(z) es la función de transferencia de la realimentación y G( z) es la función de transferencia discreta del sistema . La construcciŮn del lugar de las raíces se basa en las mismas reglas que para el caso continuo si bien su significado e interpretación varía.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Lugar de las raíces en el plano z Reglas de construcción

Cálculo del lugar de las raíces, reglas: 1 El número de ramas del LR es igual al número de polos de la función de transferencia en bucle abierto G (z)H(z) 2 Para valores positivos de K , pertenecen al LR aquellos puntos sobre el eje real en los que la suma de polos y ceros situados a la derecha del punto que se considere es un entero impar. 3 El LR comienza (K = 0) en los polos y termina (K = ±∞) en los ceros de la función de transferencia en bucle abierto o en el infinito. 4 Los angulos de las asíntotas del LR que terminan en infinito están determinados por Para K > 0

γ=

Para K < 0

γ=

(1+2k)π npGH −nzGH 2kπ npGH −nzGH

5 El eje real se corta con las asíntotas en Pnp Pnz i =1 Repi − j=1 Rezj z0 = np − nz L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Lugar de las raíces en el plano z Reglas de construcción (2)

Cálculo del lugar de las raíces, reglas: 6 Los puntos de dispersión de las ramas del LR entre dos polos sobre el eje real (o punto de convergencia entre dos ceros sobre el eje real) puede determinarse derivando la sensibilidad del bucle K respecto a a z. Igualando esta derivada a cero y obteniendo las raíces de la ecuación resultante, estas raíces son los polos de dispersiŮn o convergencia de las ramas. 7 Para K > 0 el ángulo de partida de las ramas desde un polo complejo es igual a 180 grados menos la suma de los ángulos desde los otros polos más la suma de los ángulos desde los ceros (los ángulos pueden ser positivos o negativos). Para K < 0 es 180 mas el obtenido para K > 0. 8 El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje real.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Lugar de las raíces en el plano z Reglas de construcción (3)

Cálculo del lugar de las raíces, reglas: 9 El cruce del lugar con el círculo unitario, se determina usando el criterio de Jury para la ecuación característica en bucle cerrado. Se determina el rango de valores que K tiene que satisfacer para ser estable. 10 Los puntos del lugar satisfacen el criterio del módulo . |z − p1 |.|z − p2 |. . . . .|z − pnp | |z − z1 |.|z − z2 |. . . . .|z − pnz |

K =

11 Los puntos del lugar satisfacen el criterio del argumento. (1 + 2n)π =

np X

∠(z − pi ) −

nz X

i =1

2nπ =

np X

∠(z − pi ) −

i =1 L. Moreno y S. Garrido

∠(z − zj ),

K >0

i =1 nz X

∠(z − zj ),

i =1 Curso de Ing. de Control

K > rlocus( tf([1],[1 3 2 0]) );

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Revisión del concepto de muestreo

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Revisión del concepto de muestreo

Tal y como se vio cuando se introdujo el teorema del muestreo, el efecto del muestreo es el que se aprecia en la figura de la transparencia anterior. En el se observa: a- El espectro frecuencial de la señal continua e(t). b- El espectro de la señal muestreada a impulsos e ∗ (t), cuando se muestrea con una frecuencia de muestreo ωs > 2ωc donde ωs es la frecuencia de muestreo y ωc es la componente de frecuencia más alta de la transformada de Fourier de la señal E (jω). c- El espectro de la señal muestreada a impulsos e ∗ (t), cuando se muestrea con una frecuencia de muestreo ωs < 2ωc . Aquí se puede observar el fenómemo del aliasing o de solapamiento entre las componentes fundamental y complementarias del espectro frecuencial.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Bandas

La componente frecuencial de la señal muestreada E ∗ (jω) con ωs > 2ωc puede dividirse en una banda primaria y bandas complementarias que se repiten con periodo ωs . Esto se puede observar con facilidad, ya que si sustituimos en E ∗ (s), s por s + jl ωs con l entero, tenemos que E ∗ (s + jl ωs ) =

∞ X

e(kT )e −kT (s+jlωs ) =

k=0

y como ωs =

2π T

∞ X

e(kT )e −kTs e −jklωs T

k=0

entonces e −jklωs T = e −j2πkl = 1 y se observa que

E ∗ (s + jl ωs ) =

∞ X

e(kT )e −kTs = E ∗ (s)

k=0

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Efecto de las bandas sobre los polos

Un efecto muy importante, es que si E (s) tiene un polo (cero) en s = s1 , entonces E ∗ (s) tendrá polos (ceros) en s = s1 ± jl ωs dende l = 0, ±1, ±2, . . ..

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Efecto paso bajo del bloqueador

Dado que por lo general el sistema físico y el bloqueador de orden cero tienen un comportamiento similar a un filtro paso-bajo, los efectos de las bandas complementaroas de alta frecuencia se atenúan por lo que sólo los polos de la banda principal necesitan ser tenidos en cuenta para el diseño del sistema de control. Obsérvese, que el polo primario s1 y sus complementarios se mapean sobre el mismo punto del plano z (efecto aliasing).

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Plano z Recordando que la transformada de Laplace de una señal temporal muestreada e ∗ (t) venía expresada como ∗

∗

E (s) = L [e (t)] =

∞ X

e(kT )e −ksT

k=0

donde e ∗ (t) = 0 para t < 0 (unilateral) y k = 0, 1, 2, . . .. De esta expresión se obtenía con facilidad la transformada z de la señal muestreada sin más que hacer el cambio de variable z = e sT o (s = T1 ln z para pasar de la transformada z a la de Laplace). De donde se obtiene E (z) = E ∗ (s)|z=e sT =

∞ X

e(kT )z −k

k=0

la transformada z de la señal muestreada e ∗ (t). L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Se ha visto anteriormente que la relación entre la función de transferencia continua muestreada en el campo s y la discreta en z venía dada por la expresión z = e sT Queremos ahora saber como transforma esta relación los puntos de s en z.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Líneas verticales en el plano s

Las líneas verticales en el plano s, son puntos en los que s = σ + jω tiene σ = cte , esos puntos en el plano z se corresponden con los que tienen |z| = e σT = cte que forman un círculo alrededor del origen.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Líneas horizontales en plano s

Las líneas horizontales en el plano s, son puntos en los que s = σ + jω tiene ω = cte , esos puntos en el plano z se corresponden con los que tienen ∠z = ωT = cte que forman una línea radial desde el origen.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Puntos con igual amortiguamiento

Dada la relación z = e sT , tenemos que para un sistema de segundo orden subamortiguado con polos en s1,2 = −ζωn ± jωd sus equivalentes en el plano z son (z−e (−ζωn +jωd )T )(z−e (−ζωn −jωd )T ) = z 2 −cos(ωd T )e −ζωn T z+e −2ζωn T Lo que da como resultado que las posiciones de los polos del sistema de segundo orden en el plano z están en z1,2 = e −ζωn T ∠ ± ωd T = |z|∠ ± θ o de forma equivalente θ = ωd T = ωn

p 1 − ζ2

|z| = e −ζωn T Si representamos en el plano z las curvas con ζ y ωn constante nos quedará (ver pag siguiente) L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Relación entre el plano s y el plano z Contornos de ζ y ωn constante en plano z

Las curvas de ζ y ωn constante en plano z

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Forma de la respuesta impulsional de un sistema La forma de la respuesta de un sistema depende de las posiciones de los polos de su ecuación característica y de las respuestas impulsionales correspondientes a ellos.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Respuestas de algunos sistemas Sistema de primer orden

La respuesta impulsional del sistema de primer orden con un z integrador (tipo 1) G (z) = z−1 es

Esta función de transferencia se corresponde con una señal escalón unitario con función de transferencia G (s) = 1s .

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Respuestas de algunos sistemas Sistema de primer orden

Si movemos el polo hacia el interior del círculo unidad la respuesta impulsional del sistema de primer orden pasa a ser de tipo 0, z con 0 < d < 1 es G (z) = z−d

Esta función de transferencia se corresponde con una señal con 1 función de transferencia G (s) = s+a y con d = e −aT .

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Respuestas de algunos sistemas Sistema de segundo orden

Si discretizamos el sistema de segundo orden G (s) = obtenemos G (z) =

z(z−cos(aT )) z 2 +2z cos(aT )+1

L. Moreno y S. Garrido

s s 2 +a2

cuya respuesta impulsional es

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Respuesta impulsional de un sistema de tiempo discreto Sistema de primer orden

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Respuesta impulsional de un sistema de tiempo discreto Sistema de primer orden

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Respuesta impulsional de un sistema de tiempo discreto Sistema de primer orden/segundo orden

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Respuesta impulsional de un sistema de tiempo discreto Sistema de segundo orden

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Estabilidad, criterio de Jury Lugar de las raíces en el plano z Relación entre el plano s y z Análisis de la respuesta de un sistema

Respuesta impulsional de un sistema de tiempo discreto Sistema de segundo orden

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Lección 4: Discretización de los sistemas de tiempo continuo. L. Moreno y S. Garrido Dpto. Ing. de Sistemas y Automática Universidad Carlos III Madrid

Enero 2012

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Table of contents

1

Discretización de un sistema en tiempo continuo

2

Función de transferencia discreta equivalente.

3

Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un sistema en tiempo continuo Una señal muestreada se podía expresar como x ∗ (t)

=

∞ X

x(t)δ(t − kT )

k=0

= x(t)

∞ X

δ(t − kT )

(1)

k=0

La transformada de Laplace de un impulso era la unidad, un retardo a en una señal en el tiempo equivale, en el campo de Laplace, a multiplicar por e −as . Si hacemos la transformada de Laplace del sumatorio de la ecuación 1 obtenemos ∞ X L[ δ(t − kT )] = L[δ(t)] + L[δ(t − T ) + L[δ(t − 2T )] + . . . k=0

= =

1 + e −Ts + e −2Ts + . . . 1 1 − e −Ts

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

(2)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un sistema en tiempo continuo Haciendo la transformada de Laplace de la señal muestreada x ∗ (t) tenemos ∞ X X ∗ (s) = L[x ∗ (t)] = L[x(t) δ(t − kT )] (3) k=0

Se ve que X ∗ (s) es la transformada de Laplace del producto de dos funciones en el dominio del tiempo. Recordando que la transformada de Laplace del producto de dos funciones tiene la siguiente expresión Z c+j∞ Z ∞ 1 F (p)G (s − p)dp L[f (t)g (t)] = f (t)g (t)e −st dt = 2πj c−j∞ 0 (4) Aplicándolo a la ecuación 3 y teniendo en cuenta que las transformadas de Laplace de x(t) es X (s) y la del sumatorio de impulsos de Dirac es la de la expresión 2, resulta la siguiente expresión de la integral de convolución. Z c+j∞ 1 1 X ∗ (s) = X (p) dp (5) −T 2πj c−j∞ 1 − e (s−p) L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un sistema en tiempo continuo

Hemos obtenido la transformada de Laplace de la señal muestreada 1 X (s) = 2πj ∗

Z

c+j∞

X (p) c−j∞

1 dp 1 − e −T (s−p)

(6)

La evaluación de esta integral de convolución a lo largo de la línea c − j∞ a c + j∞ puede realizarse por el método de los residuos formando un contorno cerrado consistente en la propia línea c − j∞ a c + j∞ y un círculo Γ de radio infinito en el semiplano izquierdo que incluya todos los polos de X (p).

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un sistema en tiempo continuo De esta forma la ecuación 6 se podrá expresar como X ∗ (s)

Z c+j∞ 1 1 X (p) dp 2πj c−j∞ 1 − e −T (s−p) I 1 1 X (p) = dp 2πj 1 − e −T (s−p) Z 1 1 X (p) dp − −T 2πj Γ 1 − e (s−p) =

(7)

En el caso de que X (s) este expresado por una expresión polinómica N(s) X (s) = D(s) en la que el grado del denominador sea mayor que el del numerador, el segundo término de la expresión 7 se hace cero. Y de aquí que I 1 1 X (p) dp (8) X ∗ (s) = −T 2πj 1 − e (s−p) L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un sistema en tiempo continuo Esta integral se resuelve aplicando la fórmula integral de Cauchy y es igual a la suma de los residuos R en el contorno cerrado para los polos de X (p), es decir  X  1 (9) X ∗ (s) = R X (p) 1 − e −T (s−p) p=pi Las expresiones para el cílculo de los residuos son las siguientes: Polos simples (p = pi ). Para este caso el residuo del polo es  Rpi = lim (p − pi ) p→pi

X (p) 1 − e −T (s−p)

 (10)

Polos múltiples (p = pj , con orden de multiplicidad n). Para este caso el residuo del polo con orden de multiplicidad n es   X (p) 1 dn−1 n lim (p − p ) (11) Rpj = j (n − 1)! p→pj dp n−1 1 − e −T (s−p) L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un sistema en tiempo continuo Ejemplo

Supongamos un sistema con función de transferencia G (s) = en este caso tenemos un residuo: " # 2 Rpi =−2

= =

(p+2)

lim

(p + 2)

lim

2 2 = 1 − e −Ts e −2T − e −T (s−p)

p→−2

p→−2 1

2 (s+2) ,

1 − e −T (s−p)

por tanto G ∗ (s) =

2 1−

e −Ts e −2T

(12)

y teniendo en cuenta que z = e Ts obtenemos la transformada en z, G (z) =

L. Moreno y S. Garrido

2 1 − z −1 e −2T Curso de Ing. de Control

(13)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un sistema en tiempo continuo Ejemplo (cont)

Si suponemos que el periodo de muestreo es de 0,1 segundos la transformada z de la señal G (s) muestreada toma el siguiente valor, G (z) =

L. Moreno y S. Garrido

2 1 − 0, 8187z −1

Curso de Ing. de Control

(14)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un sistema en tiempo continuo Ejemplo (cont)

Curvas de respuesta en el dominio del tiempo de las señales G (s) y G (z) bloqueada

Impulse Response

Impulse Response From: U(1)

1.8

1.8

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

To: Y(1)

2

Amplitude

To: Y(1)

Amplitude

From: U(1) 2

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0

0

0.5

Time (sec.)

L. Moreno y S. Garrido

1

1.5

Time (sec.)

Curso de Ing. de Control

2

2.5

3

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia discreta equivalente Supongamos ahora que para un cierto sistema conocemos su función de transferencia continua y que nos interesa conocer su equivalente en tiempo discreto. Este sistema discreto equivalente debe tener la entrada discreta y la salida discreta. Para ello, y puesto que el sistema real es continuo, se introduce un bloqueador de señal en la entrada del sistema y un muestreador a la salida del mismo tal y como se ve en la figura R(z) r(n)

R(s) BOC r(t)

R(z) r(n)

G (s) p

Y(s)

Y(z)

y(t)

y(n)

G (z) p

L. Moreno y S. Garrido

Y(z) y(n)

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia discreta equivalente

Veamos que ecuaciones tenemos en el sistema. En primer lugar habíamos visto que la ecuación del bloqueador de orden cero era GB (s) =

1 − e −Ts s

de aquí tenemos que el conjunto bloqueador-proceso tendrá la siguiente función de transferencia en el campo de Laplace G (s) = GB (s)Gp (s) =

L. Moreno y S. Garrido

1 − e −Ts Gp (s) s

Curso de Ing. de Control

(15)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia discreta equivalente

Por otra parte tenemos que la señal de entrada al sistema es una señal muestreada R ∗ (s), por lo que a la salida del proceso tendremos Y (s) = G (s)R ∗ (s)

(16)

si muestreamos esta señal Y (s) para obtener a la salida del sistema una señal discreta, la expresión nos queda de la siguiente forma Y ∗ (s) = G ∗ (s)R ∗ (s)

(17)

que en forma discreta queda como Y (z) = G (z)R(z)

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

(18)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia discreta equivalente Buscamos obtener la función de transferencia muestreada G ∗ (s) donde 1 − e −Ts G (s) = GB (s)Gp (s) = Gp (s) s operando con esta función de transferencia tenemos que Gp (s) e −Ts Gp (s) − s s es decir tenemos la respuesta de Gp (s) ante entrada escalón unitario Gp (s) menos esta misma respuesta retardada T , si hacemos la s transformada z para esta G (s) tendremos que   Gp (s) e −Ts Gp (s) − Z[G (s)] = Z s s   Gp (s) e −Ts Gp (s) = Z [ ] − Z[ s s   G (s) p = (1 − z −1 )Z (19) s G (s) =

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Ejemplo 1 Supongamos un sistema cuya función de transferencia en tiempo 3 continuo viene dada por Gp (s) = (s+1) , y se desea obtener el equivalente discreto del sistema. Solución: Suponiendo que se utiliza un bloqueador de orden cero tendremos que:   Gp (s) −1 G (z) = (1 − z )Z s G (s)

veamos en primer lugar la transformada z de ps para lo que utilizaremos el método de los residuos, en este caso tenemos dos polos para la función por lo que tendremos dos residuos: # " 3 Rpi =−1

= = =

lim

p→−1

(p + 1)

p(p+1)

1 − e −T (s−p)

−3 − e −T (s−p) −3 1 − e −Ts e −T lim

p→−1 1

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Ejemplo 1 cont 1

Solución: Para el segundo polo " Rpi =0

= = =

lim p

p→0

lim

p→0 1

1

3 p(p+1) − e −T (s−p)

#

3 − e −T (s−p)

3 1 − e −Ts

y sustituyendo e Ts por z tendremos que   3 3 −1 G (z) = (1 − z ) − 1 − z −1 1 − z −1 e −T

(20)

Si suponemos que el periodo de muestreo es de 0,1 segundos la transformada z del sistema tomará el siguiente valor,   3 3 G (z) = (1 − z −1 ) − (21) 1 − z −1 1 − 0, 3678z −1 L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico Consideremos ahora un bucle o lazo de control típico en el que se muestrea la señal de error. R(s) r(t)

E(s)

+

E*(s)

- e(t)

G (s) p

Y(s) y(t)

H(s)

Podemos ver que E (s)

= R(s) − H(s)Y (s)

Y (s)

= G (s)E ∗ (s)

y de aquí E (s) = R(s) − G (s)H(s)E ∗ (s) L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico Si muestreamos la señal de error continua, obtenemos que E ∗ (s) = R ∗ (s) − GH ∗ (s)E ∗ (s) y despejando E ∗ (s) =

R ∗ (s) 1 + GH ∗ (s)

Como Y ∗ (s) = G ∗ (s)E ∗ (s), se tiene que Y ∗ (s) =

G ∗ (s)R ∗ (s) 1 + GH ∗ (s)

De esta expresión, y reescribiéndola en términos de la transformada z llegamos a la siguiente expresión Y (z) = L. Moreno y S. Garrido

G (z)R(z) 1 + GH(z) Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico

Luego la función de transferencia muestreada para un ciclo de control típico será G (z) Y (z) = R(z) 1 + GH(z)

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

(22)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia de un control por computador Convertidor A/D R(s) r(t)

+

Controlador digital

E(s)

E*(s)

- e(t)

e(kT)

G (z) c

Convertidor D/A C*(s)

BOC

Proceso

U(s) u(t)

c(kT)

G (s) p

Y(s) y(t)

b) Esquema equivalente

tenemos que la ecuación del bloqueador de orden cero era 1 − e −Ts s y el conjunto bloqueador-proceso tendrá la siguiente función de transferencia en el campo de Laplace GB (s) =

G (s) = GB (s)Gp (s) = L. Moreno y S. Garrido

1 − e −Ts Gp (s) s

Curso de Ing. de Control

(23)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia de un control por computador La señal de salida del sistema será Y (s) = G (s)Gc∗ (s)E ∗ (s)

(24)

Y ∗ (s) = G ∗ (s)Gc∗ (s)E ∗ (s)

(25)

o que expresada en términos de transformada z quedará Y (z) = G (z)Gc (z)E (z)

(26)

Además del muestreo de la señal de error tenemos que E (z) = R(z) − Y (z)

(27)

luego Y (z) = G (z)Gc (z)E (z) = G (z)Gc (z)[R(z) − Y (z)] L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

(28)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Función de transferencia de un control por computador

De aquí se obtiene la que la función de transferencia del lazo de control con muestro de señal de error y bloqueo de la señal de control del regulador es Gc (z)G (z) Y (z) = R(z) 1 + Gc (z)G (z) donde G (s) incluye al proceso y al bloqueador de orden cero.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

(29)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un controlador analógico La relación entre la transformada de Laplace de un sistema muestreado y la transformada z, venía dada por la expresión z = e Ts . Esta relación no es una expresión racional por lo que no hay una forma fácil e inmediata de obtener el equivalente discreto de un cierto sistema continuo. Es necesario obtener los equivalentes discretos de Gp (s) y de Gc (s) lo cual es un proceso laborioso. Es frecuente que no dispongamos de la función de transferencia del proceso Gp (s), aunque tengamos la del controlador analógico ajustado empíricamente Gc (s). En este tipo de situaciones interesa discretizar únicamente el controlador y es frecuente utilizar técnicas aproximadas, aunque estas sirven para discretizar cualquier función de transferencia.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Discretización de un controlador analógico Se tiene un cierto regulador en tiempo continuo (analógico) y se quiere sustituir por un conjunto regulador digital, muestreador y bloqueador implementado en un computador cuyo comportamiento global sea equivalente al del controlador analógico existente. e(t)

E(s)

E*(s)

e(t)

e(kT) Convertidor A/D

u(t) G (s) c

G (z) e

C*(s)

BOC

Controlador digital

L. Moreno y S. Garrido

U(s) u(t)

c(kT) Convertidor D/A

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Aproximaciones numéricas

Existen diferentes enfoques para realizar esta transformación de una forma rápida y simple (aunque no exacta). En general se suelen utilizar técnicas basadas en aproximaciones numéricas de la ecuación diferencial que representa el función de transferencia del controlador en tiempo continuo Gc (s). Existen dos técnicas básicas: La integración numérica (es la más usada). La diferenciación numérica.

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Aproximación numérica de la integral En un controlador en tiempo continuo como 1 U(s) = (30) Gc (s) = E (s) s esta expresión corresponde a una integración de la forma Z t e(t)dt (31) u(t) = u(t0 ) +

e(t)

(a)

e(t)

t0

Las aproximaciones numéricas a esta expresión se basan en aproximar la integral de la señal de error por un sumatorio de rectángulos o trapezoides, tal y como se muestra

(b)

t

e(t)

(c)

L. Moreno y S. Garrido

t

Curso de Ing. de Control

t

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Aproximaciónes numéricas de la integral Método de Euler I

El área bajo la integral se aproxima por un rectángulo de base el periodo T y altura el valor de la señal de error en el instante n. u(n + 1) = u(n) + Te(n)

(32)

haciendo la transformada zde esta ecuación tenemos zU(z) = U(z) + TE (z)

(33)

y por lo tanto U(z) T = (34) E (Z ) z −1 Si comparamos esta expresión 34 con la del controlador analógico 30, se puede observar que para obtener el equivalente discreto con este método basta con substituir en la función de transferencia del controlador analógico cada s por z−1 T . Es decir Ge (z) =

Ge (z) = Gc (s)|s= z−1 T

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

(35)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Aproximaciónes numéricas de la integral Método de Euler II

El área bajo la integral se aproxima por un rectángulo de base el periodo T y altura el valor de la señal de error en el instante k + 1. u(k + 1) = u(k) + Te(k + 1)

(36)

haciendo la transformada z de esta ecuación tenemos zU(z) = U(z) + TzE (z)

(37)

U(z) Tz = E (z) z −1

(38)

y por lo tanto Ge (z) =

Comparando esta expresión 38 con la del controlador analógico 30, se puede observar que para obtener el equivalente discreto con este método basta con substituir en Gc (s) s por z−1 Tz , Ge (z) = Gc (s)|s= z−1 Tz

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

(39)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Aproximaciónes numéricas de la integral Método trapezoidal

También se le conoce como método de Tustin o transformación bilineal. El área bajo la integral se aproxima promediando los valores de la señal de error en los instantes k y k + 1 y multiplicando por el periodo T . T (40) u(k + 1) = u(k) + [e(k) + e(k + 1)] 2 haciendo la transformada z de esta ecuación tenemos T (z − 1)U(z) = (z + 1)E (z) (41) 2 y por lo tanto U(z) T (z + 1) Ge (z) = = (42) E (Z ) 2(z − 1) Y comparando se puede observar que basta con substituir en Gc (s) cada s por T2(z−1) (z+1) . Es decir Ge (z) = Gc (s)|s= 2(z−1)

T (z+1)

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

(43)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Ejemplo 2

Supongamos que se ha diseñado un controlador analógico por métodos clásicos para un cierto sistema, y que la función de transferencia en s de dicho sistema es Gc (s) =

s +4 s(s + 1)

Solución: Aplicando la transformación bilineal tendríamos que la Ge (z) del regulador discreto equivalente será Ge (z) = Gc (s) |s= 2

z−1 T z+1

=

(z + 1)[z(1 + 2T ) + (2T − 1)]T (z − 1)[z(T + 2) + (T − 2)]

L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

(44)

Discretización de un sistema en tiempo continuo Función de transferencia discreta equivalente. Función de transferencia muestreada de un lazo de control típico.

Estructura del controlador discretizado

Controlador analógico R(s)

E(s)

+

- e(t)

r(t)

Convertidor A/D R(s) r(t)

+

Proceso

u(t)

Controlador digital

E(s)

E*(s)

- e(t)

e(kT)

Y(s)

U(s) G (s) c

G (z) e

G (s) p

y(t)

Convertidor D/A C*(s) c(kT)

BOC

Proceso

U(s) u(t)

G (s) p

Y(s) y(t)

Estructura del control continuo(a) y equivalente discreto del sistema (b). L. Moreno y S. Garrido

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Controladores PID en tiempo discreto Luis Moreno Dpto. Ing. de Sistemas y Automática Universidad Carlos III Madrid

14 Octubre 2009

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Table of contents

1

Controladores PID en tiempo discreto Estructura de un controlador PID discreto real

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Controladores clásicos Esquemas

Controlador con estructura fija. Utilizan una función de transferencia definida a priori. Dentro de este grupo se incluyen los controladores PID. En estos la función de transferencia del controlador es fija. Controlador con estructura variable. Este segundo grupo de controladores no presenta una estructura de función de transferencia predefinida, ésta se obtiene como resultado de las especificaciones deseadas para el sistema y de la función de transferencia del proceso a controlar. Este es el caso del diseño de controladores mediante la técnica de síntesis directa.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Especificaciones Dominio del tiempo

Expresan las características que se desean alcanzar en el sistema. Pueden expresarse de diferentes formas utilizando para ello el dominio de la frecuencia o el dominio del tiempo. Las especificaciones respecto a la respuesta en el dominio del tiempo de un sistema se suelen definir con respecto a la respuesta temporal ante una entrada en escalón de un sistema de segundo orden. Para ello se toma como sistema de referencia un sistema con función de transferencia teórica: G (s) =

K ωn2 s 2 + 2ξωn s + ωn

(1)

cuya respuesta a un escalón es p 1 y (t) = 1 − p e −ξωn t sin(ωn t 1 − ξ 2 + φ) 1 − ξ2 con

p φ = arctan Luis Moreno

1 − ξ2 ξ

Curso de Ing. de Control

(2)

(3)

Controladores PID en tiempo discreto

Especificaciones Dominio del tiempo

Este sistema tiene sus polos situados en p p1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2

(4)

donde ξ es la llamada tasa de amortiguamiento y ωn es la frecuencia natural no amortiguada del sistema. Para un sistema con tasa de amortiguamiento 0 < ξ ≤ 1, (sistema subamortiguado) la curva de respuesta del sistema tiene la forma:

y

To Mp

d·Mp

ep

Tp

t Ts Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Especificaciones Dominio del tiempo

Entre los parámetros para especificar la respuesta tenemos los siguientes: Tiempo de pico, π Tp = ωd p donde ωd es la frecuencia amortiguada ωd = ωn 1 − ξ 2 . Tasa de decaimiento. −2π √ ξ 2 1−ξ d =e Periodo de la oscilación amortiguada. 2π To = p ωn 1 − ξ 2 Sobreoscilación. Mp = e

−π √

√

ξ 1−ξ2

=

d

Tiempo de establecimiento. Ts '

π ξωn

Error de posición ante escalón en régimen permanente, ep . Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización de un regulador PID Hoy en día, la mayoría de los controladores son de tipo discreto, por lo que resulta necesario discretizar el regulador para poderlo implantar. La ecuación diferencial de un controlador PID tenía la forma Z t de(t) 1 e(τ )d τ + Td ] u(t) = K [e(t) + Ti 0 dt El término derivativo podemos sustituirlo por la diferencia de primer orden y el término integral podríamos aproximarlo por el primero de los métodos de Euler (aproximación rectangular hacia adelante). u(k) = K [e(k) +

k−1 T X Td e(i) + (e(k) − e(k − 1))] Ti T i=0

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización de un regulador PID Forma recursiva

Para obtener una expresión recursiva que evite el sumatorio, se obtiene la expresión para k − 1 u(k − 1) = K [e(k − 1) +

k−2 Td T X e(i) + (e(k − 1) − e(k − 2))] Ti T i=0

Restando obtenemos la expresión del controlador PID discretizado u(k) = u(k − 1) + [q0 e(k) + q1 e(k − 1) + q2 e(k − 2)] donde q0 q1 q2

  Td = K 1+ T   Td T = −K 1 + 2 − T Ti Td = K T Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización de un regulador PID Función de transferencia discreta

La función de transferencia en z queda de la forma G (z) =

U(z) q0 + q1 z −1 + q2 z −2 = E (z) 1 − z −1

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización de un regulador PID Trapezoidal

Si se hubiese aproximado la integral mediante la aproximación trapezoidal, la expresión de u(k) sería ! # " k−1 Td T e(0) + e(k) X e(i) + (e(k) − e(k − 1)) u(k) = K e(k) + Ti 2 T i=1

y el controlador quedaría u(k) = u(k − 1) + [q0 e(k) + q1 e(k − 1) + q2 e(k − 2)] donde q0 q1 q2

  Td T = K 1+ + T 2Ti   Td T = −K 1 + 2 − T 2Ti Td = K T Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Ejemplo Discretización de un regulador PID

Supongamos que se ha diseñado un controlador PID continuo con parámetros K = 2, Td = 5 , Ti = 50 que se desea discretizar con un periodo de muestreo de T = 1 segundos. Utilizando la integración rectangular hacia adelante los parámetros que resultan para el controlador son   Td = 12 q0 = K 1 + T   T Td q1 = −K 1 + 2 − = −21,96 (5) T Ti Td q2 = K = 10 T

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Ejemplo Discretización de un regulador PID

Si se utiliza la integración trapezoidal los parámetros serán:   Td T q0 = K 1 + + = 12,02 T 2Ti   Td T q1 = −K 1 + 2 − = −21,80 T 2Ti Td q2 = K = 10 T

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

(6)

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización mediante el teorema de los residuos

Otra solución a la discretización de reguladores PID es utilizar el teorema de los residuos con un bloqueador de orden cero y un muestreador de periodo T   X 1 G (s) G (z) = (1 − z −1 ) Res s 1 − e pT z −1 Polos dentro de C

La función de transferencia de este bloqueador es B0 (s) =

1 − e −sT s

, cuyo numerador equivalente en el plano z es (1 − z −1 ).

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización de un regulador Ejemplo

Supongamos que queremos discretizar el regulador continuo Gc (s) = 9,86

s +2 s + 3,14

Para discretizar este regulador es necesario elegir el tiempo de muestreo y posteriormente, discretizarlo.Para la elección del tiempo de muestreo T utilizaremos el método empírico de 1/8 del periodo de la respuesta amortiguada del sistema que es el doble del tiempo de pico Tp . To =

ωn

2π 2π p p = = 2,31 1 − ζ2 3,14 1 − 0,52 T =

2,31 = 0,28 ≈ 0,2 8

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización de un regulador Ejemplo

El controlador discreto equivalente está representado en la figura

r + -

e

Gc(z)

u(k)

B0

Luis Moreno

u(t)

1 s(s+2)

Curso de Ing. de Control

y

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización de un regulador Ejemplo

Para la obtención de Gc (z) utilizaremos el método de discretización basado en el teorema de los residuos.  X  1 1 Gc (z) = (1 − z −1 ) R Gc (s) s (1 − e pT z −1 )   X s +2 1 1 = (1 − z −1 ) R 9,86 (s + 3,14) s (1 − e pT z −1 )   2 1 1,14 1 = (1 − z −1 )9,86 + 3,14 (1 − z −1 ) 3,14 (1 − e −3,14·0,2 z −1 )   1 1 = (1 − z −1 ) 6,277 + 3,578 (1 − z −1 ) (1 − 0,533z −1 ) (1 − z −1 ) z − 0,702 = 6,277 + 3,578 = 9,855 (1 − 0,533z −1 ) z − 0,533

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización de un regulador Ejemplo

Las respuestas son semejantes, siendo la del regulador discreto un poco más oscilatoria, debido a que el tiempo de muestreo elegido es el máximo posible T = 0,2, (a)cont. y (b)discr. 1.4 b) 1.2

1

a)

y

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

Luis Moreno

3 tiempo

4

5

Curso de Ing. de Control

6

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización de un regulador Ejemplo

Si el t. de muestreo se reduce, la respuesta mejora. Para T = 0,05 seg , el regulador discreto será z − 0,9073 Gc (z) = 9,86 z − 0,8547 1.4 b) 1.2

1

a)

y

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

Luis Moreno

3 tiempo

4

5

Curso de Ing. de Control

6

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización del regulador y del proceso Ejemplo

Para el sistema y el regulador del ejemplo anterior, supongamos que también se quiere discretizar el sistema continuo a controlar con T = 0,2 seg . Para ello, el bloqueador de orden cero cambia de posición.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización del regulador y del proceso Ejemplo

Aplicando el método de discretización de los residuos se al regulador y al sistema obtenemos  X  1 1 Gc G (z) = (1 − z −1 ) R Gc (s)G (s) s 1 − e pT z −1   X 1 1 1 = (1 − z −1 ) R 9,86 s(s + 3,14) s 1 − e pT z −1 = 9,86(1 − z −1 ). "   1 d 1 1 2 s 2 . (2 − 1)! ds s (s + 3,14) (1 − e pT z −1 ) p=0  1 1 + (−3,14)2 1 − e −3,14·0,2 z −1

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización del regulador y del proceso Ejemplo

Nótese que el residuo correspondiente al polo múltiple en s = 0 solamente contiene la fracción correspondiente al mayor grado s 2 . Gc G (z)

9,86(1 − z −1 ). "  −(1 − e pT z −1 + (s + 3,14)(−T )e pT z −1 ) . + (s + 3,14)2 (1 − e pT z −1 )2 p=0  1 1 + 3,142 (1 − 0,533z −1 )   (1,628z −1 − 1) 1 = (1 − z −1 ) + (1 − z −1 )2 (1 − 0,533z −1 ) (1,628z −1 − 1)(1 − 0,533z −1 ) + (1 − z −1 )2 = = (1 − z −1 )(1 − 0,533z −1 ) z + 0,8261 = 0,161 (z − 1)(z − 0,533) =

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Discretización del regulador y del proceso Ejemplo

1.4

1.2

1

y

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

1

2

3 tiempo

4

5

6

Figura: Resultados del sistema del ejemplo en bucle cerrado con el controlador en tiempo continuo y el controlador discreto equivalente

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Determinación de la frecuencia de muestreo

No existe una regla fija en cuanto a la frecuencia de muestreo más adecuada a la hora de implantar un controlador discreto (tiene que cumplir el teorema de muestreo). La elección del periodo de muestreo depende de: las prestaciones que se desean alcanzar, la dinámica del proceso, el espectro de las perturbaciones, el actuador, el equipo de medida disponible y el coste computacional, entre otros aspectos.

Las prestaciones no varían sustancialmente a partir de un cierto periodo de muestreo y dado que muestrear con periodos muy pequeños suele encarecer el coste, debe de elegirse razonablemente.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Determinación de la frecuencia de muestreo Reglas empíricas

La dinámica del sistema tiene gran influencia sobre el tiempo de muestreo. En general cuanto mayores son las constantes de tiempo mayores pueden ser los periodos de muestreo. Dos posibles reglas empíricas de elección podrían ser: Elegir el tiempo de muestreo de forma que este tiempo sea como máximo una décima parte de la menor constante de tiempo presente en el sistema. Si el sistema tiene una respuesta del tipo de un sistema de segundo orden subamortiguada, se puede elegir el periodo de muestreo de forma que sea 8 veces menor que el periodo de la oscilación de la respuesta amortiguada del sistema. Y si la respuesta es de segundo orden sobreamortiguada el periodo se puede tomar 8 veces menor que el tiempo de subida del sistema.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Determinación de la frecuencia de muestreo Ejemplo

Si tenemos un sistema cuyos polos dominantes están situados en p1−2 = −1,57 ± 2,72j podríamos considerar como un periodo de muestreo aceptable T según la primera de las reglas T =

1,57 = 0,157 10

y según la segunda regla tendríamos que la respuesta amortiguada del sistema tendría un periodo to = 2π/wd , y para el caso que estamos considerando wd = 2,72 con lo que to = 2,31: T =

2,31 t0 = = 0,28 8 8

Si promediamos entre ambos valores, para este sistema un periodo de muestreo razonable sería T = 0,2 segundos.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Determinación de la frecuencia de muestreo Ejemplo

Como se observa en la figura, las respuestas continua y muestreada con T = 0,2 segundos son muy similares. y(t)

1.4 1.2 (a) 1 0.8 (b)

0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

Luis Moreno

3

4

5

Curso de Ing. de Control

t

6

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de controladores PID discretos

Se han estudiado hasta ahora diversos métodos para el diseño de reguladores PID continuos, y como pueden discretizarse posteriormente. Es posible también hacer el diseño del controlador directamente en tiempo discreto. Esto requiere: Obtener un equivalente discreto del sistema Convertir las especificaciones temporales que se deseen para el sistema continuo en especificaciones definidas en el plano z discreto. Normalmente las posiciones deseadas para los polos en cadena cerrada o al menos las de los polos dominantes.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de controladores PID discretos Especificaciones en el plano z

Si los polos deseados para el comportamiento del sistema continuo en cadena cerrada están definidos en el plano s, en las posiciones p s = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2 y la relación entre la transformada de Laplace y la transformada z venía dada por la relación z = e Ts , los puntos en el plano s pasan al plano z como p z = exp [T (−ξωn ± jωn 1 − ξ 2 )] Luego las posiciones de los polos en el plano z en cadena cerrada, para un cierto periodo de muestreo, tendrán el siguiente módulo y argumento |z| = e −T ξωn p ∠z = ±T ωn 1 − ξ 2 = ±T ωd = ±θ Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos

Las técnicas de obtención de los parámetros de un regulador PID discreto que haga que el sistema cumpla unas ciertas especificaciones son básicamente las mismas que en el caso continuo. Para el método de diseño basado en el lugar de las raices: Las reglas de construcción del lugar de las raíces en el plano z son las mismas. La estabilidad cambia ya que la zona estable en el plano z es el círculo unidad.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Método del lugar de las raices

La ecuación característica para un sistema como este es 1 + KGc (z)G (z) = 0 la idea es añadir polos y ceros al lugar de las raices mediante el regulador para desplazar las raices de la ecuación característica en bucle cerrado hasta el punto deseado.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Método del lugar de las raices

En la ecuación característica 1 + KGc (z)G (z) = 0 el término K se ha separado explícitamente para con su variación generar el lugar de las raices pero normalmente va incluido en el propio regulador. Un punto za está sobre el lugar de las raices si verifica los criterios del módulo y argumento de la ecuación característica es decir K=

1 |Gc (za )G (za )|

∠(Gc (za )G (za )) = ±180 Dado que K varia desde cero a infinito, cualquier punto del plano corresponde a un valor de K por lo que no determina su pertenencia al lugar, por lo que la pertenencia al mismo viene determinada exclusivamente por la verificación del criterio del argumento.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Comprobación de la pertenencia al lugar

Supongamos el caso más simple en el que Gc (z) = 1 y KG (z) =

K (z − z1 ) (z − p1 )(z − p2 )

donde todos los polos y ceros son reales. Para este caso los criterios del módulo y argumento son

β1 − α1 − α2 = ±180 K=

Luis Moreno

|z − p1 ||z − p2 | |z − z1 |

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Comprobación de la pertenencia al lugar

Desde el punto de vista de diseño hay dos posibles casos: Si se verifica que las especificaciones nos dan un punto que pertenece al lugar de las raices, en este caso basta con un regulador proporcional (a falta de comprobar la especificación del error en régimen permanente). Con determinar cual es el valor de K que corresponde a este punto quedaría calculado el regulador. Si el punto deseado no pertenece al lugar de las raices, esto indica que hay que aportar un cierto ángulo en el criterio del argumento. Dependiendo de si queremos mover el lugar hacia la derecha o hacia la izquierda se introducirá un regulador u otro.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Método de los polos dominantes Diseño mediante el lugar de las raíces

El método del lugar de las raíces, introducido por Evans en 1954, es un método gráfico para determinar las posiciones de los polos en cadena cerrada del sistema a partir de las posiciones de los polos y los ceros del sistema en cadena abierta. El dibujo del lugar de las raíces de un cierto sistema nos puede indicar: Si es suficiente con variar la ganancia del sistema para alcanzar las especificaciones deseadas. (En el caso de que el lugar de las raíces pase por las posiciones deseadas para los polos en cadena cerrada). Si es necesario introducir en el sistema un controlador que modifique el lugar de las raíces en la forma adecuada para que pase por los polos dominantes que se desea que tenga el sistema.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Efecto de la adición de polos La adición de un polo a la función de transferencia en bucle abierto de un sistema tiene como efecto: Añadir una rama más en el lugar de las raices y como consecuencia las ramas tienden a acercarse o incluso introducirse en el semiplano real positivo. Esto tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y hace que el tiempo de establecimiento de la respuesta sea mayor. jw

x

0

jw

V

(a)

x

x

0

jw

V

(b) Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

x x

x

(c)

0

V

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Efecto de la adición de ceros Lugar de las raíces

La adición de un cero a la función de transferencia en cadena abierta: Disminuye el número de ramas que se van al infinito por lo que aumenta la estabilidad relativa del sistema al desplazarse las ramas hacia la parte real negativa del plano complejo. Hace al sistema más rápido en su respuesta al introducir un efecto derivativo que anticipa la evolución del sistema. Amplifica el ruido a frecuencias altas. jw

R

x

x

x

0

jw

V

x Rx

(a)

x

0

jw

V

x

(b) Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

xR x

(c)

0

V

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Tipos de reguladores

Regulador Proporcional (P). Regulador Proporcional-Derivativo (PD) Regulador Proporcional-Integral (PI) Regulador Proporcional-Integral-derivativo (PID) Regulador Lead-Lag (Adelanto-atraso de fase)(Regulador PD-Real) Regulador Lag-Lead (Atraso-edelanto de fase)(Regulador PI-Real)

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Tipos de reguladores Regulador P

La acción de control del regulador es proporcional al error, y la función de transferencia es la más simple Gc (z) = K Características: La introducción de un regulador P genera el lugar de las raices, modifica por tanto las posiciones de los polos en cadena cerrada. Modifica tanto la dinámica del sistema como el error en régimen permanente, si ajustamos los polos para una cierta respuesta transitoria es necesario comprobar que el error en régimen permanente cumple las especificaciones. Al modificar tanto el transitorio como el permanente es difícil cumplir simultáneamente especificaciones en ambos aspectos de la respuesta. Si el lugar de las raices pasa por los polos deseados para la respuesta es el primer tipo de regulador a intentar.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Tipos de reguladores Regulador PD

La acción de control del regulador es proporcional al error y a la derivada, y la funcińón de transferencia tiene la forma Gc (z) = Kp + Kd (1 − z −1 ) =

K (z − a) z

es decir un polo en el origen en el plano z y un cero en a. Características: Al introducir un polo y un cero aumenta en 1 el número de ramas, por lo que altera el lugar de las raices. La modificación que se introduce depende de lo próximo que este el polo del cero en el origen. Tiende a mejorar la dinámica, es decir disminuye la sobreoscilación para el mismo tiempo de establecimiento No suele mejorar el régimen permanente, aunque esto depende de la posición de a.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Tipos de reguladores Regulador PI

La acción de control del regulador es proporcional al error y a la integral del error que aproximada trapezoidalmente da una funcińón de transferencia que tiene la forma Gc (z) = Kp + Ki

K (z − b) (1 + z −1 ) = (1 − z −1 ) z −1

es decir un polo en −1 y un cero en b. Características: Aumenta el tipo del sistema en uno, por lo que elimina el error en régimen permanente para entrada escalón (si es que el sistema era de tipo cero). Tiende a inestabilizar el sistema, ya que las ramas tienden a irse hacia la derecha y se salen del círculo unidad.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Tipos de reguladores Regulador PID

La acción de control del regulador es proporcional al error, a la derivada del error y a la integral del error que aproximada trapezoidalmente da una funcińón de transferencia que tiene la forma Gc (z) = Kp + Kd (1 − z −1 ) + Ki

(1 + z −1 ) K (z − a)(z − b) = −1 (1 − z ) z(z − 1)

es decir un polo en −1 y un cero en b. Características: Aumenta el tipo del sistema en uno, por lo que elimina el error en régimen permanente para entrada escalón (si es que el sistema era de tipo cero). El efecto derivativo tiende a mejorar el transitorio.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Método del lugar de las raices: Ejemplo

Supongamos que se desea diseñar un controlador discreto para el sistema

de forma que verifique las siguientes especificaciones: El sistema tenga los polos en cadena cerrada situados en las posiciones p1,2 = 0,66 ± j0,3 El error en régimen permanente sea nulo.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Método del lugar de las raices

Si observamos el lugar de las raíces del sistema 1 + KG (z) = 0 en el plano z, no pasa por las posiciones deseadas, Pd , para los polos. No basta un regulador P. Im

Pd

0.75

0.3 0.66 x 0.6

x 0.9

Re

P'd

Para anular el error en régimen permanente y puesto que el sistema no tiene ninguno de sus polos sobre el círculo unidad (no tiene integradores), será necesario incluir un integrador en el controlador. Como es necesario modificar tanto la dinámica como el tipo del sistema introduciremos un regulador de tipo PID. Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Método del lugar de las raices

La expresión genérica de un PID discreto tenía la forma Gc (z) =

q0 + q1 z −1 + q2 z −2 q0 z 2 + q 1 z 1 + q2 = 1 − z −1 z(z − 1)

Estamos introduciendo en el sistema dos polos en z = 1 y z = 0 y dos ceros cuyas posiciones y ganancia es necesario determinar. Las especificaciones fijan las posiciones de dos polos en cadena cerrada, sólo podremos fijar los valores de dos de los parámetros del PID. Escogemos uno de los ceros del controlador de forma que cancela el polo situado en z = 0,9. Aplicando el criterio del modulo y el argumento a la expresión (se ha eliminado el polo y el cero que se cancelan) 1 + Gc (z)G (z) = 0, queda: 1+K

4(z − a) =0 z(z − 1)(z − 0,6)

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Método del lugar de las raices

Con los criterios del módulo y del argumento Qm |z + zi | =1 |Gc (z)G (z)| = |K | Qni=1 |z + pj | j=1 ∠Gc (z)G (z)

= ∠K +

m X

∠(z + zi ) −

i=1

n X

∠(z + pj ) = (2q + 1)π

j=1

podemos determinar los valores de K y de a que hacen que el lugar de las raíces pase por los polos p1,2 = 0,66 ± j0,3. Los argumentos para los polos son β1

= 138,57o

β2

= 78,69o

β3

= 24,44o

y para que se cumpla el criterio del argumento se obtiene α1 = 180 + (β1 + β2 + β3 ) = 61,7o Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Método del lugar de las raices

A partir del ángulo α1 podemos determinar la posición donde debe de estar situado el cero para que forme dicho ángulo con el polo dominante 0,3 + j0,66. Dicho cero está situado en a = 0,265. Para determinar la ganancia K aplicamos el criterio del módulo 4K =

n1 n2 n3 0,463 · 0,306 · 0,725 = = 0,302 m1 0,496

y de aquí que K = 0,075. El controlador PID tendrá la siguiente función de transferencia: Gc (z) =

0,075(z − 0,9)(z − 0,265) z(z − 1)

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Diseño de reguladores PID discretos Método del lugar de las raices

Respuesta del sistema en bucle abierto.

Respuesta en bucle cerrado con el controlador diseñado. 2

100 y(k) 90

y(k)

(a)

80

1.8 1.6

70

1.4

60

1.2

50

1

40

0.8

30

0.6

20

0.4 0.2

10 0

(b)

0

10

20

30

40 50 60 Tiempo (ciclos de muestreo)

Luis Moreno

0

0

5

10

Curso de Ing. de Control

15

20

25 30 35 40 Tiempo ciclos de muestreo)

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Estructura de un controlador PID discreto real La estructura de un controlador PID discreto venía dada por la siguiente expresión u(k) = K [e(k) +

k−1 T X Td (e(k) − e(k − 1))] e(i) + Ti T i=0

En la que tomando transformadas z obteníamos lo siguiente U(z) = [K +

KT 1 KTd + (1 − z −1 )]E (z) Ti 1 − z −1 T

Estructura teórica de un control PID discreto K e(k) r(k) + -

K.T

y(k) +

1

Ti 1-z-1 K.Td T

+ +

(1-z-1) y(k)

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

u(k)

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Estructura teórica de un control PID discreto Problemas

En el controlador PID teórico se puede observar varios problemas. La derivada del error puede tomar valores muy grandes lo que al multiplicar por la ganancia derivativa puede saturar el actuador ( ruido importante o al aplicar un escalón en la entrada). Para evitarlo, la ganancia derivativa se sitúa en el lazo de realimentación.

La saturación integral o efecto windup se produce debido a que en sistemas lentos la integral del error puede llegar a tomar valores muy grandes. Esto satura el actuador durante mucho tiempo. Se utilizan esquemas de control que permiten la desactivación del efecto integral cuando este alcanza un cierto valor.

En algunos sistemas resulta difícil corregir errores muy pequeños del sistema. En estos casos se considera una banda muerta o zona de ganancia nula alrededor del valor de régimen permanente deseado para el sistema (por ejemplo de ).

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Estructura de un controlador discreto real Controladora de ejes

Kvff(1-z-1)

+

Kaff(1-2z-1+z-2)

+

r(k) + e(k) F. Banda muerta MI

+ + Ki 1-z-1

Acción integral

Luis Moreno

+

+ -

Filtro Notch Kp

1+n1z-1+n2z-2 1+d1z-1+d2z-2 Kd(1-z-1)

Acción derivativa

Curso de Ing. de Control

u(k)

y(k)

y(k)

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Estructura de un controlador PID discreto real

El controlador permite además introducir dos ganancias de prealimentación (feedforward) que mejoran los errores de seguimiento: Una para compensar los retardos producidos por la inercia del sistema (Kaff). La otra para compensar la fricción en el sistema.

Está preparado además para realizar un control en cascada con dos lazos de realimentación. Este tipo de control es usual cuando se desea realizar un control de posición en base a un motor donde se controla en el lazo interior la velocidad de giro del motor y en el lazo secundario se hace el control de posición. El esquema incluye también un filtro Notch para eliminar posibles picos de resonancia que se puedan producir en el sistema.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Controladores PID en tiempo discreto

Estructura de un controlador PID discreto real

Fin

Aquí acabamos hoy.

Luis Moreno

Curso de Ing. de Control

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Modelado y Análisis de Sistemas en el Espacio de Estados L. Moreno, S. Garrido Dpto. Ing. de Sistemas y Automática Universidad Carlos III Madrid

Enero 2012

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Table of contents

1

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Linealización de sistemas en el espacio de estados

Función de transferencia y representación en el espacio de estados

2

Representación de sistemas en el espacio de estados Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Introducción Los métodos de análisis clásicos de sistemas: Se basan en la descripción del sistema por la relación entre su entrada y su salida. De una gran utilidad en sistemas dinámicos con una única entrada y una única salida, son simples y requieren un número pequeño de cálculos. Tienen dificultades para su utilización en sistemas no lineales, excepto en algunos casos muy sencillos. Son dificiles de usar en sistemas con múltiples entradas y salidas, o en sistemas que presentan parámetros que varían con el tiempo.

Los métodos de análisis y modelado de sistemas basados en el espacio de estados son los más adecuados para el tratamiento de problemas con entradas y salidas múltiples, así como para el tratamiento de problemas con parámetros variantes en el tiempo e incluso de sistemas no lineales.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Modelado en el Espacio de Estados

Las técnicas de modelado de sistemas en el espacio de estados se basan en: Describir al sistema dinámico por medio de n ecuaciones diferenciales de primer orden para el caso de sistemas descritos en tiempo continuo o por medio de n ecuaciones en diferencias para el caso de sistemas en tiempo discreto. Estas n ecuaciones resultantes se describen por medio de una notación matricial, lo que simplifica la representación matemática de las mismas.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Concepto de estado Intuitivo

La idea de estado es un concepto básico en la representación de sistemas en el espacio de estados. Si tratamos de describir intuitivamente lo que significa un estado en un sistema, hemos de recordar que un sistema dinámico se caracteriza porque la salida que da en un cierto instante depende de las entradas al sistema en dicho instante y de la situación en la que estaba el sistema como consecuencia de las entradas a las que había sido sometido el sistema anteriormente. Esta situación en la que se encuentra un sistema en un instante dado puede ser caracterizada por un cierto conjunto de valores numéricos. A este conjunto de valores numéricos que caracterizan la situación del sistema en un instante dado es lo que denominamos estado del sistema en ese instante de tiempo.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Definición de estado

Definición: El estado de un sistema dinámico en un instante de tiempo t0 se puede definir como el conjunto más pequeño de valores numéricos que es suficiente para determinar la evolución futura del sistema para todo t ≥ t0 conocidos dichos valores numéricos y las entradas al sistema para todo t ≥ t0 .

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Como determinamos este estado

¿Cómo podemos describir el estado de un cierto sistema físico? ¿Qué variables del sistema nos permiten caracterizar el estado del mismo? Una primera aproximación al problema consiste en determinar ¿qué variables del sistema almacenan energía?. La energía almacenada en un sistema suele ser un buen caracterizador del estado del mismo. Veamos un ejemplo.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Ejemplo 1 i u

e

R

C

u

s

En el sistema de la figura, la ecuación diferencial que lo caracteriza es, 1 dus = (ue (t) − us (t)) dt RC si tomamos transformadas de Laplace obtenemos 1 sUs (s) − us (0) = [Ue (s) − Us (s)] RC y operando 1 1 Us (s) = 1 us (0) + 1 RC Ue (s) RC + s RC + s La variable que mantiene la memoria del estado energético del mismo es la tensión en el condensador us , y será la variable de estado del sistema. −1 −1 t L. Moreno, S. Garrido RC tCurso de Ing. deRC Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Concepto de estado Definición formal

La definición formal debida a L.A. Zadeh es una de las más satisfactorias a la hora de expresar las propiedades del concepto de estado y variable de estado. x

Consideremos el sistema S, es decir el modelo matemático de un sistema real que tiene como entradas las señales ui (t), i = 1, 2, . . . , r y como salidas las señales yj (t), j = 1, 2, . . . , m, las cuales son función del tiempo. Al conjunto de señales de entrada lo denotaremos por el vector u(t) de dimensiones r × 1 y al de las variables de salida por y(t), de dimensión m × 1. L. Moreno, S. Garrido

3 x(t ) 0

x(t ) 1 x

2

x

Curso de Ing. de Control II

1

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Concepto de estado La variable x(t) puede considerarse como variable de estado del sistema S en el instante t si satisface las siguientes condiciones de consistencia: 1 Los vectores x(t0 ) y u(t, t0 ) determinan de forma unívoca la salida y(t, t0 ) para todos los estados iniciales x(t0 ) ∈ X , para todos los valores de t ≥ t0 y todo el espacio de las funciones de entrada u de S. Es decir y(t, t0 ) = g(x(t0 ), u(t, t0 )) 2

Si t1 es un instante de tiempo entre t0 y t, entonces para cada vector de entrada u(t, t0 ) y vector de salida que se observa y(t, t0 ), considerados desde el instante t1 de forma que dan los segmentos u(t, t1 ) e y(t, t1 ), existe un subconjunto no vacío de elementos del espacio X , denotado por S[x(t0 ); u(t, t0 )], cuyos elementos α satisfacen la siguiente relación y(t, t1 ) = g(α, u(t, t0 ))

3

(1)

(2)

Si u(t1 , t0 ) es invariable y u(t, t1 ) varía sobre todas las entradas del espacio de funciones de entrada de S, entonces la intersección de los conjuntos S[x(t0 ); u(t, t0 )], considerados sobre todos los valores de u(t, t1 ) es un conjunto no vacío. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Concepto de estado Implicaciones

C1. Implica que el sistema es determinista y causal, por lo que los valores de las señales de salida en un instante de tiempo dado no dependen de salidas posteriores al mismo. C2. Asegura que a cada par u(t, t1 ), y(t, t1 ) le corresponde un estado inicial x(t1 ) en X . C3 Esta condición asegura la existencia de al menos un estado en el espacio X , la cual se refiere a todos los posibles pares de entradas u(t, t1 ) y salidas y(t, t1 ), respectivamente. De C2 y C3 se tiene que el estado de S en el instante t está determinado por el estado inicial x(t0 ) y el vector de entrada u(t, t0 ): x(t) = f(x(t0 ), u(t, t0 )) donde f() es una función unívoca de sus argumentos.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(3)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Forma general

Si un sistema puede describirse por un conjunto de ecuaciones diferenciales o de ecuaciones en diferencias de primer orden, las n ecuaciones de estado de un sistema dinámico de orden n-ésimo serán:  x˙ (t) = f1 (x1 (t), . . . , xn (t), u1 (t), . . . , ur (t))   1    x˙ 2 (t) = f2 (x1 (t), . . . , xn (t), u1 (t), . . . , ur (t)) (4) ..   .    x˙ n (t) = fn (x1 (t), . . . , xn (t), u1 (t), . . . , ur (t)) y las ecuaciones de salida del sistema serán las siguientes  y1 (t) = g1 (x1 (t), . . . , xn (t), u1 (t), . . . , ur (t))      y2 (t) = g2 (x1 (t), . . . , xn (t), u1 (t), . . . , ur (t)) ..   .    ym (t) = gm (x1 (t), . . . , xn (t), u1 (t), . . . , ur (t)) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(5)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Forma compacta

Si expresamos los sistemas de ecuaciones anteriores de forma matricial, donde x(t) será un vector n × 1, u(t) será un vector r × 1 e y(t) será un vector m × 1, tendremos que ˙ x(t)

=

f(x(t), u(t))

(6)

y(t)

=

g(x(t), u(t))

(7)

En el caso de que el sistema sea lineal entonces las ecuaciones de estado podrán escribirse de la forma: ˙ x(t)

=

A(t)x(t) + B(t)u(t)

(8)

y(t)

=

C(t)x(t) + D(t)u(t)

(9)

donde las matrices A(t), B(t), C(t) y D(t) son, en el caso general, matrices variantes en el tiempo de dimensiones A(t) : n × n, B(t) : n × r , C(t) : m × n y D(t) : m × r . L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado

D u(t) B

+

. x(t) +

x(t) x

C

+ + y(t)

A Figura: Diagrama de bloques de un sistema en tiempo continuo representado en ecuaciones de estado

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Sistemas de tiempo discreto

En el caso de que el sistema esté definido por ecuaciones en diferencias, las expresiones de las ecuaciones de estado y de salida serán x(k + 1)

= f(x(k), u(k))

(10)

y(k)

= g(x(k), u(k))

(11)

En el caso de que el sistema sea lineal o se linealice en torno a algún punto de equilibrio tendremos que x(k + 1)

=

G(k)x(k) + H(k)u(k)

(12)

y(k + 1)

=

C(k)x(k) + D(k)u(k)

(13)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Construcción del modelo de estado de un sistema físico Dado un cierto sistema fsico de tipo dinámico los pasos a seguir para formular un modelo de estado son los siguientes: 1

Descomponer el sistema en los elementos básicos de forma que podamos identificar sus componentes, variables, entradas, salidas y las relaciones entre ellas.

2

Elección de las variables de estado del sistema, que en una primera aproximación se puede realizar observando los elementos dinámicos del sistema. El número de variables de un sistema debe ser igual al orden de las ecuaciones diferenciales que lo describen.

3

Obtención de las ecuaciones de estado para cada variable independiente seleccionada en el paso anterior.

4

Obtención de la ecuaciones de salida del sistema, a partir de las variables de salida que se desea controlar y de las variables de estado elegidas.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Obtención del modelo de estado de un sistema Ejemplo 2

Supongamos un filtro construido con elementos pasivos, es decir con bobinas y condensadores, tal y como se muestra en la figura, y queremos obtener su modelo de estado. i

u

e

L 1

i

1

C

1

L 2

2

C

2

Figura: Filtro Butterworth de 4 orden

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

u

s

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Obtención del modelo de estado de un sistema Ejemplo 2 (cont)

Solución: Las ecuaciones del sistema de acuerdo con las leyes de Kirchoff son: ue uC 1 duC1 dt duC2 C2 dt us C1

di1 + uC1 dt di2 + uC2 = L2 dt = L1

= i1 − i2 = i2 = uC2

(14)

La elección de las variables de estado es bastante clara, ya que las variables que acumulan energía en el sistema son las tensiones en los condensadores y las intensidades en las bobinas. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Obtención del modelo de estado de un sistema Ejemplo 2 (cont)

Tomando como variables de estado las tensiones en los condensadores y las intensidades que circulan en las bobinas tendremos que di1 dt di2 dt duC1 dt duC2 dt

= = = =

1 1 ue − uC 1 L1 L1 1 1 uC − uC L2 1 L2 2 1 1 i1 − i2 C1 C1 1 i2 C2

y la salida será us = uC2 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(15)

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Obtención del modelo de estado de un sistema Ejemplo 2 (cont)

es decir   0 i1  0 d  i 2  = dt uC1   C11 uC2 0 

0 0 1 C1 1 C2

1 L1 1 L2

0 0

 1 i1 L1 1   0 L2   i 2  u  + 0  uC1   0  e uC 2 0 0 0



(16)

y la ecuación de salida sería 

 i1  i2   us = [0 0 0 1]  uC1  uC 2

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(17)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Linealización de sistemas en el espacio de estados Supuesto un cierto punto de operación del sistema (x = x0 , u = u0 ), una aproximación lineal al sistema en el entorno de ese punto de operación se obtiene a partir del desarrollo en serie de Taylor. El desarrollo en serie de Taylor para un sistema multivariable definido por el sistema de ecuaciones ˙ x(t)

=

f(x(t), u(t))

(18)

y(t)

=

g(x(t), u(t))

(19)

en el punto de operación (x = x0 , u = u0 ), se puede expresar como: d ˜x(t) dt y˜(t)

= A˜ x(t) + B˜ u(t)

(20)

= C˜x(t) + D˜ u(t)

(21)

˜ = u − u0 , y˜ = y − y0 y las matrices A, B, C y D donde ˜ x = x − x0 , u son las Jacobianas de f y g para x y u definidas por las siguientes expresiones. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Linealización de sistemas en el espacio de estados Jacobianas de f y g para x y u: A = ∇f x |x0 ,u0

(22)

B = ∇f u |x0 ,u0

(23)

C = ∇g x |x0 ,u0

(24)

D = ∇g u |x0 ,u0

(25)

y recordando la expresión de la matriz Jacobiana   ∇f x = 

∂f1 ∂x1

...

.. .

∂fn ∂x1

∂f1 ∂xn

.. .

...

∂fn ∂xn

  

(26)

nos dan las expresiones de A, B, C y D para el modelo linealizado.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Linealización de sistemas en el espacio de estados Ejemplo 3

Un modelo de estado simplificado para un horno de secado viene dado por el siguiente conjunto de ecuaciones de estado: x˙ 1

= −a1 x2

x˙ 2

= b 1 x1 − b 2 x2 − b 3 u 1

x˙ 3

= c1 x2 + c2 u2 (T2 − x3 ) + c3 x2 x3

(27)

y se quiere linealizar el sistema. Solución: Sustituyendo las ecuaciones en las expresiones de las Jacobianas tenemos que   ∂f1

A =

∇f x |x0 ,u0

1  ∂x ∂f2 =  ∂x 1

∂f3 ∂x1

 =

0 b1 0

−a1 −b2 (c1 + c3 x3,0 )

L. Moreno, S. Garrido

∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2 ∂f3 ∂x2

∂f1 ∂x3 ∂f2  ∂x3  ∂f3 ∂x3

 0  0 (c3 x2,0 − c2 u2,0 )

Curso de Ing. de Control II

(28)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Linealización de sistemas en el espacio de estados Ejemplo 3 (cont)

y para B  B =

∇f u |x0 ,u0 = 

=

0 −b1 0

L. Moreno, S. Garrido

∂f1 1  ∂u ∂f  ∂u21 ∂f3 ∂u1



∂f1 ∂u2 ∂f2  ∂xu2  ∂f3 ∂u2

 0  0 c2 (T2 − x3,0 )

Curso de Ing. de Control II

(29)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Función de transferencia y representación en el espacio de estados La representación en el espacio de estados como la función de transferencia de un sistema son dos formas de modelar matemáticamente el comportamiento de un sistema. Ambos modelos están relacionados. Supongamos que hemos obtenido la representación de estado de un sistema, y que este sistema es lineal e invariante en el tiempo d x(t) dt y(t)

= Ax(t) + Bu(t)

(30)

= Cx(t) + Du(t)

(31)

donde las matrices A, B, C y D tienen dimensiones A : n × n, B : n × r , C : m × n y D : m × r . Si hacemos la transformada de Laplace de las ecuaciones de la representación de estado tenemos que sX(s) − x(0)

= AX(s) + BU(s)

(32)

Y(s)

= CX(s) + DU(s)

(33)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Función de transferencia y representación en el espacio de estados La función de transferencia nos da la relación que existe entre la entrada y la salida de un sistema. Hemos de relacionar por lo tanto la entrada y la salida del sistema, para ello sX(s) − AX(s)

= BU(s) + x(0)

(sI − A)X(s)

= BU(s) + x(0)

X(s)

=

(sI − A)−1 BU(s) + (sI − A)−1 x(0) (34)

y sustituyendo en la ecuación de salida del sistema obtenemos Y(s)

= C(sI − A)−1 BU(s) + C(sI − A)−1 x(0) + DU(s) =

[C(sI − A)−1 B + D]U(s) + (sI − A)−1 x(0)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(35)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Representación matricial de las ecuaciones de estado Construcción del modelo de estado de un sistema físico Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Función de transferencia y representación en el espacio de estados

Si suponemos que las condiciones iniciales son nulas, la función de transferencia del sistema será F(s) =

Y(s) = C(sI − A)−1 B + D U(s)

Como (sI − A)−1 =

(36)

1 Adj(sI − A)T |sI − A|

se tiene que el polinomio característico del sistema es |sI − A|, y por tanto, los polos del sistema coinciden con los autovalores de la matriz A.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Representación de sistemas en el espacio de estados

Normalmente no se dispone de las ecuaciones del sistema de forma que pueda obtenerse el modelo en el espacio de estados de forma directa. Podemos encontrar un sistema descrito por una o varias ecuaciones diferenciales, de primer orden o de orden superior, lineales o no lineales. La matriz D en la mayoría de los sistemas no existe, dado que representa un reflejo de la entrada en la salida de forma directa. Es necesario desarrollar algún método de conversión de ecuaciones diferenciales ordinarias o de ecuaciones en diferencias a ecuaciones diferenciales o en diferencias de primer orden.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Conversión de una ecuación diferencial ordinaria a ecuaciones de estado

La elección de las variables de estado no es única, por lo que no basta con mostrar una única solución puesto que en ocasiones una elección determinada de dichas variables de estado tiene ciertas ventajas frente a otra. Veremos de los métodos más usuales de elección de las mismas y a que tipo de representaciones dan lugar. Estas representaciones se denominan formas canónicas, y entre ellas tenemos: Forma canónica controlable Forma canónica observable. Forma canónica de Jordan.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica controlable En este método de representación la variable de estado i-ésima se escoge como la derivada de la variable de estado i − 1. Esta elección es bastante natural en una gran cantidad de sistemas, por ejemplo en los sistemas mecánicos donde la aceleración es la derivada de la velocidad y la velocidad la derivada de la posición (a veces se les denomina variables de fase). Supongamos un sistema invariante en el tiempo, con una única señal de entrada u y una única señal de salida y , cuya dinámica viene determinada por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes dn d dm d y (t)+. . .+a y (t)+a y (t) = b u(t)+. . .+b1 u(t)+b0 u(t) 1 0 m n m dt dt dt dt (37) con n ≥ m. an

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica controlable Si utilizamos el operador derivada p =

d dt

la expresión anterior será

an p n y (t)+. . .+a1 py (t)+a0 y (t) = bm p m u(t)+. . .+b1 pu(t)+b0 u(t) (38) sacamos y (t) y u(t) como factor común en ambos lados (an p n + . . . + a1 p + a0 )y (t) = (bm p m + . . . + b1 p + b0 )u(t) (39) y de forma más compacta M(p)y (t) = N(p)u(t)

(40)

donde M(p) N(p)

= =

an p n + . . . + a1 p + a0

(41)

m

(42)

N(p) u(t) M(p)

(43)

bm p + . . . + b 1 p + b0

con lo que y (t) = L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica controlable Si definimos la primera de las variables de estado de forma que 1 x(t) = u(t) (44) M(p) se puede observar que la ecuación 43 ha sido reemplazada por las dos siguientes expresiones 1 u(t) (45) x(t) = M(p) y (t) = N(p)x(t) (46) Tomando las variables de estado de la siguiente forma x(t) = x1 (t) d d x(t) = x2 (t) = x1 (t) dt dt .. . dn−1 x(t) dt n−1

= xn (t) =

L. Moreno, S. Garrido

d xn−1 (t) dt

Curso de Ing. de Control II

(47)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica controlable

La ecuación 45 se puede reescribir de la siguiente forma an−1 a1 a0 dn 1 xn (t) − . . . − x2 (t) − x1 (t) x(t) = u(t) − dt n an an an an

(48)

Las ecuaciones 47 y 48 podemos expresarlas de forma matricial como        0 0 1 0 ... 0 x1 (t) x˙ 1 (t)  x˙ 2 (t)   0   x2 (t)   0  0 1 . . . 0         ..   .. ..   ..   ..  +  u(t)  . =   . .  .   .       x˙ n−1 (t)  0 0 0 ... 1 xn−1 (t)  0  an−1 a0 a1 a2 1 − an − an − an . . . − an x˙ n (t) xn (t) an (49)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica controlable Para obtener la ecuación de salida partimos de la ecuación 46, utilizando la definición de las variables de estado 47 y suponiendo que n = m obtenemos que d xn (t) = y (t) (50) dt d y sustituyendo en esta ecuación dt xn por 48 nos queda la siguiente expresión a0 a1 y (t) = (b0 − bn )x1 (t) + (b1 − bn )x2 (t) + . . . an an an−1 bn )xn (t) + u(t) (51) . . . + (bn−1 − bn an an que formulada en términos matriciales da lugar a   x1 (t)    x2 (t) bn a y (t) = b0 − bn aan0 b1 − bn aan1 . . . bn−1 − bn n−1  + u(t) . an  ..  an xn (t) b0 x1 (t) + b1 x2 (t) + . . . + bn−1 xn (t) + bn

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica controlable Esta representación se denomina forma canónica controlable . Una simplificación usual se obtiene cuando an = 1. En la figura se muestra un esquema de esta representación

b

-

+ +

+ +

b

b

b

1

0

u(t) +

+ +

x

2

xn

a

xn-1

x

1

+

L. Moreno, S. Garrido

n

a

x2

x

x1

a

2

n

-

+

Curso de Ing. de Control II

y(t)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica observable Las variables de estado se toman como una combinación lineal de las derivadas de las variables de entrada y de salida. Se toman las v. de estado de forma que xn es función de y (t) y u(t), xn−1 es función de y (t), u(t) y sus derivadas y así sucesivamente, xn (t)

=

xn−1 (t)

=

xn−2 (t)

=

... x1 (t)

=

an y (t) − bn u(t) d d an−1 y (t) + an y (t) − bn−1 u(t) − bn u(t) dt dt d2 d an−2 y (t) + an−1 y (t) + an−2 2 y (t) − dt dt d d2 −bn−2 u(t) − bn−1 u(t) − bn−2 2 u(t) dt dt d dn−1 y (t) + . . . + an n−1 y (t) − dt dt d dn−1 −b1 u(t) − b2 u(t) − . . . − bn n−1 u(t) dt dt a1 y (t) + a2

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(53)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica observable Cont. De la primera ecuación de 53 calculamos y (t) (ec. de salida), 1 bn xn (t) + u(t) (54) an an Si derivamos las ecuaciones del sistema 53 obtenemos d d d xn (t) = an y (t) − bn u(t) dt dt dt d d d2 d d2 xn−1 (t) = an−1 y (t) + an 2 y (t) − bn−1 u(t) − bn 2 u(t) dt dt dt dt dt ... d d d2 dn−1 x2 (t) = a2 y (t) + a3 2 y (t) + . . . + an n−1 y (t) − dt dt dt dt d d2 dn−1 −b2 u(t) − b3 2 u(t) − . . . − bn n−1 u(t) dt dt dt d d d2 n) x1 (t) = a1 y (t) + a2 2 y (t) + . . . + an y (t) − dt dt dt d d2 dn −b1 u(t) − b2 2 u(t) − . . . − bn n u(t) (55) dt dt dt y (t) =

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica observable

Cont. sustituyendo las ecuaciones 55 en el sistema de ecuaciones 53 obtenemos que xn (t)

=

an y (t) − bn u(t)

xn−1 (t)

=

an−1 y (t) − bn−1 u(t) +

xn−2 (t)

= ...

x1 (t)

=

d xn (t) dt d an−2 y (t) − bn−2 u(t) + xn−1 (t) dt a1 y (t) − b1 u(t) +

L. Moreno, S. Garrido

d x2 (t) dt

Curso de Ing. de Control II

(56)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica observable Cont. y si aquí sustituimos y (t) por la ecuación de salida 54 tendremos, n − 1 ecuaciones de estado, faltaría únicamente la ecuación de estado correspondiente a x˙ 1 (t) xn (t)

=

xn−1 (t)

=

an−1 an−1 xn (t) − (bn−1 − bn )u(t) + an an an−2 an−2 xn (t) − (bn−2 − bn )u(t) + an an

d xn (t) dt d xn−1 (t) dt

.. . x2 (t)

=

a1 a1 d xn (t) − (b1 − bn )u(t) + x2 (t) an an dt

(57)

Para obtener la ecuación de estado que falta combinamos las ecuaciones 57 con la ecuación diferencial original expresada en términos de las variables de estado que hemos definido 0=

a0 a0 d xn (t) − (b0 − bn )u(t) + x1 (t) an an dt

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(58)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica observable Cont.

Escribiendo en forma matricial las ecuaciones 57 y 58 obtenemos el conjunto de ecuaciones de estado y de la ecuación 54 la ecuación de salida, es decir     b − b a0  0 0 ... 0 0 − aan0   0 na x1 (t) n x1 (t) a1   b 1 − b n a1  1 0 . . . 0 0   − x (t) 2   an   an  x2 (t)   d    .. .. ..   .. .. ..  ..   u +    . =  . . . . .  .   . dt  ..      an−2   a 0 0 . . . 1 0 − an  xn−1 (t) bn−2 − bn n−2  a n xn (t) an−1 an−1 xn (t) 0 0 . . . 0 1 − an bn−1 − bn an (59)  x1 (t)  x2 (t)   .  bn 1  .   + u(t) an   .  an xn−1 (t) xn (t) 

 y (t) = 0

0

...

0

L. Moreno, S. Garrido

0

Curso de Ing. de Control II

(60)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica observable En la figura se muestra un esquema de esta representación

u(t) bn-anb0

bn-1 -an-1b0

+ an

x

x1 + + -

b0

b1-a1b0

x

an-1

L. Moreno, S. Garrido

+

x2 xn-1

+

x

a1

Curso de Ing. de Control II

xn +

+

y(t)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica de Jordan La elección de las v. de estado se basa en el principio de superposición de sistemas lineales, es decir se busca la descomposición de la respuesta del sistema lineal en sus componentes individuales. Consideremos que la función de transferencia del sistema sea G (s) =

Y (s) bm s m + . . . + b1 s + b0 = U(s) an s n + . . . + a1 s + a0

(61)

donde m ≤ n. Supongamos que el denominador de dicha función de transferencia no tiene raices múltiples, con lo que descomponiendo en fracciones parciales se obtiene que G (s)

= =

bm s m + . . . + b1 s + b0 an (s − λ1 )(s − λ2 ) . . . (s − λn ) c1 c2 cn + + ... + s − λ1 s − λ2 s − λn

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(62)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica de Jordan Cont. 62 es una combinación lineal de n componentes elementales más un término directamente relacionado con la entrada que aparece en el caso de que n = m Y (s) =

c1 c2 cn bn U(s)+ U(s)+. . .+ U(s)+ U(s) (63) s − λ1 s − λ2 s − λn an

Cada una de estas componentes elementales la ecuación anterior es la respuesta de un sistema con función de transferencia Gi (s) =

1 s − λi

(64)

a la señal de entrada U(s). Lo que implica que si cada una de estas componentes básicas la tomamos como una variable de estado Xi (s) que satisface Xi (s) = Gi (s)U(s), esto implica que la variable de estado xi (t) así definida satisface la siguiente ecuación diferencial d xi (t) = λi xi (t) + u(t) dt L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(65)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica de Jordan Cont. Tenemos, por tanto, n ecuaciones diferenciales como la 65 que constituyen las ecuaciones de estado y una ecuación de salida que en el dominio del tiempo tiene la forma y (t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + . . . + cn xn (t) +

bn u(t) an

y formulando las ecuaciones en forma matricial tendremos        x1 (t) λ1 0 . . . 0 x1 (t) 1        d x2 (t)  0 λ2 . . . 0  x2 (t) 1  . = . .. ..   ..  +  ..  u(t) dt  ..   .. . .   .  . xn (t) 1 xn (t) 0 0 . . . λn  x1 (t) x2 (t)   bn y (t) = [c1 c2 . . . cn ]  .  + u(t)  ..  an xn (t)

(66)

(67)



L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(68)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica de Jordan Si en la forma canónica de Jordan todas las raices del denominador son simples se la conoce con el nombre de forma canónica diagonal. En la figura se muestra una representación gráfica de la forma canónica diagonal de unsistema. u(t) + -

Ƈ

y(t)

+

b0 x1

c1

+ + +

b1

+ -

Ƈ

xn

cn

+

bn

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica de Jordan En el caso de que la ecuación característica del sistema tenga raices múltiples, la descomposición en fracciones parciales da lugar a una expresión del siguiente tipo bm s m + . . . + b1 s + b0 an (s − λ1 )k (s − λ2 ) . . . (s − λn ) c1 ck+1 cn ck = + ... + + + ... + (s − λ1 )k s − λ1 s − λ2 s − λn

G (s) =

(69)

Si suponemos que las condiciones iniciales son nulas la respuesta del sistema ante una entrada Y (s) será Y (s) =

c1 ck ck+1 cn U(s)+. . .+ U(s)+ U(s)+. . .+ U(s) (s − λ1 )k s − λ1 s − λ2 s − λn (70)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica de Jordan Cont. Tomando como vectores de estado cada una de las fracciones que aparecen en la ecuación 70 tendremos X1 (s)

=

X2 (s)

=

.. . Xk (s)

=

Xk+1 (s)

=

.. . Xn (s)

=

c1 c1 U(s) = X2 (s) (s − λ1 )k s − λ1 c2 c1 U(s) = X3 (s) (s − λ1 )k−1 s − λ1 ck U(s) s − λ1 ck+1 U(s) s − λ2 cn U(s) s − λn

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(71)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica de Jordan Cont. Reescribiendo las ecuaciones anteriores 71 en el dominio del tiempo nos quedará el sistema expresado como conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden d x1 (t) dt d x2 (t) dt

=

λ1 x1 (t) + x2 (t)

=

λ1 x2 (t) + x3 (t)

.. . d xk (t) dt

=

λ1 xk (t) + u(t)

d xk+1 (t) dt

=

λ2 xk+1 (t) + u(t)

.. . d xn (t) dt L. Moreno, S. Garrido

=

λn xn (t) + u(t)

Curso de Ing. de Control II

(72)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Forma canónica de Jordan Cont. y puesto este conjunto    λ1 x1 (t)  x2 (t)   0     ..   ..   d   xk (t)  =  0    dt    xk+1 (t)  0  ..   .. 0 xn (t)

de ecuaciones en forma matricial     0 x1 (t) 1 ... 0 0 ... 0  x2 (t)  0 λ1 . . . 0 0 ... 0          .. .. .. .. ..    ..  ..  xk (t) +1 u(t) 0 . . . λ1 0 . . . 0          0 . . . 0 λ2 . . . 0   xk+1 (t) 1   ..  .. .. .. .. 1 xn (t) 0 ... 0 0 . . . λn (73)   x1 (t)  x2 (t)     ..    bn  y (t) = [c1 c2 . . . ck ck+1 . . . cn ]  (74)  xk (t)  + an u(t) xk+1 (t)    ..  xn (t) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Representación en las formas canónicas Ejemplo

Dado el sistema mostrado en la figura, obtener las formas canónicas de Jordan, controlable y observable.

u(t)

2 s+1

L. Moreno, S. Garrido

s+3 s+2

1 s

Curso de Ing. de Control II

y(t)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Representación en las formas canónicas Ejemplo Cont.

Solución: Forma canónica de Jordan. Obtenemos en primer lugar la función de transferencia global del sistema, F (s) =

2(s + 3) −4 1 3 = + + s(s + 1)(s + 2) s +1 s +2 s

y de aquí tenemos que tomando como variables de estado las −4 1 fracciones parciales X1 (s) = s+1 U(s), X2 (s) = s+2 U(s) y X3 (s) = 3s U(s) obtenemos la siguiente representación de estado        x (t) −1 0 0 x1 (t) 1 d  1   x2 (t) = 0 −2 0 x2 (t) + 1 u(t) dt x3 (t) 0 0 0 x3 (t) 1 

 x1 (t) y (t) = [−4 1 3] x2 (t) x3 (t) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Representación en las formas canónicas Ejemplo Cont.

Solución: cont. Forma canónica controlable. Partiendo de la función de transferencia F (s) del sistema F (s) =

2(s + 3) 2s + 6 = 3 s(s + 1)(s + 2) s + 3s 2 + 2s

obtenemos que los coeficientes del polinomio del denominador son a3 = 1, a2 = 3, a1 = 2, a0 = 0 y los del numerador b1 = 2, b0 = 6. Sustituyendo estos coeficientes en la expresión de la forma canónica controlable obtenemos        x (t) 0 1 0 x1 (t) 0 d  1   x2 (t) = 0 0 1  x2 (t) + 0 u(t) dt x3 (t) 0 −2 −3 x3 (t) 1 

 x1 (t) y (t) = [6 2 0] x2 (t) x3 (t) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Representación en las formas canónicas Ejemplo Cont.

Solución: cont. Forma canónica observable. Partiendo de los coeficientes de los polinomios del numerador y del denominador de la función de transferencia que hemos obtenido y sustituyendo en la expresión de la forma canónica observable se llega a        x (t) 0 0 0 x1 (t) 6 d  1   x2 (t) = 1 0 −2 x2 (t) + 2 u(t) dt x3 (t) 0 1 −3 x3 (t) 0



y (t) = 0

L. Moreno, S. Garrido

0

   x1 (t) 1 x2 (t) x3 (t)

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Es un proceso similar al visto para sistemas expresados por ecuaciones diferenciales, pero se trabaja a partir de la transformada z o de la expresión en diferencias y utilizando el operador retardo para expresar en forma polinómica las ecuaciones de estado. Dado un sistema invariante en el tiempo, con una única entrada u y una única señal de salida y , cuya dinámica viene dada por una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes an y (k−n)+. . .+a1 y (k−1)+a0 y (k) = bm u(k−m)+. . .+b1 u(k−1)+b0 u(k) (75)

con n ≥ m. Si introducimos el operador retardo q −1 la expresión anterior podemos reescribirla an q −n y (k)+. . .+a1 q −1 y (k)+a0 y (k) = bm q −m u(k)+. . .+b1 q −1 u(k)+b0 u(k) (76)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado cont.

Cont. Sacando y (t) y u(t) como factor común en ambos lados de la expresión (an q −n + . . . + a1 q −1 + a0 )y (k) = (bm q −m + . . . + b1 q −1 + b0 )u(k) (77) que podemos expresar de forma más compacta como un cociente de polinomios de la forma y (k) =

N(q) u(k) M(q)

(78)

A partir de aquí es posible realizar un desarrollo similar al hecho para el caso de sistemas en tiempo continuo, y se llegaría a las mismas expresiones.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Ejemplo

Dado un sistema un cuya función de transferencia es F (z) =

z3

z 2 + 0,4z + 3 + 1,9z 2 + 1,08z + 0,18

determinemos las formas c. controlable, observable y de Jordan. Solución: Forma canónica controlable. De F (z) obtenemos que los coeficientes del polinomio del denominador son a3 = 1,a2 = 1,9,a1 = 1,08, a0 = 0,18 y los del numerador b2 = 1, b1 = 0,4, b0 = 3 y de aquí        x1 (k + 1) 0 1 0 x1 (k) 0 x2 (k + 1) =  0 0 1  x2 (k) + 0 u(k) x3 (k + 1) −0,18 −1,08 −1,9 x3 (k) 1   x1 (k) y (k) = [2,82 − 0,68 − 0,9] x2 (k) x3 (k) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Ejemplo

Solución: cont. Forma canónica observable. Partiendo de los coeficientes de los polinomios del numerador y del denominador de la función de transferencia se obtiene        x1 (k + 1) 0 0 −0,18 x1 (k) 2,82 x2 (k + 1) = 1 0 −1,08 x2 (k) + −0,68 u(k) x3 (k + 1) 0 1 −1,9 x3 (k) −0,9   x1 (k) y (k) = [0 0 1] x2 (k) x3 (k)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Ejemplo

Solución: cont. Forma canónica de Jordan. Si obtenemos las raices del denominador de la función de transferencia del sistema y expandimos F (z) =

z 2 + 0,4z + 3 12,85 −26 14,14 = + + (z + 1)(z + 0,6)(z + 0,3) z +1 z + 0,6 z + 0,3

y tomando como variables de estado las fracciones parciales 14,14 26 U(z), X2 (z) = z+0,6 U(s) y X3 (z) = z+0,3 U(z) X1 (z) = 12,85 z+1 obtenemos la siguiente representación de estado        x1 (k + 1) −1 0 0 x1 (k) 1 x2 (k + 1) =  0 −0,6 0  x2 (k) + 1 u(k) x3 (k + 1) 0 0 −0,3 x3 (k) 1   x1 (k) y (k) = [12,86 − 26 14,14] x2 (k) x3 (k) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformaciones entre representaciones Sea un sistema definido por x(k + 1)

= Gx(k) + Hu(k)

y(k)

= Cx(k) + Du(k)

(79)

queremos pasar de una representación de estado dada a otra. Si definimos un nuevo vector de estado x0 (k) de forma que x(k) = Tx0 (k)

(80)

donde T es una matriz no singular, es decir invertible, las nuevas variables x0 (k) se pueden expresar como combinación lineal de las x(k). Si sustituimos obtenemos Tx0 (k + 1) = GTx0 (k) + Hu(k)

(81)

y premultiplicando por la inversa de la matriz de transformación se tiene que x0 (k + 1) = T−1 GTx0 (k) + T−1 Hu(k) (82) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformaciones entre representaciones con lo que si denominamos G0

= T−1 GT

0

−1

H

= T

(83) (84)

H

nos queda que el nuevo sistema es x0 (k + 1) = G0 x0 (k) + H0 u(k)

(85)

Procediendo de forma similar para la ecuación de salida y(k) = CTx0 (k) + Du(k)

(86)

y denominando C0 0

D

= CT

(87)

= D

(88)

obtenemos una nueva representación de estado x0 (k + 1) y(k)

= G0 x0 (k) + H0 u(k) =

L. Moreno, S. Garrido

0 0

0

C x (k) + D u(k) Curso de Ing. de Control II

(89) (90)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Igualdad de la ecuación característica para diferentes representaciones de estado Dos representaciones de estado son similares si tienen el mismo polinomio característico, y por tanto los mismos valores propios o autovalores. Veamos que esto se verifica para el caso anterior, |zI − G0 | =

|zI − T−1 GT|

=

|zT−1 T − T−1 GT|

=

|T−1 (zI − G)T|

=

|T−1 ||zI − G||T|

=

|zI − G|

(91)

Es decir la ecuación característica de la matriz y sus autovalores, no dependen de la base elegida para representar el sistema en el espacio de estados. La matriz de transformación sólo requiere que esta sea no singular, por lo que existen infinitas representaciones de estado . L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la forma canónica controlable Dado un sistema de la forma x(k + 1)

=

Gx(k) + Hu(k)

(92)

y (k)

=

Cx(k) + Du(k)

(93)

puede ser transformado a la f. c. controlable por medio de la matriz de transformación (94)

T = MW donde M = [H

GH . . . Gn−1 H] y  a1 a2  a2 a3   .. .. W= . .  an−1 1 1 0

... ...

an−1 1 .. .

... ...

0 0

 1 0  ..  .  0 0

(95)

donde los ai de W son los coeficientes de la ec. característica |zI − G| = z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 = 0 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(96)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la forma canónica observable Dado un sistema de la forma x(k + 1)

=

Gx(k) + Hu(k)

(97)

y (k)

=

Cx(k) + Du(k)

(98)

puede ser transformado a la f. c. observable por medio de T = (WN∗ )−1

(99)

donde N = [C∗

G∗ C ∗ . . . (G∗ )n−1 C∗ ]

(100)

y  an−1 an−2   W =  ...   a1 1

an−2 an−3 .. .

... ...

1 0

... ...

a1 1 .. . 0 0

 1 0  ..  .  0 0

siendo los ai de W los coeficientes de la ec. característica 96. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(101)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a las forma canónicas Ejemplo

Problema: Sea el sistema    x1 (k + 1) −1 = x2 (k + 1) 0

1 −1



 y (k) = [1 2]

   x1 (k) 0 + u(k) x2 (k) 1

x1 (k) x2 (k)



Obtener las matrices de transformación T que nos permiten convertir esta representación en las formas canónicas controlable y observable.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a las forma canónicas Ejemplo: cont.

Solución: La ecuación característica de este sistema es |zI − G| = z 2 + 2z + 1 = 0 y por tanto los coeficientes del polinomio son a2 = 1, a1 = 2, a0 = 1. Forma c. observable. La matriz de transformación era T = (WN ∗ )−1 . Como    ∗  1 −1 ∗ ∗ G C = N= C 2 −1 y     a1 1 2 1 W= = 1 0 1 0 La matriz de transformación será   −1  2 1 1 2 −2 ∗ −1 T = (WN ) = = 1 0 −1 −1 1   1 3 T −1 = 1 −1 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

 3 −1

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a las forma canónicas Ejemplo: cont.

Cont. Las matrices G0 , H0 , C0 del sistema transformado son las siguientes       1 3 −1 1 −2 3 0 −1 G0 = T−1 GT = = 1 2 0 −1 1 −1 1 −2      1 3 0 3 H0 = T−1 H = = 1 2 1 2       −2 3 C0 = CT = 1 2 = 0 1 1 −1 y el sistema una vez transformado x0 (k + 1)

=

G0 x0 (k) + H0 u(k) =

y (k)

=

C0 x0 (k) = [0 1]x0 (k)

L. Moreno, S. Garrido

 0 1

   −1 0 3 x (k) + u(k) −2 2

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a las forma canónicas Ejemplo: cont.

Solución: cont. Forma c. controlable. La matriz de transformación para pasar a la forma c. controlable, era T = MW . Como     0 1 M = H GH = 1 −1 y     a1 1 2 1 W= = 1 0 1 0 con lo que la matriz de transformación será     0 1 2 1 1 T = MW = = 1 −1 1 0 1 T−1 =

L. Moreno, S. Garrido



1 −1

 0 1

Curso de Ing. de Control II

 0 1

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a las forma canónicas Ejemplo: cont.

Solución: cont. Las matrices G0 , H0 , C0 del sistema transformado son las siguientes

0

=

H0

=

C0

=

G

  1 0 −1 1 1 T GT = −1 1 0 −1 1      1 0 0 0 T−1 H = = −1 1 1 1     1 0   CT = 1 2 = 3 2 1 1 −1



L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

  0 0 = 1 −1

1 −2



Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la forma canónica de Jordan Cuando la matriz G del sistema tiene valores propios λ1 , λ2 , . . . , λn diferentes, la matriz G0 de la forma c. de Jordan es una matriz diagonal, de la forma   λ1 0 . . . 0  0 λ2 . . . 0    G0 = T−1 GT =  . (102) .. ..  = Λ  .. . . 0 0 . . . λn La matriz de transformación T se obtiene puede a partir de los vectores propios vi correspondientes a los valores propios λi que cumplen la ec. característica |λI − G| = 0, y por tanto se tiene que: Gv1

= λ1 v1

Gv2 .. .

= λ2 v2 . = ..

Gvn

= λn vn

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(103)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la forma canónica de Jordan La matriz de transformación T, se obtiene a partir de 103, reformulándola en forma matricial como:  λ1 0 . . .  0 λ2 . . .  G[v1 v2 . . . vn ] = [v1 v2 . . . vn ]  . ..  .. . 0

0

...

la expresión  0 0  ..  .

(104)

λn

y llamando T a la matriz cuyas columnas son los vectores propios, T = [v1 v2 . . . vn ]

(105)

el conjunto de igualdades 104 puede expresarse como GT = TΛ donde Λ = G0 es la matriz diagonal que se desea obtener como resultado de la transformación. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(106)

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la f.c. de Jordan Ejemplo

Sea un sistema un cuya representación de estado es        x1 (k + 1) 1 0 0 x1 (k) 1 x2 (k + 1) = 1 −1 0 x2 (k) + 0 u(k) x3 (k + 1) 0 1 2 x3 (k) 1  y (k) = 1

2

   x1 (k) 1 x2 (k) x3 (k)

Obtener las matrices de transformación T que nos permiten convertir esta representación en la forma canónica de Jordan.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la f.c. de Jordan Ejemplo (cont.)

Solución: La ec. característica de este sistema sistema viene dada por |λI − G| = (λ − 1)(λ + 1)(λ − 2) = 0 y por tanto los autovalores son λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2. La matriz de transformación para pasar a la forma c. diagonal (puesto que las raíces son simples) se obtiene a partir de los vectores propios obtenidos a partir de la siguiente expresión Gvi = vi λi      1 0 0 vi1 vi1 1 −1 0 vi2  = vi2  λi (107) 0 1 2 vi3 vi3 y donde T = [v1 v2 v3 ]. Sustituyendo en 107 los λi por su valor obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la f.c. de Jordan Ejemplo (cont)

λ1 = 1 El sistema de ecuaciones es el siguiente v11

=

v11

v11 − v12

=

v12

v12 + 2v13

=

v13

cuya solución nos indica que v11 se puede elegir arbitrariamente, y que v12 = 21 v11 y que v13 = −v12 . Tomando v11 = 2 nos queda que v12 = 1 y v13 = −1 con lo que el vector propio v1 será   2 v1 =  1  (108) −1

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la f.c. de Jordan Ejemplo (cont)

λ2 = −1 El sistema de ecuaciones 107 queda de la siguiente forma v21

=

−v21

v21 − v22

=

−v22

v22 + 2v23

=

−v23

cuya solución nos indica que v22 se puede elegir arbitrariamente, y que v23 = −1 v y que v21 = 0. 3 22 Tomando v22 = 3 nos queda que v23 = −1, con lo que el vector propio v2 será   0 v2 =  3  (109) −1

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la f.c. de Jordan Ejemplo (cont)

λ3 = 2 El sistema de ecuaciones 107 queda de la siguiente forma v31

=

2v31

v31 − v32

=

2v32

v32 + 2v33

=

2v33

cuya solución nos indica que v33 se puede elegir arbitrariamente, y que v31 = 0 y que v32 = 0. Tomando v33 = 1 nos queda que el vector propio v3 será   0 v3 = 0 (110) 1

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la f.c. de Jordan Ejemplo (cont)

La matriz de transformación T es  2 T= 1 −1

0 3 −1

 0 0 1

(111)

0

 0 0 1

(112)

y su inversa 1 2 −1  6 1 3

 T−1 =

L. Moreno, S. Garrido

1 3 1 3

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Transformación a la f.c. de Jordan Ejemplo (cont)

Las matrices G0 , H0 , C0 del sistema transformado son las siguientes  1    0 0 1 0 0 2 0 0 2 1 3 0 0 1 −1 0  1 G0 = T−1 GT =  −1 6 3 1 1 0 1 2 −1 −1 1 1 3  3 1 0 0 = 0 −1 0 0 0 2  1    1  0 0 1 2 2 1 0 0 = − 61  H0 = T−1 H =  −1 6 3 1 1 4 1 1 3 3  3  2 0 0 3 0 = [3 5 1] C0 = CT = [1 2 1]  1 (113) −1 −1 1

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

L. Moreno, S. Garrido

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

L. Moreno, S. Garrido

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Curso de Ing. de Control II

Introducción al concepto de estado y de espacio de estados. Representación de sistemas en el espacio de estados

L. Moreno, S. Garrido

Conversión de una ecuación en diferencias a ecuaciones de estado Transformaciones entre representaciones

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Modelado y Análisis de Sistemas en el Espacio de Estados Solución de la Ecuación de Estado

L. Moreno, S. Garrido Dpto. Ing. de Sistemas y Automática Universidad Carlos III Madrid

Enero 2012

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Table of contents

1

Solución de la ecuación de estado Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

2

Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ecuación de estado Sistemas de tiempo continuo

Si consideramos un sistema lineal invariante en el tiempo definido por las ecuaciones de estado ˙ x(t)

=

Ax(t) + Bu(t)

y(t)

=

Cx(t) + Du(t)

(1)

donde A : n × n, B : n × r , C : m × n y D : m × r y los vectores x(t) : n × 1, u(t) : r × 1 e y(t) : m × 1. Suponiendo x(t0 ) es conocido y que se conoce la señal de entrada al sistema u(t) para t ≥ t0 . Se trata de determinar el vector x(t) para t > t0 . La ecuación homogénea correspondiente a la ecuación 1 es ˙ x(t) = Ax(t)

(2)

cuya solución viene dada por: x(t) = e A(t−t0 ) x(t0 ) donde x(t0 ) es el vector de condiciones iniciales. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(3)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ecuación de estado Sistemas de tiempo continuo

La matriz e At puede obtenerse desarrollando en serie de potencias como A3 t 3 A2 t 2 + + ... (4) e At = I + At + 2! 3! Si definimos una nueva matriz Φ de la siguiente manera Φ(t) = e At

(5)

la ecuación 3 puede reescribirse como x(t) = Φ(t − t0 )x(t0 )

(6)

La solución de la ecuación no-homogénea 1 será de la forma x(t) = Φ(t − t0 )C1 (t)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(7)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ecuación de estado Sistemas de tiempo continuo

Diferenciando la ecuación anterior con respecto a t obtenemos d x(t) dt

=

AΦ(t − t0 )C1 (t) + Φ(t − t0 )

=

Ax(t) + Φ(t − t0 )

d C1 (t) dt

d C1 (t) dt

(8)

y si comparamos la ecuación 8 con la 1 se puede observar que Φ(t − t0 )

d dt C1 (t)

Despejando el término en Z

d C1 (t) = Bu(t) dt

(9)

e integrándolo entre t0 y t

t

C1 (t) =

Φ−1 (τ − t0 )Bu(τ )dτ + C2

(10)

t0

con lo que tenemos que la solución de la ecuación de estado será L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Solución de la ecuación de estado Sistemas de tiempo continuo

Z x(t)

=

t

Φ(t − t0 )C1 (t) = Φ(t − t0 )[

Φ−1 (τ − t0 )Bu(τ )dτ + C2 ]

t0

Z =

t

Φ−1 (τ − t0 )Bu(τ )dτ

Φ(t − t0 )C2 + Φ(t − t0 )

(11)

t0

y dado que Φ(t−t0 )Φ−1 (τ −t0 ) = e A(t−t0 ) e −A(τ −t0 ) = e A(t−τ ) = Φ(t−τ ) (12) la ecuación 11 puede expresarse como Z t x(t) = Φ(t − t0 )C2 + Φ(t − τ )Bu(τ )dτ t0

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(13)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ecuación de estado Sistemas de tiempo continuo

Queda por calcular el vector constante C2 . Dicho vector lo calcularemos a partir de las condiciones iniciales en el instante t0 . Para ello, si particularizamos la solución de la ecuación de estado que hemos obtenido en 13 para el instante t0 , y dado que la integral entre t0 y t0 tiene valor nulo, tendremos que x(t0 ) = Φ(0)C2 = C2

(14)

por lo tanto la forma resultante de la solución de la ecuación de estado será Z t Φ(t − τ )Bu(τ )dτ (15) x(t) = Φ(t − t0 )x(t0 ) + t0

La matriz Φ(t) = e At se conoce como matriz fundamental del sistema o matriz de transición. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución Método de la transformada de Laplace

Un método más eficaz de resolver la ec. de estado puede obtenerse aplicando la transformada de Laplace. Supongamos el sistema ˙ x(t)

=

Ax(t) + Bu(t)

y(t)

=

Cx(t) + Du(t)

(16)

tomando transformadas de Laplace obtenemos que sX(s) − x(0) = AX(s) + BU(s)

(17)

Y(s) = CX(s) + DU(s)

(18)

De la ecuación 17 se deduce que X(s) = (sI − A)−1 x(0) + (sI − A)−1 BU(s)

(19)

Haciendo la antitransformada de Laplace de la expresión anterior tendremos que x(t) = L−1 [(sI − A)−1 ]x(0) + L−1 [(sI − A)−1 BU(s)] L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(20)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Obtención de la solución Método de la transformada de Laplace

comparando esta expresión con la solución de la ec. de estado obtenida en 15 se puede observar que: El primer término de la ecuación 20 es la solución de la ecuación homogénea para u(t) = 0. Y el segundo término representa la solución particular correspondiente a la ecuación no homogénea con entrada u(t) distinta de cero. Por otra parte resulta fácil obtener la expresión de la matriz fundamental Φ(t) en función de la antitransformada de Laplace ya que igualando los primeros términos de las ecuaciones 20 y 15 resulta x(t) = Φ(t)x(0) = L−1 [(sI − A)−1 ]x(0)

(21)

lo que implica que Φ(t) = L−1 [(sI − A)−1 ]

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(22)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Método de la transformada de Laplace Ejemplo

Supongamos el siguiente sistema        d x1 (t) −2 1 x1 (t) 1 = + u(t) 0 −3 x2 (t) 2 dt x2 (t)

(23)

obtener la solución de la ec. de estado para el sistema sometido a una entrada escalón unitario y con estado inicial nulo. Solución: La solución de la ec. de estado, utilizando la transformada de Laplace, viene dada por la siguiente expresión x(t) = L−1 [(sI − A)−1 ]x(0) + L−1 [(sI − A)−1 BU(s)]

(24)

en la que el primer término se anula puesto que el sistema tiene condiciones iniciales nulas. La solución queda entonces reducida a la siguiente expresión x(t) = L−1 [(sI − A)−1 BU(s)] L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(25)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Método de la transformada de Laplace Ejemplo

Obtenemos en primer lugar [sI − A] y su inversa,     s + 2 −1 sI − A = 0 s +3  1  1  −1 s+2 (s+2)(s+3) sI − A = 1 0 s+3

(26) (27)

y a partir de esta expresión tenemos que la respuesta del sistema en el campo de Laplace viene dada por " #    1 s+5 1 1 1 s(s+2)(s+3) −1 s+2 (s+2)(s+3) = X(s) = [(sI−A) BU(s)] = 2 1 2 s 0 s(s+3) s+3 (28) Haciendo la antitransformada de Laplace obtenemos la solución de la ecuación de estado. " #   s+5 5 − 32 e −2t + 23 e −3t −1 s(s+2)(s+3) 6 x(t) = L = (29) 2 2 2 −3t s(s+3) 3 − 3e L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo El control de sistemas basado en técnicas de espacio de estados se realiza siempre mediante computador, es decir en tiempo discreto. Es necesario obtener modelos de estado discretos a partir de los modelos de estado en tiempo continuo de un sistema expresado normalmente por ˙ x(t)

=

Ax(t) + Bu(t)

y(t)

=

Cx(t) + Du(t)

(30)

lo que se busca es obtener un modelo discretizado de 30 de la forma x(k + 1)

= Gx(k) + Hu(k)

y(k)

= Cx(k) + Du(k).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(31)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Discretización de las ecuaciones de estado

Esta discretización podemos realizarla de dos formas: Método Indirecto. Se basa en discretizar de forma convencional la función de transferencia del sistema, para lo cual se obtiene la función de transferencia del sistema, se introducen en él un bloqueador y un muestreador, y a continuación, se obtiene la función de transferencia discreta del sistema para un cierto periodo de muestreo T . En un segundo paso, se convierte la función de transferencia discreta a una representación de estado discreta por medio de alguno de los métodos que hemos visto anteriormente. Método Directo. En este método buscamos obtener de forma directa las expresiones de G y H a partir de las matrices A y B de la representación de estado en tiempo continuo.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Discretización de las ecuaciones de estado Método directo

Habíamos visto en 15 que la solución de la ecuación de estado continua era Z t A(t−t0 ) x(t) = e x(t0 ) + e A(t−τ ) Bu(τ )dτ (32) t0

Suponiendo que las v. de entrada son muestreadas y se llevan a un bloqueador de orden cero por lo que permanecen constantes hasta el siguiente muestreo, es decir u(t) = u(t0 + kT ) para t0 + kT ≤ t < t0 + (k + 1)T . Entonces los valores de la solución de la ec. de estado en el instante t0 + kT Z t0 +kT AkT x(t0 + kT ) = e x(t0 ) + e A(t0 +kT −τ ) Bu(τ )dτ (33) t0

y en t0 + (k + 1)T x(t0 +(k+1)T ) = e

A(k+1)T

Z x(t0 )+

t0 +(k+1)T

e A(t0 +(k+1)T −τ ) Bu(τ )dτ

t0

(34) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Discretización de las ecuaciones de estado Método directo

Si en la expresión 34 consideramos como estado inicial el correspondiente al instante de tiempo t0 + kT , la expresión queda Z t0 +(k+1)T x(t0 +(k+1)T ) = e AT x(t0 +kT )+ e A(t0 +(k+1)T −τ ) Bu(τ )dτ t0 +kT

(35) Suponiendo por simplicidad que t0 = 0 la expresión anterior se puede expresar como Z (k+1)T x((k + 1)T ) = e AT x(kT ) + e A((k+1)T −τ ) Bu(τ )dτ (36) kT

y si en el término integral de la ecuación anterior hacemos el cambio de variable τ = kT + t, la expresión resultante es Z T x((k + 1)T ) = e AT x(kT ) + e A(T −t) Bu(kT + t)dt (37) 0 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Discretización de las ecuaciones de estado Método directo

Como las señales de entrada son muestreadas y se mantienen constantes todo el intervalo, u(kT + t) = u(kT ), la ec. 37 queda Z T AT x((k + 1)T ) = e x(kT ) + e A(T −t) Bu(kT )dt (38) 0

y haciendo λ = T − t, la ec. 38 se transforma en Z T x((k + 1)T ) = e AT x(kT ) + e Aλ Bu(kT )dλ

(39)

0

Comparando esta expresión con la ec. de estado para un sistema de tiempo discreto en el instante k + 1 x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)

(40)

= e AT Z T H(T ) = ( e Aλ dλ)B

(41)

se tiene que G(T )

0 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(42)

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Discretización de las ecuaciones de estado Método directo

En el caso de que la matriz A sea no singular, la expresión 42 puede simplificarse, para ello resolvemos la integral, dando como resultado H(T )

=

Z (

T

e Aλ dλ)B

0 −1

= A

[e AT − e A0 ]B

= A−1 [e AT − I]B

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(43)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Discretización de la ec. de estado por el Método directo Ejemplo

Supongamos el sistema    d x1 (t) −2 = 0 dt x2 (t)

    1 x1 (t) 1 + u(t) −3 x2 (t) 2

y queremos calcular su equivalente discreto. Solución: La matriz fundamental para este sistema, utilizando la transformada de Laplace, viene dada por Φ(t) = L−1 [(sI − A)−1 ] Obtenemos en primer lugar [sI − A] y su inversa,     s +2 −1 sI − A = 0 s +3   1 1  −1 s+2 (s+2)(s+3) sI − A = 1 0 s+3 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Discretización de la ec. de estado por el Método directo Ejemplo cont.

Solución: cont La matriz fundamental Φ(t) del sistema es   −2t  1 1 e = Φ(t) = L−1 [(sI−A)−1 ] = L−1 s+2 (s+2)(s+3) 1 0 0 s+3

e −2t − e −3t e −3t

A partir de la matriz fundamental se obtienen las matrices G(T ) y H(T ) del sistema en la representación de estado de tiempo discreto con periodo T , resultando  −2T  e e −2T − e −3T AT G(T ) = e = 0 e −3T T

Z H(T )

=

(

e Aλ dλ)B =

=

2

T

0

0

 −3

Z

e −2T + 23 e −3T + −2 −3T e + 23 3

L. Moreno, S. Garrido

 −2λ e 0 3 2

−

2 3

e −2λ − e −3λ e −3λ 

Curso de Ing. de Control II

  1 dλ 2



Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ec. de estado en tiempo discreto Dado un sistema representado por las ec. de estado en tiempo discreto x(k + 1)

= Gx(k) + Hu(k)

(44)

y(k)

= Cx(k) + Du(k)

(45)

la solución de la ec. de estado puede obtenerse directamente sin más que expresar la ec de estado de forma recursiva x(1)

= Gx(0) + Hu(0)

x(2)

= Gx(1) + Hu(1) = G2 x(0) + GHu(0) + Hu(1)

x(3)

= Gx(2) + Hu(2) = G3 x(0) + G2 Hu(0) + GHu(1) + Hu(2) .. .

con lo que la expresión recursiva para k queda de la siguiente forma x(k) = Gk x(0) +

k−1 X

Gk−j−1 Hu(j)

j=0 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(46)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ec. de estado en tiempo discreto x(k) = Gk x(0) +

k−1 X

Gk−j−1 Hu(j)

(47)

j=0

En la ec. 47, se puede observar que el estado del sistema en el instante k tiene dos componentes básicas: Una de ellas depende del estado inicial del sistema en el instante 0 Y la otra depende de la secuencia de entradas de control que recibe el sistema hasta el instante k.

A partir de la expresión anterior es posible expresar la salida del sistema como y(k) = CGk x(0) + C

k−1 X

Gk−j−1 Hu(j) + Du(k)

(48)

j=0

Es posible utilizar las ec. 47 y 48 para conocer el valor de las variables de estado y de salida en cualquier instante de tiempo k, pero no es una expresión fácil de calcular. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ec. de estado en tiempo discreto Método de la transformada en z

Un método más eficaz de resolver las ec. de estado discretas, es el basado en la transformada en z. Dada la ec. de estado x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)

(49)

si tomamos transformadas en z resulta zX(z) − zx(0) = GX(z) + HU(z)

(50)

donde X(z) = Z[x(k)] y U(z) = Z[u(k)]. Y agrupando los términos en X(z) tendremos que (zI − G)X(z) = zx(0) + HU(z)

(51)

Multiplicando por la izquierda en esta ecuación por la matriz (zI − G)−1 nos queda que X(z) = (zI − G)−1 zx(0) + (zI − G)−1 HU(z) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(52)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Haciendo la antitransformada en z x(k) = Z −1 [(zI − G)−1 z]x(0) + Z −1 [(zI − G)−1 HU(z)]

(53)

Comparando las expresiones 46 con 53 se puede deducir que Gk = Z −1 [(zI − G)−1 z]

(54)

y que k−1 X

Gk−j−1 Hu(j) = Z −1 [(zI − G)−1 HU(z)]

j=0

para k = 1, 2, 3, . . . .

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(55)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ec. de estado en tiempo discreto Ejemplo

Supongamos el sistema    x1 (k + 1) 0,8 = x2 (k + 1) 0

    0 x1 (k) 1 + u(k) 0,5 x2 (k) 2

Solución: La matriz Gk para este sistema, utilizando la transformada z, viene dada por GK = Z −1 [(zI − G)−1 z] Obtengamos en primer lugar [zI − G] y su inversa,    1    −1 z − 0,8 0 zI − G zI − G = ; = z−0,8 0 z − 0,5 0

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

0 1 z−0,5



Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Solución de la ec. de estado en tiempo discreto Ejemplo cont.

Solución: cont La matriz fundamental Gk será k

G =Z

−1

[(zI − G)

−1

z] = Z

−1



z z−0,8

0



0 z z−0,5

0,8k = 0 

0 0,5k



El efecto de la entrada sobre el sistema hasta el instante k se obtenía aplicando la transformada z por medio de la expresión siguiente y suponiendo que la entrada es un escalón unitario k−1 X

Gk−j−1 Hu(j)

=

Z −1 [(zI − G)−1 HU(z)]

=

Z −1

j=0



0 "

=

Z −1 

= L. Moreno, S. Garrido

1 z−0,8

0 1 z−0,5

z (z−0,8)(z−1)

2z (z−0,5)(z−1)

0

−4 · 0,8k + 5 0

   z 1 2 z −1 # 0

0 −2 · 0,5k + 4

Curso de Ing. de Control II



Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Obtención de la solución por el método de la transformada de Laplace Discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo Solución de la ec. de estado en tiempo discreto

Solución de la ec. de estado en tiempo discreto Ejemplo

Solución: cont Con lo que la respuesta del sistema para un instante de tiempo k cualesquiera se podrá obtener como:     k    x1 (k) 0,8 0 x1 (0) −4 · 0,8k + 5 0 = + x2 (k) 0 0,5k x2 (0) 0 −2 · 0,5k + 4

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Perturbaciones en el sistema Hemos descrito la relación entre la entrada y la salida de un sistema por medio de la función de transferencia Y (z) = G (s)U(s)

(56)

Lo normal es que existan perturbaciones. Una posible expresión es Y (s) = G (s)U(s) + W (s)

(57)

donde W (s) es denominada señal de perturbación o perturbación en la salida. Las perturbaciones pueden tener diversos orígenes: Variaciones en la carga a la que está sometido el sistema. Errores en las medidas de la salida del sistema debidos al ruido, derivas en los sensores, errores en la transmisión de la señal, etc. Variaciones en la planta y en los actuadores. Simplificaciones y errores en el modelo matemático del sistema que hacen que la salida real no coincida con la modelada. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Señales de perturbación La perturbación la describiremos como un ruido blanco que se suma a la señal del sistema o como la salida de un sistema lineal generada ante una entrada de tipo impulso o ruido blanco, tal y como se muestra. Perturbaciones en el sistema

w(t)

Perturbaciones en la salida n(t)

N

u(t) B

+

. x(t) +

x(t) x

C

+ + y(t)

A Sistema

Figura: Sistema sometido a perturbaciones L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Tipos de perturbaciones

Entre las diferentes perturbaciones que afectan a un sistema tenemos: Las perturbaciones en el sistema ω. Dentro delas perturbaciones que afectan al sistema podemos distinguir dos tipos: las que son medibles ωm (por ejemplo, la temperatura del exterior de un edificio afecta a la climatización del mismo, es una perturbación, puesto que no es controlable, pero es medible) y las no medibles ωn . Las perturbaciones de medida n.

Esto se podra representar en el espacio de estados. ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Nω(t)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(58)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Tipos de perturbaciones de sistema Las diferentes perturbaciones sobre el sistema ω pueden conocerse en ocasiones, por medio de pruebas sobre el sistema, y en este caso la información puede utilizarse para construir un modelo mejorado del sistema. Podemos diferenciar dos situaciones : Perturbaciones no predecibles. Si son no predecibles, w debe de ser ruido blanco. Perturbaciones predecibles. Si son predecibles, es decir si w puede predecirse a partir de las observaciones realizadas hasta el instante t, esto quiere decir que tenemos contenida en ω información relevante para la conducta futura del sistema. En este caso w(t) puede representarse por medio de una función de transferencia y un ruido blanco vω W(s) = F(s)Vw (s)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(59)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Sistema con perturbaciones de sistema predecibles Dw v (t) w Ruido blanco

v (t) w

F(s)

B

+ w

. x (t)

x (t) w

w

+

x

C

+

+

w

w(t) N

u(t) B

+

Modelo de las perturbaciones . x(t) +

Aw

w(t)

x(t)

y(t) C

x

A Sistema

Figura: Sistema con perturbaciones de sistema predecibles L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Sistema con perturbaciones predecibles en el sistema En el caso de que las perturbaciones sean predecibles estas pueden añadirse a la representación de estado del sistema. El modelo de estado de las perturbaciones a partir de la función de transferencia entre esta y el ruido blanco vω es x˙ ω (t)

=

Aω xω (t) + Bω vω (t)

(60)

ωω (t)

=

Cω xω (t) + Dω vω (t).

(61)

Si combinamos las expresiones 58 y 61 en una única ec. de estado nos queda    x˙ = Ax + Bu + Nw = Ax + Bu + NCω xω + NDvω ... ... (62)   x˙ ω = Aω xω + Bω vω y de aquí, la expresión matricial          x˙ A NCω x B NDω = + u+ vω x˙ ω 0 Aω Bω xω 0 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(63)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Sistema con perturbaciones predecibles en el sistema

La expresión 63 es similar a la 58 pero la información que es predecible en la perturbación la hemos introducido en el modelo como variables de estado y se deja las perturbaciones no predecibles fuera (el término no incluido en el estado es ruido blanco). Si compactamos la expresión 63 tenemos x˙ a (t) = Aa xa (t) + Ba u(t) + Na vω (t)

(64)

donde  A Aa = 0

       NCω B NDω x , Ba = , Na = , xa = Aω 0 Bω xω ¯

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(65)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Perturbaciones en la medida Si hay ruido de medida n(t) en el sistema y este es aditivo, es decir si se suma a la variable medida que normalmente es la salida, la ecuación de salida viene dada como y(t) = Cx(t) + Du(t) + n(t)

(66)

Hay dos posibles situaciones según sea n: Ruido blanco. En este caso no hay ninguna información utilizable en el ruido de medida para predecir el comportamiento del sistema, con lo que la expresión 66 modela adecuadamente el sistema. El ruido de medida no es blanco. Si el ruido de medida no es blanco (es decir si no tiene un espectro constante) entonces es posible encontrar una cierta relación n(s) = Fn (s)V2 (s) donde v2 (t) es un ruido blanco. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(67)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Sistema con perturbaciones de salida predecibles

Dn v2(t)

B

+ n

. x (t)

x (t) n

n

+

+

Cn

x

+ Ruido blanco

Modelo de las perturbaciones

v (t) 2

An

Fn(s) n(t)

u(t) B

+

. x(t) +

x(t) x

C

n(t)

+

+

A Sistema L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

y(t)

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Sistema con perturbaciones de salida predecibles Modelado de las perturbaciones predecibles

En este segundo caso (figura 16) podemos formular un modelo de estado del ruido de medida a partir de la función de transferencia entre esta y un ruido blanco v2 , x˙ n (t)

=

An xn (t) + Bn v2 (t)

(68)

n(t)

=

Cn xn (t) + Dn v2 (t)

(69)

Combinando las expresiones 66 y 69 en una única ec. de estado nos queda         Aa 0 xa B Na 0 vw x˙ a = + a u+ (70) 0 A n xn 0 0 Bn v2     x y(t) = C Cn + Du + v2 (71) xn

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Sistema con perturbaciones de salida predecibles Modelado de las perturbaciones predecibles

Compactando la expresión tendremos ˙ x(t)

= Ax(t) + Bu(t) + Nv1

(72)

y(t)

= Cx(t) + Du(t) + v2 (t)

(73)

donde v1 y v2 son ruidos blancos, y podemos considerarla como la representación estándar de sistemas con ruido de sistema y ruido de medida.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Sistema con perturbaciones Ejemplo

Supongamos un modelo simple de inventario de un almacén. Sea y (k) el nivel del inventario el día k y u1 (k) los pedidos de producto del día k que hace el almacén para reponer sus existencias. Estos pedidos se sirven dos dáas después. Denominemos u2 (k) a las ventas realizadas el día k. Diseñar un modelo de variación del inventario del almacén. Solución: Supongamos en una primera aproximación que el nivel de ventas se considera simplemente como una variable de entrada al sistema. El nivel del inventario corresponde a la siguiente ecuación y (k) = y (k − 1) + u1 (k − 2) − u2 (k − 1)

(74)

Tomamos como entradas u1 y u2 y el estado del sistema lo caracterizamos por medio del nivel de inventario en el almacén y de los pedidos realizados pero aún no recibidos,     u1 (k) y (k) u(k) = x(k) = (75) u2 (k) u1 (k − 1) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Solución de la ecuación de estado Modelado de las perturbaciones en el espacio de estados

Sistema con perturbaciones Ejemplo cont

Solución: cont Entonces la representación de estado del sistema será     1 1 0 −1 x(k + 1) = x(k) + u(k) 0 0 1 0   1 0 x(k) y (t) =

(76)

Supongamos que queremos refinar el modelo, para ello podemos considerar las ventas del almacén, como una señal de perturbación, puesto que no tenemos ninguna capacidad de control sobre ellas. Si suponemos que u2 (k) = v (k) y que u1 (k) = u(k) el modelo queda de la siguiente forma       1 1 0 −1 x(k) + u(k) + v (k) x(k + 1) = 0 0 1 0   1 0 x(k) y (t) = (77)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Control por realimentación de estado L. Moreno, S. Garrido Dpto. Ing. de Sistemas y Automática Universidad Carlos III Madrid

Enero 2012

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Contenidos

1

Conceptos básicos

2

Control por realimentación de estado

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Planteamiento Esquema básico de control por realimentación de estado: Diferencia: el regulador está en la realimentación No utiliza la salida sino el estado para determinar la acción de control.

r

u

+ -

B

y

x

+

C

+

A

K

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Modos observables y controlables Supongamos un cierto sistema en tiempo continuo expresado en la forma canónica de Jordan con autovalores distintos.   λt e 1 0 ... 0   0 e λ2 t . . . 0   At e = .  . ..   .. λn t 0 0 ... e

El componente i-ésimo de la solución de la ecuación de estado x se podía expresar como Z t xi (t) = e λi (t−t0 ) xi (t0 ) + e λi (t−τ ) Bi u(τ )dτ t0

A este componente de la solución del vector de estado se le denomina modo de respuesta del sistema (modo con autovalor λi ). L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Modos observables y controlables

La respuesta total del sistema tiene la forma y(t) = C1 x1 (t) + . . . + Cn xn (t) donde C1 , . . . , Cn son los coeficientes de la matriz C.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Modos observables y controlables En el modo de respuesta xi del sistema, en el caso de que el vector fila Bi = 0 dicho modo de respuesta no se verá influido por la entrada u(t) al sistema. Además en la forma canónica diagonal la variable xi tampoco tienen influencia de las otras variables de estado por lo que no resulta posible influir sobre el valor de dicha variable de estado ni directamente (via entrada de control) ni indirectamente (via alguna otra variable de estado), es un modo no controlable. Si algún modo es no controlable existirán estados del sistema que no son alcanzables y el sistema es no controlable. De forma similar, una columna Ci = 0 en la matriz C da como resultado que dicho modo no sea observable en la salida del sistema. Mientras que si Ci es distinto de cero tendremos un modo observable.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de estado de un sistema Para un sistema x(k + 1) = y(k) =

Gx(k) + Hu(k) Cx(k)

(1)

donde G

=

H

=

e AT Z T 0

e Aτ Bdτ

(2)

siendo T es el periodo con el que se muestrea el sistema. Definición Se dice que un sistema de control, de dimensión n, es completamente controlable en estado si existe una entrada u definida entre [0, n − 1] tal que es posible hacer pasar al sistema desde un estado inicial arbitrario x(0) a otro estado final arbitrario x(n) en un periodo finito de tiempo (n periodos de muestreo). L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de estado de un sistema

Entrada u(k) escalar

Dado un sistema definido por la ec. de estado: x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)

(3)

donde G : n × n, H : n × 1, x : n × 1, u : 1 × 1. La solución de la ecuación de estado para un sistema lineal de tiempo discreto invariante era x(n) = Gn x(0) +

n−1 X

Gn−j−1 Hu(j)

(4)

j=0

= Gn x(0) + Gn−1 Hu(0) + Gn−2 Hu(1) + . . . + Hu(n − 1)

que en forma matricial

 x(n) − Gn x(0) = H GH L. Moreno, S. Garrido

...

 u(n − 1)   u(n − 2) Gn−1 H   ..   . 

u(0)

Curso de Ing. de Control II

(5)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de estado de un sistema

Entrada u(k) escalar

Dado que H es una matriz n × 1 y que G es n × n, la matriz   MC = H GH . . . Gn−1 H

(6)

tendrá dimensiones n × n. En el sistema de ecuaciones 5 conocemos los estados inicial, x(0), y final, x(n), y podemos calcular la matriz MC . Para poder determinar el vector de entradas de control se tiene que verificar que el rango de la matriz MC sea n. A la matriz MC se le denomina matriz de controlabilidad. Definición (Condición de controlabilidad del estado) La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea completamente controlable en estado es que el rango de la matriz de controlabilidad sea n. rango(MC ) = n L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de estado de un sistema

Ejemplo

Dado el sistema    −1 x1 (k + 1) = 0 x2 (k + 1)

0 −2



   x1 (k) 1 + u(k) 1 x2 (k)

(7)

determinar la secuencia de entradas u(0), u(1) que hay que T introducir al sistema para que este pase del estado [0 0] en el T instante 0 al estado [2 0] en el ciclo 2. Solución: De acuerdo con la ecuación 5 tenemos que         x1 (2) 1 0 x1 (0) 1 −1 u(1) − = (8) x2 (2) 0 4 x2 (0) 1 −2 u(0) y sustituyendo x1 (0), x2 (0), x1 (2), x2 (2) por los valores deseados del estado inicial y final tendremos que L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de estado de un sistema

Ejemplo cont.

resultando

donde

        2 1 0 0 1 −1 u(1) − = 0 0 4 0 1 −2 u(0)      2 1 −1 u(1) = 0 1 −2 u(0) 

1 MC = 1

−1 −2



(9) (10) (11)

y dado que el det(Mc ) 6= 0, el rango de la matriz de controlabilidad es 2 y el sistema es completamente controlable en estado. Resolviendo el sistema de ecuaciones 10 tenemos ( 2 = u(1) − u(0) (12) 0 = u(1) − 2u(0)

por tanto,

u(1) = 2u(0) y la solución es u(0) = 2, u(1) = 4. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de estado

Ejemplo 2

Supongamos un segundo sistema definido por las ecuaciones siguientes        −1 0 x1 (k) 1 x1 (k + 1) = + u(k) x2 (k + 1) 0 −2 x2 (k) 0

(13)

determinar la secuencia de entradas (u(0), u(1)) que hay que T introducir al sistema para que este pase del estado [0 0] en el T instante 0 al estado [2 0] en el ciclo 2. Solución: De acuerdo con la ec. 5 tenemos que       1 0 x1 (0) 1 x1 (2) − = x2 (2) 0 4 x2 (0) 0

−1 0



u(1) u(0)



(14)

y de sustituyendo x1 (0), x2 (0), x1 (2), x2 (2) por los valores deseados del estado inicial y final tendremos que L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de estado

Ejemplo 2 cont

Obteniéndose que    2 1 − 0 0

es decir,

0 4

   0 1 = 0 0

   2 1 = 0 0

−1 0



−1 0



u(1) u(0)

u(1) u(0)



2 = u(1) − u(0)

y para u(1) = 0, se tiene u(0)=-2. Como   1 −1 MC = 0 0



(15) (16) (17)

(18)

y el rango de la MC es 1 luego el sistema no es completamente controlable en estado. Pero si resolvemos el sistema obtenemos que la solución del sistema nos daría 2 = u(1) − u(0), es decir si fijamos u(1) = 0, entonces u(0) = −2. El estado es alcanzable desde el punto inicial que se ha considerado. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de estado

Entrada u(k) vector

Para un sistema con entrada vector definido por x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)

(19)

donde G : n × n, H : n × r , x : n × 1, u : r × 1. La matriz de controlabilidad MC será una matriz n × nr , es decir   (20) MC = H GH . . . Gn−1 H y el sistema de ecuaciones esta formado por n ecuaciones y nr incógnitas. Para que el sistema tenga solución el rango de la matriz de controlabilidad debe ser el menor entre n y nr , es decir n. Como el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones tenemos n(r − 1) grados de libertad para elegir los posibles valores de las entradas de control que permiten pasar del estado inicial al final. Se establece algún tipo de restricción o criterio para elegir de entre todas las posibles las soluciones que nos interesan. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de la salida El hecho de que un sistema sea completamente controlable en estado no garantiza que podamos controlar la salida del sistema, salvo en el caso en el que el sistema tenga una única salida. En general cuando se diseá un sistema de control lo que se busca es controlar la salida del sistema más que controlar el estado del mismo. Por ello, es necesario realizar un análisis similar al anteriormente indicado para la controlabilidad completa del estado, pero en este caso para la salida. Definición Se dice que un sistema de control de dimensión n es completamente controlable en la salida si existe una entrada u definida entre [0, n − 1] tal que es posible hacer pasar al sistema desde una salida inicial arbitraria y(0) a otra salida final arbitraria y(n) en un periodo finito de tiempo (n periodos de muestreo).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de la salida

Entrada u(k) escalar

Supongamos que el sistema viene definido por x(k + 1) = y(k) =

Gx(k) + Hu(k) Cx(k)

(21) (22)

donde G : n × n, H : n × 1, C : m × n , x : n × 1, u : 1 × 1, y : m × 1 y m ≤ n. Recordando que la solución de la ec de estado para un sistema lineal de tiempo discreto invariante era de la forma x(n) = Gn x(0) +

n−1 X

Gn−j−1 Hu(j)

j=0

n

= G x(0) + Gn−1 Hu(0) + Gn−2 Hu(1) + . . . + Hu(n − 1) (23) Se tiene que la salida del sistema tendrá la siguiente expresión y(n)

=

Cx(n)

=

CGn x(0) +

L. Moreno, S. Garrido

n−1 X

CGn−j−1 Hu(j)

j=0 Curso de Ing. de Control II

(24)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de la salida

Entrada u(k) escalar

De aquí que y(n) − CGn x(0) =

n−1 X

CGn−j−1 Hu(j)

j=0



= CH

CGH

...

 u(n − 1)   u(n − 2) CG n−1 H   ..   . 

(25)

u(0)

Dado que H : n × 1 y que G : n × n, C : m × n, la matriz de controlabilidad de la salida   MCS = CH CGH . . . CG n−1 H

tendrá dimensiones m × n. En el sistema de ecuaciones 25 conocemos los estados inicial y(0) y final y(n), y podemos calcular la matriz MCS . Para poder determinar el vector de entradas de control se tiene que verificar que el rango de la matriz MCS es m. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de salida

Entrada u(k) escalar

Definición (Condición de controlabilidad de la salida) La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea completamente controlable en la salida es que el rango de la matriz de controlabilidad de la salida sea m. rango(MCS ) = m Definición La controlabilidad completa de estado implica controlabilidad completa de la salida si y sólo si las m filas de la matriz C son linealmente independientes.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de salida

Ejemplo

Dado el sistema   x1 (k + 1) x2 (k + 1)   y1 (k) y2 (k)

= =





−1 0 −1 1

   1 x1 (k) + u(k) x2 (k) 1   1 x1 (k) −1 x2 (k) 0 −2



determinemos si el sistema es completamente controlable en salida. Solución: Obtenemos la matriz de controlabilidad de la salida     0 −1 MCS = CH CGH = (26) 0 1

cuyo rango es 1. Por lo que el sistema no es completamente controlable en la salida, aunque el sistema es controlable en estado ya que   1 −1 Mc = [H GH] = 1 −2 y, por tanto rg (Mc ) = 2.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Controlabilidad de salida

Ejemplo cont

Esto se podía haber detectado ya que las filas de la matriz C no son linealmente independientes. En este caso, los dos menores de Mc son distintos de cero lo que implica que podemos controlar cualquier estado. Sin embargo, en la matriz de controlabilidad de salida Mcs , el menor de y1 es −2 y el de la salida y2 es cero. Por lo que la salida y1 será controlable e y2 será linealmente dependiente de la primera. Esto significa que podremos situar libremente una salida (y1 ), pero la otra (y2 ) estará en función de la primera.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Observabilidad de un sistema Un aspecto importante es la posibilidad de estimar u observar el valor que toman las variables de estado que no son medibles directamente. Dicha estimación se realiza a partir de la medida de la salida del sistema durante un cierto número mínimo de periodos de muestreo y de los valores de la señal de control que se le introducen al sistema. Sistema u B

x

+

y C

+

A

Observador del estado del sistema L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

^x

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Observabilidad de un sistema Dado un sistema definido por: x(k + 1)

=

Gx(k) + Hu(k)

(27)

y(k)

=

Cx(k)

(28)

donde G : n × n, H : n × 1, C : m × n , x : n × 1, u : 1 × 1, y : m × 1 y m ≤ n.

La solución de la ecuación de estado para un sistema lineal de tiempo discreto e invariante era x(n) = Gn x(0) +

n−1 X

Gn−j−1 Hu(j)

(29)

j=0

y la salida del sistema tenía la siguiente expresión y(n) = CGn x(0) +

n−1 X

CGn−j−1 Hu(j)

(30)

j=0

En la ec. 30 se conoce G, H y C y la secuencia de entradas al sistema u(0), . . . , u(n − 1) por lo que el segundo término de la parte derecha de dicha expresión nos es completamente conocido. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Observabilidad de un sistema Puesto que este término siempre es conocido, podemos simplificar el problema de determinar la observabilidad de un sistema limitándonos a analizar el sistema no forzado, es decir con entrada de control cero. Dicho de otro modo, si podemos determinar para el sistema no forzado cual era el estado inicial de partida del sistema a partir de la observación de las salidas del sistema, entonces podremos determinarlo también para el sistema sujeto a una secuencia de entradas de control.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Observabilidad completa de estado Definición Un sistema se dice que es completamente observable si todo estado inicial x(0) puede ser determinado a partir de la observación de la salida y(k) del sistema en un número finito de intervalos de muestreo. Considerando el sistema no forzado, las ecuaciones de este quedan reducidas a las siguientes ecuaciones x(n) = y(n − 1) =

Gx(n − 1) Cx(n − 1)

(31)

y aplicando recursivamente la expresión de la ecuación de estado obtenemos que la salida del sistema será y(n − 1) = CGn−1 x(0) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(32)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Observabilidad completa de estado De acuerdo con la definición de observabilidad, dada la secuencia de salidas y(0), y(1), . . . , y(n − 1) un sistema será observable si es posible determinar a partir de ellas el estado inicial x(0). Si expresamos las salidas en función del estado inicial tenemos y(0) = y(1) = .. . y(n − 1) = y en forma matricial     

y(0) y(1) .. . y(n − 1)



Cx(0) CGx(0) CGn−1 x(0) 

    =  

L. Moreno, S. Garrido

C CG .. .

CGn−1



   x(0) 

Curso de Ing. de Control II

(33)

(34)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Observabilidad completa de estado  T A la matriz C CG . . . CGn−1 se le denomina matriz de observabilidad, MO . Como G es una matriz n × n y C es m × n, la  T matriz MO = C CG . . . CGn−1 tiene dimensión mn × n. Por lo tanto, para que el sistema de ecuaciones tenga solución dicha matriz MO tiene que tener rango n. Definición ( Condición de observabilidad) La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea observable es que el rango de la matriz de observabilidad sea n. rango(MO ) = n Una situación típica en la que un sistema no es completamente observable o controlable se produce en los sistemas en los que existen cancelaciones polo-cero. En el caso de un sistema con una entrada y una salida el sistema será a la vez controlable y observable si no se pueden efectuar cancelaciones polo-cero en la función de transferencia. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Observabilidad completa de estado

Ejemplo

Dado el sistema definido por las ecuaciones        −1 0 x1 (k) 1 x1 (k + 1) = + u(k) x2 (k + 1) 0 −2 x2 (k) 1     x1 (k) y (k) = 0,5 1 x2 (k)

determinar la observabilidad del mismo. Solución: Si obtenemos la matriz de observabilidad de estado del sistema tenemos que:     C 0,5 1 = (35) MO = CG −0,5 −2

cuyo rango es 2 por lo que el sistema será completamente observable.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Invarianza de la controlabilidad y observabilidad Un sistema admite múltiples representaciones en el esp. de estados. Una pregunta es, si la controlabilidad y observabilidad se mantienen ante un cambio de base en la representación de estado utilizada. Si hacemos un cambio de base, caracterizado por la matriz de transformación T, no singular, en la representación de estado x(k + 1) = y(k) = x(k) =

Gx(k) + Hu(k) Cx(k) Tx0 (k)

(36)

con lo que tenemos una nueva representación de estado x0 (k + 1) = y(k) =

T−1 GTx0 (k) + T−1 Hu(k) CTx0 (k)

(37)

donde las nuevas matrices G0 , H0 , C0 serán G0 (k + 1) = H0 (k) = C0 (k) = L. Moreno, S. Garrido

T−1 GT T−1 H CT

Curso de Ing. de Control II

(38)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Invarianza de la controlabilidad Para esta nueva representación de estado la matriz de controlabilidad será   M0 C = T−1 H T−1 GTT−1 H . . . T−1 Gn−1 TT−1 H   = T−1 H T−1 GH . . . T−1 Gn−1 H   = T−1 H GH . . . Gn−1 H =

T−1 MC

(39)

y puesto que T es una matriz no singular, el rango de la matriz de controlabilidad M0 C y de la matriz de controlabilidad del sistema original MC coinciden. De aquí que si el sistema 36 es controlable, el sistema 37 en la nueva base también será controlable.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Invarianza de la observabilidad Si hacemos un análisis similar para la observabilidad, se tiene que la matriz de observabilidad del sistema 37 es     CT CT  CTT−1 GT   CGT      M0 O =  =  .. ..     . . −1 n−1 n−1 CG T CTT G T   C  CG    =  .  T = MO T (40)  ..  CGn−1

Como la matriz de transformación T es no singular, y de forma similar al caso de la controlabilidad, los rangos de las matrices de observabilidad M0 O y MO son iguales. Por tanto, aunque el sistema cambie de base, si el sistema era observable seguirá siendo observable. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Principio de dualidad

Kalman

Sea un sistema S1 lineal e invariante en el tiempo definido por x(k + 1) = y(k) =

Gx(k) + Hu(k) Cx(k)

(41)

donde las matrices tienen dimensión: x : n × 1, u : r × 1, y : m × 1, G : n × n, H : n × r , C : m × n y un sistema S2 , denominado sistema dual del S1 , definido por las siguientes ecuaciones GT x0 (k) + CT u0 (k) HT x0 (k)

x0 (k + 1) = y0 (k) =

donde: x : n × 1, u : m × 1, y : r × 1. 0

0

0

Teorema (Principio de dualidad(Kalman)) El sistema S1 es completamente controlable en estado sí y sólo si el sistema S2 es completamente observable, y S1 es completamente observable sí y sólo si el sistema S2 es completamente controlable en estado. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(42)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Principio de dualidad(Kalman) Si observamos las matrices de controlabilidad y observabilidad del sistema S1 tenemos que   MC = H GH . . . Gn−1 H   C  CG    MO =  .  (43) .  .  CGn−1

La matriz de controlabilidad del sistema dual S2 es   M0 C = CT GT CT . . . (GT )n−1 CT   C  CG    =  .  = MO  ..  CGn−1

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(44)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Principio de dualidad(Kalman) Y la de observabilidad del sistema dual S2 es   HT  HT GT    M0 O =   ..   . =



HT (Gn−1 )T

H

GH

...

 Gn−1 H = MC

(45)

y como se puede observar M0 O = MC y M0 C = MO tal y como indica el principio de dualidad. Este principio de dualidad se ha utilizado cuando se obtuvieron las representaciones canónicas de un sistema a partir de la función de transferencia, donde la forma canónica controlable y la observable son sistemas duales.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Control por realimentación de estado

Queremos controlar un sistema, en el que todas las v. de estado están disponibles (medibles o accesibles) para ser utilizadas en la realimentación del sistema.

Teorema Si un sistema es completamente controlable en estado, entonces los polos en bucle cerrado del sistema pueden ser libremente situados en las posiciones p1 , p2 , . . . , pn que se deseen mediante una realimentación de estado con una matriz K de ganancias adecuada.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Control por realimentación de estado Este esquema de control busca que la ecuación característica del sistema realimentado tome la forma (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) = 0

(46)

La elección de las posiciones deseadas de los polos se hace de forma que se cumplan unas ciertas especificaciones de diseño. r

u

+ -

H

y

x

+

-1

+

z .I

C

G

K Realimentación del estado L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Sistemas con entrada y salida escalar Sea el sistema de la figura 35, con ec de estado x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) y(k) = Cx(k)

(47)

donde G : n × n, H : n × 1, C : 1 × n , x : n × 1, u : 1 × 1 e y : 1 × 1. La señal de control al sistema viene dada por la siguiente expresión u(k) = r(k) − Kx(k)

(48)

De las ecuaciones 47 y 48 tenemos que (con K : 1 × n) x(k + 1)

= =

Gx(k) + H[−Kx(k) + r (k)] [G − HK]x(k) + Hr (k)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(49) (50)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Sistemas con entrada y salida escalar Tomando transformada z, se tiene zX(z) = (G − HK)X (z) + HR(z)

(51)

(zI − G + HK)X (z) = HR(z)

(52)

por tanto, X(z) = (zI − G + HK)

−1

HR(z)

(53)

la salida tendrá la expresión

Y (z) = C[zI − G + HK]−1 HR(z)

(54)

de donde se obtiene F (z) =

Y (z) = C[zI − G + HK]−1 H R(z)

en 55 se puede observar que el denominador de la función de transferencia es |zI − (G − HK)|. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(55)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Sistemas con entrada y salida escalar Si deseamos un cierto comportamiento dinámico del sistema, nos basta con ajustar las posiciones de los polos del sistema en cadena cerrada. Para ello, se determinan las posiciones p1 , p2 , . . . , pn deseadas para los polos (la ecuación característica deseada) y de aquí |zI − G + HK| = (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn )

(56)

De la expresión 56 se obtienen los valores de los coeficientes de la matriz K. La condición necesaria y suficiente para poder resolver este sistema es que el rango de la matriz de controlabilidad de estado sea n, es decir, que el sistema sea totalmente controlable. Si el sistema es totalmente controlable la matriz (zI − G + HK) es no singular. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Control por posicionamiento de polos

Ajuste de las posiciones de los polos

Dado un sistema x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)

(57)

completamente controlable en estado, si realimentamos el estado de forma que u(k) = r(k) − Kx(k), para que los polos en bucle cerrado del sistema se sitúen en las posiciones z = p1 , z = p2 , . . . , z = pn , basta con igualar las expresiones características, es decir |zI − G + HK| = (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) = 0

(58)

En la izquierda tenemos un polinomio en z que es función de los coeficientes de la matriz K de realimentación de estado. Igualando dichos coeficientes a los de la ec. característica deseada, obtenemos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas y resolviéndolo obtenemos los coeficientes de la matriz de realimentación. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Control por posicionamiento de polos

Ejemplo

Supongamos el sistema definido por las siguientes ecuaciones        0 1 x1 (k) 0 x1 (k + 1) = + u(k) x2 (k + 1) −1 −0,5 x2 (k) 1   x (k) y (k) = [1 0] 1 x2 (k)

(59) (60)

se desea determinar los valores de las ganancias de la matriz K de realimentación de estado para que los polos en cadena cerrada del sistema estén en p1,2 = −0,5 ± j0,5. Solución: Comprobemos en primer lugar que el sistema sea completamente controlable en estado, para ello obtendremos la matriz de controlabilidad     0 1 MC = H GH = (61) 1 −0,5

que tiene rango 2, por lo que el sistema es completamente controlable en estado. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Control por posicionamiento de polos

Ejemplo cont

Dado que el sistema es controlable es factible encontrar una realimentación de estado que cumpla nuestras exigencias. De acuerdo con la ec. 56 tenemos que |zI − G + HK| = (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) = 0

(62)

|zI − G + HK| = z 2 − z + 0,5 = 0

(63)

z 2 + z(0,5 + k2 ) + (1 + k1 ) = z 2 − z + 0,5 = 0

(64)

que para nuestro caso concreto da

Sustituyendo en el primer término las matrices por sus valores y operando Igualando los coeficientes de ambos polinomios obtenemos k1 k2

= =

−0,5 −1,5

La matriz de realimentación de estado será K = [−0,5 − 1,5]. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Control por posicionamiento de polos

Ejemplo cont.

La respuesta del sistema en cadena abierta y del sistema con la realimentación de estado diseñada se muestra en la figura 1. 2.5 (b) y(k)

2 1.5 (a) 1 0.5 0 -0.5

0

5

10

15

20

25

30 35 40 45 50 Tiempo (ciclos de muestreo)

Figura: Respuesta del sistema del ejemplo 8.4: (a) sin realimentación y (b) sistema realimentado L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Determinación de las posiciones de los polos por transformación Si el sistema no está en la forma canónica controlable el método de comparación de coeficientes puede dar lugar a cálculos complejos. Existe posibilidad transformar el sistema a la forma canónica controlable, diseñar en esta el regulador y después convertir el regulador a la representacin que teníamos inicialmente. Supongamos un sistema con la siguiente representación de estado, x(k + 1) = y (k) =

Gx(k) + Hu(k) Cx(k)

(65) (66)

cuya matriz de controlabilidad viene dada por la siguiente expresión   MC = H GH . . . Gn−1 H (67)

y supongamos que aplicamos una transformación T que transforma al sistema a la forma canónica controlable x(k) = Tx0 (k) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(68)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Determinación de las posiciones de los polos por transformación con lo que el nuevo sistema quedaría en la forma x0 (k + 1) = y (k) =

T−1 GTx0 (k) + T−1 Hu(k) CTx0 (k)

Esta nueva representación tiene la siguiente matriz de controlabilidad, tal y como se vio en 39,   MC 0 = T−1 H GH . . . Gn−1 H = T−1 MC

(69) (70)

(71)

y de aquí se obtiene la matriz de transformación T T = MC M−1 C0

(72)

Una vez que el sistema está en la forma c. controlable y verifica la condición de controlabilidad, se diseña el regulador por realimentación de estado. En esta representación tendremos que |zI − G0 + H0 K0 | = (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) = 0 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(73)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Determinación de las posiciones de los polos por transformación Igualando los coeficientes se determina la matriz de ganancias del regulador K0 . El sistema realimentado en la forma c. controlable tiene las siguientes ecuaciones x0 (k + 1) = u(k) = y (k) =

T−1 GTx0 (k) + T−1 Hu(k) −K0 x0 (k) + r (k) CTx0 (k)

(74) (75) (76)

y de aquí x0 (k + 1)

= =

y (k)

=

T−1 GTx0 (k) − T−1 HK0 x0 (k) + T−1 Hr (k) (77) (T−1 GT − T−1 HK0 )x0 (k) + T−1 Hr (k) (78) CTx0 (k)

(79)

Ahora deshacemos la transformación, volviendo a la representación inicial, para lo cual aplicamos x0 = T−1 x. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Determinación de las posiciones de los polos por transformación Tendremos que x(k + 1)

= =

y (k)

=

Gx(k) − HK0 T−1 x(k) + Hr (k)

(80) (81)

Cx(k)

(82)

0

(G − HK T

−1

)x(k) + Hr (k)

Comparando con la ecuación característica del sistema realimentado en la representación original

obtenemos que

|zI − G + HK| = 0

(83)

K = K0 T−1

(84)

Si el sistema es no-controlable, se puede transformar a la forma c. controlable y calcular la matriz de ganancias K0 para controlar el sistema, pero T es singular por lo que no es posible obtener la inversa de la transformación y tampoco K. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Determinación de las posiciones de los polos por transformación r

Sistema +

-

u

H

+

+

-1

z I

x

C

y

G

T

-1

Realimentación del estado u=-K'x'=-(KT)x'=-Kx

x'

K'

Figura: Transformación de un sistema a otra r. de estado para controlarlo. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo

Determinación de las posiciones de los polos por transformación

Supongamos el sistema definido por las siguientes ecuaciones        x1 (k + 1) −0,5 0 1 x1 (k) = + u(k) x2 (k + 1) 0 −1 x2 (k) 1   x (k) y (k) = [1 1] 1 x2 (k)

(85) (86)

y se desea determinar los valores de las ganancias de la matriz K de realimentación de estado para que los polos en cadena cerrada del sistema estén en p1,2 = 0,5 ± j0,5. Solución: Comprobemos que el sistema sea completamente controlable en estado, para ello obtendremos la matriz de controlabilidad     0 0 MC = H GH = (87) 1 −1

que tiene rango 1, por lo que el sistema es no es completamente controlable en estado. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo

Determinación de las posiciones de los polos por transformación

Solución (cont): El sistema es no controlable en estado, si se quiere controlar es necesario pasar a una repr. de estado donde sea controlable. Para ello obtenemos la función de transferencia del sistema z + 0,5 F(z) = C[zI − G]−1 H = 2 z + 1,5z + 0,5 y pasando directamente de la f. de t. a la forma c controlable  0    0    x1 (k + 1) 0 1 x1 (k) 0 = + u(k) (88) −0,5 −1,5 1 x20 (k + 1) x20 (k)  0  x (k) y (k) = [1 0,5] 10 (89) x2 (k) esta nueva representación matriz de controlabilidad    0  0 1 0 0 0 MC = H GH = 1 −1,5

tiene rango 2 por lo que es controlable. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(90)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo

Determinación de las posiciones de los polos por transformación

Solución (cont): En la f.c.c. se calculan las ganancias de la matriz de realimentación K0 que sitúan los polos del sistema en cadena cerrada en las posiciones que se desean. |zI − G + HK| = (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) = 0

(91)

|zI − G0 + H0 K0 | = z 2 − z + 0,5 = 0

(92)

z 2 + z(1,5 + k20 ) + (0,5 + k10 ) = z 2 − z + 0,5 = 0

(93)

Para nuestro caso se obtiene

y sustituyendo en el primer término las matrices por sus valores y operando si igualamos los coeficientes de ambos polinomios obtenemos k10 k20

= =

0 −2,5

y la matriz de realimentación de estado será K0 = [0 − 2,5]. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo

Determinación de las posiciones de los polos por transformación

Solución (cont): En este caso no es posible aplicar la inversa de la transformación T para obtener la matriz de ganancias en la representación de estado inicial. Comprobémoslo, para ello obtenemos la matriz de transformación que nos permite pasar de una representación a otra,      0 0 1,5 1 0 0 0 −1 = = (94) T = M C MC 1 −1 1 0 0,5 1 y como el rango de T es 1 la matriz no es invertible y el sistema no es controlable en esa forma canńica.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ajuste de la ganancia

Control por realimentación de estado

Supongamos el sistema mostrado en la figura en el que se ha incluido una ganancia k0 con el fin de ajustar la ganancia estática del sistema de forma que tengamos la posibilidad de ajustar el error que comete el sistema en régimen permanente r k0

u

+ -

y

x

+ H

-1

+

z .I

C

G Planta

K

Figura: Realimentación de estado con ajuste de ganancia L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ajuste de la ganancia

Control por realimentación de estado

Las ecuaciones del sistema en este caso son x(k + 1) = y (k) =

Gx(k) + Hu(k) Cx(k)

(95)

donde G : n × n, H : n × 1, C : 1 × n , x : n × 1, u : 1 × 1 e y : 1 × 1. La señal de control u(k) que se introduce al sistema viene dada por u(k) = k0 r (k) − Kx(k)

(96)

De las ec 95 y 96 tenemos que x(k + 1)

= =

Gx(k) + H[−Kx(k) + r (k)] [G − HK ]x(k) + Hk0 r (k)

(97)

La función de transferencia del sistema tendrá la forma F (z) =

Y (z) = C[zI − G + HK]−1 Hk0 R(z)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(98)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ajuste de la ganancia

Control por realimentación de estado

En la ec 98 se ve que el denominador de la f. de transferencia es el determinante de la matriz [zI − (G − HK)] y en el numerador aparece la ganancia k0 que se ha introducido en la cadena principal. Si deseamos cierto comportamiento: Para ajustar la dinámica del sistema se ajustan en primer las posiciones de los polos del sistema en cadena cerrada Para ajustar el error en régimen permanente, una vez fijados los polos se ajusta el valor de k0 .

Si suponemos que la entrada al sistema es R(z), la respuesta en régimen permanente tiene la siguiente expresión lim y (k) = lim (1 − z −1 )Y (z) = lim (1 − z −1 )R(z)F (z)

k→∞

z→1

z→1

(99)

En la ec 99 si se conoce el valor deseado de la salida en régimen permanente para la entrada R(z) introducida, es posible determinar el valor de la ganancia k0 de la parte derecha de la expresión, con lo que tendríamos ajustado también el régimen permanente. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ajuste de la ganancia

Ejemplo

Supongamos el mismo sistema del ejemplo anterior, se han determinado los valores de la ganancia de realimentación de estado parar situar los polos en unas posiciones determinadas. Buscamos ahora conseguir que el error en régimen permanente ante entrada escalón sea cero. Solución: Veamos primero si el sistema cumple la especificación respecto al error en régimen permanente. La función de transferencia del sistema en bucle cerrado Y (z) F (z) = = C[zI − G + HK]−1 H (100) R(z) desarrollando esta expresión tenemos  −1     z 1 0 −1 (101) = 2 F (z) = 1 0 1 0,5 z − 1 z − z + 0,5 Si al sistema se le introduce en la entrada un escalón unitario, el valor de la salida en régimen permanente será lim y (k)

k→∞

=

lim (1 − z −1 )R(z)F (z)

z→1

L. Moreno, S. Garrido

=

=

2

z 1 z − 1 z 2 − z + 0,5

Curso de Ing. de Control II

lim (1 − z −1 )

z→1

(102)

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ajuste de la ganancia

Ejemplo

Para una entrada unitaria la salida en régimen permanente del sistema nos da el valor 2. Si queremos que la salida del sistema en régimen permanente tenga valor 1, introducimos una ganancia k0 en el sistema con lo que la función de transferencia en bucle cerrado quedará como F (z) =

Y (z) = C[zI − G + HK]−1 Hk0 R(z)

(103)

y la respuesta en régimen permanente será lim y (k)

k→∞

= = =

lim (1 − z −1 )R(z)F (z)

z→1

lim (1 − z −1 )

z→1

k0 0,5

z k0 z − 1 z 2 − z + 0,5 (104)

luego para que el valor de la respuesta del sistema en régimen permanente sea 1 se requiere que k0 = 0,5. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Modificación del tipo del sistema No siempre se puede ajustar satisfactoriamente la respuesta dinámica y la respuesta en régimen permanente del sistema con estas dos técnicas que se han comentado. Esto pasa especialmente en sistemas de orden bajo, donde los grados de libertad para elegir las posiciones de los polos en cadena cerrada del sistema son limitados. Si se quiere una respuesta dinámica de segundo orden y un error nulo en régimen permanente el sistema deberá tener orden tres para que podamos ajustarlo. Si el orden es menor se puede ajustar la dinámica o el r. permanente pero no los dos a la vez. En el caso de que el orden del sistema no nos permita satisfacer las dos condiciones de diseño simultáneamente, es posible elevar el tipo del sistema añadiendo un integrador en la cadena principal del sistema (este aumenta el orden y el tipo del sistema).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Modificación del tipo del sistema

r +

e + -

-1

+

z I

v

kI

+

u -

x

+ H

y

-1

+

z I

C

G

Control Integral

Planta Realimentación de estado K

Figura: Realimentación de estado con integrador adicional

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Modificación del tipo del sistema El sistema de la figura 4 tiene las siguientes ecuaciones, x(k + 1)

=

Gx(k) − HKx(k) + Hki v (k)

v (k + 1)

=

v (k) + e(k)

e(k) = y (k) =

r (k) − y (k) Cx(k)

(105)

En esta expresión podemos reescribir v (k + 1) como v (k + 1) = v (k) + r (k) − Cx(k)

(106)

Si consideramos ahora un nuevo vector de estado aumentado con v (k), tendremos la siguiente expresión        x(k + 1) G − HK Hki x(k) 0 = + r (k) v (k + 1) −C 1 v (k) 1     x(k) y (k) = C 0 (107) v (k) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Modificación del tipo del sistema En la figura se puede ver que el añadir una variable de estado adicional que acumula el error cometido entre la entrada y la salida del sistema es básicamente una relimentacińón de estado. r +

e + -

-1

+

z I

v

kI

+

u -

x

+ H

-1

+

z I

y C

G

Control Integral

Planta

K C Realimentación de estado

Figura: Realimentación de estado con integrador adicional (2) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo Supongamos el mismo sistema del ejemplo anterior para el que se han determinado los valores de la ganancia de realimentación de estado así como la ganancia necesaria para que el error en régimen permanente ante entrada escalón fuese cero. Tratemos de conseguir que el error en régimen permanente ante entrada rampa sea también cero. Solución: Veamos el error que se comete en r. permanente ante una entrada de tipo rampa para el sistema. e(k) = r (k) − y (k)

(108)

y tomando transformadas en z, tendremos que E (z) = R(z) − Y (z) = R(z) − F (z)R(z) = (1 − F (z))R(z) (109) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo Para ver el error en r. permanente hacemos el límite de esta expresión del error para t → ∞ y se obtiene que lim e(k)

k→∞

= = =

lim (1 − z −1 )R(z)(1 − F (z))   Tz −1 k0 lim (1 − z −1 ) 1 − z→1 (1 − z −1 )2 z 2 − z + 0,5 T (0,5 − k0 ) (110) 0 z→1

Salvo para el caso k0 = 0,5 donde el error queda indeterminado, en el resto de los casos el error en r. permanente tiende hacia infinito (en la práctica las posibilidades de ajustar k0 al valor 0.5 son remotas por lo que las pequeñas desviaciones harán que el error tienda a infinito siempre).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo Si se introduce un integrador, manteniendo los valores calculados previamente para la matriz de ganancia K de la realimentación de estado. Las matrices del sistema con control integral son     0 1 0 G − HK Hk i = −1 −0,5 ki  G0 = −C 1 −1 0 1   0   H 0 = 0  , C 0 = 1 0 0 1 La f. de transferencia del sistema quedará de la siguiente forma F 0 (z)

= = =

C0 [zI − G0 ]−1 H0  −1   −1 0 0   z 1 0 0 1 z + 0,5 −ki  0 1 0 z −1 1 ki (z − 1)(z 2 + 0,5z − 1) + ki

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo

Haciendo el límite para t → ∞ en la expresión del error en régimen permanente se obtiene que lim e(k)

k→∞

= = =

lim (1 − z −1 )R(z)(1 − F 0 (z))   Tz −1 ki 1 − lim (1 − z −1 ) z→1 (1 − z −1 )2 (z − 1)(z 2 − z + 0,5) + ki 0,5T (111) ki z→1

El error no se anula completamente pero se puede hacer muy pequeño muestreando el sistema con un periodo T pequeño y haciendo grande el valor de ki .

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Sistemas con entrada vector Hemos considerado el problema de diseñar una realimentación de estado para el caso de sistemas con entrada de control de tipo escalar. En el caso de que la entrada de control al sistema sea un vector tenemos mucha más libertad para elegir las señales de control para controlar el sistema. La matriz de controlabilidad tenía dimensiones n × n para sistemas con entrada escalar, pero para el caso de entrada vectorial las dimensiones eran n × nr (suponiendo que el estado tiene dimensiones n × 1 y la entrada de control r × 1).

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo Supongamos el sistema definido por las siguientes ecuaciones         x1 (k + 1) 0 1 0 0 x1 (k) u1 (k) = + (112) x2 (k + 1) −0,5 −0,5 x2 (k) 1 0,25 u2 (k) y se desean determinar los valores de las ganancias de la matriz K (de dimensión 2 × 2) de realimentación de estado para que los polos en cadena cerrada del sistema estén en p1 = 0,5 ± j0,5. Solución: Comprobamos la controlabilidad de estado   0 0 1 0,25 (113) MC = [H|GH] = 1 0,25 −0,5 −0,125 que tiene rango 2 por lo que el sistema es completamente controlable en estado. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Ejemplo Se desea que los polos del sistema en cadena cerrada estén en p1 = 0,5 − j0,5 y p1 = 0,5 + j0,5, luego |zI − G + HK| = z 2 − z + 0,5 = 0

(114)

sustituyendo las matrices por sus valores

z 2 + z(0,5 + k12 − 0,25k22 ) + 0,5 + k11 + 0,25k21 = z 2 − z + 0,5 = 0 (115) e igualando los coeficientes de ambos polinomios obtenemos k12 + 0,25k22 k11 + 0,25k21

= =

−1,5 0

(116)

tenemos dos ecuaciones y cuatro incógnitas, luego tenemos dos grados de libertad en los coeficientes de la matriz de ganancias. Si tomamos, k12 = k21 = 1 tendremos que k22 = −10 y k11 = −0,25 obteniéndose que   −0,25 1 K= 1 −10 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Conceptos básicos Control por realimentación de estado

Fin

Gracias por vuestra atención

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Observadores de estado L. Moreno, S. Garrido Dpto. Ing. de Sistemas y Automática Universidad Carlos III Madrid

Enero 2012

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Table of contents

1

Diseño de observadores de estado Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

2

Observador óptimo del estado

3

Observador óptimo del estado

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observadores de estado Con frecuencia las v. de estado de un sistema o una parte de ellas no son medibles (o accesibles) y únicamente la v. de salida del sistema es medible. En estos casos es necesario estimar aquellas variables de estado que no son medibles directamente mediante observadores de estado . Sistema u(k) H

+

-1

+

y(k)

x(k)

z I

C

G

Observador del estado del sistema

^x(k) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observador de orden completo Primera idea

En el caso de que ninguna de las v. de estado sea medible es necesario que el observador de estado las estime todas, a este tipo de observador se le denomina observador de orden completo. Una primera idea podría consistir en incluir en el observador un modelo matemático del sistema e introducirle las entradas de control que se le van suministrando al sistema real. Observador del estado del sistema

u(k) H

+

-1

+

^ y(k)

C

z I

G

^ x(k) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observador de orden completo Primera idea: defectos

Este primer esquema tiene tres defectos básicos: 1

2

3

Es necesario conocer el estado inicial en el que está el sistema, ya que de otro modo evolucionará de forma distinta al no partir del mismo estado el sistema y el modelo. Las matrices G, H y C del sistema físico real no se conocen con exactitud, sino que suelen ser estimaciones de las mismas. El observador tendrá desviaciones que se van acumulando en el tiempo, y pasado un cierto periodo de tiempo, el estado estimado no se corresponde con el estado verdadero del sistema. Aunque las matrices de sistema que incluimos en el observador fuesen las verdaderas, el efecto de las perturbaciones hará que el estado que estima el observador y el real no coincidan al cabo de un cierto tiempo.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observador de orden completo Esquema

Es necesario modificar el estado estimado por el observador cuando la salida estimada no coincida con la del sistema real, para lo que se introduce una realimentación del error de estimación en el observador. ^ x(k) u(k) H

+

+ +

-1

+

z I

y(k) ^y(k)

^ x(k)

C

-

G Ke

e(k)

Observador

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

+

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observador de orden completo Para que sea posible diseñar un observador, un requisito previo imprescindible es que se pueda estimar matemáticamente el estado en un cierto instante de tiempo. Esto nos lo indica la observabilidad del sistema. Definición La condición necesaria y suficiente para poder observar las variables de estado es que se verifique la condición de observabilidad del sistema.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Función de transferencia del observador El observador de la figura tiene la siguiente dinámica ˆ x(k + 1) yˆ(k)

=

Gˆx(k) + Ke e(k) + Hu(k)

=

Cˆ x(k)

e(k)

=

y(k) − yˆ(k)

(1)

tomando transformadas z en las expresiones anteriores tenemos que ˆ ˆ z X(z) = GX(z) + Ke E(z) + HU(z) ˆ ˆ Y(z) = CX(z) ˆ E(z) = Y(z) − Y(z)

(3)

ˆ ˆ z X(z) = (G − Ke C)X(z) + HU(z) + Ke Y(z)

(5)

(2) (4)

y de aquí

o bien ˆ X(z) = [zI − G + Ke C]−1 HU(z) + [zI − G + Ke C]−1 Ke Y(z) (6) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observador de orden completo El observador tiene como función de transferencia la siguiente expresión:     U(z) ˆ X(z) = [zI − G + Ke C]−1 H [zI − G + Ke C]−1 Ke (7) Y(z) y la ecuación característica del observador viene dada por la ecuación |zI − G + Ke C| = 0

(8)

Es necesario diseñar la ganancia de realimentación en el observador Ke de forma que la dinámica del mismo sea adecuada para el sistema que se observa. El observador debe tener una dinámica más rápida que la del sistema.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Sistema con realimentación y observador Sistema r(k) +

u(k)

+

H

-

-1

y(k)

x(k)

z I

+

C

G

K

u(k) H

+

+ +

-1

+

z I

^ x(k)

y(k) ^y(k)

^ x(k)

C

+

-

G Ke

e(k)

Observador L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Error cometido por el observador Se ha visto la dinámica del observador, pero interesa más el error cometido por el observador, es decir la diferencia entre el valor estimado del estado que nos da el observador y el valor verdadero, ˜ x(k) = x(k) − ˆ x(k)

(9)

La expresión del error de estimación de estado en el instante k + 1 es ˜x(k + 1)

= x(k + 1) − ˆx(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) − [G − Ke C]ˆ x(k) − Hu(k) − Ke Cx(k) = (G − Ke C)[x(k) − xˆ(k)] =

(G − Ke C)˜ x(k)

(10)

La dinámica del error viene determinada por los autovalores de la matriz G − Ke C. Los autovalores de esta matriz deben estar dentro de la zona estable y que la dinámica del error sea muy rápida para que el error se anule lo antes posible. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Diseño de la ganancia del observador por comparación de coeficientes El diseño de la ganancia del observador se hace de forma similar al visto para la realimentación de estado, es decir se determina la ganancia del observador Ke de forma que la ecuaciń característica de del mismo tenga los polos en las posiciones deseadas p1 , p2 , . . . , pn . |zI − G + Ke C| = (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) = 0

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(11)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Diseño de la ganancia del observador por comparación de coeficientes Ejemplo

Ejemplo Supongamos el sistema definido por las siguientes ecuaciones        x1 (k + 1) 0 1 x1 (k) 0 = + u(k) x2 (k + 1) −1 −0,5 x2 (k) 1     x1 (k) y (k) = 1 0 x2 (k)

(12) (13)

y se desea diseñar un observador de estado para este sistema, teniendo en cuenta que se han ajustado los valores de las ganancias de la matriz K de realimentación de estado para que los polos en cadena cerrada del sistema estén en p1 = z − 0,5 − j0,5 y p1 = z − 0,5 + j0,5.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Diseño de la ganancia del observador Ejemplo

Solución: Comprobemos que sea completamente observable     C 1 0 MO = = CG 0 1

(14)

tiene rango 2, luego el sistema es observable. Para que la dinámica del error sea lo más rápida posible, situamos los polos del observador en el origen ( respuesta de tiempo mínimo, o dead-beat). Por lo tanto |zI − G + Ke C| = z 2 = 0

(15)

es decir  z 0

  0 0 − z −1

   1 ke1  1 + ke2 −0,5

 0 = z 2 = 0

(16)

y de aquí obtenemos z 2 + z(ke1 + 0,5) + (0,5ke1 + ke2 + 1) = z 2 = 0 e igualando los coeficientes ke1 = −0,5 y ke2 = −0,75 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(17)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Diseño de la ganancia del observador Por transformación

Si el sistema está en una forma que no sea la forma c. observable el método de comparación de coeficientes puede dar lugar a cálculos complejos especialmente para sistemas de orden elevado. Existe posibilidad transformar el sistema a la forma c. observable y diseñar en esta nueva representación el observador y después convertirlo de nuevo a la representación que teníamos inicialmente. Supongamos que se tiene un sistema con la siguiente representación de estado, x(k + 1)

=

Gx(k) + Hu(k)

(18)

y (k)

=

Cx(k)

(19)

y el observador de orden completo para esta representación viene expresado por ˆx(k + 1) = yˆ(k) =

Gˆx(k) + Hu(k) + Ke (y(k) − yˆ(k)) (20)

Cˆx(k)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Diseño de la ganancia del observador Por transformación

Transformando la ec. queda ˆx(k + 1) = (G − Ke C)ˆx(k) + Hu(k) + Ke y(k)

(21)

que es la expresión del observador de orden completo. De la expresión anterior, la relación de x˜(k + 1) y x˜(k) y considerando x˜(k) = x(k) − xˆ(k) se tiene ˜x(k + 1)

=

(G − Ke C)˜ x(k)

(22)

cuya ecuación característica es |zI − G + Ke C| = 0

(23)

Al igual que para el caso del diseño de la realimentación de estado, es posible transformar el sistema a otra forma canónica, normalmente a la observable, diseñar aquí el observador y convertirlo de nuevo a la representación original. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Diseño de la ganancia del observador Por transformación

Para el sistema en la representación original la matriz de observabilidad es   C  CG    MO =  .   ..  CGn−1

(24)

y supongamos que aplicamos una transformación T que transforma al sistema a la forma canónica observable x(k) = Tx0 (k)

(25)

con lo que el nuevo sistema quedaría en la forma x0 (k + 1) y (k)

= T−1 GTx0 (k) + T−1 Hu(k) 0

= CTx (k)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(26) (27)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Diseño de la ganancia del observador Por transformación

La relación entre las matrices de observabilidad de ambas representaciones venía dada por M0 O = MO T

(28)

y de aquí que −1

T = M0 O MO

(29)

pudiéndose obtener la matriz de transformación T a partir de las dos matrices de observabilidad. Una vez que el sistema esta en la forma c. observable y verifica la condición de observabilidad completa de estado, se diseña el observador de estado. En esta nueva representación tendremos que |zI − G0 + K0 e C0 | = (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) = 0 e igualando los coeficientes podremos determinar la matriz de ganancias del observador K0 e . L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(30)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Diseño de la ganancia del observador Por transformación

Si aplicamos la transformación inversa T−1 al sistema y x˜(k) = x(k) − xˆ(k) se tiene x˜0 (k + 1) = (G0 − K0 e C0 )x˜0 (k) y(k) − yˆ(k) = C0 x˜0 (k) para volver a la representación original aplicamos x0 = T−1 x, y recordando que G0 = T−1 GT y C0 = CT, obtenemos que ˜x(k + 1) = y(k) − yˆ(k) =

(G − TK0 e C)˜ x(k) C˜x(k)

Comparando con el modelo de error de estimación de estado en el sistema original tenemos que la matriz de ganancia del observador expresada en el sistema de representación original tiene la forma Ke = TK0 e L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(31)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Comportamiento conjunto del sistema Realimentación de estado más observador

Nos interesa conocer como se comporta la dinámica del sistema al introducir el observador en el lazo de realimentación. Las ecuaciones del sistema y la señal de realimentación son, x(k + 1)

= Gx(k) + Hu(k)

y(k)

= Cx(k)

u(k)

= −Kˆ x(k)

(32)

introduciendo la expresión de la señal de realimentación en la ec. de estado, y sumando y restando el término HKx(k) en dicha expresión obtenemos que x(k + 1)

= Gx(k) − HKˆx(k) =

[G − HK]x(k) + HK[x(k) − ˆx(k)]

(33)

sustituyendo x(k) − ˆ x(k) por ˜ x(k) nos queda lo siguiente x(k + 1) = [G − HK]x(k) + HK˜ x(k) L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(34)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Comportamiento conjunto del sistema Realimentación de estado más observador

Teniendo en cuenta ahora que la dinámica del error de estimación de estado cometido por el observador venía dada por ˜x(k + 1) = [G − Ke C]˜x(k)

(35)

Combinando las expresiones de la ec. de estado del sistema realimentado 34 y la ec. de estado del error de estimación 35 en un único modelo de estado, tendremos      x(k + 1) G − HK HK x(k) = (36) ˜x(k + 1) 0 G − Ke C ˜x(k) La ec. característica del sistema con realimentación y observador se obtiene de 36 y vendrá dada por la siguiente expresión zI − G + HK −HK =0 (37) 0 zI − G + Ke C L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Comportamiento conjunto del sistema Realimentación de estado más observador

Se puede observar que la ecuación característica del sistema se puede escribir en la forma |zI − G + HK| . |zI − G + Ke C| = 0

(38)

La expresión 38 nos dice que la ec. característica del sistema con realimentación de estado y observador es el producto de las ecuaciones características del sistema realimentado y del observador de estado. Son independientes, lo que permite que se diseñen de forma independiente y posteriormente sean combinados. Para que los polos del observador no influyan en la dinámica del sistema deben amortiguarse rápidamente, es decir deben de estar situados próximos al origen o en él .

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observador de orden reducido En los sistemas donde podemos medir alguna de las variables basta con estimar las variables de estado que no son medibles observadores de orden reducido, y si el orden es el mínimo posible, observador de orden mínimo. Sistema r(k) +

u(k)

+

H

-

+

y(k)= x (k)

x(k)

-1

z I

m

C

G

u(k)

K

x (k) m

^ x(k)

^ x n (k)

Observador reducido

x (k) m

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observador de orden reducido Supongamos que en el modelo del sistema parte de las v. de estado son medibles xm y otras no xn . Dividimos el vector de estado x en dos submatrices        xm (k + 1) Gmm Gmn xm (k) Hm = + u(k) xn (k + 1) Gnm Gnn xn (k) Hn     xm (k) y(k) = I O (39) xn (k) y puesta en forma de ecuaciones tenemos xm (k + 1)

=

Gmm xm (k) + Gmn xn (k) + Hm u(k)

(40)

xn (k + 1)

=

Gnm xm (k) + Gnn xn (k) + Hn u(k)

(41)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observador de orden reducido De la ec 40 podemos medir o conocer todos los términos salvo xn (k). Si separamos este término la ec. queda xm (k + 1) − Gmm xm (k) − Hm u(k) = Gmn xn (k)

(42)

la ec. 41 podemos reescribirla agrupando los términos medibles xn (k + 1) = Gnn xn (k) + [Gnm xm (k) + Hn u(k)]

(43)

Si comparamos las ec 42 y 43 con las de un sistema genérico x0 (k + 1) 0

y (k)

= =

G0 x0 (k) + H0 u0 (k) 0 0

C x (k)

(44) (45)

de forma que x0 (k)

=

xn (k)

y0 (k)

=

xm (k + 1) − Gmm xm (k) − Hm u(k)

0

=

Gnn

H0 u0 (k)

=

Gnm xm (k) + Hn u(k)

0

=

Gmn

G

C

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(46)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Observador de orden reducido Diseño

Para el sistema 44 un observador de estado tiene la forma general xˆ0 (k + 1) = (G0 − Ke C0 )xˆ0 (k) + H0 u0 (k) + Ke y0 (k)

(47)

Sustituyendo las matrices y vectores por las expresiones completas 46 se obtiene que el observador para la parte no medible del sistema es ˆxn (k + 1)

=

(Gnn − Ke Gmn )ˆxn (k) + Gnm xm (k) + Hn u(k) +Ke [xm (k + 1) − Gmm xm (k) − Hm u(k)]

(48)

Para el diseño este observador de orden mínimo, tendremos que ajustar la matriz Ke de forma que los polos de la ec. característica estén en unas posiciones determinadas por |zI − (Gnn − Ke Gmn )| = 0

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(49)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Ejemplo Observador de orden mínimo

Ejemplo Supongamos el sistema formado por dos integradores sucesivos, con un periodo de muestreo de 0.1 segundos, definido por las siguientes ecuaciones        x1 (k + 1) 1 0,1 x1 (k) 0,01 = + u(k) (50) x2 (k + 1) 0 1 x2 (k) 0,1     x1 (k) y (k) = 1 0 (51) x2 (k) dado que la variable de salida es medible y coincide con una de las variables de estado, se desea diseñar un observador de estado para estimar el valor de la otra variable.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Comportamiento conjunto del sistema realimentado con el observador Observador de orden reducido

Ejemplo Observador de orden mínimo

Solución: Comprobamos que el sistema sea completamente observable     C 1 0 MO = = CG 1 0,1

(52)

que tiene rango 2, luego es observable. En el sistema una variable de estado es medible y otra no. Las dimensiones de las submatrices del estado no medible y de los medibles son: Gnn : 1 × 1 y Gmm : 1 × 1. Estas submatrices son Gmm = 1, Gmn = 0,1, Gnm = 0, Gnn = 1 La ec. característica del observador de orden reducido es de orden 1. Y si buscamos la respuesta más rápida posible, se toma un polo en el origen. |zI − (Gnn − Ke Gmn )| = z = 0 (53) y sustituyendo en la expresión por las submatrices correspondientes, tendremos z − (1 − 0, 1ke ) = z = 0 (54) de donde se tiene que el valor de ke = 10. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Supongamos un sistema sometido a ruido en el sistema y a ruido de medida x(k + 1) y(k)

= Gx(k) + Hu(k) + v1 (k)

(55)

= Cx(k) + v2 (k)

(56)

donde: v1 (k) es un ruido blanco con una distribución de probabilidad normal con media cero y covarianza conocida R1 , es decir v1 ∼ N(0; R1 ). Es decir, E [v1 ] = 0 y E [v1 v1T ] = R1 . v2 (k) es un ruido blanco con una distribución de probabilidad normal con media cero y covarianza conocida R2 , es decir v2 ∼ N(0; R2 ). Es decir, E [v2 ] = 0 y E [v2 v2T ] = R2 . Supondremos además que E [v1 v2T ] = 0. Es decir, los ruidos son independientes. R1 y R2 son matrices semidefinidas positivas.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Observador óptimo Observador en un sistema con ruido v (k)

v (k)

1

2

Sistema u(k)

+

H

+

-1

x(k) C

z I

+

y(k)

+ +

G

^ x(k)

u(k) H

+ +

+

-1

+

z I

y(k) ^y(k)

^ x(k)

C

+ -

G Ke

e(k)

Observador

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Debido al efecto del ruido de medida y del ruido del sistema el observador de estado estudiado no dará unas prestaciones adecuadas. Es deseable que el observador de estado que optimice algún tipo de criterio de forma que se mejore el funcionamiento del mismo, para lo que es conveniente que Ke pueda variar con el tiempo k. La estructura que supondremos para el estimador de estado es la misma que para el observador de estado completo ˆx(k + 1)

= Gˆ x(k) + Hu(k) + Ke (k)[y(k) − yˆ(k)] = Gˆ x(k) + Hu(k) + Ke (k)[y(k) − Cˆx(k)]

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(57)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Si denominamos ˜x(k) = x(k) − ˆx(k) al error de reconstrucción, entonces la dinámica del error de reconstrucción es la siguiente ˜x(k + 1)

= x(k + 1) − ˆx(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) + v1 (k) − Gˆ x(k) − Hu(k) −Ke [y(k) − Cˆx(k)] = G˜ x(k) + v1 (k) − Ke (k)[y(k) − Cˆx(k)] = G˜ x(k) + v1 (k) − Ke (k)[x(k) + v2 (k) − Cˆx(k)] =

(G − Ke (k)C)˜x(k) + v1 (k) − Ke (k)v2 (k)

(58)

Si calculamos la esperanza del error de reconstrucción E [˜x(k + 1)] obtenido a partir de la expresión 58 tendremos E [˜x(k + 1)] = E [(G − Ke (k)C)˜ x(k) + v1 (k) − Ke (k)v2 (k)]

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(59)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Si al término de ruido lo denominamos wk = v1 (k) − Ke (k)v2 (k), se puede observar que su valor medio es cero, puesto que los ruidos del sistema y de medida se han supuesto ruidos blancos de media cero, E [wk ]

= E [v1 (k) − Ke (k)v2 (k)] = E [v1 (k)] − Ke (k)E [v2 (k)] (60)

= 0 y su covarianza tiene la forma T ] E [wk+1 wk+1

= E [(v1 (k) − Ke (k)v2 (k))(v1 (k) − Ke (k)v2 (k))T ] T T = Ke (k)E [v2 (k)v2T (k)]KT e (k) − E [v1 (k)v2 (k)Ke (k)]

−E [Ke (k)v2 (k)v1T (k)] + E [v1 (k)v1T (k)] T = Ke (k)E [v2 (k)v2T (k)]KT e (k) + E [v1 (k)v1 (k)]

= Ke (k)R2 KT e (k) + R1 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(61)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Buscamos determinar una ganancia de realimentación Ke que minimice la varianza del error de estimación, la cual denominaremos P(k) y que tiene la siguiente expresión P(k)

=

E [(˜x(k) − E [˜x(k)])(˜x(k) − E [˜x(k)])T ]

=

E [˜x(k)˜xT (k)] − E [˜x(k)E [˜xT (k)]] − E [E [˜xT (k)]˜x(k)] + E [˜x(k)]E [˜xT (k)]

=

E [˜x(k)˜xT (k)] − E [˜x(k)]E [˜xT (k)]

(62)

Si aplicamos 60 a la expresión 59 nos queda que el valor medio del error de estimacón E [˜x(k + 1)]

=

E [(G − Ke (k)C)˜x(k) + w(k)]

=

(G − Ke (k)C)E [˜x(k)]

(63)

En esta expresión E [x(0)] = m0 y se toma como valor inicial en el instante cero, es decir ˆx(0) = m0 . La expresión del valor medio del error de reconstrucción toma valor cero. Dicho de otro modo, el error de estimación será cero para todo k ≥ 0, independientemente del valor de Ke (k) que se elija. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

La expresión de la matriz de covarianza P(k), (puesto que el valor medio del error de reconstrucción es cero para todo k, E [˜x(k)] = 0), se simplifica y nos queda P(k) = E [˜x(k)˜xT (k)] (64) Si relacionamos la covarianza del error de reconstrucción en un instante k + 1 con la del instante anterior k, tendremos que P(k + 1)

=

E [˜x(k + 1)˜x(k + 1)T ]

=

E [((G − Ke (k)C)˜x(k) + w(k))((G − Ke (k)C)˜x(k) + w(k))T ]

=

E [((G − Ke (k)C)˜x(k))((G − Ke (k)C)˜x(k))T ] +E [((G − Ke (k)C)˜x(k))w(k)T ] +E [w(k)((G − Ke (k)C)˜x(k))T ] + E [w(k)w(k)T ]

=

(G − Ke (k)C)P(k)(G − Ke (k)C)T + R1 + Ke (k)R2 KT e (k) (65)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Se ha tenido en cuenta que el estado y los ruidos de sistema y medida son independientes por lo que sus matrices de covarianza cruzada son nulas E [ω(k)˜ x (k)T ] = 0 y E [x(k)˜ ω (k)T ] = 0, y además se ha sustituido la covarianza del ruido w(k) por el valor obtenido en la expresión 61. Buscamos un observador de estado que minimice la covarianza del error de reconstrucción, es decir que minimice P(k). Decir que P(k) es mínimo quiere decir que la forma cuadrática αT P(k)α (valor escalar) es mínima, donde α es un vector n × 1 arbitrario. αT P(k + 1)α

=

αT [GP(k)GT + R1 − Ke (k)CP(k)GT T T −GP(k)CT KT e (k) + Ke (k)(R2 + CP(k)C )Ke (k)]α

(66)

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

la ganancia Ke puede determinarse a partir de 66 agrupando en dos términos la expresión αT P(k + 1)α

=

αT [GP(k)GT + R1 + Ke (k)(R2 + CP(k)CT )KT e (k)] −Ke (k)CP(k)GT − GP(k)CT KT e (k)]α

=

αT [GP(k)GT + R1 +[Ke (k) − GP(k)CT (R2 + CP(k)CT )−1 ] [R2 + CP(k)CT ][Ke (k) − GP(k)CT (R2 + CP(k)CT )−1 ]T −GP(k)CT (R2 + CP(k)CT )−1 CP(k)GT ]α (67)

En la expresión 67 se puede observar que el primer término y el último no dependen de Ke (k) y el segundo término no es negativo ya que la matriz R2 + CP(k)CT es definida positiva. Por lo tanto el mínimo de esta expresión se obtiene cuando Ke (k) se elige para que haga cero el segundo término. Es decir, cuando Ke (k) = GP(k)CT (R2 + CP(k)CT )−1 L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(68)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

y en este caso la expresión de la matriz de covarianzas P(k + 1) queda de la siguiente forma P(k + 1)

=

GP(k)GT + R1

−

GP(k)CT × (R2 + CP(k)CT )−1 CP(k)GT (69)

Esta expresión es la ecuación de Riccati. El valor de la ganancia Ke (k) que minimiza la varianza del error de reconstrucción no depende de α. La matriz de covarianzas del error en el instante de tiempo cero (dado que el error de reconstrucción en el instante inicial era cero por la forma en que hemos elegido la estimación inicial) es P0

=

E [˜x(0) − ˜x(0)T ]

=

E [(x(0) − m0 )(x(0) − m0 )T ] (70)

= P0

A las expresiones 57, 68 y 69 se las conoce como filtro de Kalman. L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Filtro de Kalman

Resumiendo, dado un sistema x(k + 1)

=

Gx(k) + Hu(k) + v1 (k)

(71)

y(k)

=

Cx(k) + v2 (k)

(72)

las ecuaciones del observador óptimo del estado (filtro de Kalman) son:

ˆx(k + 1)

=

Gˆx(k) + Hu(k) + Ke (k)[y(k) − Cˆx(k)]

Ke (k)

=

GP(k)CT (R2 + CP(k)CT )−1

P(k + 1)

(ganancia de Kalman)

T

=

GP(k)G + R1

−

GP(k)CT × (R2 + CP(k)CT )−1 CP(k)GT

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II

(73)

Diseño de observadores de estado Observador óptimo del estado Observador óptimo del estado

Fin

Gracias por la atención.

L. Moreno, S. Garrido

Curso de Ing. de Control II