3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial

 

CAP CAP.. III ANÁLISIS VECTORIAL Producto triple escalar y vectorial BSR

 

Contenido  

Producto triple escalar y vectorial. 

Introducción.



Producto escalar triple.

 

Producto vectorial triple. Aplicaciones.

 

Producto triple escalar y vectorial.  

Introducción 

En ocasiones, en las aplicaciones de vectores se  presentan dos triples productos. productos. Uno es el producto A∙(BxC), denominado triple producto escalar de los vectores A, B  y C  (de hecho, los paréntesis no son necesarios ya que A∙BxC  puede interpretarse A∙B



sólo en una manera puesto que es un escalar).   El otro triple producto es Ax(BxC) que se denomina triple producto vectorial de  los vectores A, B  y C. Aquí los paréntesis deben mantenerse.

Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.

 

Producto triple escalar y vectorial.  

Introducción 



En el triple producto escalar, el producto  produce un vector vector,, el cual producto punto con un escalar .

BxC A  da

El resultado del triple producto vectorial es un vector   que es perpendicular a A  y a BxC. El plano definido por B  y C es perpendicular a BxC y así el  producto triple yace en este plano (ver figura la figura 1).

Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34 Rogan J. y Muñoz V. V. Apuntes de un curso de Introducción a la física Matemática

 

Producto triple escalar y vectorial.  

Introducción  z

B x C A  y

C

B  x

A x (B x C)

Figura 1: Los vectores B  y C están en el plano  xy  xy.. BxC es perpendicular al plano  xy y es mostrado aquí a lo largo del eje  z . Entonces Ax(BxC) es perpendicular al eje z eje  z y por lo tanto esta de regreso en el plano xy plano  xy.. Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34 Rogan J. y Muñoz V. V. Apuntes de un curso de Introducción a la física Matemática

 

Producto escalar triple.  

Teorema 1 

Si

A, B  y C  son tres vectores cualesquiera de V3 

entonces: 

A ∙ B x C = A x B ∙ C

Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.

 

Producto escalar triple.  

Demostración del teorema 1 

Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)



A ∙ B x C = (a1,a2,a3) ∙ [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] i

j

k

(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) =  b1  b2  b3 = (b2c3-c2 b  b3, b3c1-c3 b  b1, b1c2-c1 b  b2) c1  c2  c3

A ∙ B x C = (a1,a2,a3) ∙ (b2c3-c2 b3, b3c1-c3 b1, b1c2-c1 b2)  b2c3-a1c2 b  b3, a2 b  b3c1-a2c3 b  b1, a3 b  b1c2-a3c1 b  b2) A ∙ B x C = (a1 b  b3-a3 b  b2)c1 + (a3 b  b1-a1 b  b3)c2 + (a1 b  b2-a2 b  b1)c3 A ∙ B x C = (a2 b  b3-a3 b  b2, a3 b  b1-a1 b  b3, a1 b  b2-a2 b  b1) ∙ (c1,c2,c3) A ∙ B x C = (a2 b Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edición.

 

Producto escalar triple.  

Demostración del teorema 1 Por definición (a2 b  b3-a3 b  b2, a3 b  b1-a1 b  b3, a1 b  b2-a2 b  b1) = A x B, entonces:

A ∙ B x C = A x B ∙ C  Con lo cual queda demostrado demostrado el teorema 1.

Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edición.

 

Producto escalar triple.  

Ejemplo 1 



Verificar el teorema 1 para los siguientes tres vectores: = (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)

Solución:     

B x C = (3i + 4 j + k ) x (-5i + j -4k ) B x C = 3k - 12(- j  j) - 20(-k ) - 16i + 10 j - 2(-i) B x C = -14i + 22 j + 23k  22 + 46 A ∙ (B x C) = (1,-1,2) ∙ (-14,22,23) = -14 –  22 A ∙ (B x C) = 10

Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.

A

 

Producto escalar triple.  

Ejemplo 1. Solución:  

A x B = (i –  j + 2k ) x (3i + 4 j - 2k )



x B = 4k - 2(- j) - 3(-k ) + 2i + 6 j + 8(-i) A A x B = -6i + 8 j + 7k (A x B) ∙ C = (-6,8,7) ∙ (-5,1,-4) = 30 +8 - 28 (A x B) ∙ C = 10



Esto verifica el teorema 1 para estos tres vectores.

 

Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.

 

Producto vectorial triple. 

Teorema 2 

Si

A, B  y C  son tres vectores cualesquiera de V3 

entonces: 

A x (B x C) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.

 

Producto vectorial triple.  

Demostración del teorema 2 

Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)



A x (B x C) = (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] i

j

k

(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) =  b1  b2  b3 = (b2c3-c2 b  b3, b3c1-c3 b  b1, b1c2-c1 b  b2) c1  c2  c3

Ahora  (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] =

i

j

k

a1

a2

a3

 b2c3-c2 b  b3  b3c1-c3 b  b1  b1c2-c1 b  b2

http://www.licimep.org/ http://www .licimep.org/MateFisica/Calcu MateFisica/Calculo%20vectorial/Pr lo%20vectorial/Problemas/1%20Algebr oblemas/1%20Algebra%20vectorial/D a%20vectorial/Demostr  emostr 

ar%20identidad%20triple%20producto% ar%20identidad%20tr iple%20producto%20vectorial.pdf 20vectorial.pdf  

Producto vectorial triple.  

Demostración del teorema 2 

Expresamos nuevamente (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] como A x (B x C) 

A x (B x C) = [a1(b1c2-c1 b  b2) - a3(b3c1-c3 b  b1), a3(b2c3-c2 b  b3) - a1(b1c2c1 b  b2), a1(b3c1-c3 b  b1) - a2(b2c3-c2 b  b3)]

Lo cual se puede escribir como:  b1(a2c2+a3 b  b3) - c1(a2 b  b2+a3 b  b3), b2(a1c1+a3c3) A x (B x C) = [ b c2(a1 b  b1+a3 b  b3), b3(a1c1+a2c2) - c3(a1 b  b1+a2 b  b2)]

http://www.licimep.org/ http://www .licimep.org/MateFisica/Calcu MateFisica/Calculo%20vectorial/Pr lo%20vectorial/Problemas/1%20Algebr oblemas/1%20Algebra%20vectorial/D a%20vectorial/Demostr  emostr 

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Producto vectorial triple.  

Demostración del teorema 2 

 b3) - c1(a1 b  b1+a2 b  b2+a3 b  b3), A x (B x C) = [b1(a1c1+a2c2+a3 b  b2(a2c2+a1c1+a3c3) - c2(a2 b  b2+a1 b  b1+a3 b  b3), b3(a3c3+a1c1+a2c2) c3(a3 b  b3+a1 b  b1+a2 b  b2)]

 c2(A ∙ B), A x (B x C) = [b1(A ∙ C) - c1(A ∙ B), b2(A ∙ C) –  c  b3(A ∙ C) –  c  c3(A ∙ B)] A x (B x C) = (b1,b2,b3) ∙ (A ∙ C) - (c1,c2,c3) ∙ (A ∙ B) A x (B x C) = B (A ∙ C) –  C (A ∙ B)

A x (B x C) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C Con lo cual queda demostrado el teorema 2.   http://www.licimep.org/ http://www .licimep.org/MateFisica/Calcu MateFisica/Calculo%20vectorial/Pr lo%20vectorial/Problemas/1%20Algebr oblemas/1%20Algebra%20vectorial/D a%20vectorial/Demostr  emostr 

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Producto vectorial triple.  

Ejemplo 2 



Verificar el teorema 2 para los tres vectores del ejemplo número 1: A = (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)

Solución: 

Del ejemplo 1 sabemos que:



B x C = -14i + 22 j + 23k

 

Entonces: i j k A x (B x C) = 1 -1 2 = -23i - 28 j + 22k - 14k - 44i - 23 j -14 22 23



A x (B x C) = -67i - 51 j + 8k Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.

 

Producto vectorial triple.  

Ejemplo 2. Solución: 

(A ∙ C) = (1,-1,2) ∙ (-5,1,-4) = -5 - 1 - 8 = -14



(A ∙ B) = (1,-1,2) ∙ (3,4,-2) = 3 - 4 - 4 = -5



Así



(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = -14(3,4,2) –  (-5)  (-5) (-5,1,-4)



(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = (-42,-56,28) –  (25,-5,20)  (25,-5,20)



(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = (-67,-51,8)



(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = -67i - 51 j + 8k



Esto verifica el teorema 2 para estos tres vectores. 

Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842.

 

Aplicaciones  

Producto escalar triple  

El  pr  producto oducto escalar triple tiene una interpretación geométrica directa. Los como tres vectores A, B dey un C  pueden ser interpretados la definición  paralelepípedo (ver figura 2).

 

|B x C| = |B| |C| sen Θ  |B x C| = área de la base del paralelogramo.

Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34

Rogan J. y Muñoz V. V. Apuntes de un curso de Introducción a la física Matemática  

Aplicaciones  

Producto escalar triple  z

C B x C

A  y

 x 

B

Figura 2. Paralelepípedo que representa el producto el  producto escalar triple.. triple Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34

Rogan J. y Muñoz V. V. Apuntes de un curso de Introducción a la física Matemática  

Aplicaciones  

Producto escalar triple  

La dirección, por supuesto, es normal a la base. Haciendo conlaAproyección , esto significa multiplicarelel producto área de la punto base, por de A  sobre la normal, o la base tantas veces por la altura. Por lo tanto



|A ∙  B x C| = volumen del paralelepípedo definido  por los vectores A, B y C.

Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34

Rogan J. y Muñoz V. V. Apuntes de un curso de Introducción a la física Matemática  

Aplicaciones   

Producto escalar triple

Ejemplo 3 

Dados los puntos A(1,2,-3), B(-1,1,-2), C(4,2,-1) y D(-1,0,1) del espacio. Verifique si los puntos son coplanares y en caso de que no sean coplanares, hallar el volumen del tetraedro determinado.



Solución: 

Lo primero que tenemos que saber es que: “tres vectores  son coplanares si y sólo s ólo si: s i: el producto escalar triple de los l os tres vectores es igual a cero”. Lo anterior se deduce de que el volumen del paralelepípedo tendrá volumen cero si y sólo si los vectores que lo definen están en el mismo plano (y por tanto tendrá altura cero).

http://www.itescam.edu.mx/prin http://www .itescam.edu.mx/principal/sylabus/f cipal/sylabus/fpdb/recursos/ pdb/recursos/r52212.PDF r52212.PDF  

Aplicaciones   

Producto escalar triple

Ejemplo 3. Solución: 

Como tenemos un criterio de coplanares en términos de vectores y la pregunta está hecha en términos de puntos, debemos construir los vectores. Conviene que sea con origen en el mismo punto, digamos que tal punto es A. Sean U, V y W los vectores definidos como sigue:



 A = (-1,1,-2) - (1,2,-3) = (-2,-1,1) U = B –  A  A = (4,2,-1) - (1,2,-3) = (3,0,2) V = C –  A W = D –  A = (-1,0,1) - (1,2,-3) = (-2,-2,4)

 

 

Aplicaciones   

Producto escalar triple

Ejemplo 3. Solución: 

Aplicando el teorema 1 calculamos U x V ∙ W :

i 

U x V =

j

k

-2 -1 1 3

= (-2-0)i+(3+4) j  = -2i+7 j+3k    j+(0+3)k  =

0 2



U x V ∙ W = (-2,7,3) ∙ (-2,-2,4) = 4-14+12



U x V ∙ W = 2

 

Aplicaciones   

Producto escalar triple

Ejemplo 3. Solución: 

El resultado anterior indica que los vectores no son coplanares ya que el  producto escalar triple es diferente de cero, el valor absoluto de este resultado determina el volumen del paralelepípedo, el volumen del tetraedro es la sexta parte del volumen del paralelepípedo, luego:



Volumen del tetraedro = 2/6 = 1/3 unidades cúbicas.

 

Aplicaciones  

Producto vectorial triple 

El  pr  producto oducto vectorial triple

tiene importantes

aplicaciones en el desarrollo de Física como por ejemplo en las de de:ecuaciones Conservación del momento angular, Ecuaciones de Maxwell, Ecuación de onda, entre muchas más. 

En el ejemplo 4 se muestra como se simplifica el desarrollo de una ecuación mediante la aplicación del teorema del pr del producto oducto vectorial vectorial triple.  triple. 

Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecánica cuántica y al electromagnetismo.

González J. F. El Producto Vectorial  

Aplicaciones   

Producto vectorial triple

Ejemplo 4 

El momento angular de una partícula es dado por: L = rxP = mrxv, donde P  es el momento lineal. Con la velocidad lineal y angular relacionadas por v = ωxr, demostrar que: 



mr² [ω - r0(r0 ∙ ω)] L = mr² 

Donde r0 es un vector unitario en la dirección de r. para r∙ω  = 0 esto se reduce a L =  I ω, con el momento de inercia I inercia  I dado por mr²  mr² .

Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34  

Aplicaciones    



Producto vectorial triple

Ejemplo 4: Solución: Como v = ω x r y además m es una constante: (1)  L = m(r x v)  = m[r x (ω x r)] Como se observa, esto es un  producto vectorial triple por lo tanto aplicamos el teorema 2: 



(2)

Si r0 es un vector unitario en la dirección de r, entonces:  r0 = r/r 



L = m[ω(r ∙ r) - r(r ∙ ω) ]

r = r  r   r0

donde r  es  es la magnitud del vector r 

(3)

 

Aplicaciones  

Producto vectorial triple



Ejemplo 4: Solución:



Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 2:



L = m[ω(r  r  r0 ∙ r  r  r0) - r  r  r0(r  r  r0 ∙ ω) ] L = m[ωr² (r0 ∙ r0) - r² r0(r0 ∙ ω) ]  Como r0 ∙ r0 = |r |² = 1 mr² [ω - r0(r0 ∙ ω) ] L = mr² 



La ecuación 5 es la demostración d emostración a la que se quería qu ería llegar. llegar.

 

(4)

0

(5)

 

Bibliografía.  



Leithold L. El Calculo. 7ma edición. Pág. 837-842. Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edición.



Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pág. 29-34.



Rogan J. y Muñoz V. Apuntes de un curso de Introducción a la física Matemática. http://fisica.ciencias.uchile.cl/~jrogan/cursos/mfm1o03/mfm1b.pdf



González J. F. El Producto Vectorial. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/jfgh.pdf



Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecánica cuántica y al electromagnetismo. http://arxiv htt p://arxiv.org/pdf/1 .org/pdf/1103.2387.pdf 103.2387.pdf  Apuntes: Producto Vectorial. http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r52212.PDF





 Apuntes: http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20  Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%20triple%20producto%20  Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%2 0triple%20producto%20 vectorial.pdf