Capítulo 3 Límites y Continuidad

 

Capítulo 3 Límites y Continuidad

M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza

3.11  Asíntotas de una Función

    ∞ →lim   ∞  →lim 

Asíntota Vertical: La función

Si se cumple que:

 presenta una asíntota vertical  presenta  

Asíntota Horizontal: La función

Si se cumple que:

   

 presenta una horizontal

→ lim      →−lim    

 

      lim→±    , lim→±   

Asíntota Oblicua: La función

 

 presenta una oblicua

, donde:

 

Demostración:

y 

  x  x   b y   m 

9 8

d    (x, f (x ))

7 6

y

5



f (x )

4 3 2 1 -3

-2 -1 0

1

2

3

4   5

6

7

8   9 10

x 

 

Con la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

  |√ +++|+|

|    ||   →+ l i m  → 0    1  1  | |  |  lim     11 0 ⇒ →+lim    0 …  →+  →+lim       0 / ÷ → →+lim      0 → l→+im    →+lim   lim→+  0 → lim→+    ∞⏟ 0 → →+    →+lim      0 → →+  ∞  

Se observa que cuando

 

 

De

 

 

De

 

 

La demostración es análoga para una tendencia hacia el

 

 

 

 

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M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza

Problema 73 Calcule las asíntotas oblicuas de la función:

  3    2

 

Solución:  Una forma de identificar si una curva posee o no asíntota oblicua es ver el grado

absoluto general de la misma, si es de grado absoluto 1 hay asíntota oblicua, ejemplos:

   1 1     ,     1//  2// 

Nuestra función es de grao absoluto uno, en consecuencia, posee asíntota oblicua, que debe ser

 √   2       3 3   lim→+  lim→+   lim→+ 33   1  23  1  ∞2 312 de la forma:

.

Por la derecha:









 

 

 ⋅→+ 3 √  2  (2√ 2lim   2)→+lim→+   √ 22(√ 2  2)  0 lim→+→+   2lim 3 

 

La asíntota oblicua por la derecha es:



Por la izquierda: Sale el mismo resultado

 

2