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April 7, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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ÍNDICE FÍSICA
CAPÍTULO I
¿QUÉ ES LA FÍSICA Y ANÁLISIS DIMENSION DIMENSIONALES? ALES? ........ ................... ..................... .................... ................. ....... 10 CAPÍTULO II
CINEMÁTICA.......... CINEMÁTICA .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... ............ 21 CAPÍTULO III
OBJETOS EN CAÍDA LIBRE VERTICAL ............ .................... .................... .................... .................... .................... ................. ....... 31 CAPÍTULO IV
ESTÁTICA ......... ................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... ................ ...... 39 CAPÍTULO V
DINÁMICA DINÁMIC A ......... ................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... ................ ...... 62 CAPÍTULO VI
TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA ............... ......................... .................... .................... .................... .................... .................... .......... 77 CAPÍTULO VII
CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO E IMPULSO DE UNA FUERZA ............ ...................... .................... ............ 96 CAPÍTULO VIII
MOVIMIENTO MOVIMIENT O ARMÓNICO SIMPLE........... ..................... ..................... ..................... .................... .................... .................... ............. ... 112 CAPÍTULO IX
ESTÁTICA DE FLUIDOS... FLUIDOS............. .................... .................... .................... .................... .................... ..................... ..................... ................... ......... 132 CAPÍTULO X
TEMPERATURA Y CALOR ............... .............................. .............................. .............................. .............................. ............................. .............. 143 CAPÍTULO XI
TERMODINÁMICA TERMODIN ÁMICA ......... ................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... ............. ... 158 CAPÍTULO XII
ELECTROSTÁTICA.. ELECTROSTÁTIC A............ .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... ................... ......... 178 CAPÍTULO XIII
ELECTRODINÁMICA ELECTRODIN ÁMICA .......... .................... .................... .................... .................... .................... ..................... ..................... .................... ................. ....... 199 CAPÍTULO XIV
MAGNETISMO .......... .................... .................... .................... ..................... ..................... .................... .................... .................... .................... ................. ....... 212 CAPÍTULO XV
ELECTROMAGNETISMO ELECTROMAGN ETISMO .......... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... ............ 223 CAPÍTULO XVI
ÓPTICA GEOMETRÍA......... ................... .................... ..................... ..................... .................... .................... .................... .................... ................. ....... 230
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
Cap. 1 Análisis Dimensional
Capitulo 1 Tema 1:
¿QUÉ ES LA FÍSICA Y ANÁLISIS DIMENSIONAL?
1.1. ¿QUE ES LA FÍSICA? La física es una ciencia experimental dedicada a describir la naturaleza fundamental del universo desarrollando teorías basadas en leyes que rigen los fenómenos fenómen os naturales, estas leyes describen los resultados de observaciones y de mediciones cuantitativas de los procesos naturales. 1.2. Cantidades físicas
Una magnitud o cantidad física es todo característica de un objeto o fenómeno físico que p pueda ueda sser er medido, Las medidas de las magnitudes se realizan mediante las unidades de medida, medida, de establecidas por la Unión Internacional Pesas y Medidas (UIPM), que forman el Sistema Internacional de unidades (S. I.), Son ejemplos de cantidades físicas: el tiempo, la densidad, la energía, etc. Las Cantidades físicas se clasifican:
Cantidades físicas fundamentales, base del Sistema Internacional (S.I.) Cantidad física Longitud Masa Tiempo Temperatura Intensidad de corriente eléctrica Intensidad luminosa Cantidad de sustancia
símbol de la Unidad ounida d metro m kilogramo kg segundo s kelvin K
Dimensión L M T
ampere
A
I
candela
cd
J
mol
mol
N
1.2.1. Ecuación dimensional
Para realizar la notación de las dimensiones de una cantidad física, se emplean corchetes, tal como se muestra: [A] : se lee “la dimensión de A”. Ejemplos
SEGÚN SU ORIGEN ORIGEN en Cantidades fundamentales y derivadas
[altura] : se lee “la dimensión de la altura” [área] : se lee “la dimensión del área”
SEGÚN SU NATURALEZA NATURALEZA en Cantidades escalaress o vvector escalare ectoriales. iales.
Algunas cantidades físicas derivadas
1.3. Cantidades Fundamentales Son aquellas cantidades elementales e independientes entre si es decir que no puede descomponerse en unidades más simples. 1.4. Cantidades Derivadas Son aquellas cantidades que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales.
1.2. ANÁLISIS DIMENSIONAL El análisis dimensional estudia la relación de las cantidades físicas derivadas con las
Sea “X” una cantidad física derivada X La M b Tc Id Je θf Ng
donde: a, b, c, d, e, f, g números reales
Cantidad física rea Volumen Densidad Velocidad Aceleración Impulso Fuerza Energía Potencia
símbolo de la unidad m2 m3 kg/m3 m/s m/s2 kg ms 1 newton joule watt
Dimensión L2 L3 M L 3 L T 1 L T 2 M L T 1 M L T 2 M L 2 T 2 M L 2 T 3
1
fundamentales.
Presión Carga eléctrica
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pascal coulomb
M L T IT
2
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Cap. 1 Análisis Dimensional
Cantidades físicas suplementarias del S.I. Cantidad física
Unidad
Ángulo plano Ángulo sólido
Abreviatura de la unidad
radián estereorradián
PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Calcular el valor de y para que la ecuación sea dimensionalmente homogénea Si
rad sr
1.2.2. Cantidades Adimensionales Adimensionales
La ecuación se puede expresar como
+ log(20) Del principio de homogeneidad
[ ] [ ] [ ][(20)] ][(20)] [] [][] 4 −4 (−1) (−1)
[Número] = [ángulo] =[exponente] = 1
4 −4 − − )) 4 −4 −( → 2 4 → +
Ejemplos
[-2,7 ]2n = 1 ; [log 3] = 1; [sen 30°] = 1; [30°] = 1;
1.2.3. PRINCIPIO DE HOMOGENIDAD
Establece que una ecuación es dimensionalmente homogénea, si todos sus términos tienen las mismas dimensiones, A + B3 = C – D se cumple: [A] = [B3] = [C] = [D]
y=2
2.- Determine la dimensión R si la ecuación es dimensionalmente correcta. 3 a= aceleración c= volumen P= potencia e= base del logaritmo neperiano
Propiedades
log log(( )) +
Solución:
1) Las dimensiones no cumplen la suma y
resta algebraica.
[] ± [] [] []
2)
P = cantidad de movimiento V=rapidez B = calor
Solución:
Son aquellas cantidades que no tienen dimensiones y no representa alguna cantidad física. La constante c onstante numérica, numérica, los ángulos y los exponentes exponentes son adimensionales, también las funciones trigonométricas exponenciales y logarítmicas Las dimensiones de las cantidades adimensionales adimens ionales se igualan igualan a la unidad. unidad.
[2] = 1; [ ] = 1;
√ + (2 (20) 0)
[ ] [][]
3)
Del principio de homogeneidad
[] [ ] log() ()]] = [] [3] ] [] [ ] [log
[[]]
1 De donde tenemos: [R] = [A] [x] ……..(I) ……..(I)
[ ] []
4)
5) Las cantidades físicas se pueden sumar
o restar siempre que sus dimensiones sean iguales. [ ± ] [] [] 6) Cuando tenemos magnitudes o cantidadess físicas en los exponentes cantidade exponentes [exponentes] = 1
1
[c x a ] = [número] = 1 [c] [x] [a] =1
1 −4 [] [1][ (II) ][] …… (II)
[P A] = [exponente] [exponente] = 1 [P] [A] =1
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Cap. 1 Análisis Dimensional
= = = −−2 ...(III)
Reemplazando en (I):
= = =
(II) y (III) en (I) [R] = M-1 L-2 T3 L-4T-2 = M-1L-6T5
= = =1 =1 12 Luego: = = = 2 1 . 2 . = −2 2 = 22−4 = 2−−4 =
ecuación ón 3.- Determine la dimensión de B si la ecuaci
= ( √ ) sec6º
Es dimensio d imensionalmente nalmente homogénea Donde: A = área P = presión C = tiempo Solución:
La ecuación se puede expresar asi
= ( √ ) 2 Del Principio de homogeneida homogeneidad d
2 = [ = = √ ]]
5.- La velo velocidad cidad a la cual el flujo de u un n líquido a través de un tubo se convierta en turbulento, depende de la viscosidad n, de la densidad del fluido, del diámetro D del tubo y de una constante adimensional R. Determine una formula empírica para la − − velocidad.
ρ
=
Solución:
ρ
La velocidad v depende de , , D y se relacionan mediante una constante adimensional donde x, y, z se determinan con el principio de homogeneida homogeneidad. d.
(I)
= 1 [√ ]] = [√ ]] = =
Reemplazando en (I)
= 2 = 2 4.-
=
=
= ……….. ……….... .. (1) = − = 1 = −− − Reemplazamos en (1) =
−
= 2−−2 = En la ecuación = √−
Dimensionalmente homogénea Dimensionalmente Donde F= fuerza v = volumen = base de logarit logaritmo mo natural Calcule [ABC]
− 2 − = 1−−+ −−−+ −
=
Solución:
Del Principio de homogeneida homogeneidad d
= =
……..(I) = = = − ……..(I) = 21 2 = 1 = = = =
Resolviendo M = M+ → x y y = 0 el sistema de L = L−−+ → x x 3y z = 1 ecuaciones T− = T − → x = 1 x=1, y=-1 , z=-1 1 1 1 ⇒
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=
=
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Cap. 2 Análisis Vectorial
Tema 2: ANALISIS VECTORIAL VECTORIAL
2.1. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Las cantidades escalares escalares son aquellas que quedan definidas con un valor numérico y una unidad elegida. Ejemplo Ejemplo El tiempo : 20 s La temperatura : 18 °C
alguna recta tomada como referencia, como por ejemplo el eje +x. 2.2.1. Vectores iguales cuando los
vectores tienen igual modulo e igual dirección
⃗|= = | | ⃗ |
2.2.2. El negativo de un vector
Las cantidades vectoriales son vectoriales son aquellas que además de un valor numérico y una unidad física, necesitan de dirección.
El negativo de un vector es aquel que tiene igual modulo pero dirección opuesta.
⃗ = − ⃗ | = | | |
Ejemplos La fuerza: 20 N, horizontal a la derecha. F = 20N
“Dos vectores
La velocidad velocidad : 18m/s, hacia el ESTE
que tiene la misma
dirección son paralelos, si tienen direcciones opuestas son antiparalelos” 2.3. OPERACIONES CON VECTORES VECTORES
v = 18m/s Este
Las cantidades vectoriales se representan mediante un vector.
2.3.1. SUMA DE VECTORES Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por uno solo llamado vector
resultante ( R ).
2.2. Vector Un vector es es un concepto matemático que asocia cantidad (módulo) y dirección. Gráficamente se representa mediante una flecha
= ⃗ + 2.3.2. Vectores paralelos: paralelos: El modulo de la resultante es la suma de los módulos de los vectores
Módulo
A
Rmax = A +B
x=45°
Dirección
2.3.3. Vectores antiparalelos:
= ⃗ +
eje + x El modulo de la resultante resultante es la diferencia de módulos de los vectores.
A ,
se lee: “vector A”
A
=
A,
se lee: “módulo del vector A”
La dirección dirección de un vector está indicada por el ángulo
que
forma el vector con
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Rmin = A – B
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Cap. 2 Análisis Vectorial
2.3.4. Vectores perpendiculares:
2.6. DIFERENCIA DE VECTORES VECTORES
= ⃗ +
El modulo la resultante resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.
= =
2
2
A B
A
y
B
se colocan con el
2
A B
2
2 AB Cos
Es un vector cuyo módulo es 1 sin unidades y se utiliza para indicar la dirección de cualquier vector. Por ejemplo, sea el vector A , el vector unitario en la dirección de A es:
El módulo del vector resultante
=
= módulo:
2.7.VECTOR UNITARIO DE UN VECTOR
2.4. Método del paralelogramo 2.4. paralelogramo Los vectores origen común
= ⃗ −
2
2
A B 2AB Cos
⃗ = = | | |
= ⃗ +
Vectores unitarios asociados a los ejes coordenados
2.5. Método del Polígono Nos permite determinar la resultante de varios vectores, que se colocan en forma consecutiva (extremo de un vector en el origen del otro)
El vector resultante resultante R se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector
̂ = 1 || = = | | | = PROPIEDAD: Dos vectores paralelos mismo vector unitario
⃗ / / Es decir, si : = ⃗ + + ⃗
tienen
el
⇒ ⃗ = ⃗
⃗ Luego: ⃗ =
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Cap. 2 Análisis Vectorial
2.8.3. REPRESENTACIÓ R EPRESENTACIÓN N CARTESIANA DE UN VECTOR
2.8. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
Es la operación contraria a la suma y consiste en obtener dos o más vectores en diferentes direcciones, llamados componentes,
Por ejemplo en el plano:
2.8.1. EN EL PLANO
⃗
Ax=Acos
Ay=Asen
= (2, 2) − (1, 1) ⃗ =
se escribe:
⃗ = (2 − 1 , 2 − 1 )
Se cumple que todo vector es la suma de sus componentes c omponentes
⃗ = ⃗1 + ⃗2 = +
Módulo
|⃗| = √ 2 + 2
modulo:
|⃗⃗|==(2((− −1) )+2 +(2(− −1) )2 √ 2 1 2 1
2.9. PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto punto de
los vectores A y B da como resultado un escalar.
2.8.2. EN EL ESPACIO
A
B
A B cos
……..(1)
2.9.1. PROPIEDADE P ROPIEDADES S DEL PRODUCTO ESCALAR .
1)
A A x
Módulo.
Ay Az
Ax i
Ay j
2 2 2 ⃗ | | = + +
Az k
2)
⃗. = .⃗ ⃗. ⃗ = |⃗|2 = 2 + 2 + 2 ⃗. = 0 ⃗ y
3) Si
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son perpendiculares
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4)
Cap. 2 Análisis Vectorial
̂ ̂ 1
El módulo del vector C
̂ ̂ 0
C
A
B
A B sen
La dirección se determina con la regla de la mano derecha
⃗ , , ) = ̂ = , , ) = ̂
2.10.1 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
⃗ − ⃗ 1)
⃗
……….(2)
Con el producto escalar podemos conocer el ángulo entre los vectores. De (1) y (2) tenemos
⃗ // ⃗ 0 3) Si
5) ̂
* Muchas cantidades físicas resultan del producto escalar de dos cantidades vectoriales, por ejemplo, el trabajo mecánico (W) es el producto escalar F
S área del paralelogramo formado por ⃗
4) ̂ ̂ 0
de la fuerza
⃗ | 2) |
y el desplazamiento desplazamiento
⃗
̂
̂
̂ ̂ − −
̂ −
⃗ , , ) = ̂ = , , ) = ̂
2.10. PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial o producto cruz de
⃗ ̂
dos vectores A y
B
, da como resultado
otro vector
C ,
el cual es perpendicular al
plano formado por
A y B
.
⃗ ( − ) − − − ̂ − Muchas cantidades físicas resultan del producto vectorial de dos cantidades vectoriales, por ejemplo: el momento de
una fuerza ( M ) es el producto del vector posición ( r ) y la fuerza ( F )
M
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r
F
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Cap. 2 Análisis Aná lisis Vectorial
PROBLEMAS RESUELTOS
= 2 + ⃗
⃗ = 2 ̂ y = 1.-. Si los vectores vectores ̂ son perpendiculares, 2 calcule el vector unitario de = ⃗ Solución:
Si:
̂ ⃗ =2 = 2 ̂
Son perpendiculares
= 7 2
̂ .( 2 ̂ ) = 0 ⃗ . = (2
∴
(2) (b) + (-3) (- 3) (2b) + (-1) (-4) = 0 -4b + 4 = 0 Luego:
= 25u
3.- En la figura que se muestra, calcule el vector unitario perpendicular al plano del triangulo ABC.
b=1
= 2 ̂ ⃗ =2 ̂ ̂ = ⃗ =
= √ | | = ̂ = = √ 2.- Hallar el módulo del vector resultante del sistema de vectores que se muestra en la figura. Si a=7 y e=12. Solución:
⃗ y en el plano ABC, entonces ⃗ = ⃗ es un vector perpendicular al plano ABC por lo tanto nos piden el vector unitario de ⃗ Consideremos Considerem os los l os vectores
Solución:
Nos piden:
+ ⃗ ⃗ = ⃗ + + ⃗ + ⃗ + ⃗ +
⃗ = + + ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗ * ⃗ = + ⃗ ⃗ = ⃗ + + ⃗ + ⃗ + ⃗ + = Luego: ⃗ ⃗ + ⃗ + De la figura: fi gura: *
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Cap. 2 Análisis Vectorial
De la figura encontramos las componentes de y
⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂
Reemplazando:
B = 3,
E =5
∴ 4
⃗A
5.- Determine Determine el vector , si su módulo es
4√ 6
Solución:
⃗ ̂ 2
2
4√ 66 Consideramos el vector B paralelo al vector ⃗⃗
Nos piden
2
√ || ∴ 3 ̂
Luego el vector unitario perpendicular al plano del triángulo ABC es:
4.- Calcule el módulo resultante, Si: B=3; E=5.
d del el
Encontremos las componentes del vector
⃗
vector
Solución:
Nos piden:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ … (I) (⃗ ) ̅ De la figura: ⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ En (I): ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ |⃗ | 2 2 6 60
)
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⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ⃗ 2 2 2 √6 ⃗⃗ √ 6 ̂ ̂ 4√6 88 44 4̂ 4√6 √ 6
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Cap. 2 Análisis Vectorial
9.-- Determine el módulo de la resultante ⃗ | = 5; de los vectores mostrados, si | | = 3 |
13. Calcule un vector perpendicular a los ⃗= + 2̂ y = 3 − 5 vectores cuya modulo es igual al área de dell paralelogramo que forman ⃗ y .
A) 7 B) 14
A) −4 + 5̂ D) +3
B) −5+6 +6 --3 3̂ E) -2 -̂
C) 21
5
3
D) 28
C)
̂ −8
14.- Dados los v vectores: ectores:
⃗ = 2 = −2+ ⃗ = 2 2 + = 3 + 2
E) 35
10.- Calcule la medida del ángulo “α” si | + |=25
Determ termine ine el vector unitar unitario io para paralelo lelo al = ( ⃗ . ) ⃗ − vector
̂ / ++ /√ √ 3 C) − − +̂/ /√ √ 3 − + +̂/ /√ E) − √ 3
A)
A) 15° B) 26° C) 37°
̂ / −+ /√ √ 3 D) − −̂/ /√ √ 3
B)
D) 45° E) 54°
y u vectores unitarios en 11.-Sean u , u las direcciones x, y, z positivas del sistema de coordenadas cartesianas. = −u + u 2 u 2 − u 3 y ⃗ = u 1 + 2u Calcule ⃗
15.-Sean los vectores ̂ ; =−2 ⃗ = − 5 −2 + 3 3 y y ⃗ ; Determine el vector unitario de ⃗ si la resultante de los tres vectores es nulo
−̂/ √ 1111 + 3 − 2 2/√ /√ 5 B) ̂ /5 /5√ /√ C) −4 − 3 + 5 √ 2 D) −̂/ √ 2 /√ E) − + 2 +̂/ √ A)
− u − u − u A) u B) u u + 2u C) D) u − u + 2u E) 2u − u 12. Se muestran los vectores: − ⃗) ⃗ − ⃗ , , ⃗ y Determine: (
A) 12 + ̂ C) 24 24 + 32 32 E) −12 +3 +3̂
̂ B) 4 − ̂ D) 18
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Cap. 2 Cinemática
Capitulo 2 Tema 1:
CINEMÁTICA
2. MOVIMIENTO MECÁNICO
4. Velocidad Media ( V ): ): es una m
cantidad física vectorial que mide el desplazamiento por unidad de tiempo. =
⃗ ⃗∆ ⃗ −⃗ = = ∆ ∆ −
Su unidad de medida en el S.I. es: m/s
El movimiento mecánico es un fenómeno físico que consiste en el cambio de posición de un cuerpo o partícula, en el espacio y el tiempo, con respecto a un sistema de referencia.
5. Velocidad Instantánea ( v ): ): es la velocidad en un instante de tiempo, que se determina hallando la velocidad media, en un intervalo de tiempo infinitesimal ( t tiende a cero).
r
2.1. Cantidades físicas movimiento mecáni mecánico co asociadas al
v =
Lim
t 0
t
d r
v= dt
Esta última ecuación se lee: e
“derivada del vector respecto al tiempo”
posición
r ,,
1. Vector posición ( r ): es ): es el vector que indica la ubicación del móvil, con respecto a un sistema de referencia.
2. Espacio recorrido (e): es
una cantidad física escalar que expresa la longitud de la trayectoria descrita por el móvil.
3. Desplazamiento ( ⃗ ): es ): es una cantidad física vectorial, que expresa el cambio de posición del móvil
D =
∆ r =
* El vector velocidad velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en un punto cualesquiera de esta.
En adelante, cuando se mencione la velocidad, nos referimos a la velocidad instantánea.
6. Rapi Rapide dezz “V” “V” Es el módulo de la velocidad instantánea
r - r 0 f
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Cap. 2 Cinemática
7. Aceler ): es una Aceleración ación Media ( ⃗ ): cantidad física vectorial que mide el cambio de de velocidad por unidad de tiempo.
=
⃗∆ ∆
=
⃗ − ⃗ 0 −
OBSERVACIÓN: No confundir la velocidad con la rapidez, por ejemplo en un movimiento circular la rapidez puede ser constante pero no la velocidad, ya que su dirección cambia por lo tanto hay aceleración.
Su unidad de medida en el S.I. es: m/s2
Movimiento unidimensional
El vector aceleración media tiene la dirección de la diferencia de las velocidades. Cuando la trayectoria es curvilínea el vector aceleración se dirige hacia el interior de la concavidad de la curva.
8. Aceler Aceleración ación Instantán Instantánea ea (
a ):
es la aceleración en un instante de tiempo, que se determina hallando la aceleración media, en un intervalo de tiempo infinitesimal ( t tiende a cero).
a
=
Lim t 0
v t
a
dv
Es aquel movimiento que se desarrolla con velocidad constante. Una velocidad constante significa que su modulo (rapidez) y su dirección no cambian.
dt
“derivada de la respecto al tiempo”
velocidad
tan te v v m cons
Esta última ecuación se lee:
*
2.2. Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)
Es aquel movimiento que realiza un cuerpo o partícula en línea rec ta. recta.
v ,
Siempre que se mencione la aceleración de un móvil se refiere a su aceleración instantánea.
2.2.1. ECUACIONES VECTORIALES DEL M.R.U. Ecuación del desplazamiento:
D V t
Ecuación de la posición = 0 +⃗
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Cap. 2 Cinemática
2.2.2. GRÁFICAS EN EL M.R.U.
que la velocidad cambia uniformemente en función del tiempo.
1. Posición vs tiempo ( x - t)
x ( t )
x o
a a m constante
v t
2.3.1. ECUACIONES ECUACIONE S VECTORIALE VECTORIALES S DEL M.R.U.V.
x (m)
v tan
x0
v v o a t
D
v
o
t
1
2
a t
2
.⃗ = 0 + 2
t(s)
0
v v D 2 t
Esta ecuación es de primer grado o ecuación lineal, por lo tanto la gráfica de de la posición en función del tiempo es una línea recta inclinada
2.-.Velocidad vs tiempo ( v -t)
o
2.3.2. GRÁFICAS EN EL M.R.U.V.
En el MRU la velocidad es constante, la gráfica de la velocidad en función del tiempo es una recta horizontal
1.
Posición vs tiempo ( x - t)
x
v (m/s)
v o t
1 2 a t 2
Esta ecuación es de segundo grado o ecuación cuadrática, por lo tanto la gráfica de la posición en función del tiempo es una parábola.
v
x o
D área t(s)
0
x (m) Recta tangente
Con él área entre la gráfica y el eje de las abscisas, obtenemos distancia recorrida y desplazamiento.
2.3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) Es aquel movimiento en trayectoria recta que se desarrolla con aceleración constante. En este movimiento la aceleración media y la aceleración instantánea son iguales y se mantienen constantes, esto significa
Parábola
x1
x0
0
(1)
v 1
tan
t(s)
t
La velocidad en un instante dado se puede obtener con la pendiente de la recta tangente a la parábola en dicho instante
Página 23
VA t tg g
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Cap. 2 Cinemática
Solución:
2. Velocidad vs tiempo ( v -t)
v
vo
at Nos piden la aceleración media entre los instantes: t= 3s y t = 4s
v
(m/s)
a
tan
D Are Area a
v0
En t = 3s
t(s)
0
La velocidad cambia uniformemente, su gráfica con respecto al tiempo es una línea recta inclinada y la pendiente ( tan ) representa la aceleración y con el área entre la gráfica y el eje de las abcisas, obtenemos distancia recorrida y desplazamiento 3.- Aceleración vs tiempo (a-t) En el MRUV la aceleración es constante su gráfica con respecto al tiempo es una línea recta horizontal,
En t = 4s
2.- Una partícula se mueve con velocidad constante pasando por el origen de coordenadas en el instante t 0 = 0s y m en el instante t 1 = 2s.
Calcule la velocidad media entre t =
a (m / s 2 )
6s y t = 10s.
Solución:
a
v área 0
t(s)
La variación de la velocidad en un intervalo de tiempo es igual al área entre la gráfica y el eje eje de llas as abscisas.
Si la velocidad es constante tenemos un MRU, en donde la velocidad media es la misma en cualquier intervalo.
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Un móvil reali realiza za un movimiento tal que su velocidad varía con el tiempo de acuerdo a
Para el intervalo: [0,2]s La velocidad media será: m/s
Calcule la aceleración media en el cuarto segundo de su movimiento.
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Cap. 2 Cinemática
3.- Un móvil realiza un desplazamiento despla zamiento ̂ ⃗ = −2 m durante 4 s y luego de detenerse 1 s realiza otro desplazamiento ⃗ = 2 − − ̂ m durante 5 s. Calcule la velocidad media durante todo su movimiento.
⃗
= 2 2
= = 6 6
= Reemplazando t=3s
= 22 62
Solución:
= 16 16 5.- Un móvil se encuentra en la posición = 2 y parte con una velocidad inicial = /s y aceleración constante si en t=2s su posición es = 20 20 11 11m . Calcule su aceleración. Solución:
La velocidad media del móvil es:
= /s = 2
⃗
⃗ ⃗ = = ̂ )(2 − − ̂) (−2 = 1
= −0 −0,1 ,1 02̂ 4.- Las ecuaciones del movimiento de dos móviles A y B son = 2 y
En t=2 = 20 20 11 11
⃗ = - ⃗18 18 6 6
⃗ = ⃗ ⃗ 18 6 = 2 2 2 18 18 6 6 = 6 6 2 2 2 2 12 12 = 2 2 = 6 6 2
= − 8 .
Calcule la velocidad del móvil en A el instante en que se encuentra con B. Solución:
E n el instante en que se encuentran
6.- una La gráfica describe movimiento de partícula que se el desplaza en el eje horizontal. Determine la velocidad inicial y la aceleración.
= − 8 = 2 − 1 2 = 0 − = 0 = Luego:
= 2 =
⃗
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Cap. 2 Cinemática
Solución:
Solución:
6 6 ⃗ ( (6 6 ) ⃗ 6 …………..(1) …………..(1) El desplazamiento lo hallamos con el área
La gráfica corresponde a un MRUV.
( ))() 225
+⃗ + ⃗ *
En t = 0 ;
X 0 = 0
Luego:
⃗ + ⃗
En t =2 ;
x=6
Por semejanza de triángulos:
⃗ ] 6 [ 15 3
6 ⃗ . .((2) + () 3 ⃗ + ………. (I) En t = 4;
⃗ ] 3 0 [
x = 20
2 0 ⃗ . .((4) + ()
⃗ + = 225+(-9)= 216 i
5 ⃗ . + (2) ………………… (II)
Reemplazando en ………..(1)
De (I) y (II)
2 m/s2
(− −))() 9
216 216 6 6 210 210 ⃗ 1 1
m/s2
7.- En la gráfica ⃗ vs t del movimiento rectilíneo de una partícula que part de la posición ⃗x 6i 6im Calcule la posición del móvil en el instante. t = 18s?
8.- En la gráfica ⃗ vs t para un móvil. Calcule la velocida velocidad d media entre t 0 = 0 s y t = 12 s, si el móvil se desplaza sobre el eje X.
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Cap. 2 Cinemática
Analizando Analizand o la gráfica: Solución:
Para piden:
Donde la velocidad de cada móvil está dado como la pendiente de la recta, es decir:
Del gráfico:
300 = vBt + vAt - 100
9.- En la gráfica posición tiempo de los móviles “A” y “B”. Determine el instante de tiempo en que se encuentran separados 300m.
10.-. Un auto y un camión se en el mismo lugar en desplaza en línea recta gráfica mostrada. Calcule que transcurre para que se nuevamente.
encuentran t=0 y se según la el tiempo encuentren
Solución:
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Cap. 2 Cinemática
Solución:
PROBLEMAS PROPUESTOS
Del gráfico deducimos que el camión realiza un MRV y el auto MRUV desde el reposo, al inicio el camión adelanta
Si lla a po posición ión de un móvil varía con la posición según la ecuación 2 +53 , donde está en metros y t en segundos, calcule la velocidad media entre los instantes t=3s y t=5s
1.
al auto pero como este aumenta su velocidad se encuentran nuevamente luego de un tiempo “t”.
A) 32m/s m/s D) 35m/s m/s 2.
B) 21m/s m/s E) 26m m/s /s
C) 40m/s m/s
Los móviles A y B realizan MRUV si
la aceleración de B es 2m/s2 Determine el instante en el que los móviles tiene igual velocidad
Para el auto:
⃗ ] 30 [ 5 ̅ ̅ó
30
1 0
A) 14s D) 6s
⃗ ] 6 [
3 30
B) 10s E) 12s
C) 8s
3. Un móvil inicia su movimiento movimiento desde el origen de coordenadas con una velocidad ⃗0 y una aceleración constante si la posición posición en 2 5 5 + 5 m y en en 30 30 + 10 ) ) m . Calcule el ángulo que forma ⃗0 y . A) 135° D) 143° 4.
B) 127° E) 45°
C) 74°
Un cuerpo se desplaza por un plano plano horizontal de modo que su posición varia con el tiempo según la ecuación ⃗ 5 + 2 + 3 +2+ 3 m Determine la velocidad en t=2s A) ⃗ (7 + 1 ) B) ⃗ (3 + 8 ) C) 8 + 7 D) + E) 7 + 21
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Cap. 3 Objetos en caída libre vertical
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Capitulo 3 Tema 1:
OBJETOS EN CAÍDA LIBRE VERTICAL
Un objeto que se mueve solo bajo la influencia de la gravedad esta en caída libre, durante este movimiento la única fuerza que actúa sobre el cuerpo, es la fuerza de gravedad o peso del cuerpo
Para un mismo nivel: - La rapidez subida y de bajada son iguales.
v A v B
- Los tiempos de subida y de bajada son iguales.
t AC t CB
Todos los cuerpos en caída libre experimentan la misma aceleración, llamada aceleración de la gravedad () y en las inmediaciones de la superficie terrestre se considera constante: = -9.8 m/s² m/s²
En el punto más alto de la trayectoria su velocidad es nula y la altura alcanzada es máxima. Por cada segundo transcurrido la rapidez del objeto cambia en un valor igual al modulo de la aceleración de la gravedad,
3.1.1. ECUACIONES VECTORIALES
Vf
3.1. CARACTERÍSTICAS DEL M.V.C.L. Se lanza un objeto
con una velocid velocidad ad
inicial v o 40 j m / s .
Vi
gt …………………………
(1)
gt 2
h
Considerando
Vi t
2
Vf
Vi
2
2 …………………………
(2)
2g.h ……………………
(3)
V V f h o .t 2 …………………
(4)
v 0
(C)
10 j m /s ˆ
desplazamiento ve vertical rtical Donde es el desplazamiento
-10 j m / s ˆ
20 j m /s
3.1.2. ECUACIÓN DE LA POSICIÓN
ˆ
(A) 30 j m /s ˆ
(B)
y
-20 j m / s ˆ
y0
v0 t
1 2
g t2
……… (5)
g -10 j m / s
2
ˆ
40 j m /s ˆ
-30 j m / s ˆ
Nivel de referencia
ˆ
- 40 j m / s CENTRO PREUNIVERSITARIO
22
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Cap. 3 Objetos en caída libre
3.2. MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE EN UN PLANO 3.2.1. MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE
Fue Galileo quien primero describió con exactitud el movimiento de un proyectil, como un movimiento compuesto por dos movimientos que se realizan independiente y simultáneamente, se considera que la aceleración de caída libre, , es constante durante todo el de movimiento y tenemos un movimiento compuesto por:
202
Alcance horizo horizontal ntal
Si
… (6)
45º
………………….
(7)
alcance horizontal máximo
20
……………..
(8)
……………
(9)
Eje x: MRU Eje y : MVCL ECUACIONES PARA UN MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
⃗ (⃗+⃗ ) ⃗ ⃗
Para un mismo nivel : - La rapidez subida y de bajada son iguales 1
⃗ ⃗ ⃗
|⃗ ||⃗ |
En cualquier punto:
En el punto más alto:
√
⃗ ⃗
(10)
………….……………
(11)
…….………………
(12)
|⃗ | |⃗| 2 ⃗ ……………… producto escalar ( ⃗ )
- Los tiempos de subida y de bajada son iguales.
…………………
⃗ (⃗+⃗ )
……………………
(13)
(14)
Ecuación del movimiento
FORMULAS ADICIONALES:
⃗ ⃗
………….……
(15)
Desplazamiento en el ”n”-esimo segundo
1⃗ ⃗ ⃗ 1
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………….…
(16)
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Cap. 3 Objetos en caída libre
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Se suelta un un objeto objeto desde cierta altura y en el último segundo de su caída recorre 48 m. Calcule la altura de la que fue soltado.
( 10 ) Solución:
* * Para un observador ubicado en tierra cuando se deja caer la piedra lleva en ese instante la velocidad del globo ⃗ 5 con la cual inicia la caída libre En el tramo ABC: ⃗ℎ
ℎ
360 m m = - 10j m/s m/s2
⃗h ⃗Vt ⃗g
ecuación escalar
(− )
En el tramo AC En el tramo AB
ℎ 5(
1)
-360 = (5 )t + …………(1)
ℎ 4 8 5 …………(2)
(t - 9) (t + 8)=0
∴
5(1) 4 8 5
3.
5 1 0 0 5 48 4 8 5 Reempla Reemplazan zando do en (1):
ℎ 5(5 5(5.3 .3)) ℎ 140 140.45
72 72 0
Reemplazando (1) en (2)
t = 4.3
9
Un piedra se lanza lanza verticalmente hacia arriba, desde la azotea de un edificio de 60 m m de altura, con una rapidez inicial V 0, Calcule después de que tiempo de haber sido lanzado lanzado la piedra está a una altura de 35 m con una rapidez de 1,5 V 0 m/s (=-10 m/s2)
⃗ℎ 140.45 140.45
Solución:
2.
Un globo se eleva desde la superficie superficie terrestre a una velocidad constante de 5j m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360j m se deja caer una piedra. Calcule el tiempo que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre: ( = - 10j m/s m/s2) Solución:
Esbozando el movimiento realizado por la piedra.. piedra
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Cap. 3 Objetos en caída libre
En el tramo ABC:
m
(t -10) (t+2) =0
Luego:
t
4.
t = 10s
5.- Dos piedras se lanz lanzan an verticalmente y en el mismo instante desde “A” y “B” con velocidades de 8 m/s y 28 m/s respectivamente, ¿A qué altura “ ” sobre el nivel “B” las piedras estan al mismo nivel? ( = -10 m/s2)
La gráfica muestra cómo varía la velocidad de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde 50 m m de altura en un planeta “x”. Calcule el Calcule el tiempo que demora en llegar a la superficie del planeta.
Solución: Solución: Solución:
t = tiempo de alcance Ecuación Escalar
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=
Para la piedra “B”:
= 282 − =56 20 = 36
6.-
�alclar la disancia e desciende el mil por el plano inclinado si se lanza en “A” con =12 ⃗ = 10
Solución:
Mostramos el lanzamiento de un proyectil en el punto A para luego de 10s impacta en B.
Solución:
= 100 m
En la vertical: En la horizontal:
= =12
ℎ =⃗ ⃗2
100 = 1010 10 ̅ = 40
En el triangulo notable
ℎ=16 ….… (I) =20 ……. (II) = 0
En la vertical:
Luego
Vx = 30̂ ms
ecuación escalar
: ℎ = = 5 ………(III) De ( III) y( I): 5 =16
reemplazando en (II):
Luego la componente vertical de la velocidad con la cual impacta en el piso es:
⃗ =⃗ ⃗ ⃗ =40 1010 = 6 600
=
=20(165) = 64
7.-. Se lanza un proyectil lanzado desde de “A” y que luego de 10s llega a “B”, calcule la rapidez con que llega a “B”.
El módulo de la velocidad con la cual impacta en el piso
⃗= 10
= =30 60 ∴ = 30√ 30√ 5 m/s
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8.- Calcule la velocidad̅Vo con que se debe lanzar una esfera desde el punto A para que en 2s llegue al punto B. (g = 10 10ĵĵm/s m/s)
= 2̂ ̂ / | | = √ 2 1 = √ 5 ⃗= 3̂ 2̂ /
= 2̂ ̂
| | = | | 2 ⃗ | | = √5 23 3̂ 2 2̂̂ 2 2̂ ̂̂ | | = 5 2 (3 2 2) | | = 5 21 = 1
Solución:
| | = √ 1 1 / 12m
10.- Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 50 m/s haciendo un ángulo de 30º con la horizontal. Después de 3 segundos de vuelo, calcule el ángulo que la velocidad hace con la aceleración Solución:
Para el t=3s el proyectil está de bajada, podemos comprobar con la ecuación:
= 10̂ 12̂ En el tramo tramo AB:
= ⃗
= ⃗
y = yo + ⃗t = 25 ̂
10̂ 10̂̂ 12 10 12̂̂ =⃗ 2 2 2 10̂ 10̂ ̂ ̂ =⃗ 2 2
+(-10 ̂ ) 3= -5 ̂m/s m/s
⃗ = 5̂ ̂ /
9.- Un móvil inicia su movimiento con velocidad = 2̂ ̂ / con velocidad y aceleración constante ⃗= 3 3̂̂ 2 2̂̂ /. Calcule la rapidez final para un desplazamiento de = 2̂ ̂ Solución:
Nos piden determinar el ángulo “ para ello usamos:
=
25√ 3 = 5
= 5√ 3 = ⟹ = −(5√ (5√ 3)
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PROBLEMAS PROPUESTOS
5.-En cierto planeta un objeto se lanza 1.- Un
pro p roye yect ctil il B se lanza lanza co con n una una velocidad (10 +60 +60 ) m /s . Luego Luego de 6s desde el mismo punto de lanzamiento se dispa dispara ra o otro tro p pro royec yectil til A con una una velocidad (v x+30 +30 ) m / s . de tal manera que impactan en el aire. C a l c u l e d espués de qué tiempo tiempo de haber sido disparado B impacta con A ( = -10 m / s )
A) 6s D) 12s
B) 10s E) 19s
C) 9s
B) 2 E) 5
la gravedad en ese planeta. A) (6- 8 )m/s )m/s2 C) 8 m/s m/s2 E) (-4- 3 )m/s )m/s2
B) (2- 5 )m/s )m/s2 D) (7- 4 )m/s )m/s2
2.-. E En n cierto plane planeta ta los astrona astronautas utas hacen un experimento de caída libre lanzando proyect proy ectiles iles y e encuen ncuentran tran q que ue la altura altura máxima máx ima alcan alcanzad zada a e es s la mitad mitad del del alc lca anc nce e ho hori rizo zont nta al del del pr pro oyect yectil il.. Determine la tangente del ángulo de lanzamiento. A) 1 D) 4
con una velocidad velocidad 20 j m/s luego de 5s de caída libre, la velocidad es (10- 5 )m/s Calcule la aceleración de
C) 3
3.-Se lanza una pelota con una rapidez de 50cm/s formando 53º con la horizontal si cada escalón mide 20cm horizontal por 20cm vertical y la escalera es muy larga. Calcule en que escalón caerá la pelota. .( = -10 m / s )
6.- Una pelota se suelta desde 1.5 j m de altura choca con el pis piso o y rebota rebota en él. La velocidad un instante antes y después del choque son respectivamente –V m/s y +0,8V m/s. Calcule la altura a la que llega después del choque.( = -10 m / s ) A) 0,96 m B) 1 m C) 0,9 m D) 0,8 m E) 0,75 m 7.- En un planeta desconocido un objeto cae libremente desde el reposo y en el último segundo de su movimiento realiza la mitad de su recorrido. Calcule el tiempo total de la caída. A) 1,41 s D) 3,41 s
B) 1,73 s E) 2,73 s
C) 4,0 s
8.-Un cuerpo es soltado desde una altura H m y la recorre en 6 s. Calcule el tiempo en el que recorre la segunda mitad de la altura H m A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
A) (6-3 2 ) s B) 3 2 s C) 4 2 s D) 6 2 s
E) 3 s
4.-Desde el piso se lanzan dos esferas, la primera con una velocidad de
+40 j m/s y la segund segunda a
3 s despué despuéss
pero a +30 j m/s. Calcule la distanc distancia ia que las separa cuando la primera llega al piso ( = -10 m / s ) A) 40 m D) 10 m
B) 25 m E) 35 m
C) 20 m
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Cap. 3 Objetos en caída libre
9.-Desde una altura de 120 m se suelta un objeto y simultáneamente desde el piso se lanza otro objeto verticalmente hacia arriba. Si las dos objetos tienen la misma rapidez
12.-Una pelota es lanzada horizontalmente desde el origen de coordenadas y describe una trayectoria parabólica cuya ecuación es y=-x2 /20 determin determine e la rap rapidez idez de la pelota cuando pasa pasa por x=20 ( = -10 m m / s )
cuando están al mismo nivel, hasta este instante calcule el desplazamiento del objeto lanzado desde el piso
A) 10 m/s B) 10 2 m/s D) 10√ 5 m/s E) 35 m /s
( = -10 m / s )
C)5 2 m/s
A) 50 m D) 80 m
B) 30 m E) 90 m
C) 60 m
10.- Se lanza un objeto verticalmente y se desplaza -75 m durante el cuarto segundo de su movimiento. Calcule la velocidad inicial. ( = -10 m / s ) A) 20 m/s B) -40 m/s C) -35 m/s D) -55 m/s E) 50 m/s 11.-Se lanza un proyectil con una rapidez VO = 20 m/s, perpendicular al plano inclinado como se muestra en la figura. Calcule la velocidad con la que impacta en el plano. ( = -10 m m / s )
13.- Desde la azotea de un edificio de 20 m de altura, se lanza horizontalmente una pelota y cae al suelo en un punto situado a una distancia de 14 m del borde del edificio. Calcule Tg , donde es el ángulo que forma la velocidad de la pelota con con la aceleració aceleración n en e ell instante en que esta llega al suelo. ( = -10 m / s ) A) 10 /7 D) 7/20
C) 9/20
14.- Un globo aerostático asciende verticalmente con velocidad constante m de 5 ; cuando se encuentra a 100 s m de altura un objeto se lanza horizontalmente, el cual lle llega ga al piso co con n ra rapi pide dez z 75 m/s De Determ rmin ine e el alcance horizontal del objeto.
A) (12- 25 )m/s )m/s
B) 3/7 E) 10/3
( = -10 m / s )
A) 300 m
B) 450 m
D) 200 m
E) 350 m
C) 250 m
15.- Un proyectil es lanzado desde el borde de la azotea de un edificio de 6 m de altura con una velocidad inicial V (6 i 8 j ) m / s Determine la altura máxima del proyectil.
B) (12- 68 )m/s )m/s
ˆ
ˆ
.
C) (10- 15 )m/s )m/s D) (12- 34 )m/s )m/s
A) 3,2 m D) 9,2 m
E) (6- 5 )m/s )m/s
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B) 8 m E) 4,8 m
C) 6 m m
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Cap.4. Está Estática tica
Capítulo 4
4.1.1. Primera Ley de Newton o ley de Inercia
Tema 1: ESTÁTICA
La propiedad que tiene un cuerpo de mantener su estado de reposo o de las condiciones deben reunir Estudia las fuerzas que actúanque sobre un cuerpo para permanecer en equilibrio mecánico.
movimiento con velocidad constante se llama INERCIA. En consecuencia, la Primera Ley de Newton se llama con frecuencia Ley de Inercia:
El equilibrio mecánico es la base para el diseño y análisis de muchos dispositivos estructurales, eléctricos y mecánicos encontrados en la ingeniería; puesto que muchos objetos se diseñan con el propósito de que permanezca permanezcan n en equilibrio mecánico. En la figura se muestran algunos dispositivos y estructuras que se encuentran en condiciones de equilibrio.
“En la ausencia de fuerzas exteriores,
toda partícula continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme respecto de un sistema de nercial” referencia i nercial” Ejemplos:
1. ¿Qué es lo que ocurre cuando el carro en el cual nos transportamos, estando en reposo (rapidez constante), acelera? a V
V
Una grúa sosteniendo un poste
Nuestro cuerpo tiende a ir hacia atrás manifestando así una tendencia a continuar con su estado de reposo.
Torres de transmisión eléctrica en equilibrio
2. ¿Qué es lo que ocurre cuando el carro en el cual nos transportamos estando en movimiento se detiene súbitamente? V
V=0
Estructura de un puente colgante
4.1. Leyes del movimiento de Newton
Las leyes de Newton, tal como generalmente se describen, sólo son válidas en sistemas de referencia inerciales. En sistemas de referencia noinerciales, junto con las fuerzas reales deben incluirse las llamadas ficticias o fuerzas de inercia.
fuerzas
Nuestro cuerpo tiende a ir hacia delante manifestando así una tendencia a conservar su velocidad. Es por esta razón que los automovilistas usan cinturones de seguridad e incluso algunos autos tienen el sistema de bolsa de aire para evitar golpearse con el parabrisas al frenar repentinamente.
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Cap.4. Estática
4.1.2. Segunda Ley de Newton Existen diversas maneras de formular la segunda ley de Newton, que relaciona las fuerzas actuantes y la variación de la cantidad de movimiento o momento lineal. Una de ellas es: “La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa, y tiene la misma dirección de la fuerza neta”
Nota: Las fuerza de acción y reacción tienen las siguientes características:
En términos matemáticos, se expresa mediante la ecuación de movimiento movimiento siguiente:
F R
a
F R
Son de igual magnitud. Poseen direcciones contrarias. Actúan sobre cuerpos diferentes, por lo tanto sus efectos son diferentes. Su resultante es nula.
m a
m
4.2. ¿Qué es una fuerza?
Cuando existe un contacto directo entre dos cuerpos, por ejemplo; una pareja apoyados sobre sus espa espaldas ldas como el que se muestra en la figura surge una acción mutua entre los cuerpos al cual se denomina INTERACCION INTERACCION
donde
a
: aceleración (m/s²)
F R :
Fuerza Neta (N) m : masa (Kg)
4.1.3. Tercera Ley de Newton o Ley de Acción y Reacción
interacción
Si observas el lanzamiento de un misil, notaras que el resultado de la explosión del combustible del misil, produce una
FR FA
fuerza de acción que actúa sobre el misil lanzándolo fuera del cañón, mientras que la fuerza de reacción producida, actúa sobre cañón haciéndolo retroceder. La tercera Ley de Newton esta relacionado con las fuerzas mutuas que se ejercen dos cuerpos que interaccionan y se enuncia:
“Si un cuerpo ejerce una fuerza a otro, este ultimo reacciona sobre el primero con una fuerza fuerza de igua iguall magnitud y con dirección contraria”
reacció Zona de contact o
acció n
La INTERACCION, también puede presentarse a una distancia determinada cuando los cuerpos están separados físicamente, por ejemplo; la atracción entre un clavo y un imán, la atracción
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Cap.4. Estática
entre la Tierra y el Sol, son ejemplos de una interacción a distancia.
Donde:
11 G 6,67 10 N m 2 / kg 2 (Constante gravitación Universal )
m1 y kg)
de
m2: masas de los cuerpos (en
d: distancia entre los centros de masa (C.M.) de los cuerpos (en m)
La fuerza fuerza gravitacional gravitacional entre la Tierra Tierra y un objeto situado cerca de su superficie, es decir, decir, para alturas “h” muy pequeñas pequeñas comparado con el radio de la tierra “R T” ( h RT ) comúnmente se denomina PESO y su magnitud queda definido definido por:
Un imán atrae limaduras de
La FUERZA es una cantidad física vectorial que mide las interacciones entre dos cuerpos o más.
m d F g
La unidad de la fuerza en el S.I. es el
newton (N) 1 N 1 kg
4.3. Algunas entorno
h
M TT
m
F g
s 2
fuerzas
en nuestro RT
4.3.1. FUERZA GRAVITACIONAL ( F g ) Es la fuerza de atracción entre dos cuerpos, en virtud de sus masas, debido a la interacción de sus campos gravitatorios asociados. En la figura se muestra la atracción gravitacional entre dos cuerpos de masas m1 y m2 F g
M 1
F g
Si se cumple que: d RT , entonces el peso es:
Peso Pe so F g G
M T .m RT
2
Usando la segunda ley de Newton en el cuerpo de masa “m” y considerando a “g” como la aceleración gravitatoria, el peso (P) se calcula:
M 2
d
P m g
La fuerza fuerza gravitacional gravitacional se representa representa por un vector que se encuentra sobre la línea que une los CENTROS DE MASAS de los cuerpos como se muestra en la figura, y su magnitud queda determinada por la
Ley de gravitación Newton:
universal
Relacionando estas dos últimas ecuaciones se establece que la magnitud de la aceleración de la gravedad es:
de
M .
g G R T
2
9, 8 m / s
2
T
F G
g
M 1 . M 2
ECUACIÓN DE LA LEY DE
2
d
GRAVITACION UNIVERSAL DE NEWTON
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Cap.4. Estática
NOTA: La dirección de la fuerza de gravedad sobre un cuerpo está dirigida radialmente hacia el centro de la Tierra. El punto de aplicación del peso total de un cuerpo está en un punto imaginario llamado centro de gravedad .
Nota: Para el caso de una cuerda inextensible e ingrávida (sin deformación y peso despreciable), la magnitud de la tensión es la misma en cualquier punto de la cuerda.
CENTRO DE GRAVEDAD (CG) Es un punto característico ubicado dentro o fuera del cuerpo en donde actúa la fuerza de gravedad. Para cuerpos homogéneos y regulares, como por ejemplo; esferas, cilindros, barras, etc. se ubica en su centro geométrico como se muestra en la figura.
L
¿Por qué la fuerza de tensión tiene origen electromag electromagnético? nético? Los cuerpos están constituidos por partículas (átomos o moléculas) con cargas eléctricas que producen un campo eléctrico (cuando se encuentran en reposo) y un campo magnético (cuando se encuentren en movimiento) estos campos ejercen fuerzas electromagnéticas entre las partículas.
L
C:G
C:G
4.3.2. FUERZA DE TENSION (
T
En consecuencia, podemos inferir que la interacción electromagnética entre las partículas que conforman la cuerda genera una fuerza de cohesión cohesión entre ellas que evita que esta se rompa. Por ello decimos que las fuerza de tensión tiene origen el elec ectr trom oma a né néti tico co..
)
Es aquella fuerza de origen electromagnético que se presenta en los hilos, cuerdas, cables, cadenas, etc. Para representar gráficamente a la tensión hacemos un corte imaginario en la cuerda y dibujamos e ell vector que que representa a la
tensión T apuntando hacia el corte, tal como se muestra en la figura
T
Corte imaginario
T
4.3.3. FUERZA ELÁSTICA (
F E
)
Es una fuerza de origen electromagnético que presenta aenlalos cuerpos elásticos comoseresultado oposición frente a una deformación. Por ejemplo, una pelota de goma, una liga son cuerpos que presentan una gran elasticidad, pero; los sólidos pueden adquirir propiedades propiedades elásticas cuando se le da una forma adecuada, por ejemplo un alambre de acero doblado en forma de espiral adquiere una propiedad elástica importante así es como se diseñan los resortes. En la figura se muestra un resorte estirado y otro comprimido, donde se grafican las fuerzas elásticas
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Cap.4.. Estática Cap.4 Estática
Gráficamente esta fuerza se representa por un vector perpendicular (normal) a las superficies de contacto.
FE
En la figura se muestra la fuerza normal sobre el bloque y el piso, que están en contacto.
X
.
FN
Resorte estirado
FN X
4.5. 4.5.
FE
FUER FUERZA ZA DE ROZA ROZAMI MIEN ENTO TO ( f r )
Es una fuerza de origen electromagnético que se presenta entre dos cuerpos debido a las irregularidades de las superficies en contacto. Esta fuerza se opone al
Resorte comprimido
x: es la deformación longitudinal del resorte En ambos diagramas la fuerza elástica se dibuja oponiéndose a la deformación del resorte. Se demuestra, demuestra, experimentalmente, que la magnitud de la fuerza elástica aumenta con la deformación en forma proporcional.
deslizamiento o posible de deslizamiento un cuerpo respecto otro, y de se representa por un vector tangente a las superficies en contacto, como se muestra en la siguiente figura.
Movimiento
irregularidad
F E x f r
Entonces: F E k x
donde: k: constante el elástica ástica del resorte (en N/m) x: deformación longitudinal del resorte (en m) Nota: Para el caso de resortes ingrávidos,
es decir de peso despreciable la fuerza elástica es la misma a lo largo del resorte
Nota.
4. 4.4. 4.
Una ampliación de la zona de contacto entre dos superficies, en la cual se hace notar las irregularidades de dichas superficies, por la cual se produce la fuerza de rozamiento como una oposición al deslizamiento
FUER FUERZA ZA NORM NORMAL AL ( F N )
Es una fuerza de origen electromagnética que se presenta entre dos cuerpos en contacto debido a la presión que se ejercen mutuamente.
Explorando las diferentes superficies de los cuerpos observaremos que estos siempre tienen rugosidades (irregularidades). Observaciones a través de microscopios muy potentes muestran que incluso en superficies muy pulidas, la
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Cap.4. Estát Estática ica
profundidad de estas rugosidades es de 10-8 m y 10-7m. Al ponerse en contacto los cuerpos, la interacción electromagnética entre estas irregularidades genera una fuerza rozamiento que se opone al deslizamiento deslizamient o o posible deslizamiento. La fuerza de rozamiento es de gran importancia en muchas de nuestras actividades físicas, por ejemplo; caminar, trotar, escribir sobre el papel con un lápiz, y muchos otras act actividades ividades serian imposibles de realizarlas sin esta fuerza.
Todo aquello que no pertenece al sistema físico, es decir, todo lo que le rodea se denomina vecindad del sistema. 4.7.. 4.7
Dia Diagra grama ma de Cue Cuerpo rpo Libre Libre (DC (DCL) L)
Es diagrama donde seactúan representan las el fuerzas externas que sobre un cuerpo libre o aislado imaginariamente del sistema físico al cual pertenece. pertenece. Las fuerzas que se representan sobre el cuerpo libre son las que ejercen los cuerpos con los que interactúan y no las que ejerce el cuerpo libre sobre el resto. Por ejemplo, sean los sistemas físicos (a) y (b) mostrados en la figura
m2 m3 A (a
B (b
m1
Los diagramas de cuerpo libre para los bloques de masas m1 y m2, y la barra homogénea de masa m3, son: DCL de la masa m 1
DCL de la masa m 2
m2g
T
m2 m1 4. 4.6. 6.
Un sistema físico es un cuerpo o conjunto de cuerpos o entidades materiales entre cuyas partes existe una vinculación o interacción y sobre el cual fijamos nuestra atención atención a fin de estudiarl estudiarlos. os.
FN DCL de la barra de la masa m 3
RA
Todos los sistemas físicos se caracterizan por: a) Tener una ubica ubicación ción en en el e espaci spaciootiempo. b) Tener u un n estado estado fí físico sico de defini finido do que cambia con el tiempo. c) Poder Poderle le a asocia sociarr una cantidad cantidad física física llamada energía.
FN
m1g
Si Sist stem ema a físi físico co
4.8. 4. 8.
m3g
RB
Eq Equi uili libr brio io mecá mecáni nico co
Es aquel estado físico en el que los cuerpos no tienen aceleración, es decir, éstos permanecen en reposo o con velocidad constante con respecto a un sistema de referencia inercial.
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Cap.4. Estática Estática
Analicemos el siguiente sistema mecánico que se encuentra en reposo, que se muestra en la figura.
m1
Despreciar todo tipo de rozamiento
Ejemplo 1 En la figura se muestra una esfera homogénea de masa m = 5kg en equilibrio. Determine las magnitudes de la tensión de la cuerda y de la reacción del plano inclinado sobre la esfera. Desprecie las fuerzas de rozamiento.
m2 g 53o
El DCL del bloque de masa m1 es:
Resolución: m1g
Realizamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera
y
T T 1
x
N
T
Como el bloque de masa m1 se encuentra en reposo, su aceleración es nula. Por lo tanto, en aplicación de la segunda ley de Newton, la fuerza resultante sobre el bloque también es nula.
F RR F m a 0
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
“La fuerza resultante en un cuerpo c uerpo en equilibrio es nula”
FN 53o
Estas tres fuerzas representadas por los vectores mantienen en reposo a la esfera, entonces, por la primera condición de equilibrio LA FUERZA RESULTANTE O SUMA DE FUERZAS es nula
Con respecto a los ejes de coordenadas X e Y, esta primera condición de equilibrio queda expresada de la siguiente manera:
entonces: F X T 1 i T ( i ) 0 T 1 T
F RR F 0
1ER MÉTODO DE RESOLUCIÓN: (Método algebraico)
F X 0 ,
Para el eje X:
mg
Descomponemos las fuerzas sobre los ejes Descomponemos de las coordenadas rectangulares x e y, convenientemente elegidas y aplicamos la condición de equilibrio en cada eje.
F Y 0 ,
Para el eje Y:
En el eje X.
Entonces:
F X 0
F F j m g ( j ) 0
Y
N
1
º i T ( i ) 0 F X mg sen 53
F N m1 g
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Cap.4. Estáti Estática ca
Luego
y
T 40 N
FN
F N 30 N
;
Ejemplo 2 o
mg cos53
mg sen53o
53o mg
Un bloque de 13 N de peso es sujeto por una cuerda y un resorte, como muestra la figura. La cuerda tiene una longitud de 13 cm. El resorte de constante elástica k= 10 N/cm, esta estirado y tiene una longitud de 10 cm. Si el sistema está en equilibrio estático determine la longitud natural que tenia el resorte.
x
j 53o
i
4 T 50 40 N 5
20 cm
En el eje Y.
13 cm
F 0
O
Y
F mg cos 53 º( j ) F Y
37º
N
j 0
F N 50 3 30 N 5
Resolución: Las fuerzas que actúan sobre el punto O son las mostradas en la figura siguiente:
2DO MÉTODO DE RESOLUCIÓN (Método geométrico)
y
“Si
tres fuerzas concurrentes y coplanares actúan sobre un cuerpo en equilibrio, éstas forman un triángulo vectorial ”. ”. Del diagrama de cuerpo libre, formamos el triángulo vectorial con las fuerzas que hemos representado. Del mismo diagrama se deducen los ángulos que forman entre sí las fuerzas, obteniendo la siguiente gráfica:
T
Tr
Tc
β
37º
x
mg Donde Tc = tensión de la cuerda Tr = tensión del resorte mg = peso
37º
Un análisis trigonométrico nos lleva a concluir algunos valores que se muestran en la figura.
90º 53º
FN
mg = 50N 20 cm
Usando la ley de senos en el triángulo vectorial, se obtienen las magnitudes de la tensión y de la fuerza normal: F 50 N N T sen 53º sen 37º sen 90º
13 cm
10 cm
5cm
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β 12 cm
6 cm
37º 8 cm
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Cap.4. Está Estática tica
Descomponemos las fuerzas a lo largo de los ejes de coordenadas XY y aplicamos las condiciones de equilibrio en cada eje.
En el eje X. F X
0
F
X
Tc sen i Tr sen 37º i mg( ii)) 0
Resolución: Las tres fuerzas que actúan sobre el cilindro se muestran en el siguiente gráfico. Note que las tres fuerzas se han graficado con un mismo punto de origen para facilitar los cálculos. y
FN1
5 3 Tc Tr mg … (1) 13 5
β
En el eje Y.
FY
F Y
0
Tc cos ( jj)) Tr cos 37º ( j) j) 0 5 T … (2) Tr c 39
Resolvemos las ecuaciones (1) y (2) y obtenemos la magnitud de la tensión de la cuerda y del resorte. Tc
39 N
Tr
5N
mg Donde FN1 = fuerza normal de la superf superficie icie 1 FN2 = fuerza normal de la superf superficie icie 2 mg = peso Descomponemos las fuerzas a lo largo de los ejes de coordenados X e Y. Luego aplicamos la primera condición de equilibrio en el eje x.
Aplicamos la Ley de Hooke para el resorte
Tr k x
5N (2N / cm) x x 2, 5 cm
F X
Por lo tanto, la longitud natural que tenia el resorte era: L0 10cm 2,5c ,5cm
L0
x
β FN2
FX
0
cos ( i ) 0 FN1 sen ( i ) FN 2 co
F N2 F N1
tan
7, 55ccm
Ejemplo 3 Un cilindro homogéneo de peso P, está atrapado entre dos superficies planas como muestra la figura. Determine la razón entre las fuerzas que ejercen las superficies sobre el cilindro. Considere las superficies lisas. y
β
4.9. 4.9. Mo Mome ment nto o de de u una na fu fuer erza za Las fuerzas pueden producir rotación de los cuerpos sobre un eje, dependiendo de donde se apliquen, por ejemplo: al abrir una puerta o una tapa rosca de una botella, botella, al cerrar la llave de un grifo, al ajustar un perno con una llave de tuercas o un tornillo con un destornillador las fuerzas que aplicamos produce rotación, como se muestra en la figura.
β x
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Cap.4. Estática
F :
fuerza
El momento de una fuerza es una cantidad física vectorial cuya dirección es perpendicular al plano de rotación (plano
colonia colonia Por lo tanto: A LA ROTACIÓN O EFECTO
Si el giro es en sentido contrario a las manecillas de un reloj el momento de la fuerza es positivo.
DE ROTACION PRODUCIDO POR UNA FUERZA SOBRE UN CUERPO, ALREDEDOR DE UN PUNTO O EJE (CENTRO DE GIRO), SE DENOMINA MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZA., la cual es una cantidad
física vectorial cuya magnitud se calcula:
Si el giro es en el mismo sentido de las manecillas de un reloj el momento de la fuerza es negativo.
F
MO
MF = F.d Donde: MF = magnitud del momento de una fuerza F (en Nm) F = magnitud de la fuerza (en N) d = distancia perpendicular desde el centro de giro hasta la línea de acción de la fuerza (en m). También se le denomina brazo de palanca. Línea de acción
F
MO
Si la fuerza se aplica en el centro de giro o su línea de acción pasa por él el momento de la fuerza es nulo.
4.9. 4.9.2. 2.
Mome Moment nto o resu result ltan ante te (Mo r)
Es la suma de los momentos de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo respecto de un centro de giro.
F
d
F ∙
o
F
MR MO
Punto de giro
Ejemplo 4
4.9.1.Expresión vectorial momento de una fuerza F
del
Hallar el momento resultante sobre la varilla ingrávida articulada en uno de sus extremos en forma vertical tal como se muestra en la figura.
MO r x F
O .
Donde:
7m
F
: momento de respecto al punto O. M O
que contiene a los vectores r y F ). Esta dirección se determina aplicando la regla de la mano derecha o regla del sacacorchos.
la
fuerza
F
con
F1 = 30 N 3m
r :
vector posición que va desde el centro de giro hasta un punto conocido de la línea de acción de la fuerza.
37o F2= 50 N
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Cap.4.. Estát Cap.4 Estática ica
Resolución: En La figura se muestran las fuerzas y sus respectivos brazos de palanca o distancias perpendiculares.
. O
Resolución: Resolución: En La figura se muestra las fuerzas y sus respectivos brazos de palanca o distancias perpendiculares.
10 sen53o = 8m
7m
(L /2) sen74o ∙A
F1=30 N
mg = 70 N
74o L cos74o
F = 120 N F2=50 N
Los momentos producidos por las fuerzas son:
El momento resultante será:
MoF1 = - F1 . d1 = - 30N . 7m = - 210 N.m
M
R A
= MAF
+ MA mg
F2 MoF2 = + F2. d2 = +50N . 8m = +400 N.m
=+120N∙L cos74O - 70N∙( L /2 ) sen74o
Entonces el momento resultante será:
= + 33,6 L N.m - 33,6 L N.m
MRo = ∑ M
F o =
MoF1
+
MoF2
MAR = 0
Este resultado nos indica que la barra no podrá girar en uno u otro sentido. Es decir la barra estará en equilibrio de rotación.
= - 210 Nm + 400 N.m =
+190 N.m
Este resultado indica que la barra gira en sentido contrario a las manecillas de un reloj (sentido “antihorario”).
4.10.. Segunda 4.10 Segunda equilibrio
cond condició ición n
de
Un cuerpo estará en equilibrio de rotación Ejemplo 5 En la figura mostrada, calcular el momento resultante sobre la varilla homogénea y uniforme de masa m = 7kg en reposo y articulada en el punto A (g = 10m/s2).
si el momento resultante sobre dicho cuerpo con respecto a un centro de giro es nulo. SEGUNDA CONDICION DE EQUILIBRIO !
F
∙A
74o
MR
g
F
MO 0
F = 120 N
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Cap.4.. Estática Cap.4 Estática
4.11. Rozamiento o fricción 4.11.1. El rozamiento Es un determina la
fenómeno aparición
físico que de fuerzas
tangenciales se oponen al deslizamiento, aque la rodadura o al flujo de un cuerpo con respecto a otro con el que está en contacto. Los sólidos presentan rozamiento interno. Este rozamiento hace que las vibraciones en un solido se detengan, por ejemplo, una cuerda de guitarra se detiene al cabo de un tiempo luego de hacerse vibrar. En los líquidos y los gases el rozamiento interno es llamado viscosidad. El rozamiento externo puede ser de deslizamiento o de rodadura y es causada por la interferencia de las irregularidades de las superficies en contacto. En nuestro caso vamos a profundizar el rozamiento externo al deslizamiento. 4.11.2. Rozamiento estático Es el rozamiento que aparece entre las superficies de contacto cuando una superficie intenta deslizarse sobre otra, sin conseguirlo. El rozamiento estático da origen a una fuerza tangencial sobre las superficies llamada fuerza de rozamiento estático. Fuerza de rozamiento estático (f s)
entre las superficies y de la fuerza normal entre ellas. fsmax s FN Donde μs es el coeficiente de rozamiento estático, propio del rozamiento estático entre dos superficies en contacto. 4.11.3. Rozamiento cinético Es el rozamiento que aparece entre las superficies de contacto cuando una superficie deslizarse sobre otra. El rozamiento cinético da origen a una fuerza tangencial sobre las superficies llamada fuerza de rozamiento cinético. Fuerza de rozamiento cinético (f c) La fuerza de rozamiento cinético es constante durante el deslizamiento de un cuerpo sobre el otro. La fuerza de rozamiento cinética depende del rozamiento cinético entre las superficies y de la fuerza normal entre ellas. fc c FN Donde μc es el coeficiente de rozamiento estático, propio del rozamiento estático entre dos superficies en contacto. Se ha observado experimentalmente que la fuerza de rozamiento estático máximo es mayor que la fuerza de rozamiento cinético.
La fuerza de rozamiento estático es exactamente lo suficiente como para que no exista deslizamiento entre las superficies. La fuerza de rozamiento estático tiene un valor máximo o límite. Cuando sobre un cuerpo actúa la fuerza de rozamiento estático máximo, el cuerpo se encuentra en una condición de movimiento inminente, una condición de equilibrio inestable, donde las superficies luego de un cierto tiempo ceden y una de ellas desliza sobre la otra. La fuerza de rozamiento estático máximo (fsmax) depende del rozamiento estático
fs max
fc
s c
Ejemplo 6 Una caja de 500 N descansa sobre un piso plano y horizontal. Los rozamientos estático y cinético entre las superficies en contacto están caracterizados por los coeficientes 0,2 y 0,4. Determina la fuerza horizontal mínima necesaria para iniciar el movimiento y una vez producido el movimiento determina la fuerza necesaria para que el cuerpo se mueva con velocidad constante.
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Cap.4. Estática Estática
Resolución
Resolución
La fuerza horizontal mínima necesaria para mover a la caja será cuando esta se encuentre, en la condición de movimiento inminente.
Realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque y descomponemos al peso, como se muestra en la figura.
P = 500 N
mg
o
mg cos37 Fext
mg sen37o
y
fsmax
x
FN = 500 N
f s En tal condición podemos aplicar aún las condiciones de equilibrio
Fext
FN
o
37 Aplicamos equilibrio.
la
primera
condición
Fext fsmax
Fext s FN
Sobre el eje x : f s (î) + mg sen37o (î) = 0
(0,4) ,4)(500N) 200N
de
f s = 50N (3/5)
Si esta fuerza se sostiene las superficies cederán y la caja empezara a deslizar, cuando esto suceda el rozamiento disminuirá y la fuerza de rozamiento que actuará sobre el cuerpo será una fuerza de rozamiento cinético. Para que el cuerpo deslice con velocidad constante será necesario disminuir la fuerza externa hasta que equilibre a la fuerza de rozamiento cinético.
f s = 30 N Sobre el eje y : FN (ĵ) + mg cos37o(- ĵ) ĵ) = 0 0 FN = 50N (4/5) FN = 40 N La fuerza de rozamiento y la fuerza normal son las componentes rectangulares “
R”
Fext f c ; Fext c FN
de la elfuerza depor reacción sobre bloque, lo tanto:
del plano
2 2 R plano f roz FN
Fext (0,2)( ,2)(500N) 0N) 100 N
R plan 302 402 50N plano o
Ejemplo 7 Un bloque de masa m = 5 kg se encuentra en reposo sobre un plano inclinado, tal como se muestra en la figura. Calcular las magnitudes de la fuerza de rozamiento y de la fuerza de reacción del plano sobre el bloque.
Nota. Observa que en este caso la fuerza Nota. Observa de rozamiento no toma su valor máximo, por lo tanto el cuerpo no está en su condición de movimiento inminente.
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Cap.4. Cap. 4. Estática Estática
Resolviendo y simplificando la longitud de la barra : T 24 N
RPTA.
Ejemplo 10 Un bloque es presionado contra una pared vertical mediante una fuerza de 20 N, como se indica en la figura. El coeficiente de fricción estático entre el bloque y la pared es 1,5. Calcular el máximo peso, en N, que puede tener el bloque para permanecer en equilibrio.
Ejemplo 11 En la figura se muestra dos barras homogéneas en equilibrio. Si la barra de masa M está a punto de deslizar sobre las superficies de contacto Halle el coeficiente de rozamiento estático “ “
entre las barras.
1m
4m 2M
M
F 45º 5 /2
RESOLUCIÓN Resolución Analicemos el diagrama de cuerpo libre
2,5m
del bloque:
2Mg
N'
45º F X 10
N'
1m
F Y 10 2 N
F=20
f ' rsmáx N'
RN
2 N W
Mg
N
f S S . R N
3
frsmáx N'
El sistema se encuentra en equilibrio:
F R 0
2
Para 2M F M 0
F X 0 i
0
ˆ
N' (1) 2 Mg(2,5)
R N Fx 10 2 N
N' 5Mg
F Y 0 j ˆ
f S W F Y
Para M 5
Mg '
N 5 Mg
Reemplazando valores: Mg
N
(1,5) (10 2 ) W 10 2
y x
W 5
3
2 N RPTA.
2
'
N
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Cap.4. Estáti Estática ca
RESOLUCIÓN Fy 0 3
T
Mg … N 6
2
T
1
Fx 0 N 5Mg … 2
T=T’
T
´
T’
en
2
1
T
B
mg 5 2
A
6 Mg 5Mg
u
u
12 25
2 3
u
5
0
T’’
T’’
N
6
2
2
N
2
25
m' g
R=3
(,
)
2 1 71 5
u 0,68
Para A
N T mg
RPTA.
Para B
T m ' g T' '
Ejemplo 12
N m' g T' ' mg
Para el sistema en equilibrio que se muestra en la figura, halle la magnitud de la fuerza de reacción en el punto de apoyo O, si los pesos de los bloques A y B se diferencian en 15N y la barra de peso despreciable se mantiene horizontal.
Nm g m' g..T' ' N 15 T' '
RPTA.
g
B 2m
A
1m
o
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Cap.4.. Está Cap.4 Estática tica
4.12. Centro de masas
4.12 4.12.1 .1.. Cent Centro ro d de e dimension
ma masa sas s
en
u una na
mi y i
i
y CM
mi i
El movimiento de un objeto o de un sistema de partículas partículas se puede puede describir en función del centro de masa se puede describer en function del movimiento del centro de masas más el movimiento de las particulas individuales en el sistema relativo al centro de masas. Consideremos en primer lugar un sistema simple formado por dos partículas en una dimension. Sean x1 y x2 las coordenadas de las partículas puntuales de masas m1 y m2 respecto a un origen elegido arbitrariamente. La coordenada del centro de masas viene definida por:
X CM CM
m1 x 1 m2 x 2 m1 m2
mi z i
i
z CM
mi
i
El vector posición de una particular
i es
r i xi i y i j z i k
ˆ
El vector vector posición
ˆ
ˆ
del centro centro de masas, masas,
r CM , viene definido por:
1 2 ........ mi r r cm m1 r m2 r m1 m2 ...... mi i
Para el caso de sólo dos partículas, el centro de masas se encuentra sobre un punto de la línea que las partículas.
4.12 4.12.2 .2.. Cent Centro ro d de e ma masa sas s de un sistema de partículas en tres dimensiones
Podemos generalizar para un sistema de N partículas en tres dimensiones:
X CM
m1 x 1 m2 x 2 m3 x 3 ............ m N x N m1 m2 m3 ...........m N
x CM
mi x i i
Donde:
r cm xcm i ycm j z cm k ˆ
ˆ
ˆ
Si lanzamos una pelota al aire, seguirá un movimientoparabólico. Pero si lanzamos un bastón al airte (ver la figura), el movimiento es más complicado. Cada extreme del bastón se mueve de manera distinta a como se mueve el punto medio. Sin embargo, si nos fijamos bien veremos que hay un punto del bastón que se mueve siguiendo una curva parabólica aunque el resto de puntos no lo haga.
mi i
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Cap.4. Está Estática tica
Resolución Resolución La lamina puede dividirse en dos partes simétriicas, donde las masas son proporcionales a las áreas A1 y A2 respectivamente. Las áreas son: A1 = 0,32 m2 A2 = 0,04 m2 Las coordenadas x e y del centro de masas de cada una de las partes de la lamina son: Area A1: Xcm.1 = 0,40 0,40 m ; ycm.1 = 0,20 m Area A2: Xcm.2 = 0,70 0,70 m ; ycm.1 = 0,50 m
Centro de masas respecto al eje x:
Ai x i
i
x CM
i
i A
“Fotogrtafía estroboscópica de un bastón lanzado al aire. (Estate of Harold E. Edgerlon/pañm Press”
Ejemplo 13 Determinar el centro de masa de la lamina de madera de la figura.
X CM CM
A1 x 1 A2 x 2
A1 A2
(0,32) (0,4 i ) (0,04) (0,7 i ) ˆ
ˆ
0,433 i m 0,32 0,04 Centro de masas respecto al eje y:
X CM CM
ˆ
Ai y i
i
y CM
A
i
i
y CM
y CM
A1 y1 A2 y 2 A1 A2
(0,32) (0,2 j ) (0,04) (0,5 j ) ˆ
ˆ
0,32 0,04
0,233 j m ˆ
Por lo tanto la posición del centro de masa de la lamina es: ˆ
cm
r
433 3i 0,43
ˆ
ˆ
0,23 233 3 j
0 k m
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Cap.4. Estática Estática
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Ha Hace cerr e ell d diiag agrram ama a d de e ccue uerrpo lliibre bre para los bloques A y B que se encuentran en equilibrio, tal como se muestra en la figura. Considere superficies lisas. Luego el numero de fuerzas que actúan sobre el bloque A es:
m
37º
Respuesta: 160 N; A
1,5 cm
B
Respuesta: 4 fuerzas
2. Si e ell sis sistem tema a mo mostr strado ado en en la fi figur gura a se encuentra en equilibrio. Determine la magnitud de las tensiones en las cuerdas ingrávidas A y B. (g=10 m/s2)
3. Hal Halle le la la magnit magnitud ud de lla a ten tensió sión n en la cuerda AB d de e 5m 5m de longitud si la barra homogénea CD de 600 N de peso y 10 m de longitud se encuentra en equilibrio en posición horizontal tal como se observa en la figura. B A
C
37º D
100N B A
53º
250N
g
Respuesta: 375N
180N
Respuesta: 240N ; 300N
4.
Det Determ ermine ine la mag magnitu nitud d d de e la la ffuer uerza za F necesaria para mantener en equilibrio el sistema de esferas idénticas de masa m = 3 kg cada una, tal que la fuerza de reacción en la superficie horizontal sea nula. (g = 10m/s2)
6. Cal Calcul cule e la ma masa sa del bl bloqu oque e B y la deformación del resorte (2) de constante elástica k, si el sistema se encuentra en equilibrio en la posición que se muestra en la figura. El bloque A y la barra doblada doblada por su mitad en forma de L tienen igual masa, los resortes son idénticos y las cuerdas son ingrávidas.
Respuesta: 80 N
a
5. Si la esf esfera era lisa lisa de mas masa a m = 20k 20kg g mostrada en en la figura se encuentra en equilibrio. Determine Determine la magnitud de la fuerza de reacción del plano sobre la esfera y la deformación de los resortes idénticos de constante k= 40 N/cm.
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•
(2)
m
a
k
a
(1)
k
B
g
a
Respuesta: 70 kg ;
3,5 cm
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Cap.4. Estát Estática ica
7. Un b bloq loque ue y una bar barra ra h homo omogén génea ea doblada por su mitad de masas “m”
cada uno uno se en encuentran cuentran en equilibrio tal como se muestra en la figura. Calcule las magnitudes de la tensión y de fuerza fuerza de reacción entre el bloque
10. Si el sistema sistema de lla a figura figura mo mostrada strada esta en equilibrio, calcule la masa del bloque m (en kg). Si la masa de la esfera mesfera = 7 kg 45º
y la barra. m g
a
•
a
37º
37º
Respuesta:
m 3 2 kg
Respuesta: T= mg/2 ; N= mg/2
8. En lla a fi figur gura a se mue muestr stra a un blo bloque que áspero de masa m y una esfera lisa de masa M = 10kg en equilibrio sobre
11. El sist sistema ema es está tá en e equili quilibrio, brio, se sabe que los lados del triángulo ABC miden AB = 4 m, BC = 6 m y AC = 5 m. Peso de la carga Q = 60 N. Calcular la tensión que experimenta la cuerda
un plano inclinado rugoso (µs =0,8). Hallar el máximo valor que puede tener el bloque para que no deslice.
BC y la reacción de la bisagra (en N). Despreciar el peso de la barra. C
37º
M m
B 53º Q
Respuesta: 30kg
A Respuestas:
9. En lla a fi figur gura a se m muest uestra ra u un n ci cilin lindro dro homogéneo de masa m = 12 kg fijo en su eje y sobre una superficie horizontal a punto de rotar cuando esta sometido a una fuerza horizontal F de magnitud 40 N. Hallar la magnitud de la fuerza de reacción sobre su eje. (g=10m/s 2) a
T BC 72 N ; R A
15 m
B
A
a µs = 0,5
48 N
12. Para e ell sist sistema ema mos mostrado trado,, calcu calcular lar módulo de la fuerza F (en N) que debe ser aplicada sobre la barra AB en la posición indicada, la barra se encuentra en equilibrio. Desprecie el peso de la barra.
F = 40N
•
T
x F
2N Respuesta:
Respuesta: 100 N
37º
10N
F = 10 N
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Cap.4.. Estát Cap.4 Estática ica
24. En la figu figura ra s se e m muest uestra ra u una na b barra arra de masa m = 3 kg en posición vertical y apoyada sobre una cuña de masa “M”. Halle la magnitud de la fuerza F
(en N) N) para mantener el sistema en equilibrio. Despreciar todo tipo de rozamiento.
26. En el si siste stema ma qu que e se muestr muestra a en la figura, el cuerpo de masa m = 0,5 kg está sobre el plato de una balanza, en esta situación la balanza indica 0,2 kg. ¿Cuál es la masa del bloque P (en kg) si el sistema se encuentra en equilibrio?
Polea lisa m F m
30°
g
30° P
Respuesta:
10 N Respuesta:
25. Para e ell sist sistema ema en equil equilibri ibrio o que se muestra en la figura, hallar la deformación del resorte que está en posición vertical. La constante elástica es K = 300 N/m. La masa de la esfera homogénea y de las barras es m = 6 kg,
0,5 kg
27. Pa Para ra el el siste sistema ma e en n eq equil uilib ibrio rio que que se se muestra en la figura, halle la magnitud de la fuerza de reacción en el punto de apoyo O, si los pesos de los bloques A y B se diferencian en 15 N y la barra de peso despreciable se mantiene horizontal.
= 30°
g
B 2m
A
1m
o
Respuesta:
Respuesta:
25 cm
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3N
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Cap.5. Dinámica
Periodo (T) Es el tiempo que tarda un móvil o partícula en dar una vuelta a la circunferencia que recorre.
En el MCUV, la magnitud de la aceleración tangencial ( aT ) es igual a la rapidez de cambio de la magnitud de la velocidad tangencial del cuerpo
V
T
a t
2
T
Frecuencia (f): En el movimiento circular la frecuencia, es una medida para indicar el número de revoluciones o vueltas que realiza un móvil.
f
N t
Nº de revo revoluci luciones ones ti tieempo tr tra ans nsccurr rrid ido o
Angularmente en el MCUV la velocidad angular cambia uniformemente, por lo tanto podemos definir una aceleración angular ( ), cuya magnitud es igual a la rapidez de cambio de la magnitud de la velocidad angular.
La unidad S.I.
1
f T
t
de “” es: es:
rad/s²
2
1.4. 1.4.2. 2.
Mo Movi vimi mien ento to Circ Circul ular ar Uniformemente Variado (M.C.U.V.)
Si en el movimiento circular la fuerza tangencial que actúa sobre el cuerpo es constante, entonces la aceleración tangencial también es constante, por lo tanto la rapidez cambia uniformemente y se dice que el cuerpo realiza un movimiento circular uniformemente variado (MCUV). En el MCUV, la aceleración y la fuerza centrípeta, varían en magnitud y dirección a lo largo de la trayectoria. En la figura se muestra un cuerpo que realiza un MCUV, su rapidez aumenta con una aceleración tangencial constante de 5m/s2.
Relacionando “aT” con “” tenemos: tenemos:
aT = R Ecuaciones del Movimiento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.) Las ecuaciones escalares lineales y angulares del MCUV, son parecidas a las que hemos visto en el movimiento rectilíneo uniformemente variado. ECUACIONES LINEALES
v = 20m/s
a T t²
v0 t
v f
v0
v f2
2 aT v0
v = 10m/s
v = 15m/s
1
S
2
2
aT t S
v v f S 2 t 0
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Cap.5. Dinámica
ECUACIONES ANGULARES
0 t
2
Analicemos el movimiento de un auto que gira sobre una pista circular plana.
t²
0
f
1
Ejemplo 7
FN
t
f 0 2 2
2
Centro de curvatura
0 f t 2
Fs
mg
Algunos ejemplos de movimiento circulares Ejemplo 6
Un satélite que orbita muy cerca alrededor de la Tierra describe una trayectoria que prácticamente prácticam ente es una circunferencia.
Recuerda que para poder realizar una curva es necesario que las llantas giren, este giro hace que las llantas apliquen una fuerza a la pista dirigida hacia fuera de la curva, por la Tercera Ley de Newton, la pista reacciona y ejerce una fuerza sobre las llantas hacia el centro de la curva, esta fuerza centrípeta es una fuerza de rozamiento estático, ya que las llantas no deslizan cuando giran.
v
Fg Fg
v
Fg
v
Fg v
Este movimiento se debe a la acción de la fuerza de gravedad. Como la fuerza de gravedad esta dirigida hacia el centro de la trayectoria circular, entonces la fuerza de gravedad es una fuerza centrípeta. Como no hay fuerza tangencial, la rapidez con la que gira el satélite permanece constante. Por lo tanto el satélite realiza un MCU.
El estudiante debe considerar que si la pista fuera lisa, las llantas podrían doblar pero el auto seguiría su trayectoria rectilínea ya que no habría fuerza que cambie esta situación, verificándos verificándose e la Primera Ley de Newton. Como la fuerza de rozamiento tiene un valor máximo, se concluye que existe una velocidad límite para el cual es posible hacer una curva. Este hecho se puede observar cuando un auto intenta girar a gran velocidad, es posible que las llantas deslicen y el auto no puede realizar la curva. Para determinar la máxima con la que un auto puede realizar un giro, podemos considerar la condición de movimiento o deslizamiento deslizamien to inminente. Entonces la fuerza de rozamiento que actúa sobre el auto es una fuerza de rozamiento máximo (Fsmax) Del D.C.L del auto, concluimos: F smax F centri centripeta peta s FN maC
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s mg m
vmax
2 vmax
R
s g R
Cap.5. Dinámica
En el eje vertical hay equilibrio, por que la esfera se sostiene en el mismo plano horizontal. g …(2) T cos m
Resolvemos las ecuaciones (1) y (2) y obtenemos:
Ejemplo 8 La esfera que se muestra en la figura, gira uniformemente en un plano horizontal. Determine la magnitud de la velocidad angular con la que gira la esfera.
tan
² R g
De la grafica se observa: R = L sen Por lo tanto
g
L
g
LCos
Ejemplo 9 Resolución: Hacemos el D.C.L. de la esfera en in instante de su movimiento y descomponemos la tensión en un eje vertical y en un eje radial. eje vertical
Una esfera está unida a un hilo de 2m de longitud y se le hace describir una circunferencia en un plano vertical, ¿cuál es la menor rapidez con la cual podría pasar por la parte más alta de su trayectoria? (g=10m/s²) Resolución:
T
Realizamos el D.C.L. de la esfera en el punto más alto.
TCos
Eje radial
R
mg
vA
TSen
T
mg
En el eje radial observamos que la fuerza neta hacia el centro es una componente de la tensión, por lo tanto: FC
T sen
maC
R=2m
En la dirección centrípeta es:
v2
R
m
T sen
la
fuerza
T sen FC T
T sen m
radial,
v A2 R
mg
T
mac
T
mg
mg …(1)
m 2 R …(1)
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Cap.5. Dinámica
La menor rapidez corresponde cuando el valor de la tensión en la cuerda es nula (T = 0), por lo tanto: mg
m
FT
aT
2 A
v
v A
gR
R
21 N
F T
m
21
3
7 m / s2
Calculamos la fuerza centrípeta y la aceleración centrípeta:
Ejemplo 10
FC
30 sen37º 5 cos 37º
Una esfera de 3kg describe una trayectoria curvilínea. Tal como se muestra en la figura. Si en el instante mostrado en la figura la esfera experimenta de parte del viento una
FC
14 N
F C
m
14 3
m / s2
fuerza F 5 i N , determine para dicho instante el módulo de la aceleración tangencial y aceleración centrípeta. (g=10m/s²)
g 37º
Ejemplo 11 En el interior de un cuenco esférico de radio R descansa una bolita de masa m. El cuenco se hace girar lentamente hasta que alcanza una rapidez angular ω el cual mantiene constante, como muestra la figura. Determina la altura que alcanza la bolita cuando gira con velocidad angular constante. (g=10m/s²)
v
Resolución:
aC
Trazamos los ejes de coordenadas radial y tangencial y descomponemos las fuerzas que actúan sobre la esfera con respecto a estos ejes.
ω
h eje radial
5 sen 37º
Resolución:
Fviento = 5N 30 cos 37º
37º
37º
5 cos 37º
Trazamos los ejes de coordenadas radial y vertical y descomponemos la fuerza normal sobre estos ejes.
30 sen 37º Eje t angenc angencial ial
FN θ
mg = 30N
r
FN senθ
Calculamos la fuerza tangencial y la aceleración tangencial: FT
30 cos 37º 5 sen 37º
FN cosθ
mg En el eje radial: FC FN sen mac
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m 2 r …(1) …(1)
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Cap.5. Dinámica
En el eje vertical: F N cos mg …(2)
En el bloque de masa “m 1”, por la II Ley
de Newton: T = m1 . a T = 5 x 2,5
Dividimos estas ecuaciones
tan
cos
2
g
r
g
2
T = 12,5 N
R sen g
R
Respuesta: B
Ejemplo 13
2
En el sistema mostrado en la figura, se tienen los bloques “1” y “2” inicialmente
Por lo tanto h R R co cos
h R
tan
en reposo. Si cortamos la cuerda que une
al
g
2
bloque “1” con el
piso, hallar la
magnitud de la aceleración que adquiere el sistema y la rapidez con la cual llega el bloque “2” al piso. (m1 = 2 kg; m2 = 3 kg)
Ejemplo 12 En la figura
mostrada,
determine
la
magnitud de la (1) tensión cuerda une los bloques y (2),en laslamasas deque los bloques son: m1 = 5 kg y m2 = 15 kg, respectivamente. Considere que las superficies son lisas.
2 1
9m
Cuerda
1
2
A) 6,25 N D) 25,0 N
F = 50 N
B) 12,5 N E) 37,5 N
C) 15,25 N
A) 2 m/s²; 3m/s
B) 2 m/s²; 6m/s
C) 3 m/s²; 3m/s
D) 4 m/s²; 6m/s
E) 5 m/s²; 6m/s Resolución: Resolución:
Resolución:
1
T
F = 50 N
T
2 T
Para el sistema:
2
V
0
F
(m
1
m )a 2
0
T 30N
50 = (5 + 15) a a
a = 2,5 m/s
1 9m
2
20N Corte
Página 71
a
Vf
?
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Cap.5. Dinámica
Por 2da ley de Newton: F2 = m.a Para m :
Eje Horizontal:
2
4
FR = m.a N ma... .........(I)
30 T 3a .................(I)
5
Eje vertical:
Para m : 1
3
T 20 2a ................(II)
F F 5 N mg... ....(II)
Sumando (I) y (II) (I) (II)
a 2m / s
2
4
Por Cinemática:
Vf V 2
2
0
3
a a g a
2ad
Vf 2(2)(9) Vf 6 m / s
4 3
4 3
g
10
2
a 13, 3m / s
2
RPTA.: A
RPTA.: B
Ejemplo 14 Hallar la magnitud de la aceleración del sistema mostrado en la figura, para que el bloque
de
masa
“m”
permanezca
en
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
reposo respecto del carro de masa M.
Hallar la magnitud de la aceleración con que avanza el bloque mostrado en la figura, si su masa es 3 kg.
g
50 N
m
F
32 N
M 53º
60º
A) 13,3 m/s² C) 2 m/s² E) 15 m/s²
60º
Liso
B) 5,3 m/s² D) 7 m/s² Respuesta: 3 m/s²
Resolución: 2.
3 N 5
N a 53º
4 N 5
53º
x
Una cubeta de agua de 5 kg se saca de un pozo por medio de una cuerda. Si la aceleración ascendente de la cubeta es de 3 m/s², calcule la fuerza que la cuerda ejerce sobre la cubeta. (g = 10m/s²) Respuesta: 65 N
mg
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3.
Cap.5. Dinámica
Sea un paralelepipedo rectángulo de hierro de densidad = 7,8 g/cm³ cuya base es de 32 cm² y su altura de 20 cm. Determine la magnitud de la aceleración que le provocará una
6.
fuerza constante de magnitud 10 N.
En el sistema mostrado en la figura, determine la magnitud de la fuerza de reacción entre los bloques “A” y “B”. (mA = 3 kg, mB = 2 kg)
B
Respuesta: 2 m/s²
4.
De la figura mostrada, calcule la magnitud de la aceleración horizontal del conjunto de los dos bloques, para que el bloque A quede fijo con respecto al bloque B. No hay rozamiento. (g = 10 m/s²)
Liso
Respuesta: 54 N 7.
A
B
F2 = 50N
A
F1 = 60N
a 37º
En el sistema físico mostrado en la figura, determine la magnitud de la tensión en la cuerda que une los bloques “A” y “B” de masas 2 y 3 kg respectivamente. (F1 = 80 N, F2 = 70 N)
F2
F1 A
B
Respuesta: 7.5 m/s²
5.
En la figura mostrada, determine la magnitud de la fuerza horizontal F que se debe aplicar al bloque 1 de tal manera que los bloques 2 y 3 no se muevan el uno con respecto al otro. Los tres bloques tienen la misma masa m=1kg y no hay rozamiento con ninguna superficie.
Liso
Respuesta: 76 N 8.
(g=10m/s²)
x y una fuerza de 40N paralela al eje y, tal como se muestra en la figura, determine la magnitud de la aceleración resultante y la dirección que hace con la horizontal.
2
F
A un cuerpo de masa m = 10 kg se le aplica una fuerza de 30N paralela al eje
F y y
1
3
ay
a
Respuesta: 30 N
m
ax
F x
Respuesta: 5m/s² ; 53º
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9.
Cap.5. Dinámica
un puente que tiene la forma de un arco circular vertical de radio R=50m, determine el valor de la fuerza de reacción del puente sobre el automóvil en el punto más alto de la trayectoria circular.
Calcular la magnitud de la aceleración de un cuerpo de masa de 5 kg, si se encuentra sometido a la acción de dos fuerzas:
F 1 8 i 2 j
y
F 2 4 i 3 j
(g = 10m/s²)
Respuesta: 2,6m/s²
El coeficiente de fricción cinética entre una caja de 20 kg y el piso es 0,2. ¿Qué fuerza horizontal (su magnitud) se necesita para mover la caja a velocidad constante sobre el piso?
10.
Determine la rapidez máxima a la cual un móvil puede recorrer una carretera circular de radio de curvatura 5m, sin resbalar al exterior. (s=0,5 ; g=10 m/s²) Respuesta: 5m / s
14.
Respuesta: 40 N
De la figura mostrada, hallar la magnitud de la aceleración de cada uno de los bloques, si k = 0,2 y además ambos bloques tienen igual
11.
masa. (g = 10m/s²)
Respuesta: 3 kN
En la figura se muestra un bloque de 5 kg que resbala sobre una superficie semicilíndrica. Si cuando pasa por “A” su rapidez es 2 m/s. Determine la magnitud de la aceleración tangencial en dicho instante. (g=10 m/s²)
15.
k m
0
37º
g
37º r = 2m
m
k=0.2
Respuesta:
Respuesta: 7.2 m/s²
12. De la figura mostrada, calcular la aceleración con que harán subir el bloque de 8 kg de masa, sabiendo que es jalado por dos personas mediante cuerdas con una fuerza de 100N cada uno.
12.
A
16.
4m/s²
En la figura se muestra una bolita
de masa “m” quede descansa en la parte baja de un canal forma circular cuyo interior es liso y tiene un radio R=(5/4) m. Determine el ángulo “” que habrá subido la bolita cuando el canal gire a razón constante de rad/s. (Considere g= ² m/s²)
74º
Respuesta: 15 m/s² 13.
Respuesta: 37º
Un automóvil de masa 500por kg circula con una rapidez dem=1 20 m/s
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17.
Cap.5. Dinámica
Se hacen girar tres pelotas con una cuerda de 3m de longitud, situados en un plano vertical, como se indica en la figura. Cada una de las pelotas tiene una masa de 100g. Si la pelota exterior se mueve con una velocidad de 6m/s. ¿Cuáles son las tensiones en las tres cuerdas? (desprecie la gravedad).
Determine la deformación del resorte de constante de elasticidad K=100 N/m, si la esfera de masa m=2kg al pasar por el punto más bajo de su trayectoria lo hace con 5 m/s indicando la balanza 80 N en ese instante (Ver la figura).
20.
R = 2m
V
(3) (2)
1m 1m (1) 1m
Balanza Respuesta: 18.
45cm
R
La figura mostrada es un sistema de juegos mecánicos llamado la silla voladora. Determine la rapidez angular constante con que debe rotar el eje para que el cable se desvíe 37º con la vertical. (g=10m/s²)
Respuestas: T1=2 400N ; T2 = 2 000N ; T3=1 200N
Eje de giro
21. En el sistema mostrado la constante 7m
del resorte es 100 5 N/m, los cuerpos A y B aceleran hacia abajo, manteniéndose siempre el resorte horizontal. Si µA = 0,5 y µB =0,4. Halle mB /mA.
5m
A
B
3
Respuesta: 19.
/ s 4 rad /
A) 1,90 D) 0,90
Después de discutir, deciden colocar el soldado en una “centrifugadora gigante” con el objeto de producir el
B) 0,80 E) 1,75
C) 1,25
22. El asfalto de una autopista ofrece un
desplazamiento deseado de la bala. Se coloca el hombre radialmente en la máquina centrifugadora con los pies a 20 cm del centro y la cabeza a 2m del centro. Si la máxima fuerza de rozamiento es 5 N, ¿cuál debería ser la rapidez mínima a que debe moverse la cabeza del paciente para que la bala se desplace en la forma requerida?
coeficiente de fricción de 0,86 en un día seco y de 0,43 en un día lluvioso. Si en un día seco se puede tomar una curva hasta una rapidez de 42 2 km/h, ¿cuál será la máxima rapidez aproximadamente (en km/h) en un día lluvioso?
Respuesta: 10 m/s
A) 22
B) 32
D) 52
E) 12
C) 42
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23.
Cap.5. Dinámica
Determine el módulo de la máxima aceleración (en m/s2) con lo que puede correr un atleta sobre una pista de atletismo de coeficiente de rozamiento estático 0,5. A) 6 D) 4
B) 2 E) 3
26.
Calcule el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque 2M y el carrito, para que cuando el sistema se deje libre en una mesa lisa, el bloque de masa 2M esté por moverse con respecto respecto al carrito de masa 6M. 6M.
C) 5
2M 6M
24.
Una fuerza horizontal constante de magnitud F es aplicada sobre los bloques. Si retiramos el bloque “B”,
calcule en cuánto varía la aceleración.. Si mA = m ; mB = 2m. aceleración F
A
A) 500% D) 200% 25.
B
B) 300% E) 100%
8M A) 0,6 D) 0,5
liso
C) 400%
27.
Para el sistema de boques mostrado, calcule: I. La aceleración del sistema. II. La tensión de la cuerda. liso
B) 0,3 E) 0,7
En el sistema mostrado, calcule la máxima aceleración del carrito M para que el bloque m no resbale. Si µS=0,4 ; g = aceleración de la gravedad a M
20 kg liso
C) 0,4
µS µ=0
m
80 kg A) g/2 D) 6g/5
30° A) 8m/s2 y 80 N C) 4m/s2 y 80 N E) 6m/s2 y 80 N
B) 2m/s2 y 10 N D) 5m/s2 y100 N
28.
B) 2g/5 E) 5g/2
C) g/3
Determine la magnitud de la 2 aceleración (en m/s ) del sistema de bloques de la figura, si el plano inclinado inclinad o es fijo. M 80 kg
=
0,3
A
B 37º
80 kg
A) 0,5
B) 0,3
D) 0,7
E) 0,6
C) 0,8
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
Capítulo 6 Tema 1: TRABAJO, ENERGÍA y POTENCIA transformarla en energía eléctrica, en una central hidroeléctri h idroeléctrica. ca.
El éxito de las leyes de Newton sobre el movimiento, permitió el desarrollo de la mecánica, al punto que el hombre fue capaz de construir máquinas que empezaron a reemplazar al hombre en diversas actividades. Con la aparición de las máquinas se inventaron nuevas cantidades cantidades físicas, que permitían comprender su funcionamiento. Por ejemplo, si queremos adquirir una grúa, nos puede interesar cuanto trabajo puede realizar ésta, que potencia tiene y cuanta energía consume. El trabajo, la energía y la potencia son conceptos que vamos a revisar en este capitulo. Uno de los principales principios que revisaremos ahora es el principio de conservación de la energía.
La energía potencial de los enlaces moleculares en el gas propano se transforma en energía calorífica cuando encendemos una llama.
Excavadora hidráulica con una potencia máxima de 41kW
El generador eléctrico eólico aprovecha la energía cinética del aire y lo transforma en energía eléctrica.
6.1.Trabajo de una fuerza(wf ) Es una cantidad escalar que mide la transmisión o transferencia Las represas permiten almacenar la energía potencial del agua, para luego
de movimiento de un cuerpo sobre . otro otro.
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
Una fuerza realiza trabajo sobre un cuerpo siempre y cuando logra desplazar al cuerpo. 6.1.1. Trabajo realizado por una fuerza constante
realizado será igual al producto de Fcos y la distancia d recorrida por el cuerpo. “
”
Fsen
F
F
Fsen
desplazamiento
m
m
Fcos
x1
Fcos
x 2
d
F
Y
Considera un cuerpo que se mueve en el plano XY, debido a la acción de una fuerza constante, como se muestra en la figura F
Demostración:
r
WF
F x
WF
(Fx
WF
Fx d
r 1
r 2
i
Fy j) (d (d i )
X
El trabajo realizado por esta fuerza es igual al producto escalar de la fuerza por
Recuerde: tanto
i i
1
WF
i i
j i
y j i
Fx
Fyd
0
; por lo
d
el desplazamiento.
WF
WF
CASOS PARTICULARES: 1. Si = 0º
El producto escalar de dos vectores
cos =
WF
Sean los vectores A y B. El producto escalar de dos vectores esta definido por:
F m
d
F d
desplazamiento
donde θ es el ángulo que forman entre si los vectores A y B. Si A (A x ; A y; A z )y entonces:
+1, por lo tanto:
A B AB cco os
d
F r
Unidad en el S.I.: joule (J). 1J = 1N m
F co s
B (Bx ; By; Bz )
En este caso F tiene la misma dirección del desplazamiento del cuerpo.
A B A x Bx A yBy A z Bz
2. Si 6.1.2.
Cuando el rectilíneo
movimiento
=180º cos =
WF
es
m
F
d
por lo tanto:
F d
Considera una fuerza constante F , que forma un ángulo con la horizontal, que produce un desplazamiento horizontal. Al descomponer esta fuerza notamos que sólo la componente de magnitud Fcos está en la dirección del desplazamiento, por lo tanto el trabajo
-1,
desplazamiento
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
En este caso F tiene dirección contraria al desplazamiento del cuerpo.
x B
W A B F x
3. Si =90º cos = 0, por lo tanto:
F desplazamiento
m
WF 0
Fx dx áárrea x A
Por ejemplo, con respecto a la grafica anterior, el trabajo para desplazar al cuerpo desde la posición x = 2m hasta la posición x = 6m, esta dado por el área sombreada.
d Fx W x x área trapecio
2
* Si la fuerza F es perpendicular al desplazamiento, el trabajo realizado por esta fuerza es igual a cero. 6.1.3.
Trabajo realizado por una fuerza variable con la posición
Muchas veces las fuerzas que se aplican a los cuerpos no son necesariamente constantes, tanto en magnitud como en dirección, sino que depende de otras cantidades físicas. Un caso importante de analizar es cuando la magnitud de la fuerza varía con la posición del cuerpo.
Fx
W x x 2 6
6
4 N 2 N 2
4m 12 J
En general si la fuerza tiene componentes en los ejes XYZ, y es una fuerza variable con la posición, se construye una gráfica de cada componente con su respectiva posición, (F y y F ) y se calcula x vs. x; F y y vs. z vs. z el área para los desplazamientos en sus respectivos ejes. El trabajo total es la suma de los trabajos realizados por cada uno de sus componentes.
Como ejemplo consideremos el caso de
una fuerza horizontal F x que depende de la posición x del del cuerpo donde actúa.
F x
(2 x 1) i
Podemos describir mejor esta relación en
6.1.4. Trabajo total o neto ( wneto) Es aquel trabajo que resulta de sumar todos los trabajos realizados por las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
una gráfica de
F x vs x .
W NETO
x (N F (N
W W
F1
WF ...... WF 2
n
Se cumple que el trabajo neto es igual al trabajo realizado por la fuerza resultante, es decir:
4 3
W NETO WF FR d R
0
2
4
6 x(m)
F x
x 0 x 2
Observaciones:
x 4
x 6
El trabajo de una fuerza variable para desplazar al cuerpo desde x A hasta x B se puede obtener a partir del área debajo de
la gráfica
donde: FR = Fuerza resultante
F x vs x, en
a) Si el W NETO 0 , el cuerpo o partícula se mueve con movimiento acelerado. b) Si el
dicho intervalo.
W NETO 0 ,
el cuerpo o partícula se
mueve con movimiento desacelerado.
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c) Si el W NETO 0 , el cuerpo o partícula se halla en equilibrio (está en reposo o tiene M.R.U.). –
6.2. Teorema trabajo neto variación de la energía cinética El trabajo mecánico y la energía son dos cantidades que están relacionadas entre si. Decimos que los cuerpos que poseen energía son capaces de transmitir movimiento, es decir son capaces de realizar trabajo. Un cuerpo en movimiento es capaz de transmitir su movimiento cuando interactúa con otro cuerpo, por lo tanto todo cuerpo en movimiento se dice que posee energía cinética cinética o que es lo mismo energía de movimiento. Pero ¿Cómo
Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
La energía cinética y en general la energía en cualquiera de sus formas tiene la mismas unidades que el trabajo mecánico.
6.3. Energía cinética de un cuerpo puntual (Ek) Es la energía que posee todo cuerpo o partícula en virtud de su movimiento.
v m
W NETO
Fx x
W NETO
Además: vf2
v02
W NETO
1
2
m vf2
2
mv
2
Como la velocidad es sistema de referencia, cinética también lo es.
Cuando se trata de un sólido y éste puede rotar rotar con respecto algún algún eje, es posible definir una energía cinética de rotación.
6.4. Energía 6.4.
relativa al la energía
potencial (Ep)
En la naturaleza existen fuerzas que permiten que un cuerpo almacene energía gracias a su posición. Esta energía almacenada se denomina energía potencial. Estas fuerzas que permiten que la energía se almacene se denominan fuerzas conservativas. Tales fuerzas son por ejemplo, la fuerza de gravedad que tiene asociada una energía potencial
m a x x
2 a x
1
calcular esta energía?, la respuesta a esta pregunta, se obtiene introduciendo la segunda ley de Newton, en la definición del trabajo neto. Vamos a deducir una relación del trabajo neto y una expresión que contiene la velocidad del cuerpo, al cual llamaremos, energía cinética. La deducción se hará por simplicidad considerando una fuerza neta constante que actúa sobre el eje x.
E K
1 2
m v 02
En esta expresión podemos notar que el trabajo neto implica un cambio en el estado de movimiento de un cuerpo. Dicho estado de movimiento esta caracterizado por una cantidad al cual denominamos energía cinética. Entonces podemos afirmar que el trabajo neto un cuerpo es igual a la variación de energía cinética.
gravitatoria, la fuerza elástica que tiene asociada una energía potencial elástica y la fuerza eléctrica tiene asociada una energía potencial eléctrica. “La energía potencial es la energía almacenada por un cuerpo en virtud de las fuerzas conservativas que actúan sobre él y de la posición que ocupa” Para medir la energía potencial de un cuerpo en virtud de su posición, es necesario medir el trabajo de una fuerza externa para mover el cuerpo desde un punto referencial hasta otro, en un proceso cuasiestático.
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
Un proceso cuasiestático es un proceso de movimiento muy lento de modo que el cuerpo en cualquier instante puede considerarse en equilibrio mecánico.
F x (N
0
Es la energía potencial asociada a la fuerza gravitatoria y es igual al trabajo de una fuerza externa necesaria para llevar una masa de un punto referencial a otro en contra de la fuerza gravitatoria, en un proceso cuasiestático. cuasiestático.
x
E pe
x(m)
1 2
k x2
x = deformación del resorte. resorte. ¿Cómo reconocer si una fuerza es conservativa?
y
Donde:
F ext mg
Fext Fext
W A B F ex ext t y
Si un cuerpo llevadode en una un proceso cuasiestático en escontra fuerza conservativa desde una posición y luego de haber recorrido por cualquier trayectoria es regresado nuevamente a la misma posición, el trabajo de esta fuerza externa es nulo, por lo tanto el trabajo de la fuerza conservativa también lo es.
h
F ext mg
Fext
WA B área
kx
6.4.1. Energía potencial gravitatoria (Epg)
E pg
E pe
E pg mg mgh h
y 0 NIVEL DE REFERENCIA
6.4.1. Energía potencial elástica (EPE) Es la energía potencial asociada a la fuerza elástica. Para un resorte, es igual al trabajo de una fuerza externa necesaria para deformarlo una cierta longitud en contra de la fuerza elástica, en un proceso cuasiestático. k
El trabajo de una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es nulo.
El trabajo de una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria.
6.5. Energía mecánica (Em) Es una cantidad escalar que expresa la capacidad que tiene un cuerpo o sistema para realizar un trabajo mecánico. mecánico.
F E kx
x
La energía mecánica es igual a la suma de la energía cinética (E K) y la energía potencial (EP). Es decir:
En el proceso cuasisteático La fuerza externa es igual a la fuerza elástica, F eext xt = kx, y como puedes notar se trata de una fuerza variable con la posición, el cual podemos calcular el
EM
trabajo mediante una grafica F x vs x.
EK
EP
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6.5.1.
Conservación mecánica
de
la
Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
energía
6.6. La energía disipada y las fuerzas no conservativas que
Hemos visto que existen fuerzas almacena energía y la pueden
transformar en energía cinética y viceversa pueden hacer que la energía cinética se transforme en potencial. Pero también existen fuerzas que transforman la energía cinética o la energía potencial, la energía mecánica en general, en otras formas de energía, como por ejemplo en energía térmica o energía eléctrica, tales fuerzas son llamadas fuerzas no conservativas.. conservativas En la trayectoria de los carritos que se encuentran en la montaña rusa, la energía se va transformando de una forma a otra. La energía potencial se transforma en energía cinética y energía térmica, aumentando levemente la temperatura de los carritos (P. Tipler) En todo sistema mecánico donde solo las fuerzas conservativas hacen trabajo, la energía mecánica permanece constante.
E MECANICA
Constante
Si consideramos un cuerpo que desliza sobre una rampa sin fricción, como se muestra en la figura, solo la fuerzas gravitatoria hace trabajo, por lo tanto la energía es constante en cualquier instante.
A
LISO LISO B
h A
hB
La fuerza de rozamiento es una fuerza NO conservativa, ya que transforma la energía mecánica en energía cinética molecular (energía térmica). La fuerza de rozamiento es la causa de que los cuerpos que friccionan eleven su temperatura y en consecuencia disipen la energía en forma de calor. Se cumple que el trabajo de la fuerza de rozamiento depende de la trayectoria y es igual a la energía mecánica disipada. Si en gráfico anterior consideramos que la superficie es rugosa, entonces la energía disipada entre la posición A y B es igual a la variación de la energía mecánica entre estos puntos
Wfroz = Edisipada = EM(B)
EM(A)
La fuerza electromagnética es también una fuerza No conservativa ya que transforma la energía mecánica en energía eléctrica.
6.7. Potencia mecánica (P)
NI NIVE VEL L DE REFERENCIA
Es una cantidad escalar que expresa la Por lo tanto considerando dos instante en la posición A y B, se cumple:
“rapidez” con la que se realiza trabajo
y esta definido como trabajo mecánico por unidad de tiempo.
EM(B) EM(A)
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
Cuando se mide la potencia de una fuerza en un tramo del movimiento de un cuerpo, esta se denomina potencia media. Pm
EQUIVALENCIAS: 1 HP = 76 kgf.m/s = 746 W 1 CV = 75 kgf.m/s = 735 W
W
t
Donde: Pm : potencia media W : trabajo realizado por la fuerza t : tiempo empleado en desarrollar el trabajo. Si se reemplaza el trabajo como el
producto escalar de la fuerza F por el
Nota
La potencia en general es un concepto que esta relacionado con cualquier forma de energía, así podemos expresar sobre la potencia eléctrica, la potencia luminosa, la potencia calorífica, la potencia de radiación solar, etc. En general la potencia es una razón entre la energía y el tiempo
desplazamiento r realizado por el cuerpo, obtenemos:
P m
W
t
F r t
Pm
F vm
donde:
vm:
6.8. Eficiencia o rendimiento ()
velocidad media
Cuando la potencia se mide en un instante dado del movimiento de un cuerpo, se denomina potencia instantánea.
cantidad adimensional Es eluna expresa cociente entre la potencia que útil (PUTIL) y la potencia total o absorbida (PABSORBIDA) por una máquina.
Debido a la disipación de energía, la potencia de salida de una máquina (potencia útil) es siempre menor que la potencia de entrada (potencia absorbida), por lo tanto la eficiencia o rendimiento es siempre una cantidad menor que 1. Esquema máquina
En la ecuación anterior, si el intervalo de
de
operación
P ABSORBIDA
Máquina
donde:
v
P DISIPADA
: velocidad instantánea
UNIDADES DE LA POTENCIA EN EL SI: P : watt (W) W: joule (J) t : segundo (s)
una
P ÚTIL ÚTIL
tiempo infinitesimal ( t 0 ), se obtiene laespotencia instantánea. P F v
de
1watt (W) = 1J/s
P UTIL P ABSORBID ABSO RBIDA
En porcentaje:
(%)
( < 1)
P UTIL
P ABSORBIDA RBIDA
x 100%
* Por el principio de conservación de energía, se cumple: PABSORBIDA = PÚTIL + PDiISIPADA
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Cap.6. Trabajo. Energía y Po tencia
4m) hasta B(6m; -8m). 4m) hasta -8m). Determina el trabajo desarrollado por esta fuerza. fuerza.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Un motor arrastra horizontalmente una carga de 100kg sobre una superficie horizontal rugosa. El coeficiente de rozamiento entre la superficie y la carga es de 0,4. Si la carga es arrastrada desde el reposo, con una aceleración de 0,5m/s 2. Determina la potencia media empleada por el motor en un intervalo de tiempo de 3s. 3s.
Resolución El desplazamiento entre los puntos A y B es:
8m) (2m; 4m)
r (6m;
Resolución
r (4m; 12m) (4 i 12 j) j) m Aplicamos la definición general del trabajo mecánico, desarrollando el producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento.
Realizamos el diagrama de cuerpo libre de la carga.
W F r (4 i
f k 3.
Aplicamos la segunda ley de Newton para determinar la fuerza empleada por el motor
FR m a Fmotor f k ma
Fmotor F N ma
Fmotor (0,4)( 1000) (100)(0,5)
(5)(12)J
12
j) m
Resolución Realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque en un instante dado de su movimiento en el plano. +y
Calculamos el desplazamiento de la masa en 3s.
x
5 j) N (4 i
Un bloque de 50kg desliza sobre una superficie rugosa plana e inclinada 37º. Determina el trabajo desarrollado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque, cuando éste ha descendido 5m a lo largo del plano. (g = 10m/s2)
Fmotor 450 N
W 44 J FN
W (4)(4)J
Fg F motor
f k
1 2 a t x 2, 25 m 2
+x
La potencia media en el intervalo de 3s es:
Pmedia
Wmotor t
(450) (45 0) 2,25 2
37º
Fg
Sobre el cuerpo dibujamos la fuerza de rozamiento cinético (f k), la fuerza de normal (FN) y la fuerza de gravedad o peso ( Fg).
Pmedia 337,5W
FN
2. Una fuerza constante F (4 i 5 j) N actúa sobre un cuerpo, de modo que éste cambia su posición desde A(2m;
Descomponemos el peso a lo largo de los ejes de coordenadas x e y elegidos convenientemente, como se observa en la figura.
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
A partir del equilibrio en el eje y, obtenemos el valor de la fuerza normal
coeficiente de rozamiento cinético entre la superficie rugosa y la tabla es de 0,5. Determina el trabajo de la fuerza de rozamiento hasta el instante en el que se detiene y la velocidad con la que ingresa la tabla. tabla.
F N m g cos cos 37º F N 40 N
La fuerza normal, nos permite calcular la fuerza de rozamiento cinético. f k F N
Resolución
f k 20 N
Realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque en un instante dado cuando esta ingresando a la superficie rugosa.
Calculamos el trabajo de cada fuerza.
El trabajo de la fuerza normal es nulo por que es perpendicular al desplazamiento.
Fg1
Fg2 f k rugoso
liso
WFN 0J
FN2
FN1
El
trabajo
de
la
fuerza
de
x=0
rozamiento negativo por formar 180º con elesdesplazamiento, o en otras palabras, por ser opuesta al desplazamiento.
En el DCL de la tabla se ha decidido dividir al peso total de la barra en dos partes, el peso que esta en la zona rugosa y el peso que esta en la zona lisa, del mismo modo con la fuerza normal. Se ha tomado esta decisión debido a que la fuerza de rozamiento cinético que experimenta la barra es proporcional a la fuerza normal en la zona rugosa. f k F N 2
Wfk f k .d (20 N)(5m)
Wfk 10 100 0J
El trabajo de la fuerza de gravedad, es la suma de los trabajo realizados por cada uno de sus componentes en los ejes x e y. Sin embargo el componente Fgy, es perpendicular al desplazamiento y su trabajo es nulo en esta dirección. Por lo tanto el
Conforme la barra ingresa a la zona rugosa la fuerza normal, F N2, se incrementa y por lo tanto también la fuerza de rozamiento.
trabajo del peso es igual al trabajo de su componente en el eje x. x.
Si consideramos como x = 0, la posición del extremo de la tabla cuando esta a punto de ingresar en la zona rugosa, podemos concluir que la fuerza rozamiento es variable con la posición del extremo de la barra.
Wfk F gx d (mg sen37º ) d
Wfk 150 J 4.
x
Una tabla homogénea de 40kg de masa y 4m de longitud, se desliza sobre una una superficie superficie horizontal horizontal y lisa, a lo largo de su longitud, con una rapidez constante. En cierto instante de su movimiento ingresa a otra superficie horizontal rugosa observándose que se detiene luego de haber ingresado 3m de ella. El
En la siguiente tabla de la fuerza normal en función de la posición x del extremo se puede observar este hecho. x
FN2 f k = FN2
1m 100N 50N
2m 200N 100N
3m 300N 150N
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
Para calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento, construimos una grafica de la magnitud de la fuerza de rozamiento en función de la posición x y calculamos el área debajo de la grafica hasta cuando x = 3m, que es la posición en la cual se detiene. f kk (N)
y la fuerza de normal en ese instante. Desprecie cualquier tipo de fricción. A
v=0
3R B R
150
Nivel de referencia Resolución
x(m) 3
0
Wfk
Wfk
área
1 2
Debido a que no existen fuerzas de rozamiento, la energía mecánica se conserva, por lo tanto la energía mecánica en A es igual en B. considerando el nivel de referencia indicado en la figura, tenemos:
(150 N)(3m)
225 J
E m ( A ) E m ( B)
Para calcular la velocidad con la que ingresa la tabla usaremos el teorema trabajo neto – variación de la energía cinética. W NETO
1 2
m vf2
1 2
mgh mg hA
m v02
Wfk
1
m g hB
2
2 mvo 1
B R
FN Fg
2
225 (40) v o 2
vo 5.
2
2
mv B
Para calcular la fuerza normal realizamos el diagrama de cuerpo libre del carrito en la posición B, de su trayectoria circular de radio R.
Reemplazamos valores
v B 4 g R
Como la fuerza de gravedad y la fuerza normal son perpendiculares al desplazamiento, entonces el trabajo neto es el trabajo de la fuerza de rozamiento.
1
3 2
5
Notamos que la fuerza normal en ese instante es la fuerza centrípeta.
m/s
F N Fcentrípeta
Un carrito de juguete, se abandona en la parte superior A de un riel, la trayectoria del carrito esta tal que tiene que pasar por un rizo, como se
2
F N
mvB
R
m(4 g R ) R
F N 4 m g
muestra en la figura. Determina la rapidez con la que pasa por el punto B
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6.
Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
Un bloque de madera de 0,2kg es lanzado, hacia arriba, sobre una superficie inclinada con una rapidez de 5m/s. Se observa que el bloque alcanza una altura de 1m sobre el nivel de lanzamiento. Determina el trabajo de la fuerza de rozamiento.
Resolución
Analicemos el diagrama de cuerpo libre RN
V
m
V
F
f K
Resolución
d=4m mg=500 N
Realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque.
Por la 1ra Ley de Newton: R N mg
F Y 0 j ˆ
+y
f k
F X 0 i ˆ
1m
FN
+x
Fg
F K .m. g El trabajo mecánico realizado por la persona es:
Podemos calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento a partir de la energía disipada por el bloque.
W F .d
W ( K .m. g ).d
Wfk m gh
2
mvo
Respuesta: D
1 2
8.
2
(0,2)(5)
Wfk 0,5 J 7.
Hallar la cantidad de trabajo mecánico (en Joules) que realiza una persona al desplazar horizontalmente un bloque de 50 kg con rapidez constante una distancia de 4 m. Si la fuerza aplicada por la persona es horizontal, coeficiente de rozamiento cinético K = 0,5. A) 100 D) 1 000
W 1000 J
2
Wfk (0,2 )(10)(1)
W = (0,5 x 50 x 10) . 4
Wfroz = Edisipada = EM(B) EM(A) 1
F f K K .R N
B) 400 E) 1 500
Un bloque de 6 kg se suelta desde cierta altura. Determine el trabajo (en J) desarrollado por el peso en los primeros tres segundos de su caída. A) 2 700 D) 6 700
B) 3 800 E) 3 700
C) 4 200
Resolución
La longitud del desplazamiento será:
1
2
hV o.t g .t
2
C) 800 h
1 2
(10).(3) 245m
El trabajo realizado por el peso es igual la variación gravitatoria:de
la
energía
potencial
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
W m . g .h W (6).(10).(45)
El trabajo realizado por la fuerza variable, es el área del trapecio:
16 50 .(84) 2
W
W 2700 J Respuesta: A
7.
Una fuerza variable cuya magnitud varía con la posición de acuerdo con la
6 X )i N , actúa sobre expresión: F (2 un cuerpo de 8 kg de masa tal como se muestra. Calcular el trabajo
ˆ
Respuesta: D 8.
→
realizado por la fuerza F entre las posiciones inicial: X o 4 i m y
ˆ
la
A) 50 J B) 75 J C) 100 J D) 152 J E) 225 J
La potencia desarrollada por la persona es:
F
P
m. g .h
t (60).(10).( 20) P ( 4).(60)
Resolución
X F 8 i m F F ˆ
2(6).(8)i 50 i N
ˆ
P 50W Respuesta: C
ˆ
9.
i N 4 i m F 2(6).(4)i 26
o
ˆ
ˆ
X F en un plano
Graficando
Las magnitudes de las fuerzas para las posiciones inicial y final serán: →
C) 50
ˆ
posición final: X F 8 i m .
ˆ
B) 40 E) 80
Resolución
→
X o
Una persona 60 kg de masa sube por las escaleras de un edificio de 20 m de altura en 4 min. ¿Qué potencia (en W) desarrolló la persona? A) 30 D) 60
→
W 152 J
o
Un ascensor de masa 2,5x104 kg desciende con una aceleración 2 uniforme de 2 m/s . Calcule el trabajo (en kJ), que efectúa el cable de soporte sobre el ascensor cuando éste desciende una distancia de 20 m. (g = 10 m/s2)
cartesiano:
F (i N ) ˆ
A) 3 000 D) 3 500
50
B) 3 900 E) 4 500
C) 4 000
Resolución
26
Diagrama de cuerpo libre al ascensor:
W = área del
trapecio
0
4
8
X (i m) ˆ
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
11.
T
Determinar la eficiencia de una máquina, sabiendo que la potencia útil es cuatro veces la potencia perdida. A) 20 % D) 60 %
a
B) 40 % E) 80 %
C) 50 %
Resolución
W m. g
PÚTIL = PU
Por la 2da. Ley de Newton, calculamos la magnitud de la tensión del cable del ascensor:
PTOTAL=PT PPERDIDA= PP
m . g – T = m . a (2,5x104).(10) – T = (2,5x104).(2)
Dato:
T = 2x105 N
PU = 4 PP PT = PU + PP = 5 PP
Se cumple:
El trabajo realizado por la tensión es:
Cáculo de la eficiencia de la máquina: W = T . h W = (2x105) . (20)
W 4000 J
P U
P T
Respuesta: C
4 P P
10.
El motor de una lancha desarrolla una potencia constante de 3 000 watts cuando le produce un desplazamiento a rapidez constante de 10 m/s. ¿Qué fuerza resistente total (en N) se opone al movimiento de la lancha? A) 100 D) 800
B) 300 E) 4 500
5 P P
% 80%
Respuesta: E 12.
C) 500
Resolución
La magnitud de la fuerza de resistencia del agua es:
Un bloque de 20 kg de masa se desplaza 8 m, a partir del reposo, debido a la acción de una fuerza horizontal constante de 200 N, en un piso horizontal rugoso que produce una fuerza de fricción de 40 N. Hallar la potencia (en watts) de la fuerza aplicada. A) 1 000 D) 2 500
P = F . V
B) 1 134 E) 3 500
C) 2 100
3 000 = F (10)
F 300 N
Resolución
Diagrama de cuerpo libre al bloque:
Respuesta: B
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
Resolución
a
RN f
Diagrama de cuerpo libre a la esfera en la posición A: o
F=200
=40 N m
d=8
mg=200
Por la 2da. Ley de Newton, calculamos la magnitud de la aceleración del bloque: F – f = m . a
m.g.cos 37º
m.g.sen 37º m.g
200 – 40 = (20).a a = 8 m/s2
R =0,5 =0,5 m
R N 37º
Por la 2da. Ley de Newton, calculamos la rapidez en la posición A:
Cálculo del tiempo empleado:
R N m. g .co cos s37ºm.aCP
1 d V o. t a.t 2 2 8 1 (8).t 2 2
t 2 s
Potencia de la fuerza aplicada:
2 V coss37º m . R N m. g .co R
(200).(8)
2
V 2 4 40 (1).(10). (1) . 5 0,5
F .d P t P
V 4m / s Respuesta: B
P 1134W Respuesta: B
11. Un péndulo de masa m, la longitud
de la cuerdahorizontal L = 5 m, se desde la posición A, suelta tal como se muestra en la figura. Calcular la rapidez cuando pasa por la posición más baja.
13. Una esfera de 1 kg de masa pasa por la posición “A”, la intensidad de la reacción de la superficie lisa es 40 N; el radio de la superficie es R = 50 cm. Determine la rapidez de la esferita en dicha posición.
m
L=5m
A
O R
37º A
A) 3 m/s D) 6 m/s
B B) 4 m/s E) 8 m/s
A) 6 m/s D) 10 m/s
C) 5 m/s
B) 8 m/s |E) 5 m/s
C) 4 m/s
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
Resolución
Dividiendo las relaciones (1) / (2):
Tomemos como nivel referencia el nivel inferior B:
F A K A L A . F B K B L B
VoA=0 m/s A
K L L A . A A 1 2. F A 2. K A L B L B F A
h=5m Nivel de referencia
V
B
Las energies potenciales elásticas de los resortes están relacionadas por:
Por conservación de la energía mecánica:
EM EM inicial A EM final B 1 m. g .h mV 2 2
1 . L A 2.............(3) E P A K A 2 1 . L B 2..............(4) E P B K B 2 Dividiendo las relaciones (3) / (4):
1 2 (m)(10 )..( 5) (m)V 2
E P A K A L A . E P B K B L B
V 10m / s Respuesta: D
12.
A los resortes A y B que se muestra en la figura se les aplica las fuerzas FA y FB. Si: FB = 2FA y KB = 2KA. Hallar la relación de las energías potenciales elásticas EP–A / EP–B. A) 1/3 B) 1/2 C) 3/2 D) 2 E) 5/2
2
E P A K A 2 .1 E P B 2 K A
E P A 1
E P B 2 Respuesta: B
A
B 13.
FA
Hallar la cantidad de energía perdida por el bloque de 2 kg al ir desde la posición “A”, hasta la posición “B”.
FB
5 m/s
A Resolución
Las magnitudes de las fuerzas elásticas de los resortes están relacionadas por:
10 m/s 10 m
B 5m
F A K A. L A.............(1) F K L B B . B............(2)
A) 100 J D) 175 J
B) 125 J E) 200 J
C) 150 J
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Cap.6. Trabajo. Energía y Potencia
Resolución Realizando un balance de energía entre la posición inicial “A” y la posición final “B”:
Por conservación de la energía mecánica:
E EM M inicial A EM fina final l B
A
1
1 m.V 02m g . :h m.V F 2 2 2
VF=5 m/s V0=10 m/s
B
h0=10 m
1 2 m.(2)2m.(10 ).(0,15) m.V F 2 2
1
hF=5 m Nivel de referencia
EM inicial A EM final B E PERD PERDID IDA A
Respuesta: B
1 1 m.. g ..h0 m.V 02 m. g :h F m .V F 2 E PERD PERDID IDA A 2 2
1 (2).(10)..(10) (2)..(10)2 2 1 2 (2).(10)..(5) (2)..(5) E PE PERD RDID IDA A 2
V F 1m / s
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
Una partícula que se mueve en el plano xy efectúa un desplazamiento
d
3 i 4 j m mientras actúa sobre ella
una fuerza constante F 4 i 6 j N. Calcule el trabajo realizado por la
E PERD 175 5 J PERDID IDA A 17
fuerza
Respuesta: D
F .
Fx (N) 100
14. A la esfera de masa m, se le imprime una rapidez inicial de V0 = 2 m/s. Hallar la rapidez cuando la cuerda (de masa despreciable), se posicione en forma horizontal.
x
0
5
10
27 x (m)
A) 0,5 m/s B) 1,0 m/s C) 1,5 m/s D) 2,0 m/s E) 2,5 m/s
-30
15 cm →
V o
Respuesta: 36 J
2.
Resolución
Tomemos como nivel referencia el nivel inferior A: B
Respuesta: 6250J
h = 0,15 Nivel de
referencia
Un cuerpo con 20kg de masa está inicialmente en reposo en un plano horizontal y sin fricción. Si se aplica una fuerza horizontal constante de módulo 50N por un tiempo de 10s, ¿Cuál es el trabajo en joules realizado por esta fuerza?
3.
A
VoA=2
Si una persona saca de un pozo un balde lleno de agua, de masa total 30 kg, realizando un trabajo de 3 kJ y
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demorándose 20 s ¿cuál es la profundidad del pozo si el balde es levantado con velocidad constante? y ¿cuál es la magnitud de la velocidad? (g =10 m/s2)
V=0
8m
1
Liso
Respuesta: 10 m y 0,5 m/s 4.
Una plataforma móvil cargada con ladrillos tiene una masa total de 100 kg y es jalada con velocidad constante por medio de una cuerda. La cuerda forma 37º sobre la horizontal y la plataforma se mueve 20 m sobre una superficie horizontal de coeficiente de fricción 0.5 ¿Cuánto trabajo efectúa la persona que tira de la cuerda para mover la plataforma? y ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento durante los 20 m de recorrido de la plataforma? (g =10 m/s2) Respuesta: 10 kJ y
1 2
8.
B) 960 E) 980
C) 840
10kJ
–
La fuerza que actúa sobre una partícula varía con la posición, como muestra la figura. Si el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se mueve desde x = 0 hasta “ x es 1 kJ, ¿cuál es el valor de x? ”
Respuesta: 15 m 6.
Un bloque de 5 kg inicialmente en reposo, es elevado con una fuerza F que le produce una aceleración de 2 m/s2. Determine el trabajo (en J) de dicha fuerza durante los 4 primeros segundos. A) 320 D) 975
9. 5.
Respuesta: 2m
Un elevador de 600 kg empieza a moverse desde el reposo. Si se desplaza hacia arriba durante 4 s con aceleración constante hasta que alcanza una rapidez de 1,6 m/s, ¿cuál es potencia media (en watt) del motor del elevador durante este periodo? (g =10 m/s2)
Un motor con un rendimiento del 90% está instalado en una grúa cuyo rendimiento es 40%. Sabiendo que la potencia suministrada al motor es de 5 kW se encuentra que la rapidez (en m/s) con que la grúa levanta un peso de 450 N, es: A) 11 D) 4
10.
B) 2 E) 7
C) 0,9
Sobre un plano se apoya un cilindro
recto de radio 30 cm. ¿Qué altura máxima H podrá tener el cilindro sin perder el equilibrio? Existe suficiente rozamiento para no resbalar. H
Respuesta: 192 W 7.
Determine la máxima altura que alcanza la canica (2), si luego del impacto esta adquiere una rapidez igual al 50% de la rapidez que tenía la canica (1) un instante antes del choque.
37°
A) 80 cm D) 60 cm
B) 90 cm E) 55 cm
C) 75 cm
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muestra el gráfico de la velocidad del ascensor al subir.
Una fuerza variable depende de:
11.
F =(3 + 2x) N ; y “x” en m. Halle el
trabajo (en J) de la fuerza F cuando la partícula se desplaza entre las posiciones 2 m y 6 m, sobre el eje “x”. A) 44 D) 60
B) 50 E) 40
V ( j m / s) ˆ
6
C) 54 t(s)
Un móvil de 4,5 kg se somete a una fuerza variable moviéndose en el eje x. El móvil parte con una velocidad de 4 i m/s. Calcule la rapidez en la
12.
4
0
7
10
ˆ
A) 4 D) 16
posición 10 i m . ˆ
B) 20 E) 8
C) 32
F (i N ) ˆ
16. ¿Cuál
es el rendimiento de un montacargas, si a rapidez constante, eleva 10 m una carga de 0,5 toneladas, en 20 segundos? Se sabe que al motor se le entrega 5 kW y la masa del montacargas es 300 kg.
6
x (i m) ˆ
5 A) 12 m/s D) 7 m/s
B) 5 m/s E) 6 m/s
C) 9 m/s
Calcular la potencia mínima (en W) que debe realizar un motor para extraer agua de un pozo a 20 m de profundidad y descargar a razón de 20 /s ℓ/s con una rapidez no menor de 8 m/s. La eficiencia del motor es 80%.
13.
A) 11600 D) 2900
B) 5800 E) 4640
V
C) 4800
A un cuerpo que se encuentra en un plano horizontal liso, se aplica una
14.
B) 5 J E)5 13 J
D) 50%
E) 30%
C) 60%
Un automóvil con peso de una tonelada, se mueve sobre una pista horizontal rugosa con una rapidez constante de 54 km/h, debido a la resistencia del aire que es la décima parte del peso del automóvil. Hallar la potencia del motor, si la eficiencia es de 30%. (g = 10 m/s 2)
A)10 J D) 10 13 J
B) 40%
17.
F ( 4 i 6 j ) N, fuerza constante resbalando una distancia de 5 m paralelo a la fuerza. Calcule el trabajo realizado por la fuerza en este es te tramo. ˆ
A) 80%
ˆ
C) –10 J
A) 10 kW D) 40 kW
La masa total de un ascensor y los pasajeros que lleva es 2000 kg. Calcule la tensión (en j kN) en el cable del
15.
ˆ
ascensor durante 7s< t
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