สรุปคณิตศาสตร์ม.ต้น.pdf
February 8, 2017 | Author: japan2911 | Category: N/A
Short Description
สรุปคณิตศาสตร์ม.ต้...
Description
สรุ ปเนือ้ หาวิชาคณิตศาสตร์ จานวนและตัวเลข การเขียนตัวเลขและจานวน ในการเขียนตัวเลขจานวน ในจานวนที่สาคัญพิจารณาได้ ดงั นี ้ ระบบตัวเลขฮินดู อารบิก เป็ นระบบที่ใช้ ทวั่ ๆไปในปั จจุบนั โดยใช้ เลขฐาน 10 ดังนี ้ 129 100 20 90
(เพราะว่า 100 = 1)
1 (10) 2 2 (10)1 9 (10)
ระบบตัวเลขโรมัน เป็ นระบบของการเขียนแบบรวมพวกอย่างง่าย โดยใช้ เลขฐาน 10 ดังนี ้ ตัวเลขโรมัน
I
V
X
L
C
D
M
ตัวเลขอารบิก 1
5
10
50
100
500
1000
ระบบตัวเลขฐานสอง ในระบบนี ้จะใช้ ตวั เลข 2 ตัว คือ 0 กับ 1 เช่น 1011012 1 (25) 0 (24) 1 (23) 1 (22) 1 (21) 1 (20) 32 0 8 4 0 1 1011012 45
(ในเลขฐาน 10 ซึง่ ฐาน 10 จะไม่เขียนห้ อยไว้ ละไว้ ในฐานที่เข้ าใจ)
จานวนนับ (N) จานวนนับ หรื อ จานวนธรรมชาติ คือจานวนที่ใช้ ในการนับซึง่ เริ่มตังแต่ ้ 1, 2, 3, ... ไปเรื่ อยๆ พิจารณาดังต่อไปนี ้ ตัวประกอบ ตัวประกอบของ
A คือ จานวนที่หาร A ได้ ลงตัว เช่น
ตัวประกอบทังหมดของ ้ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 จานวนเฉพาะ จานวนเฉพาะ คือ จานวนที่มีคา่ มากกว่า 1 และมีคา่ มากกว่า 1 และมีตวั ประกอบเพียงสองตัวคือ 1 และตัวมันเอง เช่น 23 เป็ นจานวนเฉพาะ เพราะว่า มีตวั ประกอบเพียงสองตัว คือ 1 และ 23
จานวนคู่ และ จานวนคี่ จานวนคู่ คือ จานวนทุกจานวนที่ 2 หารลงตัว หรื อ กล่าวได้ วา่ “เป็ นจานวนที่มี 2 เป็ นตัวประกอบ เช่น 22” จานวนคี่ คือ จานวนทุกจานวนที่ 2 หารแล้ วเหลือเศษ 1 เช่น 15 ข้ อควรทราบ ถ้ ากาหนดให้
n 0,1,2, จะได้ วา่
- จานวนคู่ คือ
2n
- จานวนคี่ คือ
เช่น
n3
จะได้ จานวนคู่
จะได้ จานวนคี่
2n 1
2(3) 6 = 2(3) = 6 2(3) 1 7
ตัวคูณร่ วมน้ อย (ค.ร.น) ตัวคูณร่วมน้ อยของ A และ B คือ จานวนนับที่น้อยที่สดุ มี A และ B เป็ นตัวประกอบ เช่น ค.ร.น ของ 3 และ 4 คือ 12 ตัวหารร่ วมมาก (ห.ร.ม.) ตัวหารร่วมมากของ ของ 18 และ 27 จะได้ วา่
C และ D คือ จานวนนับที่มีคา่ มากที่สดุ ที่หาร C และ D ได้ ลงตัว เช่น ห.ร.ม.
18 3 3 2 9 2 27 3 3 3 9 3
ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คือ 9
ระบบจานวนเต็ม (I) จานวนเต็ม คือ จานวนที่ประกอบด้ วย จานวนเต็มลบ ( บวก (I+) พิจารณาสิ่งต่อไปนี ้
I-), จานวนเต็มศูนย์ (I0) และ จานวนเต็ม
คุณสมบัตขิ องจานวนเต็ม กาหนดให้
A, B, C เป็ นจานวนเต็มใดๆ จะได้ วา่ 1. A + 0
=
0+A
( 0 เป็ นเอกลักษณ์ของการบวก )
2. 1 x A
=
Ax1=A
( 1 เป็ นเอกลักษณ์ของการคูณ )
3. A + B
=
B+A
4. A x B
=
BxA
5. (A + B) + C
=
A + (B + C)
6. (A x B) + C
=
A x (B x C)
7. A x (B + C)
=
(A x B) + (A x C)
ค่ าสัมบูรณ์ ( x ) กาหนดให้
X, Y เป็ นจานวนจริงใดๆ และ A เป็ นจานวนจริงที่มากกว่า 0 จะได้ วา่ 1.
X 0
และ
X X
2.
X A
ก็ตอ่ เมื่อ
XA
3.
X A
ก็ตอ่ เมื่อ
A X A
4.
X A
ก็ตอ่ เมื่อ
X A
5.
X2 X2
และ
6.
X Y X Y
7.
X Y X Y
8.
XY X Y
9.
X X Y Y
หรื อ
X A
หรื อ
XA
X X2
เมื่อ Y 0
เศษส่ วนและทศนิยม เศษส่ วน เป็ นจานวนจริงแต่ไม่ใช่จานวนนับ ซึง่ ตัวเลขที่อยูข่ ้ างบนเรี ยกว่าเศษ ตัวเลขที่อยูข่ ้ างล่าง เรี ยกว่า ส่วน เช่น
3 4
เป็ นต้ น พิจารณาประเภทเศษส่วนได้ ดงั นี ้
- เศษส่วนแท้ คือ เศษส่วนที่มีเศษน้ อยกว่าส่วน เช่น
5 7
เป็ นต้ น 5 3
- เศษส่วนไม่แท้ คือ เศษส่วนที่มีเศษส่วนมากกว่าหรื อเท่ากับส่วน เช่น - เศษส่วนอย่างต่า คือ เศษส่วนที่มี
เป็ นต้ น
ห.ร.ม. ของเศษและส่วนเป็ น 1 เช่น 13 เป็ นต้ น
- เศษส่วนเหมือน คือ เศษส่วนที่มีสว่ นเป็ นจานนเดียวกัน เช่น
19
1 7
และ
3 7
เป็ นต้ น
- เศษส่วนจานวนคละ คือ เศษเกินที่เขียนในรูปผลบวกของจานวนเต็มกับเศษส่วน 25 1 8 3 3
เช่น
เป็ นต้ น
ในการเขียนเศษส่วนที่มีสว่ นเป็ นกาลังของ 10 สามารถเขียนเป็ นทศนิยมได้ ดงั นี ้ เช่น
7 0.07 100
เช่น
0.0375
ดังนัน้
และจานวนที่เขียนในรูปทศนิยม ก็ใช้ ระบบตัวเลขฐาน 10 และมีคา่ ประจาตาแหน่งดังนี ้
375 300 70 50 300 70 5 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
0.0375
3 7 5 3 7 5 2 3 4 100 1,000 10,000 10 10 10
นันคื ้ อ
- ค่าประจาตาแหน่ง ของ 3 คือ 10-2 - ค่าประจาตาแหน่ง ของ 7 คือ 10-3 - ค่าประจาตาแหน่ง ของ 5 คือ 10-4 ฉะนัน้ จะได้ วา่ 0.0375 0.0375 (3 10 2) (7 10 3) (5 10 4) ทศนิยม สามารถพิจารณาได้ ดงั นี ้ - ทศนิยมรู้จบ คือ ทศนิยมที่จานวนตัวเลขหลังจุดทศนิยม เป็ นจานวนรู้จบ หรื อมีศนู ย์ซ ้า เช่น
48.392 อ่านว่า สี่สิบแปดจุดสามเก้ าสอง 3.400 อ่านว่า สามจุดสี่ศนู ย์ศนู ย์
- ทศนิยมไม่ร้ ูจบ คือ ทศนิยมที่จานวนตัวเลขหลังจุดทศนิยมเป็ นจานวนไม่ร้ ูจบมี 2 ชนิด คือ 1. ทศนิยมไม่ร้ ูจบแบบไม่ซ ้า คือ ทศนิยมที่มีตวั เลขหลังจุดทศนิยมมากมายโดยไม่ซ ้ากัน เช่น 17.83945…. อ่านว่า สิบเจ็ดจุดแปดสามเก้ าสี่ห้าละ 2. ทศนิยมไม่ร้ ูจบแบบซ ้า คือ ทศนิยมที่มีตวั เลขหลังจุดทศนิยมหนึง่ ตัวหรื อมากกว่าซ ้ากัน อย่างเป็ นระบบ เช่น 4.5 = 4.555…. อ่านว่า สี่จดุ ห้ า ห้ าซ ้า การแปลงทศนิยมไม่ ร้ ู จบแบบซา้ ให้ เป็ นเศษส่ วน ซึง่ สามารถพิจารณาได้ ดงั นี ้ 1. ทศนิยมไม่ร้ ูจบแบบซ ้าล้ วนๆ เป็ น 9 เท่ากับจานวนทศนิยมที่ไม่ร้ ูจบ เช่น
0.6433
643 999
5.677 5
76 99
2. ทศนิยมที่ร้ ูจบผสมกับทศนิยมที่ไม่ร้ ูจบแบบซ ้า ให้ เอาตัวเลขหลังจุดทศนิยมทังหมดตั ้ งลบด้ ้ วยตัวเลขที่ เป็ นทศนิยมจบ แล้ วหารด้ วย 9 ซึง่ จานวนเท่ากับจุดทศนิยมไม่ร้ ูจบ แล้ วเติมศูนย์ลงข้ างท้ ายเท่ากับ จานวนทศนิยมรู้จบ นัน่ คือ จานวนทศนิยมคละ =
เลขทศนิยมทังหมด ้ - ตัวเลขทศนิยมที่ไม่ร้ ูจบ
_
เลข 9 เท่ากับ จานวนทศนิยมที่ไม่ร้ ูจบตามด้ วย 0 เท่ากันจานวนทศนิยมรู้จบ เช่น
7.594 7
594 5 589 7 990 990
จานวนจริง คือ จานวนที่ประกอบไปด้ วย จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ สามารถ พิจารณาโครงสร้ างของระบบจานวนจริง ได้ ดงั นี ้
จานวนจริง
จานวนจริง (R) จานวนตรรกยะ (Q) จานวนเต็ม (I) จานวนเต็มลบ (I-)
จานวนตรรกยะ
จานวนอตรรกยะ (Q’)
เศษส่วน (F)
จานวนเต็มศูนย์ (I0)
จานวนเต็มบวก (I+)
คือ จานวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน หรื อทศนิยมซ ้าได้ นัน่ คือ “ถ้ า A เป็ น จานวนจริงใดๆ แล้ วA จะเป็ นจานวนตรรกยะ ก็ตอ่ เมื่อ มีจานวนเต็ม M และ N ทาให้
A
M N
โดยที่ N 0 ” เช่น 2.9, 4.777, 9.78 เป็ นต้ น
จานวนอตรรกยะ คือ จานวนที่ไม่สามารถแทนได้ ด้วยทศนิยมซ ้า หรื อเศษส่วน นัน่ คือ “ถ้ า B เป็ น จานวนจริงใดๆ แล้ ว B จะเป็ นจานวนอตรรกยะ ก็ตอ่ เมื่อ ไม่สามารถเขียนรูป B ในรูปเศษส่วนของจานวนเต็มได้ ” เช่นค่าของ , 2 เป็ นต้ น รากที่สอง นิยาม ถ้ า A เป็ นจานวนจริงใดๆ และ A 0 แล้ ว รากที่สองของ A คือ จานวนที่ยกกาลังสอง แล้ ว ได้ A ซึง่ รากที่สองของ A ซึง่ รากที่สองของ A มีทงรากที ั้ ่สองที่เป็ นบวกและรากที่สองที่เป็ นลบ นัน่ คือ ( A ) 2 ( A ) 2 A
Note รากที่สองของจานวนบวกจะเป็ นจานวนตรรกยะ หรื ออตรรกยะเพียงอย่างใดอย่างหนึง่ เท่านันคุ ้ ณสมบัตขิ อง A เมื่อ A 0 - ถ้ า
A0
และ
B0
แล้ ว
AB A . B
- ถ้ า
A0
และ
B0
แล้ ว
A B
A B
การหารากที่สอง ในการหารากที่สอง มีวิธีดงั ต่อไปนี ้ 1. การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ พิจารณาได้ ดงั นี ้ รากที่สองของ
256 จะได้
256 2 2 2 2 2 2 2 2
24 24 2 2 2 2
จะได้ วา่
256 16 2
และ (16) 2 นัน่ คือ รากที่สองของ
4 4 2
2
16
256 16, 16
2. การหารากที่สองโดยวิธีตงหาร ั้ มีหลักการดังนี ้ - แบ่งตัวเลขจากขวามือไปหาซ้ ายมือ ครัง้ ละสองตัว , จุดทศนิยมให้ บง่ จากซ้ ายไปขวา - หาจานวนที่ยกกาลังสองแล้ วใกล้ เคียง หรื อเท่ากับจานวนแรกทางซ้ ายมือ - นาเอา 2 คูณผลลัพธ์ที่ได้ ในครัง้ แรก แล้ วหาตัวเลขมาเติม หลังผลลัพธ์ที่ได้ จากการคูณด้ วย 2 แล้ ว คูณด้ วยเลขจานวนนัน้ ทาอย่างนี ้ไปเรื่ อยๆ จนได้ เศษเป็ นศูนย์ 3. การหารากที่สองโดยวิธีเฉลี่ย โดยหาค่าที่ยกกาลังสองแล้ ว มีคา่ น้ อยกว่าจานวนที่ต้องการหาหนึง่ จานวน และ มากกว่าอีกหนึง่ จานวน แล้ วนามาหาค่าที่ใกล้ เคียง รากที่สาม นิยาม ถ้ า A เป็ นจานวนจริงใดๆ แล้ วรากที่สามของ A คือ จานวนจริงที่ยกกาลังสามแล้ วได้ A สัญลักษณ์ คือ
3
A
นัน่ คือ
3
A3 A
พิจารณาตัวอย่าง 3
64 3 (4)(4)(4)
3
64 4
รากที่ n นิยาม ถ้ า A เป็ นจานวนจริงใดๆ แล้ ว รากที่ n ของ A คือ จานวนที่ยกกาลัง n แล้ วได้ A สัญลักษณ์ คือ
n
A
นัน่ คือ (n
An ) A
เลขยกกาลัง คุณสมบัตขิ องเลขยกกาลัง กาหนดให้ A, B เป็ นจานวนใดๆ และ m, n เป็ นจานวนเต็มบวก 1. 2.
A m A n A mn
3.
( A m ) n A mn
4.
( A B) n A n B n
5.
A An ( )n n B B
6.
A0 1
7.
A n
8. 9.
A m A n A m n
เมื่อ
mn
1 An
1
A n A n
m
A n Am n
คุณสมบัตขิ องเครื่องหมายราก กาหนดให้ A, B เป็ นจานวนใดๆ m และ n เป็ นจานวนเต็มบวก จะได้ ดงั นี ้ 1.
(n A ) n A
2.
(n A ) (n B ) n A B
3.
(n A ) (n B ) n
4.
(n A n ) A
เมื่อ A เป็ นจานวนคี่ และ
(n A n ) A
เมื่อ A เป็ นจานวนคู่
5.
A B
(m n A ) mn A
6. คอนจูเกตของ
A B
คือ
A B
ทฤษฎีพธิ ากอรั ส ทฤษฎีบท : ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื ้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสบนด้ านตรงข้ ามมุมฉากจะเท่ากับ ผลบวกของพื ้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมบนด้ านประกอบมุมฉาก พิจารณาจากรูป
กาหนดให้ ;
ABC เป็ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมมุ C เป็ นมุมฉาก c เป็ นความยาวของด้ านตรงข้ ามมุมฉาก ab เป็ นความยาวของด้ านประกอบมุมฉาก
พื ้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสรูป
X a2
พื ้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสรูป
Y b2
พื ้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสรูป
Z c2
จากทฤษฎีบทจะได้ วา่
c2 a2 b2
ฉะนันเราสามารถหาความยาวด้ ้ านตรงข้ ามมุมฉากได้ คือ
c a2 b2
ความลับของทฤษฎีพธิ ากอรัส ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ าพื ้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสบนด้ าน ๆ หนึง่ เท่ากับผลบวกของพื ้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมจัตรุ ัสบนอีกสองด้ านแล้ ว สามเหลี่ยมรูปนันจะเป็ ้ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในการหาความยาวของด้ านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เราต้ องทราบความยาวของด้ านสองด้ าน จึงจะสามารถหาความยาวด้ านที่สามได้
พหุนาม เอกนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้ อยูใ่ นรูปการคูณของค่าคงที่กบั ตัวแปรตังแต่ ้ หนึง่ ตัวขึ ้นไป โดยที่เลข ชี ้กาลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็ นศูนย์ หรื อ จานวนเต็มบวก เอกนาม ประกอบด้ วยสองส่วน คือ ส่วนที่เป็ นค่าคงที่ เรี ยกว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม และส่วนที่อยูใ่ นรูปการคูณของตัว แปร และผลบวกของเลขชี ้กาลังของตัวแปร ทังหมดในเอกนาม ้ เรี ยกว่า ดีกรี ของเอกนาม เช่น
81x 2 y 2
จะได้ - 81 คือ สัมประสิทธิ์ของเอกนาม
(3 2) 5
คือ ดีกรี ของเอกนาม
การบวกลบ เอกนาม เอกนามตังแต่ ้ สองเอกนามขึ ้นไป จะบวกลบกันได้ ก็ตอ่ เมื่อเป็ นเอกนามที่คล้ ายกัน คือ เอกนามทัง้ สองมีตวั แปรชุดเดียวกัน และเลขชี ้กาลังของตัวแปรเดียวกันเท่ากัน จะได้ วา่ ผลบวกของเอกนาม
= ผลบวกของสัมประสิทธิ์ x ส่วนที่อยูใ่ นรูปการคูณกันของตัวแปร
ผลลบของเอกนาม
= ผลลบของสัมประสิทธิ์ x ส่วนที่อยูใ่ นรูปการคูณกันของตัวแปร
พหุนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนในเอกนาม หรื อในรูปการบวกกันของเอกนามตังแต่ ้ สองเอกนามขึ ้นไป ดีกรี ของพหุนาม ดูจากดีกรี สงู สุดในพหุนาม 4 x 2 y 8 y 3 5x 2 y 2
35x 4 y 2 z 5 14 x 2 y 3 z 18x 4
ดีกรี เท่ากับ (4 + 5) = 9
ดีกรี เท่ากับ (4 + 2 + 5) = 11
การบวกลบ พหุนาม การบวกพหุนาม ทาได้ โดยนาพหุนามมาเขียนในรูปการบวก ถ้ ามีพจน์คล้ ายกันให้ รวมพจน์ที่ คล้ ายกันเข้ าด้ วยกัน โดยมีการเขียนพจน์จากดีกรี มากไปหาดีกรี น้อย เช่น (5x 4 12 x 2 ) (2 x 2 8x 7) 5x 4 (12 x 2 2 x 2 ) 8x 7
5x 4 14 x 2 8x 7
การลบพหุนาม ทาได้ โดยเขียนพหุนามในรูปการลบให้ อยูใ่ นรูปการบวก ซึง่ อาศัยจานวนตรงข้ ามพหุนามโดยเรี ยง พจน์จากดีกรี มากไปหาดีกรี น้อย เช่น (3x 2 8x 7 ) (5x 6 9 x 2 8x 12)
จะได้
(8x 7 3x 2 ) 5x 6 9 x 2 8x 12 8x 7 5x 6 (3x 2 9 x 2 ) 8x 12 8x 7 5x 6 12 x 2 8x 12
การคูณพหุนาม ในการคูณพหุนามด้ วยพหุนาม ทาได้ โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึง่ กับทุกๆ พจน์ ของอีกพหุ นามหนึง่ แล้ วนาผลคูณพหุนามนันมาบวกกั ้ น การหารพหุนาม การหารพหุนามด้ วยเอกนาม ทาได้ โดย นาตัวหารไปการทุกพจน์ของตัวตัง้ แล้ วนาผลหารที่ได้ มา บวกกัน การหารพหนุนามด้ วยพหุนาม กาหนดให้
P(x)
คือตัวตัง,้
จะได้ ความสัมพันธ์วา่ นัน่ คือ
( x a)
คือตัวหาร, ผลหาร คือ
Q(x)
และ r คือเศษ
P ( x) r Q( x) ( x a) ( x a) P( x) Q( x)( x a) r
การหารสังเคราะห์ ถ้ าตัวหารในผลการของสองพหุนาม อยูใ่ นรูป x c สามารถทาได้ โดยการหารสังเคราะห์ คือ เขียนเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวตัง้ และใช้ ศนู ย์แทนสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ไม่ปรากฏ ตัวหารคือ x c ถ้ า x c 0 แล้ วจะได้ x c
การแยกตัวประกอบของพหุนาม ในการแยกตัวประกอบของพหุนามสามารถพิจารณาได้ ดงั นี ้ 1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี สอง ในรูป สามารถสรุปได้ วา่ ( x A)( x B)
Ax 2 Bx c
เมื่อ
A, B, C
คือค่าคงที่
A 1
x 2 ( A B) x AB
( x A) 2
x 2 2 Ax A 2
( x A) 2
x 2 2 Ax A 2
2. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี สอง ในรูป Ax2 + Bx + C เมื่อ A > 1 สามารถสรุปได้ วา่ ( Ax By )(Cx Dy)
ACx 2 ( AD BC ) xy BDy 2
3. การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปผลต่างกาลังสอง สามารถสรุปได้ วา่ ( x A)( x A)
x 2 A2
4. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี สอง โดยวิธีทาให้ เป็ นกาลังสองสมบูรณ์ สามารถสรุปได้ วา่ ( x A)( x A) ( x A) 2
x 2 2 Ax A 2
( x A)( x A) ( x A) 2
x 2 2 Ax A 2
มีหลักในการพิจารณาดังนี ้ 1. ทา ส.ป.ส. ของ
x2
ให้ เป็ น 1 เสมอ
2. พิจารณา ส.ป.ส. ของ
x
และหารด้ วย 2 แล้ ว จึงยกกาลังสอง
3. นาผลที่ได้ จากข้ อ 2 มาบวกเข้ าและลบออก เพื่อให้ อยูใ่ นรูป 4. ดาเนินการแยกตัวประกอบด้ วยสูตรข้ างต้ นที่กล่าวมา การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสาม สามารถสรุปได้ ว่า x 3 A3 ( x A)( x 2 Ax A 2 ) x 3 A3 ( x A)( x 2 Ax A 2 ) ( x A) 3 x 2 3x 2 A 3xA 2 A3 ) ( x A) 3 x 2 3x 2 A 3xA 2 A3 )
x 2 2 Ax A 2
ทฤษฎีเศษ เมื่อหารพหุนาม
P(x)
ด้ วยพหุนาม
xa
เมื่อ
a
เป็ นจานวนจริงใดๆ
Q( x ) 0
เราจะเรี ยก
ว่าเศษส่วนของพหุนาม การบวก ลบ คูณ หาร เศษส่ วนพหุนาม ในการบวก ลบ คูณ หาร เศษส่วนพหุนาม มีหลักเกณฑ์ ดังนี ้ - หลักในการบวกเศษส่วนพหุนาม คือ
A C AD BC B D BD
เมื่อ
B
และ
D0
- หลักในการลบเศษส่วนพหุนาม คือ
A C AD BC B D BD
เมื่อ
B
และ
D0
- หลักในการคูณเศษส่วนพหุนาม คือ
A C AC B D BD
เมื่อ
B
และ
D0
- หลักในการหารเศษส่วนพหุนาม คือ
A C A D AD B D B C BC
เมื่อ
B
และ
D0
P Q
สมการและอสมการ สมการ และ อสมการเชิงเส้ นตัวแปรเดียว รูปทัว่ ไปของสมการเชิงเส้ นตัวแปรเดียว คือ
เมื่อ
Ax B 0
A, B
เป็ นค่าคงที่ และ
A0
สิ่งที่ควรทราบ และจาเป็ นต้ องใช้ ในการแก้ สมการ ดังนี ้ คุณสมบัตทิ ่ เี กี่ยวกับการบวก และการคูณจานวนจริง 1. ถ้ า
A, B, C
เป็ นจานวนจริงใดๆ ซึง่
A B
2. ถ้ า
A, B, C
เป็ นจานวนจริงใดๆ ซึง่
A B แล้ ว AC BC
3. ถ้ า
A, B, C
เป็ นจานวนจริงใดๆ ซึง่
AC BC
4. ถ้ า
A, B, C
เป็ นจานวนจริงใดๆ ซึง่
C0
5. ถ้ า
A, B, C
เป็ นจานวนจริงใดๆ ซึง่
A B 0 แล้ ว A B
6. ถ้ า
A
7. ถ้ า
A, B
8. ถ้ า
A
9. ถ้ า
A, B
เป็ นจานวนจริงใดๆ แล้ ว ( A B) ( A) (B)
10. ถ้ า
A, B
เป็ นจานวนจริงใดๆ แล้ ว ( A)(B) ( AB)
11. ถ้ า
A, B
เป็ นจานวนจริงใดๆ แล้ ว ( A)(B) ( AB)
เป็ นจานวนจริงใดๆ แล้ ว
แล้ ว
และ
AC BC
แล้ ว
A B
AC BC
แล้ ว
A B
และ
B A
A 0 0 A 0
เป็ นจานวนจริงใดๆ โดยที่
A B 0
แล้ ว
A0
หรื อ
B0
เป็ นจานวนจริงใดๆ แล้ ว ( A) A
12. ถ้ า A, B, C, D เป็ นจานวนจริงใดๆ และ
B, D 0
แล้ ว
A C B D
ก็ตอ่ เมื่อ
A, B
เป็ นจานวนจริงใดๆ โดยที่
A, B 0
และ
14. ถ้ า
A, B
เป็ นจานวนจริงใดๆ โดยที่
A, B 0
แล้ วจะได้ วา่
1 1 1 A B AB
แล้ ว
A C AC B D BD
15. ถ้ า A, B, C, D เป็ นจานวนจริงใดๆ โดยที่ 16. ถ้ า
A, B
เป็ นจานวนจริงใดๆ โดยที่
AB 1 แล้ ว A
1 B
13. ถ้ า
B, D 0
A, B 0
แล้ ว
A B
จะได้ วา่
AD BC
แล้ ว
B
1 A
A B 1 หรื อ 1 B A
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่บอกถึงความสัมพันธ์ของจานวน โดยมีสญ ั ลักษณ์ >,
View more...
Comments
