Angulos RPY y Euler

 

  Subsecretaría de Educación Superior Dirección General de Educación Superior Tecnológica Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas

Robótica “Ángulos RPY, Ángulos de Euler ZYX y Ángulos de Euler ZYZ”  ZYZ”  Nombre del alumno:

Luis Eduardo Santiago García  Profesor: Dr. Waldemar Pérez Bailón Cd. y Puerto de Lázaro Cárdenas, Mich., Febrero 2017.

 

 

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Ángulos RPY. Los ángulos R-P-Y, del inglés  Roll  (balanceo),   (balanceo),  Pitch (inclinación), Yaw (orientación), se usan en la navegación náutica donde corresponden al alabeo, cabeceo y guiñada respectivamente [Ollero, 2001]. Los ángulos R-P-Y son también conocidos como ángulos fijos X-Y-Z, ya que se refiere al hecho de que las rotaciones se especifican sobre el sistema de referencia fija, es decir, la inmóvil [Craig, 2006]. Por ejemplo, para expresar la orientación de un objeto que tiene un sistema de ejes asociados {B}, con respecto a un sistema de referencias {A}. Se comienza con el sistema de referencias coincidente con el sistema de referencias conocida {A}. Se gira {B} primero sobre



un ángulo   (balanceo), después se gira {B} sobre finalmente se gira {B} sobre

 

̂

  con un ángulo



 ̂

 usando

  (inclinación) y

 usando un ángulo  (orientación) [Craig, 2006]. En la Figura

1.1 se muestra el procedimiento descrito anteriormente.  



Figura 1.1 Ángulos RPY. Es importante resaltar que las rotaciones se llevan a cabo en el orden matriz de rotación equivalente

, , 

. La

  ,, ,,  es directa, ya que todas las rotaciones ocurren 

sobre ejes del sistema de referencia. Empleando el operador de rotación, se obtiene:

  0   0  1 0 0    ,, ,, =  = [0 0 01] [ 0 10 ] 0 ] [0     ]  

 

Luis Eduardo Santiago García

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     +     ,, = [  +       ]      Esta ecuación especifica el orden de las tres rotaciones y es correcta solo para las rotaciones realizadas en el orden descrito anteriormente [Craig, 2006]. El problema inverso es de interés, ya que se trata ahora de obtener los ángulos de orientación conocida la matriz de rotación.

         3    ,, = [3    3    333]    cos  3  ≠ 0   3⁄   33⁄  ⁄    =  23, √   +    =  ( , )  =  (3 , 33) tan− 

Al obtener la raíz cuadra de la suma de los cuadrados d

 y

sobre

⁄  

.

  sobre el coseno calculado.

Después se puede resolver para   con el arco tangente de Luego, siempre y cuando

, se puede calcular

, se puede resolver para  sacando el arco tangente de

 y se puede resolver para  sacando el arco tangente de

 sobre

 

.

 

 

 

 2, 2, 

  es una función de arco tangente de dos argumentos, es decir, calcula

[Craig, 2006].

 

Ángulos de Euler ZYX. En lugar de realizar tres rotaciones consecutivas alrededor de los ejes del sistema de referencia {A}, el cual es fijo, las rotaciones ahora se efectúan alrededor de los ejes del sistema {B} solidario al cuerpo, tal como se muestra en la Figura 1.2 [Ollero, 2001]. Dichos conjuntos de Luis Eduardo Santiago García

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tres rotaciones se llaman ángulos de Euler.

Figura 1.2 Ángulos ZYX de Euler. Se comienza con {B} coincidente con la referencia {A}. Se gira {B} primero sobre

̂



 usando

 ̂

un ángulo , después se gira sobre   usando un ángulo , y finalmente se gira sobre   usando un ángulo . Cada rotación se lleva a cabo sobre un eje cuya ubicación depende de las

 



 ̂  ̂

rotaciones anteriores. Ya que las tres rotaciones ocurren sobre los ejes ,  y  se llama a esta representación ángulos de Euler ZYX [Craig, 2006].

Tomando como referencia la Figura 1.2, se pueden usar sistemas intermedias {B’} y {B’’}

 para poder obtener una expresión para

,,, lo cual indica que esta rotación es ′ ′′ ,,

descrita por ángulos de Euler. La orientación final de {B} se da en forma relativa a {A} como

0 ′  ′′ =   = [

  0 10 0] [10 0 0   ] 0 10] [ 0  0       +  ′ ′′ ,  ,  = [   +       ]     

 

 

Se puede notar que el resultado es exactamente el mismo que se obtiene para las mismas tres rotaciones que se realizan en orden opuesto sobre ejes fijo o ángulos RPY. Por lo que obtener Luis Eduardo Santiago García

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los ángulos ZYX a partir de la matriz, es decir, el problema inverso, se puede aplicar las mismas expresiones que resultaron para los ángulos RPY [Ollero, 2001].

Ángulos de Euler ZYZ. Realizando de forma diferente los giros de los tres ejes de coordenadas se obtienen otras representaciones. El nombre de ángulos de Euler ZYZ se refiere a que las rotaciones ocurren

 ̂  

sobre los ejes ,  y . En los ángulos de Euler ZYZ, se comienza con {B} coincidente con la referencia {A} y se efectúa un giro de {B} primero sobre

̂

 con un ángulo  y finalmente, sobre









 con un ángulo , después sobre

 con un ángulo  [Craig, 2006].

Usando el mismo desarrollo de la sección anterior, se obtiene la matriz de rotación

   +    +       ]  ′ ′′ ,, = [ La solución para extraer ángulos ángulos ZYZ de Euler a partir de una matriz de rotación es:

′ ′′ ,  ,  = [        33]  3   3   33 Entonces si

, se obtienen

sin  ≠ 0

 = ta  tan2 n2√ 3  + 3 , 33  =  tan2( tan2(3 , 3)  =  tan2( tan2(3 , 3  )

 

 

 

Luis Eduardo Santiago García

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Referencias  [Craig, 2006] John J. Craig. “Robótica”, Tercera Edición, Prentice-Hall, 2006. [Ollero, 2001] Aníbal Ollero Baturone. “Robótica: Manipuladores y robots móviles”, Alfaomega-Marcombo, 2001.

Luis Eduardo Santiago García

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