ΒΟΗΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

taexeiola.gr

ÊåöÜëáéï 2ï Ôá âáóéêÜ ãåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 2 θα πρέπει να είναι σε θέση:

[ Να γνωρίζει τις πρωταρχικές έννοιες της Γεωµετρίας (σηµείο,ευθεία , επίπεδο).

[ Να γνωρίζει τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα (ευθύγραµµο τµήµα, γωνία , κύκλος , επίπεδο ευθύγραµµο σχήµα).

taexeiola.gr

10.

Βήµα 1 ο

ÂÞìá 1

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

11.

taexeiola.gr

12.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Βήµα 2 ο

ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêÞóåéò "êëåéäéÜ"

Α. Από το σχολικό βιβλίο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003. σ. 14: Αποδεικτικές Ασκήσεις 1, 2 σ. 20: Ασκήσεις Εµπέδωσης 1 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1,2, 3 Σύνθετα Θέµατα 1 σ. 25: Ερωτήσεις Κατανόησης όλες Αποδεικτικές Ασκήσεις 1 σ. 28: Ασκήσεις Εµπέδωσης 3, 4 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1,2, 3 σ. 30: Γενικές Ασκήσεις 4, 5

13.

taexeiola.gr

14.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêÞóåéò

ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1. Σε ευθεία ε θεωρούµε διαδοχικά τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ µε ΑΒ = 2·ΒΓ και Α∆ = 2·Γ∆. Να δείξετε ότι: ΑΓ =

2· ΑΒ · Α∆ ΑΒ + Α∆

Λύση:

1 Έχουµε Α∆ = 2·Γ∆ ⇔ Γ∆ = Α∆ . 2

å A

Ã

B

Ä

1 Άρα Γ µέσο Α∆, οπότε: ΑΓ = Α∆ ⇔ Α∆ = 2·ΑΓ (1) 2 1 Επίσης ΑΒ = 2·ΒΓ ⇔ ΑΒ + ΒΓ = 3·ΒΓ ⇔ ΑΓ = 3·ΒΓ ⇔ ΒΓ = ΑΓ 3 (2) 2 Άρα: ΑΒ = 2·ΒΓ ⇔ ΑΒ = ΑΓ 3

(2)

(3)

2 8 2 8 2 2· ΑΓ·2·ΑΓ ΑΓ ΑΓ 2·ΑΒ·Α∆ Συνεπώς = 3 = 3 =3 = ΑΓ ο.ε.δ. 2 8 2 ΑΒ + Α∆   ΑΓ + 2·ΑΓ  + 2  ΑΓ ΑΓ 3 3 3 

2. Σε ευθεία ε θεωρούµε διαδοχικά Α, Β, Γ, ∆ και έστω Κ, Λ, Μ τα µέσα των ΑΒ, ΒΓ, Γ∆ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

Α∆ + ΒΓ 2 β. Αν ΑΒ = Γ∆, ποιά είναι η θέση του Λ στο Α∆ και στο ΚΜ. α. ΚΜ =

Λύση:

ΑΒ Γ∆ α. Είναι: ΚΜ = ΚΒ + ΒΓ + ΓΜ = + ΒΓ + = 2 2

Ê A

Ë B

Ì Ã

å Ä

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

=

ΑΒ + 2·ΒΓ + Γ∆ ( ΑΒ + ΒΓ + Γ∆ ) + ΒΓ Α∆ + ΒΓ = = 2 2 2

β. Έχουµε: • ΑΛ = ΑΒ + ΒΛ = Γ∆ + ΛΓ = Λ∆ δηλαδή Λ µέσο Α∆. • ΚΛ = ΚΒ + ΒΛ =

3.

15.

Ê A

Ë B

Ì Ã

å Ä

ΑΒ Γ∆ + ΒΛ = + ΛΓ = ΓΜ + ΛΓ = ΛΜ δηλαδή Λ µέσο ΚΜ 2 2

Να δείξετε ότι η διαφορά της συµπληρωµατικής γωνίας µιας οξείας

ˆ από την παραπληρωµατική της είναι µια ορθή γωνία. γωνίας ω Λύση:

ˆ : (90ο − ω ) Συµπληρωµατική της ω ˆ : (180ο − ω ) Παραπληρωµατική της ω Άρα (180ο − ω ) − (90ο − ω ) = 180ο − ω − 90ο + ω = 90ο

4. Να βρεθεί γωνία ω της οποίας η παραπληρωµατική της είναι ίση µε τα 5 της συµπληρωµατικής της. 2 Λύση: 5 180ο − ω = (90o − ω ) ⇔ 2 (180o − ω ) = 5· (90ο − ω ) ⇔ 360ο − 2ω = 450ο − 5ω ⇔ 2 ⇔ 5ω − 2ω = 450ο − 360ο ⇔ 3ω = 90ο ⇔ ω = 30ο

5. Έστω 3 διαδοχικές γωνίες

ˆ ΒΟΓ, ˆ ΓΟ∆ ˆ µε τις ηµιευθείες ΟΑ, Ο∆ ΑΟΒ,

αντικείµενες. Αν Οx, Οy, Oz είναι οι διχοτόµοι τους αντίστοιχα και ˆ ΒΟΓ, ˆ ΓΟ∆ ˆ , αν είναι γνωOy ⊥ A∆ , να υπολογιστούν οι γωνίες ΑΟΒ, ˆ =φ. στό ότι: xOz Λύση: ˆ = ΓΟ∆ ˆ ˆ = ΑΟy ˆ − yΟB ˆ = 90o − yΟB ˆ = yΟ∆ ˆ − yΟΓ ˆ = ΓΟ∆ ˆ δηλαδή ΑΟB Είναι: ΑΟΒ (1)

taexeiola.gr

16.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

(1) ˆ ˆ ˆ = xΟB ˆ + BΟy ˆ = AΟB + yΟΓ ˆ = ΓΟ∆ + yΟΓ ˆ = ΓΟz ˆ + yΟΓ ˆ = yΟz ˆ Οπότε xΟy 2 2

ˆ . δηλαδή η Οy είναι διχοτόµος της xΟz

y

Ã

ˆ = yΟz ˆ = φ . Ακόµα: Άρα xΟy 2

z

ˆ = 2·ΑΟx ˆ = 2 ( ΑΟy ˆ − xΟy ˆ ) = 2  90o − φ  = 180o − φ ΑΟB 2 

Ä

B

x

A

O

ˆ = 180ο − φ . οπότε η (1) γίνεται ΓΟ∆ Συνεπώς ˆ = 180ο − 2·ΑΟΒ ˆ = 180ο − 2 (180ο − φ ) = 180ο − 360ο + 2φ = 2φ − 180ο ΒΟΓ

Παρατήρηση: Πρέπει 2φ − 180ο > 0 ⇔ φ > 90ο . ˆ και Οx, ˆ AOΓ ˆ µε ΟΓ εσωτερική ηµιευθεία της AOB AOB, Οy οι διχοτόµοι τους αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η γωνία των διχοτόµων ˆ ˆ και AOΓ ˆ . Να υπολογιστεί η xOy ισούται µε την ηµιδιαφορά των AOB

6. Έστω γωνίες

αν OB ⊥ OΓ . Λύση: B

ˆ ˆ ˆ = AOB − AOΓ Θα δείξουµε ότι: xOy 2 Έχουµε: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = xOΑ ˆ − yOA ˆ = AOB − AOΓ = AOB − AOΓ xOy 2 2 2 ˆ = 90o , οπότε: Αν OB ⊥ OΓ τότε BOΓ

Ã

x Ï y A

o ˆ ˆ ˆ ˆ = AOB − AOΓ = BOΓ = 90 = 45o xOy 2 2 2

7. Σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ και κέντρου Ο, θεωρούµε τα σηµεία Γ, ∆.
αντίστοιχα, να δείξετε ότι
και Β∆ Αν Μ, Ν είναι τα µέσα των AΓ






= A∆ + ΒΓ .
= AB + Γ∆ ή ΜΝ ΜΝ 2 2

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

17.

Λύση: 1 η περίπτωση: Αν το Γ είναι µεταξύ Α, ∆. Τότε:




= ΜΓ
+ Γ∆
+ ∆Ν
= AΓ + Γ∆
+ Β∆ = ΜΝ 2 2
+ 2·Γ∆
+ Β∆
( AΓ
+ Γ∆
+ Β∆
) + Γ∆
AB
+ Γ∆
AΓ = = = 2 2 2 2 η περίπτωση: Αν το ∆ είναι µεταξύ των Α, Γ. Τότε:


= ΑΝ
− ΑΜ
= ΑΒ
− ΒΝ
− ΑΜ
= AB
− Β∆ − AΓ = ΜΝ 2 2
− Β∆
− AΓ
( AB
− Β∆
) + ( AB
− AΓ
) A∆
+ ΒΓ
2·AB = = 2 2 2

Ä

Ã

N

M O

A

B

N

M

Ã

Ä A

O

B

taexeiola.gr

18.

Βήµα 4 ο

ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Λύνουµε µόνοι µας

Ëýíïõìå ìüíïé ìáò

ˆ στις παρακάτω περιπτώσεις: φˆ και ω α. οι γωνίες είναι συµπληρωµατικές και η διαφορά τους ισούται µε το 1/9 της ορθής. β. οι γωνίες είναι παραπληρωµατικές και η διαφορά τους ισούται µε τα 10/9 της ορθής. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

1. Να υπολογίσετε τις γωνίες

2.


τέτοιες ώστε οι
και οι γωνίες ΑOΒ
και ΓO∆ Έστω ορθή γωνία xΟy ηµιευθείες Οx και Οy να είναι αντίστοιχα οι διχοτόµοι τους. Αν οι ηµιε
, δείξτε ότι οι υθείες ΟΒ και ΟΓ βρίσκονται στο εσωτερικό της xΟy
και ΒO∆
είναι παραπληρωµατικές. ΑOΓ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Λύνουµε µόνοι µας

3.

Βήµα 4 ο

19.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................
να Έστω οι ηµιευθείες ΟΑ,ΟΒ,ΟΓ και Ο∆ τέτοιες ώστε η γωνία ΒOΓ
αν: είναι ορθή. Να υπολογίσετε τη γωνία ΑO∆
είναι συµπληρωµατικές.
και ΓO∆ α. οι γωνίες ΑOΒ
και ΓO∆
είναι παραπληρωµατικές. β. οι γωνίες ΑOΒ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

ˆ και φˆ οι οποίες έχουν κοινή κορυφή, µία κοινή πλευρά ω και δεν είναι εφεξής. Αν η διαφορά τους είναι ίση µε 90ο, δείξτε ότι η διαφορά των διχοτόµων τους είναι ίση µε 45ο. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

4. Έστω οι γωνίες

taexeiola.gr

20.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

5.


και ηµιευθεία ΟΓ στο εσωτερικό της τέτοια ώστε Έστω γωνία ΑΟΒ
= 5ΒΟΓ
. Αν η ηµιευθεία Ο∆ είναι εσωτερική της ΒΟΓ
να δείξετε 3ΑΟΓ


= 3ΑΟ∆ - 5ΒΟ∆ ότι ΓΟ∆ 8 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

6.


και στο εσωτερικό της την ηµιευθεία Θεωρούµε αµβλεία γωνία AOB


και ΒOΓ
αντίστοιOΓ ⊥ ΟΑ . Αν Ο∆,ΟΕ οι διχοτόµοι των γωνιών AOB
= 450 . χα, να αποδείξετε ότι ∆OΕ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

21.


ενός κύκλου (Ο,ρ) και σηµείο Μ τέτοιο ώστε ΑΜ
= µ ΜΒ
. AB ν ∆είξτε ότι για τυχαίο σηµείο Σ του κύκλου εξωτερικό του τόξου ΜΑ ισ-

7. Έστω τόξο


= χύει ΣΜ

ν
µ
ΣΑ + ΣΒ . µ+ν µ+ν

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

µ ΜΒ . ν ∆είτε ότι για τυχαίο σηµείο Σ της ηµιευθείας ΜΑ που είναι εξωτερικό ν µ του ΜΑ ισχύει: ΣΜ = ΣΑ + ΣΒ . ν+µ ν+µ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

8. Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και σηµείο Μ τέτοιο ώστε

ΑΜ =

taexeiola.gr

22.

Βήµα 5 ο

ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáò

Θέµα 1ο Α. α. Να δείξετε ότι δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. (Μονάδες 12) β. Να δείξετε ότι οι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών είναι κάθετες. (Μονάδες 13) Θέµα 20

ˆ σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: Α. Nα υπολογίσετε τη γωνία ω ˆ είναι τετραπλάσια από την παραπληρωµατική της. α. η γωνία ω ˆ είναι κατά 10ο µικρότερη από την συµπληρωµατική της. β. η γωνία ω ˆ και η συµπληρωµατική της έχουν άθροιγ. η παραπληρωµατική της γωνίας ω σµα ίσο µε 220ο. (Μονάδες 12)
. Β. Έστω Α,Β σηµεία ηµικυκλίου και Μ το µέσο του τόξου AB
τότε αποδείξτε ότι α. Αν Ρ σηµείο του ηµικυκλίου που δεν ανήκει στο AB


= ΡΑ + ΡB . PM 2
-Σ
B ΣΑ

B τότε αποδείξτε ότι: Σ β. Αν Σ σηµείο του τόξου Μ . M= 2 (Μονάδες 13)

Θέµα 30 Από τυχαίο σηµείο Ο ευθείας x΄x φέρουµε ηµιευθείες Οy, Οφ, Οz προς το ίδιο µέρος ˆ yOφ, ˆ φOz, ˆ zOx΄ ˆ να είναι διαδοχικές. Αν οι γωνίες της x΄x, έτσι ώστε οι γωνίες xOy, αυτές είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 3, 2, 1, 6 αντίστοιχα, να δείξετε ότι Oz ⊥ x΄x . (Μονάδες 25) Θέµα 40
στα οποία βαίνουν δύο
και A΄B΄ Να αποδείξετε ότι τα µέσα δύο τόξων AB κατακορυφήν επίκεντρες γωνίες, είναι αντιδιαµετρικά σηµεία. (Μονάδες 25)

taexeiola.gr

ÊåöÜëáéï 3ï Ôñßãùíá

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση:

[ Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και ορθογωνίων τριγώνων.

[ Να γνωρίζει τις ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου και του ισόπλευρου τριγώνου.

[ Να γνωρίζει την έννοια του γεωµετρικού τόπου και τους τρεις βασικούς γεωµετρικούς τόπους.

[ Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ χορδών - αποστηµάτων - τόξων επίκεντρων γωνιών.

[ Να γνωρίζει πως βρίσκουµε το συµµετρικό ενός σχήµατος ως προς κέντρο συµµετρίας και ως προς άξονα συµµετρίας.

[ Να γνωρίζει τις σχετικές θέσεις • ευθείας και κύκλου • δύο κύκλων

[ Να γνωρίζει τις ανισοτικές σχέσεις µεταξύ των πλευρών και των γωνιών του ίδιου τριγώνου και δύο διαφορετικών τριγώνων.

taexeiola.gr

24.

Τύποι - Βασικές έννοιες

Στοιχεία και είδη τριγώνων Τα τρίγωνα ανάλογα µε τις πλευρές τους χωρίζονται σε: • Σκαληνά, αν έχουν άνισες πλευρές. • Ισοκελή, αν έχουν δυο πλευρές ίσες. Τότε η τρίτη πλευρά λέγεται βάση του τριγώνου και η απέναντι της κορυφή λέγεται κορυφή αυτού. • Ισόπλευρα, αν και οι τρείς πλευρές είναι ίσες.

Óêáëçíü

ÉóïóêåëÝò

Éóüðëåõñï

Τα τρίγωνα ανάλογα µε τις γωνίες τους χωρίζονται σε: • Οξυγώνια, αν και οι τρείς γωνίες τους είναι οξείες. • Ορθογώνια, αν έχουν µια ορθή γωνία. Τότε οι δυο πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες και η πλευρά που είναι απέναντι απο την ορθή λέγεται υποτείνουσα. • Αµβλυγώνια, αν έχουν µια αµβλεία γωνία.

Ïîõãþíéï

Áìâëõãþíéï

Ïñèïãþíéï

∆ευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι: • Η διάµεσος που είναι το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µια κορυφή µε το µέσο της απέναντι πλευράς. • Η διχοτόµος που είναι το ευθύγραµµο τµήµα της διχοτόµου της γωνίας, απο την κορυφή µέχρι την απέναντι πλευρά. • Το ύψος που είναι το κάθετο ευθύγραµµο τµήµα που φέρεται απο µια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς.

taexeiola.gr

Τύποι - Βασικές έννοιες

25.

ö ö

Äé÷ïôüìïò

ÄéÜìåóïò

¾øïò

Κριτήρια ισότητας τριγώνων 1ο κριτήριο. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες µία προς µία και τις περιεχόµενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα (ΠΓΠ). A

Ä

Ã

B ÁÂ = ÄÅ

E

Æ Á=Ä

ÁÃ = ÄÆ

2ο κριτήριο Αν δύο τρίγωνα έχουν µια πλευρά και τις προσκείµενες σε αυτή γωνίες ίσες µία προς µία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα (ΓΠΓ).

Á

Ä

Ã

 Âà = ÅÆ

Å Â=Å

Æ Ã=Æ

3ο κριτήριο Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες µία προς µία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα (ΠΠΠ).

taexeiola.gr

26.

Τύποι - Βασικές έννοιες

Ä

Á

Â

à Âà = ÅÆ

Z

Å

ÁÂ = ÄÅ

ÁÃ = ÄÆ

Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν: 1ο κριτήριο: ∆ύο οµόλογες πλευρές τους ίσες µία προς µία. 2ο κριτήριο: Μια πλευρά και µία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες. Ισοσκελές τρίγωνο Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο: • Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες είναι ίσες. • Η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι διάµεσος και ύψος. • Η διάµεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι ύψος και διχοτόµος. • Το ύψος, που αντιστοιχεί στη βάση, είναι διχοτόµος και διάµεσος και αντίστροφα αν: σε τρίγωνο ΑΒΓ η Α∆ είναι διχοτόµος και διάµεσος ή διχοτόµος και ύψος ή διάµεσος και ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Ισόπλευρο τρίγωνο

M

• Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. • Η διάµεσος, η διχοτόµος και το ύψος που άγονται από κάθε κορυφή ταυτίζονται.

O

M

Γεωµετρικοί τόποι Γεωµετρικός τόπος λέγεται το σύνολο των σηµείων που έχουν µια κοινή χαρακτηριστική ιδιότητα. Τρεις γνωστοί µας γεωµετρικοί τόποι είναι οι παρακάτω.

A

B A

1. Κύκλος • Όλα τα σηµεία του κύκλου ισαπέχουν από το κέντρο του και αντίστροφα κάθε σηµείο του επιπέδου που απέχει απόσταση R από το κέντρο

M O B

taexeiola.gr

Τύποι - Βασικές έννοιες

27.

του κύκλου ανήκει σε αυτόν. Άρα ο κύκλος είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από σταθερό σηµείο. 2. Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος • Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει από τα άκρα του και αντίστροφα κάθε σηµείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τµήµατος ανήκει στη µεσοκάθετό του. Άρα η µεσοκάθετος είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος. 3. ∆ιχοτόµος γωνίας • Κάθε σηµείο της διχοτόµου µιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σηµείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σηµείο της διχοτόµου. Άρα η διχοτόµος είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Σχέση επίκεντρης γωνίας - τόξου - χορδής - αποστήµατος ∆ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα

αν και µόνο αν

οι επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σε αυτά είναι ίσες.

∆ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα

αν και µόνο αν

οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

∆ύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες

αν και µόνο αν

τα αντίστοιχα αποστήµατά τους είναι ίσα

s: ôüîï ÷: ÷ïñäÞ ö: åðßêåíôñç ãùíßá á: áðüóôçìá

s1

÷1

ö1

á1

á2 ö2

O

÷2

s2

s 1 = s 2 Û ö 1 = ö 2Û ÷ 1 = ÷ 2 Û á 1 = á 2

taexeiola.gr

28.

Τύποι - Βασικές έννοιες

Απόστηµα. Είναι το κάθετο τµήµα που άγεται από το κέντρο του κύκλου προς τη χορδή Άρα το απόστηµα: • διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. • είναι κάθετο στη χορδή. • διέρχεται από το µέσο της χορδής. • διέρχεται από το µέσο του αντίστοιχου τόξου. • διχοτοµεί την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία.

O ö1 ö2

Ê

A

B

M

Κεντρική συµµετρία. ∆ύο σχήµατα Σ, Σ΄ λέγονται συµµετρικά ως προς ένα σηµείο Ο, αν και µόνο αν κάθε σηµείο του Σ΄ είναι συµµετρικό ενός σηµείου του Σ ως προς το Ο. Το σηµείο Ο λέγεται κέντρο συµµετρίας του σχήµατος, που αποτελείται απο τα συµµετρικά ως προς το Ο σχήµατα Σ και Σ΄. ∆ηλαδή ένα σηµείο Ο λέγεται κέντρο συµµετρίας ενός σχήµατος, όταν

Ó

A

180o O

A´

Ó´

O

για κάθε σηµείο Α του σχήµατος το συµµετρικό A A´ 180 του Α΄, ως προς το Ο, είναι επίσης σηµείο του σχήµατος. Ένα σχήµα µε κέντρο συµµετρίας λέµε οτι παρουσιάζει κεντρική συµµετρία. Αν στρέψουµε ένα σχήµα Σ, µε κέντρο συµµετρίας το Ο, κατά 180ο γύρω από το Ο, θα πάρουµε ένα σχήµα που θα συµπίπτει µε το αρχικό. o

Αξονική συµµετρία. ∆ύο σχήµατα Σ, Σ΄ λέγονται συµµετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και µόνο αν κάθε σηµείο του Σ΄ είναι συµµετρικό ενός σηµείου του Σ ως προς την ε. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συµµετρίας του σχήµατος που αποτελείται από τα σχήµατα Σ και Σ΄. ∆ηλαδή µια ευθεία ε λέγεται άξονας συµµε-

å

Ó

Ó´

A

Á´

taexeiola.gr

Τύποι - Βασικές έννοιες

29.

å

τρίας ενός σχήµατος, όταν για κάθε σηµείο Α του σχήµατος το συµµετρικό του Α΄, ως προς την ε, είναι επίσης σηµείο του σχήµατος. Ένα σχήµα µε άξονα συµµετρίας λέµε ότι παρουσιάζει αξονική συµµετρία. Αν ένα σχήµα έχει ως άξονα συµµετρίας µια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει το σχήµα σε δύο µέρη µε τέτοιο τρόπο, ώστε, αν διπλώσουµε το φύλλο κατά µήκος της ε, τα µέρη αυτα θα ταυτιστούν. Ανισοτικές σχέσεις Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας. Θεώρηµα Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι µεγαλύτερη από κάθε µια από τις απέναντι εσωτερικές. Πoρίσµατα • ∆ύο γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισµα µικρότερο από 180ο. • Ένα τρίγωνο δεν µπορεί να έχει πάνω από µία ορθή ή αµβλεία γωνία. Θεώρηµα Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται οµοίως άνισες πλευρές και αντίστροφα.

A

Ãåî > Â Ãåî > A

B

Ã

A ã

â

Πoρίσµατα Ã B • Απέναντι από τη µεγαλύτερη γωνία ενός τριâ>ã Û Â>Ã γώνου βρίσκεται η µεγαλύτερη πλευρά. • Ένα τρίγωνο µε δύο ίσες γωνίες είναι ισοσκελές και µε τρείς ίσες γωνίες είναι ισόπλευρο.

taexeiola.gr

30.

Τύποι - Βασικές έννοιες

Τριγωνική ανισότητα Κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι µεγαλύτερη από τη διαφορά των δύο άλλων και µικρότερη από το άθροισµά τους.

A

â

ã

Πόρισµα Ã Κάθε χορδή κύκλου είναι µικρότερη ή ίση από τη B â–ã ρ. Το ευθύγραµµο τµήµα ΚΟ που ενώνει τα κέντρα των δύο κύκλων λέγεται διάκεντρος. Έστω ΚΟ = δ. • Αν ισχύει δ > R + ρ τότε οι κύκλοι δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο. • Αν ισχύει δ = R + ρ τότε οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο σηµείο τοµής τους µε τη διάκεντρο. • Αν ισχύει R – ρ < δ < R + ρ τότε οι κύκλοι έχουν δύο κοινά σηµεία τα

taexeiola.gr

32.

Τύποι - Βασικές έννοιες

οποία είναι τα άκρα της κοινής χορδής τους. • Αν ισχύει δ = R – ρ τότε οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά. • Αν ισχύει δ < R – ρ τότε ο κύκλος (Κ,ρ) είναι εσωτερικός του κύκλου (Ο,R). Θεώρηµα

Θεώρηµα

Η διάκεντρος δύο τεµνόµενων κύκλων είναι µεσοκάθετος της κοινής χορδής τους. Στην περίπτωση που οι δύο κύκλοι είναι ίσοι, η κοινή χορδή είναι µεσοκάθετος της διακέντρου. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι µεγαλύτερη από καθεµία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου.

Πόρισµατα. i. Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ µια γωνία ορθή ή αµβλεία. ii. Το άθροισµα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι µικρότερο των 180ο.

O

K

O

K

O

K

O

K

O K

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ÂÞìá 1

Βήµα 1 ο

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

33.

taexeiola.gr

34.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

35.

taexeiola.gr

36.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

37.

taexeiola.gr

38.

Βήµα 2 ο

Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêÞóåéò "êëåéäéÜ"

Α. Από το σχολικό βιβλίο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003. σ. 38: Ασκήσεις Εµπέδωσης 1, 2, 3, 4 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1, 2, 3 σ. 43: Ασκήσεις Εµπέδωσης 1, 3 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1, 2, 3 Σύνθετα θέµατα 2 σ. 48: Ασκήσεις Εµπέδωσης 1, 2, 3 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1, 4, 5 σ. 57: Ερωτήσεις Κατανόησης 1 ,3 Ασκήσεις Εµπέδωσης 1, 2, 5, 6, 7, 8 Αποδεικτικές Ασκήσεις 2, 3, 5 Σύνθετα θέµατα 1, 3 σ. 63: Ασκήσεις Εµπέδωσης 1, 2 Αποδεικτικές Ασκήσεις 2, 3 σ. 66: Αποδεικτικές Ασκήσεις 3 σ. 70: Γενικές Ασκήσεις 5, 6

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

39.

Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêÞóåéò

ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1


ισαπέχει από τις ακτίνες που Να αποδείξετε ότι το µέσο Μ τόξου AB αντιστοιχούν στα άκρα του τόξου και µάλιστα απόσταση ίση µε το µισό της αντίστοιχης χορδής. Λύση: Φέρουµε ΜΕ ⊥ ΟΑ, ΜΖ ⊥ ΟΒ . Θα δείξουµε ότι:

1.

ΑΒ . Η ακτίνα ΟΜ είναι διχοτόµος της 2
= ΜΒ
και σε ˆ = ΒΟΜ ˆ , διότι AΜ ˆ , αφού ΑΟΜ ΑΟΒ ίσα τόξα του ίδιου κύκλου αντιστοιχούν ίσες επίκεΜΕ = ΜΖ =

O Å A

Ä

Z B

∆

ντρες γωνίες. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα Ε Ο Μ και

Ì

∆

ΖΟ Μ είναι ίσα, διότι έχουν: (1) ΟΜ = ΟΜ (κοινή) ˆ = ΖΟΜ ˆ (2) ΕΟΜ (το αποδείξαµε παραπάνω). Συνεπώς ΜΕ = ΜΖ (1)
, ως γνωστόν ισχύει ΟΜ ⊥ ΑΒ και αν ∆ είναι Επειδή το Μ είναι µέσο του AB το σηµείο τοµής των ΟΜ και ΑΒ, το ∆ είναι µέσο του ΑΒ. ∆

∆

Τα ορθογώνια τρίγωνα Ο Α ∆, Ο Μ Ε έχουν: (1) (2) ∆

ΟΑ = ΟΜ (ως ακτίνες του κύκλου) ˆ = ΕΟΜ ˆ (κοινή) ΑΟ∆ ∆

Άρα τα τρίγωνα Ο Α ∆ και Ο Μ Ε είναι ίσα, οπότε είναι:

ΑΒ 2 ΑΒ Από τις (1) και (2) παίρνουµε: ΜΕ = ΜΖ = . 2 ΜΕ = Α∆ ⇔ ΜΕ =

2. Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου

∆

(2).

Α Β Γ (ΑΒ = ΑΓ), παίρνουµε σηµείο ∆ το οποίο ισαπέχει από τα άκρα της βάσης του. Να αποδείξετε

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

40.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ότι το ∆ ισαπέχει και από τα ίσα σκέλη του τριγώνου. Λύση: Επειδή το ∆ ισαπέχει από τα Β, Γ συµπεραίνουµε ότι ανήκει στην µεσοκάθετο του ΒΓ. Όπως είναι γνωστό η µεσοκάθετος της βάσης ισοσκελούς τριγώνου διέρχεται από την κορυφή του, αφού και αυτή ισαπέχει από τα άκρα της βάσης. Άρα η Α∆ είναι

A

Ì

Ä

N

∆

ύψος και διάµεσος του Α ΒΓ , οπότε θα είναι και διχοτόµος. Επειδή λοιπόν το ∆ ανήκει στην διχοτόˆ , θα ισαπέχει από τις πλευρές της. µο της Α

Ã

B

∆

3.

Έστω ισοσκελές τρίγωνο Α Β Γ (ΑΒ = ΑΓ). Εκατέρωθεν της ΒΓ φέρουµε στα άκρα της Β και Γ ηµιευθείες κάθετες σ’αυτήν, επί των οποίων παίρνουµε τα ίσα τµήµατα Β∆ και ΓΕ. Αφού δείξετε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα ΒΓ και ∆Ε τέµνονται, έστω σε σηµείο Μ, στη συνέχεια να δείξετε ότι ΑΜ ⊥ ΒΓ . Λύση: Εφόσον τα ∆, Ε βρίσκονται εκατέρωθεν του ΒΓ και A τα Β, Γ εκατέρωθεν του ∆Ε, τα ευθύγραµµα τµήµατα ΒΓ και ∆Ε τέµνονται σε εσωτερικό τους σηµείο ∆

∆

Μ. Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ Β∆ και Μ Γ Ε έχουν: (1) Β∆ = ΓΕ (υπόθεση). ˆ =Μ ˆ (ως κατακορυφήν γωνίες). (2) Μ 1

Ä B

2

∆

1

Ì

2

à E

∆

Άρα Μ Β∆ = Μ Γ Ε , οπότε ΜΒ = ΜΓ. ∆ηλαδή το Μ ∆

είναι µέσο του ΒΓ. Συνεπώς στο ισοσκελές τρίγωνο Α ΒΓ η ΑΜ είναι η διάµεσος που αντιστοιχεί στην βάση του ΒΓ, άρα θα είναι και ύψος, δηλαδή ΑΜ ⊥ ΒΓ .

4. Σε κάθε σκαληνό τρίγωνο

∆

Α Β Γ , η διχοτόµος Α∆ χωρίζει την πλευρά ΒΓ σε τµήµατα οµοίως άνισα µε τις προσκείµενες πλευρές του τριγώνου. Λύση: Έστω ΑΒ < ΑΓ. Θα δείξουµε ότι: ∆Β < ∆Γ. Στην ΑΓ παίρνουµε τµήµα ΑΕ = ΑΒ. ∆

∆

Τότε τα τρίγωνα Α ∆ Β, Α ∆ Ε έχουν: (1) Α∆ = Α∆ (κοινή)

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

(2) ΑΒ = ΑΕ (από κατασκευή) ˆ =Α ˆ (Α∆: διχοτόµος της Α ˆ ) (3) Α 1 2 ∆

41.

A 1 2

∆

Άρα Α ∆ Β = Α ∆ Ε (ΠΓΠ), οπότε: ∆Β = ∆Ε (1) και

1

ˆ = Εˆ (παραπληρώµατα ίσων γωνιών). ˆ = Εˆ (2) άρα Β Β εξ 2 1

B

Ä

E 2

Ã

ˆ > Γˆ άρα Εˆ > Γˆ , οπότε από το τρίγωνο Όµως Β 2 εξ ∆

(1)

Ε ∆ Γ συµπεραίνουµε ότι ∆Γ > ∆Ε ⇔ ∆Γ > ∆Β . Οµοίως αποδεικνύεται και στην περίπτωση που ΑΒ > ΑΓ.

5. Σε τρίγωνο

∆

Α Β Γ µε β > γ, να δείξετε ότι: δα < µα.

Λύση: Φέρουµε Α∆ = δ α , ΑΜ = µ α και το ύψος ΑΕ. Όπως αποδείξαµε στην προηγούµενη άσκηση, αφού ΑΒ < ΑΓ θα ισχύει: ∆Β < ∆Γ ⇔ ∆Β + ∆Β < ∆Β + ∆Γ ⇔ 2·∆Β < ΒΓ ⇔

A â

ã

ΒΓ Ã B ⇔ ∆Β < ΜΒ ⇔ E Ä M 2 ⇔ ∆Β − ΕΒ < ΜΒ − ΕΒ ⇔ ∆Ε < ΜΕ Όµως, αν τα ίχνη δύο πλαγίων τµηµάτων απέχουν άνισα από το ίχνος της κάθετης, τότε τα πλάγια τµήµατα είναι όµοιως άνισα. Άρα Α∆ < ΑΜ ή δα < µα. ⇔ ∆Β <

6. Σε τρίγωνο

∆

Α Β Γ θεωρούµε τυχαίο σηµείο Κ της πλευράς ΒΓ. Να δείξετε ότι: τ – α < ΑΚ < τ. Λύση: A ∆

∆

Από τα τρίγωνα Α Β Κ, Α Γ Κ , έχουµε: • ΑΒ < ΒΚ + ΑΚ (1) • ΑΓ < ΓΚ + ΑΚ (2) Προσθέτουµε τις (1) και (2) κατά µέλη και έχουµε:

ã

B

ΑΒ + ΑΓ < ( ΒΚ + ΓΚ ) + 2ΑΚ ⇔ γ + β < α + 2ΑΚ ⇔ ⇔ ( γ + β ) − α < 2ΑΚ ⇔ 2τ − α − α < 2ΑΚ ⇔ 2τ − 2α < 2ΑΚ ⇔ ⇔ 2 ( τ − α ) < 2ΑΚ ⇔ τ − α < ΑΚ (3) Επίσης από τα ίδια τρίγωνα έχουµε:

â

á

Ê

Ã

taexeiola.gr

42.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

• ΑΚ < ΑΒ + ΒΚ (4) • ΑΚ < ΑΓ + ΚΓ (5) Προσθέτουµε τις (4), (5) κατά µέλη και έχουµε:

2ΑΚ < ΑΒ + ΑΓ + ( ΒΚ + ΚΓ ) ⇔ 2ΑΚ < γ + β + α ⇔ 2ΑΚ < 2·τ ⇔ ΑΚ < τ Από (3) και (6) έχουµε: τ – α < ΑΚ < τ

(6)

7. Σε τετράπλευρο ΑΒΓ∆ θεωρούµε τυχαίο σηµείο Κ στο εσωτερικό του. Να δείξετε ότι:

1 3 ρ < ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + Κ∆ < ρ 2 2 β. ΑΓ + Β∆ ≤ ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + Κ∆ όπου ρ = ΑΒ + ΒΓ + Γ∆ + ∆Α . Λύση: α.

∆

∆

∆

B

A Ê Ä

Ã

∆

α. Από τα τρίγωνα Κ Α Β, Κ Β Γ, Κ Γ ∆, Κ ∆ Α έχουµε: • ΑΒ < ΚΑ + ΚΒ  • ΒΓ < ΚΒ + ΚΓ  ( + ) 1  ⇒ ρ < 2 ( ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + Κ∆ ) ⇔ ρ < ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + Κ∆ (1) • Γ∆ < ΚΓ + Κ∆  2  • ∆Α < Κ∆ + ΚΑ 

Επειδή το Κ είναι εσωτερικό σηµείο του ΑΒΓ∆ έχουµε: • ΚΑ + ΚΒ < Α∆ + ∆Γ + ΓΒ  • ΚΒ + ΚΓ < ΒΑ + Α∆ + ∆Γ  ( + )  ⇒ 2 ( ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + Κ∆ ) < 3 ( ΑΒ + ΒΓ + Γ∆ + ∆Α ) ⇔ • ΚΓ + Κ∆ < ΓΒ + ΒΑ + Α∆  • Κ∆ + ΚΑ < ∆Γ + ΓΒ + ΒΑ 

3 ⇔ ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + Κ∆ < ρ 2

(2)

1 3 ρ < ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + Κ∆ < ρ 2 2 β. Για την τριάδα των σηµείων Κ, Α, Γ ισχύει: ΑΓ ≤ ΚΑ + ΚΓ (3) (το ίσον ισχύει αν το Κ ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ). Οµοίως και Β∆ ≤ ΚΒ + Κ∆ (4) Οπότε από (3) και (4) έχουµε ΑΓ + Β∆ ≤ ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + Κ∆ Το ίσον ισχύει αν το Κ είναι το σηµείο τοµής των ΑΓ, Β∆. Από (1) και (2) προκύπτει ότι:

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

43.

8. Έστω γωνία

ˆ και τυχαίο σηµείο Κ της διχοτόµου της Οδ. Αν KA ⊥ Ox , xOy ποιά είναι η σχετική θέση του κύκλου (Κ, ΚΑ) µε την ευθεία Οy. Λύση: x Ως γνωστόν η σχετική θέση µιας ευθείας και ενός A κύκλου εξαρτάται από την απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία. Γι’αυτό φέρουµε την Ï K ä 1 KB ⊥ Oy και θα την συγκρίνουµε µε την ακτίνα του 2

ˆ , κύκλου. Επειδή το Κ ανήκει στην διχοτόµο της xOy θα ισαπέχει από τις πλευρές της. Άρα ΚΒ = ΚΑ. Συνεπώς ο (Κ, ΚΑ) εφάπτεται στην ευθεία Οy.

B

y

9. Έστω δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) µε R > ρ, που δεν τέµνονται. Φέρουµαι τις κοινές εξωτερικές εφαπτόµενες τους. Να δείξετε ότι: α. τέµνονται σε σηµείο της διακέντρου. β. οι µεσοκάθετοι των κοινών εξωτερικών εφαπτόµενων τµηµάτων τέµνονται σε σηµείο της διακέντρου. Λύση: α. Στον (Κ, R) η διάκεντρος ΟΚ διχοτοµεί τη γωˆ των εφαπτοµένων τµηµάτων. Οµοίνία AOB

A

Ì

Ã

Ê O Ë 1 ˆ . Επειως στον (Λ, ρ) η ΟΛ διχοτοµεί την ΓΟ∆ 2 Z δή όµως η διχοτόµος γωνίας είναι µοναδική, συÄ N µπεραίνουµε ότι οι ευθείες ΟΚ και ΟΛ ταυτίζοB νται. Άρα, το Ο ανήκει στην διάκεντρο ΚΛ. β. Έστω Ζ το σηµείο τοµής της διακέντρου ΚΛ και της µεσοκαθέτου του ΑΓ. Τότε ΑΖ = ΖΓ (1). Αρκεί να δείξουµε ότι το Ζ ανήκει στην µεσοκάθετο του Β∆, δηλαδή αρκεί να δείξουµε ότι: ΖΒ = Ζ∆. ∆

∆

Τα τρίγωνα ΖΟ Γ και ΖΟ∆ έχουν: • ΟΖ = ΟΖ (κοινή) • ΟΓ = Ο∆ (εφαπτόµενα τµήµατα) ˆ =Ο ˆ (ΟΛ διχοτόµος της ΓΟ∆ ˆ ) • Ο 1 2 ∆

∆

Άρα ΖΟ Γ = ΖΟ∆ (ΠΓΠ), οπότε: ΖΓ = Ζ∆ (2) ∆

∆

Οµοίως αποδεικνύεται ότι ΖΟ Α = ΖΟ Β , οπότε ΖΑ = ΖΒ (3) Η (1) δια µέσου των (2) (3) γίνεται ΖΒ = Ζ∆.

taexeiola.gr

44.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

Ëýíïõìå ìüíïé ìáò

ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1.

∆

Έστω τρίγωνο Α Β Γ και Σ εσωτερικό σηµείο του. Οι ΒΣ και ΓΣ τέµνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα Ε και ∆ αντίστοιχα. Αν Β∆ = ΓΕ και ∆


= ΓΕ∆
δείξτε ότι το τρίγωνο Α Β Γ είναι ισοσκελές. Β∆Ε ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

2.

Έστω κύκλος (Ο,ρ) και Κ τυχαίο σηµείο του. Αν ο κύκλος (Κ,ρ) τέµνει τον προηγούµενο στα σηµεία Α και Β, δείξτε ότι:
είναι ίσες και η ΟΚ είναι διχοτόµος τους.
και ΑΚΒ α. οι γωνίες ΑΟΒ β. οι ΟΚ και ΑΒ είναι κάθετες. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

45.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

3. Έστω ισοσκελές τρίγωνο

∆

Α Β Γ και ευθεία ε παράλληλη στην βάση ΒΓ

που τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα ∆ και Ε αντίστοιχα. Αν Η και Θ είναι οι προβολές των ∆ και Ε αντίστοιχα πάνω στην ΒΓ, δείξτε ότι ΒΗ = ΓΘ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

4. Αν

δύο τρίγωνα έχουν µια πλευρά, µια προσκείµενη γωνία και την αντίστοιχη διχοτόµο της ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

46.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

5. Να δείξετε ότι αν ενώσουµε τα µέσα των πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου, σχηµατίζεται ισοσκελές τρίγωνο.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................
και τυχαίο σηµείο Σ της διχοτόµου Οδ. Πάνω στην Οχ παίρ6. ∆ίνεται γωνία χΟψ νουµε τµήµατα ΟΑ, ΟΒ και στην Οψ παίρνουµε ΟΓ = ΟΑ και Ο∆ = ΟΒ. Να ∆

∆

δείξετε ότι τα τρίγωνα Σ Α Β και Σ Γ ∆ είναι ίσα.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

47.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

7.

Έστω Σ τυχαίο σηµείο της µεσοκαθέτου ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ. Η κάθετος προς τη ΣΑ στο Σ τέµνει την ΑΒ στο Ε και η κάθετος προς τη ΣΒ στο Σ τέµνει την ΑΒ στο Η. ∆είξτε ότι το Σ βρίσκεται στη µεσοκάθετο του ΗΕ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

8. Έστω τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και Α∆Ε µε κοινή κορυφή την Α και
= ∆ΑΕ
. Να δείξετε ότι Β∆ = ΓΕ ή ΒΕ = Γ∆. ΒΑΓ

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

48.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

9. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ευθείες ε

και ε2 παράλ1 ληλες στη βάση του που τέµνουν την ΑΒ στα Ε και Η και την ΑΓ στα Ζ και Θ. ∆είξτε ότι τα τρίγωνα ΒΖΘ και ΓΕΗ είναι ίσα. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά τµήµατα ΒΕ = ΑΒ και ΓΖ = ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σηµεία Ε και Ζ ισαπέχουν από τη ΒΓ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

11.

Αποδείξτε ότι αν ένα τρίγωνο έχει δύο ύψη ίσα µεταξύ τους τότε είναι ισοσκελές και αντίστροφα. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

49.

ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáò

Θέµα 1ο Α. Να δείξετε ότι αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα τότε και οι χορδές τους είναι ίσες και αντίστροφα αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου µικρότερων του ηµικυκλίου είναι ίσες τότε και τα τόξα είναι ίσα. (Μονάδες 12) Β. Να δείξετε ότι κάθε σηµείο της διχοτόµου µιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σηµείο της γωνίας που ισαπέχει απο τις πλευρές είναι σηµείο της διχοτόµου. (Μονάδες 13) Θέµα 20 ˆ . Επάνω στην Ax Α. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Αx η διχοτόµος της γωνίας Α παίρνουµε τα σηµεία Μ και Ν έτσι ώστε ΑΜ = ΑΒ και ΑΝ = ΑΓ. Να δείξετε ότι ΒΝ = ΓΜ. (Μονάδες 12)

Β. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουµε ΑΕ ⊥ ΑΓ και ΑΕ = ΑΓ µε Α∆ ⊥ ΑΒ µε Α∆ = ΑΒ. Έστω Ζ, Θ τα µέσα των Γ∆, ΒΕ. Να δείξετε ότι ΑΖ = ΑΘ. (Μονάδες 13) Θέµα 30 Α. ∆ίνονται οι κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Από το Α φέρνουµε ευθεία που τέµνει τους κύκλους (Κ,R), (Λ,ρ) στα σηµεία Β και Γ αντίστοιχα. Αν (ε) είναι η εφαπτοµένη του κύκλου (Κ,R) στο σηµείο Β, να δείξετε ότι: ˆ = ΚΒΑ ˆ ii. ΓΛ ⊥ (ε ) i. ΛΓΑ (Μονάδες 12) Β. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερικά από αυτό τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓ∆ και ΑΓΗ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο Ε∆Η είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13)

taexeiola.gr

50.

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

Θέµα 40 ˆ παίρνουµε αντίστοιχα ίσα τµήµατα Στις πλευρές Οχ και Οψ µιας γωνίας xΟy ΟΑ = ΟΒ. Στο εσωτερικό της γωνίας φέρνουµε ηµιευθείες Οζ και Οη τέτοιες ώστε
<
= ψΟη
και χΟζ χΟζ


χΟψ 2

. Στις ηµιευθείες Οζ και Οη παίρνουµε αντίστοιχα ίσα

τµήµατα ΟΜ = ΟΝ. Αν οι ΑΝ και ΒΜ τέµνονται στο Σ να δείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ΣΑΜ και ΣΒΝ είναι ίσα.
διέρχεται από το Σ. ii. Η διχοτόµος της χΟψ

(Μονάδες 25)

taexeiola.gr

ÊåöÜëáéï 6ï ÅããåãñáììÝíá ó÷Þìáôá

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση:

[ Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας εγγεγραµµέ-

νης γωνίας και της αντίστοιχης επίκεντρης καθώς και τις προτάσεις που προκύπτουν.

[ Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας γωνίας και της γωνίας που σχηµατίζεται από µια χορδή και την εφαπτόµενη στο άκρο της.

[ Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τους τύπους που µας δίνουν το µέτρο της γωνίας που σχηµατίζεται από δύο τέµνουσες του κύκλου (είτε τεµνόνται εντός είτε εκτός του κύκλου).

[ Να γνωρίζει τις ιδιότητες των εγγράψιµων τετραπλεύρων καθώς

και τα κριτήρια που εξασφαλίζουν ότι ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιµο.

[ Οµοίως για τα περιγράψιµα τετράπλευρα.

taexeiola.gr

106.

Τύποι - Βασικές έννοιες

Εγγεγραµµένη γωνία Ορισµός Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλο, όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της τέµνουν τον κύκλο. Μια γωνία, της οποίας η κοx y ρυφή είναι το κέντρο του κύÊ ìåßæïí Ë κλου και οι πλευρές της τέµνουν τον κύκλο λέγεται επίO κεντρη. Ë Ê Σε κάθε επίκεντρη γωνία Ýëáóóïí y x αντιστοιχίζουµε ένα από τα A δύο τόξα (βλ. σχήµα) του κύκλου µε άκρα Κ και Λ το οποίο ονοµάζουµε αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας. Λέµε τότε ότι η
. γωνία βαίνει στο τόξο ΚΛ Αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο θα θεωρούµε στα επόµενα ότι οι γωνίες βαίνουν στο έλλασον τόξο (κυρτές γωνίες). Tο µέτρο της επίκεντρης γωνίας είναι ίσο µε το µέτρο του τόξου στο οποίο βαίνει.

Θεώρηµα Κάθε εγγεγραµµένη γωνία είναι ίση µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης (δηλαδή της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο π.χ. στο διπλανό σχήµα είναι ω = 2φ. Σε κάθε τόξο µπορεί να βαίνει µια µόνο επίκεντρη γωνία, όµως σε αυτό µπορούν να βαίνουν άπειρες εγγεγραµµένες.

Ä ö A

Â

ö

Ï ù

ö

Å

Ã

Πορίσµατα α. Το µέτρο µιας εγγεγραµµένης γωνίας είναι ίσο µε το µισό του αντίστοιχου τόξου. β. Εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες. γ. Εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν σε ίσα τόξα, ίσων κύκλων είναι ίσες. δ. Εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν σε ηµικύκλιο είναι ορθές.

taexeiola.gr

Τύποι - Βασικές έννοιες

107.

Γωνία δύο τεµνουσών A

A

Ã

y

x Ä Â x

Ä

Â

) )

A B - ÃÄ 2

Ã

y

) )

A B  ÃÄ 2

Γωνία χορδής και εφαπτοµένης Σε κύκλο (Ο,R) παίρνουµε χορδή ΑΒ και την εφαπτοµένη στο σηµείο Α, την x΄Αx. Κάθε µία από τις γωνίες ΒΑx και ΒΑx΄ λέγεται γωνία χορδής και εφαπτοµένης. Η οξεία γωνία ΒΑx λέγεται γωνία της χορδής ΑΒ και του κύκλου (Ο,R) . Το τόξο ΑΒ που περιέχεται µεταξύ των πλευρών της γωνίας χορδής και εφαπτοµένης λέγεται αντίστοιχο τόξο της γωνίας αυτής.

Ã

O

Â

R x´

A

x

Η γωνία χορδής και εφαπτοµένης είναι ίση µε κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει στο αντίστοιχο τόξο της χορδής. Βασικός Γεωµετρικός Τόπος Ολές οι εγγεγραµµένες γωνίες στο ίδιο τόξο είναι ίσες. Οι κορυφές των γωνιών αυτών “βλέπουν τη χορδή του τόξου µε ίσες γωνίες”. Λέµε λοιπόν ότι:

ö

Â

A ö

Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου από τα οποία ένα τµήµα ΑΒ φαίνεται υπό γωνία φˆ είναι δύο τόξα κύκλων συµµετρικά ως προς την ΑΒ. Από τα τόξα εξαιρούνται τα σηµεία Α και Β.

taexeiola.gr

108.

Τύποι - Βασικές έννοιες

Πόρισµα Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου από τα οποία ένα τµήµα φαίνεται υπό ορθή γωνία είναι κύκλος διαµέτρου ΑΒ. Εξαιρούνται τα άκρα Α και Β του τµήµατος.

A

Â

Το εγγεγραµµένο τετράπλευρο Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, αν υπάρχει κύκλος, που διέρχεται από τις κορυφές του. Θεώρηµα Ένα τετράπλευρο που είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο έχει τις εξής ιδιότητες: α. Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρω-

(

ο ο µατικές Αˆ + Γˆ = 180 και Βˆ + ∆ˆ = 180

)

B

A

1 1

Ä Ã

β. Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απένα-

(

ντι κορυφές µε ίσες γωνίες, π.χ. Αˆ 1 = Βˆ 1

)

γ. Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραµµένου τετραπλεύρου είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική του γωνία.

A

Ä

x B

Ã

Θεώρηµα (Κριτήριο) Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιµο σε κύκλο αν έχει µία από τις παρακάτω ιδιότητες: α. ∆ύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωµατικές. β. Μια πλευρά του “φαίνεται” από τις απέναντι κορυφές µε ίσες γωνίες. γ. Μια εξωτερική του γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική του γωνία. Ένα τετράπλευρο λέγεται περιγεγραµµένο σε κύκλο, αν όλες οι πλευρές του εφάπτονται στον κύκλο.

taexeiola.gr

Τύποι - Βασικές έννοιες

109.

A

Σε κάθε περιγγεγραµµένο τετράπλευρο ισχύουν οι ιδιότητες: α. Οι διχοτόµοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σηµείο. β. Τα αθροίσµατα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

B

O Ä

Ã

Ένα τετράπλευρο λέγεται περιγράψιµο σε κύκλο, αν υπάρχει κύκλος που εφάπτεται στις πλευρές του. Θεώρηµα (Κριτήριο) Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιµο σε κύκλο αν: α. Οι διχοτόµοι τριών τουλάχιστον γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σηµείο. β. Τα αθροίσµατα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

taexeiola.gr

110.

Βήµα 1 ο

ÂÞìá 1

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

111.

taexeiola.gr

112.

Βήµα 2 ο

Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêÞóåéò "êëåéäéÜ"

Α. Από το σχολικό βιβλίο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003. σ. 129: Ασκήσεις Εµπέδωσης 1, 2, 3, 4, 5 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1, 2, 3 Σύνθετα Θέµατα 1 σ. 134: Ερωτήσεις Κατανόησης 4, 5, 6 Ασκήσεις Εµπέδωσης 2, 3 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1, 3

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

113.

Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêÞóåéò

ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1. Αν η διχοτόµος της γωνίας

ˆ , τριγώνου ΑΒΓ, τέµνει τον περιγεγραµµένο Α

του κύκλου στο Μ και η διχοτόµος της γωνίας Βˆ τέµνει την ΑΜ στο ∆, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΜΒ∆ είναι ισοσκελές. Λύση: ˆ , θα ισχύει: Επειδή η ΑΜ είναι διχοτόµος της Α A

ˆ ˆ ˆ =Α ˆ = Α . Επίσης και Β ˆ =Β ˆ = Β , αφού η Β∆ Α 1 2 1 2 2 2

ˆ . Στο Β∆Μ ˆ είναι διχοτόµος της Β έχουµε: ˆ = Γˆ ως εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στο • Μ
. τόξο AB

1 2

Ä

1

B

2

à M


. ˆ ως εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στο τόξο ΜΓ ˆ =Α • ΜΒΓ 2 ο ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = Β + Α = Α + Β = 180 − Γ = 90ο − Γ ˆ =Β ˆ + ΜΒΓ ˆ =Β ˆ +Α Οπότε: ∆ΒΜ 2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ = 180ο − ∆ΒΜ ˆ −Μ ˆ = 180ο −  90ο − Γ  − Γˆ = 180ο − 90ο + Γ − Γˆ = 90ο − Γ • Β∆Μ 2 2 2  ∆ ˆ ˆ = 90ο − Γ , οπότε το Μ Β∆ είναι ισοσκελές µε κορυφή το Μ. ˆ = Β∆Μ Άρα ∆ΒΜ 2

2. Από σηµείο Μ εκτός κύκλου (Ο, R) φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ στον κύκλο. Προεκτείνουµε την ΑΜ και στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΜΓ = ΜΑ. Αν ∆ είναι το αντιδιαµετρικό σηµείο του Α, να δείξετε ότι τα σηµεία ∆, Β, Γ είναι συνευθειακά. Λύση: Ισχύει: ΜΑ = ΜΒ αυτού.

(1) ως εφαπτοµένα τµήµατα προς κύκλο από σηµείο

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

114.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ˆ Επίσης η ΟΜ διχοτοµεί τις γωνίες ΑΜΒ και ˆ =Ο ˆ και Μ ˆ , οπότε: Ο ˆ =Μ ˆ . ΑΟΒ 1

2

1

A 1 2

O

2

(1)

Όµως ΜΓ = ΜΑ ⇒ ΜΓ = ΜΒ . Άρα το τρίγωνο

Ä

1 2

2

Ì

1 Ã

B

ˆ = Γˆ ως προσκείΜΒΓ είναι ισοσκελές, οπότε Β 1

∆

ˆ είναι εξωτερική γωνία του Μ Β Γ , µενες γωνίες στην βάση του ΒΓ. Η ΑΜΒ ˆ =Β ˆ + Γˆ ⇔ Μ ˆ +Μ ˆ =Β ˆ + Γˆ ⇔ Μ ˆ +Μ ˆ = 2·Β ˆ ⇔ οπότε: ΑΜΒ 1 1 2 1 1 2 1 ˆ = 2·Β ˆ ⇔Μ ˆ =Β ˆ . Άρα ΒΓ//ΟΜ (2) διότι τεµνόµενες από την ΒΜ ⇔ 2·Μ 2 1 2 1 σχηµατίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες τους ίσες. Επειδή Ο∆ = ΟΒ = R το τρί-

ˆ , αφού µια εγγεˆ . Όµως ∆ˆ = 1 ΑΟΒ γωνο Ο∆Β είναι ισοσκελές. Άρα ∆ˆ = Β 2 2 γραµµένη γωνία είναι ίση µε το µισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο ˆ ⇔Β ˆ οπότε Β∆//ΟΜ (3) διότι τεµνόµενες ˆ =Ο τόξο µε αυτήν. Άρα ∆ˆ = Ο 2

2

2

από την ΟΒ σχηµατίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες τους ίσες. Άρα από τις (2) και (3) και λόγω του αιτήµατος του Ευκλείδη, συµπεραίνουµε ότι οι ευθείες Β∆ και ΒΓ ταυτίζονται. Εποµένως τα σηµεία ∆, Β, Γ είναι συνευθειακά.

3. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, θεωρούµε τα ύψη του Α∆ και ΒΕ και έστω Η το ορθόκεντρό του. Στο ΕΓ παίρνουµε τµήµα ΕΖ = ΑΕ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΗΖΓ είναι εγγράψιµο σε κύκλο. Λύση:


Στο ορθογώνιο τρίγωνο Α ∆ Γ (∆ˆ = 1

) έχουµε:

ˆ + Γˆ = 90ο ⇔ Α ˆ = 90ο − Γˆ Α 1 1

(1) ∆

Οµοίως από το ορθογώνιο τρίγωνο Β Ε Γ ( Εˆ = 1 χουµε:

ˆ = 90ο − Γˆ Β 1

A 1

E

) έH

(2)




Το Α H Ζ είναι ισοσκελές, αφού το ΗΕ είναι ύψος (1)

B

1

Ä

1

Z Ã

(2)

ˆ ⇔ Ζˆ = 90ο − Γˆ ⇔ Ζˆ = Β ˆ . και διάµεσος, άρα Ζˆ 1 = Α 1 1 1 1 Άρα το τετράπλευρο ΒΗΖΓ είναι εγγράψιµο αφού µια εξωτερική του γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική γωνία.

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

115.

4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουµε το ύψος του Α∆. Από τυχαίο σηµείο Μ του Α∆ φέρουµε τις αποστάσεις του ΜΕ και ΜΖ από τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το ΒΕΖΓ είναι εγγράψιµο. Λύση: Το τετράπλευρο ΕΜ∆Β είναι εγγράψιµο, αφού A ο ο ο ˆ ˆ ΒΕΜ + Β∆Μ = 90 + 90 = 180 . ˆ + ΕΜ∆ ˆ = 180ο (1) Άρα Β Οµοίως και το τετράπλευρο ΑΕΜΖ είναι εγγράψιµο

ˆ + ΑΖΜ ˆ = 90ο + 90ο = 180ο ) , οπότε η πλευρά ( ΑΕΜ του ΕΜ φαίνεται από τις κορυφές Α και Ζ υπό ίσες ˆ = ΕΖΜ ˆ (2). γωνίες. Άρα ΕΑΜ

Z E B

ˆ είναι εξωτερική, οπότε: Στο τρίγωνο ΑΕΜ η ΕΜ∆ ˆ + ΑΕΜ ˆ + 90ο ˆ = ΕΑΜ ˆ ⇔ ΕΜ∆ ˆ = ΕΑΜ ΕΜ∆ Στο τετράπλευρο ΒΕΖΓ έχουµε:

M Ã

Ä

(3)

ˆ + 90ο ) = Β ˆ + ΕΖΓ ˆ =Β ˆ + ( ΕΖΜ ˆ + ΜΖΓ ˆ )= Β ˆ + ( ΕΑΜ ˆ + ΕΜ∆ ˆ = 180ο Β Άρα το ΒΕΖΓ είναι εγγράψιµο, αφού δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωµατικές. (2)

(3)

(1)

5. ∆ύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) µε R > ρ εφάπτονται εξωτερικά στο σηµείο Α. Από το σηµείο ∆ του κύκλου (Λ,ρ) φέρουµε ευθεία που εφάπτεται στον κύκλο (Λ, ρ) και τέµνει τον κύκλο (Κ, ρ) στα σηµεία Β, Γ. Να δείˆ του τριγώνου ξετε ότι η Α∆ είναι εξωτερική διχοτόµος της γωνίας Α ΑΒΓ. Λύση: ˆ = ΛΑ∆ ˆ Αρκεί να δείξουµε ότι: ΒΑ∆

ˆ είναι εξωτερική του γω- Ã E Ä Στο τρίγωνο ΑΓ∆ η ΛΑ∆ B ˆ = ΑΓΒ ˆ (1) ˆ + Α∆Ε νία, οπότε: ΛΑ∆ Ê Ë Á Φέρουµε την κοινή εσωτερική εφαπτοµένη των δύο κύκλων, η οποία τέµνει της Γ∆ στο Ε. Τότε ΕΑ = Ε∆ σαν εφαπτόµενα τµήµατα από το Ε προς τον κύκλο ˆ = ∆ΑΕ ˆ (2) σαν προσκείµενες γω(Λ, ρ). Άρα Α∆Ε νίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου. ˆ = ΑΓΒ ˆ (3) διότι η γωνία από χορδή και εφπτοµένη είναι ίση µε Επίσης ΕΑΒ την εγγεγραµµένη που βαίνει στο αντίστοιχο τόξο της.

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

116.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

(2)

ˆ = ΕΑΒ ˆ + ∆ΑΕ ˆ ⇔ ΛΑ∆ ˆ = ΒΑ∆ ˆ ο.ε.δ. ΛΑ∆ Η (1) ⇒ (3)

6.

Σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ, θεωρούµε το µέσο του Μ. Έστω Λ τυχαίο


. Φέρουµε την ευθεία ΜΚ ⊥ ΑΛ . Να δείξετε ότι: σηµείο του τόξου AB ΜΚ = ΚΛ Λύση: K Φέρουµε τα τµήµατα ΛΜ, ΑΜ, ΟΛ, όπου Ο το κέM ντρο του ηµικύκλιου. Τότε ΟΜ ⊥ ΑΒ , αφού για την Ë ˆ ˆ = 90ο διότι βαίεπίκεντρη γωνία ΒΟΜ ισχύει ΒΟΜ ο

= AB = 180 = 90ο νει στο τόξο ΒΜ 2 2

A

2

1 O

B

ˆ Στο τρίγωνο ΑΛΜ η ΚΛΜ είναι εξωτερική, οπόˆ = ΛΑΜ ˆ + ΑΜΛ ˆ (1) τε: ΚΛΜ Όµως κάθε εγγεγραµµένη γωνία είναι, κατά µέτρο, ίση µε το µισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο µε αυτήν.

ˆ = 1Ο ˆ Άρα: • ΛΑΜ 1 2

ˆ ˆ = 1Ο • ΑΜΛ 2 2

(2) ˆ = 1Ο ˆ + 1Ο ˆ ⇔ ΚΛΜ ˆ = 1 (Ο ˆ +Ο ˆ ) ⇔ ΚΛΜ ˆ = 1 ΑΟΜ ˆ ⇔ Η (1) ⇒ ΚΛΜ 1 2 1 2 (3) 2 2 2 2

ˆ = 1 ·90ο ⇔ ΚΛΜ ˆ = 45ο ⇔ ΚΛΜ 2 ˆ = 45ο , οπότε και Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο στο Κ και ΚΛΜ ˆ = 90ο − 45ο = 45ο . Άρα το τρίγωνο ΚΛΜ είναι και ισοσκελές, οπότε ΛΚ = ΜΚ. ΚΜΛ

ˆ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγγραµµένο Α κύκλο του τριγώνου σε σηµείο ∆, να δείξετε ότι:

7. Αν η διχοτόµος της γωνίας

α. Το τρίγωνο ΙΒ∆ είναι ισοσκελές, όπου Ι είναι το εγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. β. Το σηµείο ∆ είναι περίκεντο του τριγώνου ΙΒΓ. Λύση: ˆ και Β ˆ του τριγώνου ΑΒΓ, οι οποίες α. Φέρουµε τις διχοτόµους των γωνιών Α

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

A

ˆ ˆ =Α ˆ = Α και τέµνονται στο έγκεντρο Ι. Τότε: Α 1 2 2 ˆ ˆ =Β ˆ = Β . Στο τρίγωνο ΙΒ∆ έχουµε: Β 1 2 2

ˆ είναι εξωτερική γωνία του τρι• η γωνία του ΒΙ∆ γώνου ΑΒΙ, οπότε:

117.

1 2

1 B

3

I 2

à Ä

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = Β+ Α = Α+Β ˆ =Β ˆ +Α ΒΙ∆ 1 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = Β + Α = Α + Β , αφού Β ˆ =Β ˆ +Β ˆ =Β ˆ +Α ˆ σαν εγγεγραµµέˆ =Α • ΙΒ∆ 2 3 2 2 3 2 2 2 2
. Άρα ΒΙ∆ ˆ = ΙΒ∆ ˆ οπότε το τρίγωνες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο Γ∆ νο ΙΒ∆ είναι ισοσκελές µε κορυφή το ∆, οπότε: ∆Β = ∆Ι (1) ˆ ,Α ˆ είναι ίσες, θα είναι ίσες και οι αντίβ. Επειδή οι εγγεγραµµένες γωνίες Α 1 2 στοιχες χορδές τους, δηλαδή ∆Β = ∆Γ (2) Από (1) και (2) έχουµε: ∆Β = ∆Ι = ∆Γ, δηλαδή το ∆ ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου ΙΒΓ, άρα είναι το περίκεντρο του.

8. Έστω σηµείο ∆ το οποίο δεν ανήκει στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ. Αν οι προβολές του ∆ στις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ είναι συνευθειακά σηµεία, να δείξετε ότι το ∆ ανήκει στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ. Λύση: M Έστω ∆Κ ⊥ ΒΓ, ∆Λ ⊥ ΑΓ, ∆Μ ⊥ ΑΒ , µε τα σηµεία A Κ, Λ, Μ να ανήκουν στην ίδια ευθεία. Για να δείξουµε ότι το ∆ ανήκει στον περιγεγραµµένο κύκλο του Ä τριγώνου ΑΒΓ αρκεί να δείξουµε ότι το ΑΒΓ∆ είναι B Ë εγγράψιµο. Το τετράπλευρο ΚΛ∆Γ είναι εγγράψιµο, ˆ = 90ο , δηλαδή η πλευρά του Γ∆ ˆ = ΓΛ∆ αφού ΓΚ∆ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές του Κ, Λ υπό ίσες K Ã ˆ ˆ = ∆ΛΜ (1), διότι σε εγγράψιµο γωνίες. Άρα ΒΓ∆ τετράπλευρο µια εξωτερική του γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Επίσης το τετράπλευρο ΑΜ∆Λ είναι εγγράψιµο, αφού δύο απέναντι γωνίες του είναι ˆ = ∆ΑΜ ˆ ˆ + ΑΜ∆ ˆ = 90ο + 90ο = 180ο ) . Άρα ∆ΛΜ (2), παραπληρωµατικές ( ΑΛ∆ αφού σε ένα εγγράψιµο τετράπλευρο κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι

taexeiola.gr

118.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

κορυφές υπό ίσες γωνίες. ˆ . Συνεπώς στο τετράπλευρο ΑΒΓ∆, ˆ = ∆ΑΜ Από (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΓ∆ µια εξωτερική του γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Άρα το ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιµο.

9.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούµε τα ύψη του Β∆ και ΓΕ. Αν Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, Μ το µέσο της πλευράς ΑΒ και Ν το µέσο του ΗΒ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ∆ΜΕΝ είναι εγγράψιµο.

Λύση:


Στο ορθογώνιο τρίγωνο A B∆ η Μ∆ είναι η διάµεσος του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ΑΒ. Άρα ∆Μ =

A

ΑΒ = ΑΜ . Συνεπώς το τρίγωνο Α∆Μ 2

ˆ (1) είναι ισοσκελές µε κορυφή το Μ, οπότε ∆ˆ 1 = Α ως προσκείµενες γωνίες στην βάση του Α∆. Τότε ˆ του τριγώνου Α∆Μ για την εξωτερική γωνία Μ

M E 1

B

1 1 1 1

N

Ä

H Ã

1

(1)

ˆ + ∆ˆ ⇔ Μ ˆ ˆ =Α ˆ = 2Α έχουµε: Μ 1 1 1

(2).

ˆ + ΑΕΗ ˆ = 90ο + 90ο = 180ο , δηλαδή δύο απέναΤο τετράπλευρο Α∆ΗΕ έχει Α∆Η ντι γωνίες του είναι παραπληρωµατικές, οπότε είναι εγγράψιµο. Συνεπώς θα ˆ (3), αφού κάθε εξωτερική γωνία εγγράψιµου τετραπλευρού ˆ =Α ισχύει ότι Η 1

είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΗ η ΕΝ είναι διάµεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΒΗ. Άρα ΕΝ =

ΒΗ = ΝΗ . ∆ηλαδή το τρίγωνο ΕΝΗ είναι ισοσκελές µε 2

ˆ = Εˆ κορυφή Ν. Άρα Η 1 1

(4) ως προσκείµενες γωνίες στη βάση του. Οπότε για

ˆ έχουµε: την εξωτερική του γωνία Ν 1 (1)

(3)

ˆ = Εˆ + Η ˆ ⇔Ν ˆ = 2Η ˆ ⇔Ν ˆ =Μ ˆ . Άρα το τετράπλευρο ∆ΜΕΝ είναι εγγράΝ 1 1 1 1 1 1 1 ψιµο, αφού µια εξωτερική γωνία του είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική.

taexeiola.gr

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

119.

Ëýíïõìå ìüíïé ìáò

ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να βρείτε τα x και y (όπου x, y γωνίες ή τόξα ανάλογα).

A

â) A

á) 3x

2x

x

B 5x

B

y

O

Ã

B

ã) A

y à OB )  O Ãï Ã Ä  30

x Ã

Ä

) ï Á)Â  90 ï Â Ã  120

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

120.

2.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

Στην προέκταση της ακτίνας ΟΑ κύκλου (Ο, ρ), παίρνουµε τµήµα ΑΒ = ΟΑ και φέρνουµε τη ΒΓ κάθετη σε τυχαία εφαπτοµένη ε του
= 3ΑΓΒ
κύκλου. Να δειχθεί ότι: OAΓ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

3. ∆ύο κύκλοι (Κ, ρ) και (Λ, ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Φέρνουµε µια χορδή ΑΒ του κύκλου (Κ, ρ) και τη χορδή ΑΓ ⊥ ΑΒ του κύκλου (Λ, ρ). Να δειχθεί ότι ΒΓ//=ΚΛ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

4. Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούµε τη διάµετρο ΑΒ, τη χορδή ΑΓ και τη διχοτόµο της γωνίας ΒΑΓ, που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Μ και την ΒΓ στο ∆. Αν η ΑΜ τέµνει στο σηµείο Ζ την εφαπτοµένη του κύκλου στο Β, να δειχθεί ότι: ∆Μ = ΜΖ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

121.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

5. ∆ίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, ο περιγγεγραµµένος κύκλος του (Κ, R) και τυχαίο σηµείο Μ του τόξου ΒΓ. Να δείχθεί ότι: ΜΑ = ΜΒ + ΜΓ. (Υπόδειξη: Παίρνουµε στη ΜΑ τµήµα Μ∆ = ΜΒ) ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

6.

∆ύο κύκλοι (Κ, R), (Λ, ρ) τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Μία κοινή εφαπτοµένη τους εφάπτεται των κύκλων στα Γ και ∆ αντίστοιχα. Να ˆ + ΓΒ∆ ˆ = 180ο . δειχθεί ότι: ΓΑ∆ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

122.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

7. Οι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ είναι σηµεία του κύκλου (Ο, R). Η εφαπτοµένη στο σηµείο Α τέµνει την ΒΓ στο Ε. Φέρνουµε τη διχοτόµο Α∆ του τριγώνου ΑΒΓ. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο Α∆Ε είναι ισοσκελές. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

8. Στον κύκλο (Ο, ρ) η ΑΒ είναι η διάµετρος και η Γ∆ είναι η χορδή. Να αποδειχθεί ότι η χορδές ΑΓ και ∆Β έχουν ίσες προβολές στην ευθεία Γ∆. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

123.

9. Στον κύκλο (Ο, ρ) παίρνουµε τις χορδές ΑΒ = ΑΓ και φέρνουµε από το Α ευθεία, που τέµνει τον κύκλο στο Ε και τη ΒΓ στο ∆. Να δειχθεί ότι η ΑΒ είναι εφαπτοµένη του κύκλου, που περνάει από τα σηµεία Β, ∆, Ε. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

10. ∆ύο κύκλοι µε κέντρα Κ και Λ τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Φέρνουµε τις διαµέτρους ΑΚΓ και ΑΛ∆ και τις χορδές ΓΖ//∆Ε. Να δειχθεί ότι τα σηµεία Ζ, Α, Ε είναι συνευθειακά. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

124.

11.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

∆ίνεται χορδή ΒΓ, κύκλου (Ο, ρ) και οι εφαπτόµενες ε 1 και ε 2 στα άκρα της. Από σηµείο Μ της ΒΓ, φέρνουµε κάθετη στην ΟΜ, που τέµνει τις ε1 και ε2 στα σηµεία Ε και Ζ. Να δειχθεί ότι ΕΜ = ΜΖ.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

12. Σε γωνία

ˆ παίρνουµε τη διχοτόµο Ο∆ και το εσωτερικό της σηxOψ

ˆ . Αν Α, Β, Γ είναι οι προβολές του Ρ στις ηµιευθείες µείο Ρ της ∆Oψ Ο∆, Οx, Οψ να δειχθεί ότι: α. Τα σηµεία Ο, Β, Α, Ρ, Γ είναι οµοκυκλικά β. ΑΒ = ΑΓ

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

125.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

13. Οι πλευρές ΑΒ και Γ∆ εγγεγραµµένου τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ τέµνονται στο Ε και οι πλευρές Α∆ και ΒΓ στο Ζ. Η διχοτόµος της γωνίας Ε ˆ τέµνει τις τέµνει τις ΒΓ, Α∆ στα σηµεία Κ, Μ και η διχοτόµος της Ζ πλευρές Γ∆ και ΑΒ, στα Λ, Ρ. Να δείξετε ότι: α. Οι διχοτόµοι των Ε και Ζ τέµνονται κάθετα β. Το τετράπλευρο ΚΛΜΡ είναι ρόµβος ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

126.

Βήµα 5 ο

ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáò

Θέµα 1ο Α. Να δείξετε ότι κάθε εγγεγραµµένη γωνία ισούται µε το µισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. (Μονάδες 12) Β. Να δείξετε ότι η γωνία που σχηµατίζεται από µια χορδή κύκλου και την εφαπτοµένη στο άκρο της χορδής ισούται µε την εγγεγραµµένη που βαίνει στο τόξο της χορδής. (Μονάδες 13) Θέµα 20 Α. Οι κορυφές τραπεζίου ΑΒΓ∆ (ΑΒ//∆Γ) είναι σηµεία του κύκλου (Κ, ρ). Να δείξετε ότι, η γωνία των εφαπτόµενων του κύκλου αυτού, στα σηµεία Α και Γ, είναι ίση µε τη γωνία των ευθειών Α∆ και ΒΓ. (Μονάδες 16) Β. Να δειχθεί ότι κάθε εγγεγραµµένο τραπέζιο είναι ισοσκελές.

(Μονάδες 9)

Θέµα 30 Α. ∆ύο κύκλοι, τέµνονται στα σηµεία Β και ∆. Ευθεία, που περνάει από το Β τέµνει τους κύκλους στα σηµεία Α και Γ. Οι ευθείες Α∆ και Γ∆ τέµνουν αντίστοιχα τους κύκλους στα Ε και Ζ και οι ευθείες ΑΖ, ΓΕ τέµνονται στο Η. Να δείξετε, ότι το τετράπλευρο ∆ΕΗΖ είναι εγγράψιµο σε κύκλο. (Μονάδες 13) Β. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Κ, ρ). Φέρνουµε την εφαπτοµένη Αx και ευθεία ε//Αx που τέµνει την ΑΓ στο ∆ και την ΑΒ στο Ε. Να δείξετε ότι το ΒΓ∆Ε είναι εγγράψιµο. (Μονάδες 12) Θέµα 40 Α. ∆ύο κύκλοι τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Από τα Α και Β, φέρνουµε ευθείες που τέµνουν τον έναν κύκλο στα Γ και Γ΄ και τον άλλον στα ∆ και ∆΄. Να δειχθεί ότι ΓΓ΄//∆∆΄. (Μονάδες 13) Β. Από ένα σηµείο Ι του ύψους Α∆ τριγώνου ΑΒΓ, φέρνουµε τα τµήµατα ΙΚ και ΙΛ κάθετα στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΚΛ είναι εγγράψιµο σε κύκλο. (Μονάδες 12)

taexeiola.gr

taexeiola.gr

ΒΙΒΛΙΟ

µαθήµατα 1. ΦΥΣΙΚΗ Α΄ Λυκείου Κωδ. 21

η δοσ κ έ Μία ΗΞΗ!!! Λ ΕΚΠ

ς ήψει λ α ν α ς επ ι µόνο... ι τ α χ γι και ό ς α σ

2. ΧΗΜΕΙΑ Α΄ Λυκείου Κωδ. 22 3. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 30 4. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 31 5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 32 6. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 33 7. ΑΛΓΕΒΡΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 34 8. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 35 9. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 36 10. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 37 11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 38 12. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου Κωδ. 39 13. ΑΡΧΑΙΑ Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου (Θουκιδίδη Περικλέους Επιτάφιος) Κωδ. 52

Το “αντίδοτο” για την... αµνησία την ώρα των εξετάσεων είναι η σωστή επανάληψη. ΕΝΗΜΕΡΩΣΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΣΟΥ

taexeiola.gr

ÊåöÜëáéï 5ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:

[ Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.

[ Να γνωρίζει τα κριτήρια, τι πρέπει δηλαδή να ισχύει για να είναι ένα τετράπλευρο κάποιο από τα προαναφερθέντα σχήµατα.

[ Να γνωρίζει και να εφαρµόζει την ιδιότητα που έχει το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου.

[ Να γνωρίζει τα σηµαντικά κέντρα ενός τριγώνου, το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο και τις ιδιότητες του.

[ Να γνωρίζει και να εφαρµόζει την ιδιότητα της διαµέσου ενός ορ-

θογώνιου τριγώνου και τις διάφορες προτάσεις που προκύπτουν από αυτήν.

taexeiola.gr

74.

Τύποι - Βασικές έννοιες

Ορισµός. Παραλληλόγραµµο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ∆ηλαδή το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο, όταν ΑΒ//Γ∆ και Α∆//ΒΓ. • Ιδιότητες παραλληλογράµµων Σε κάθε παραλληλόγραµµο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: i. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. ii. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. iii. Οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται. Το σηµείο τοµής των διαγωνίων παραλληλογράµµου είναι κέντρο συµµετρίας του. Για το λόγο αυτό λέγεται κέντρο του παραλληλογράµµου. Πόρισµα Παράλληλα τµήµατα που έχουν τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες είναι ίσα. Αν τα τµήµατα είναι κάθετα στις παράλληλες, το κοινό µήκος τους λέγεται απόσταση των παραλλήλων. Κάθε ευθύγραµµο τµήµα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών παραλληλογράµµου και είναι κάθετο σε αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράµµου, ενώ οι απέναντι πλευρές του λέγονται βάσεις ως προς αυτό το ύψος. • Κριτήρια για παραλληλόγραµµα Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο αν ισχύει µια από τις παρακάτω προτάσεις: i. Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι ίσες. ii. ∆ύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. iii. Οι απέναντι γωνίες ανά δύο είναι ίσες. iv. Οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται.

A

1 ö

B

ù 1

O 1 ù

Ä

ö 1

A

B

Ã

Ã

å1

å2

B´ ô

A´ A

B

E

K

õ2 õ1

Ä

Z

A

Ë Ã

ù 1 ö

ö 2 Ä

1 ù

Ã

B 2

taexeiola.gr

Τύποι - Βασικές έννοιες

75.

Ορθογώνιο. Ορισµός. Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραµµο που έχει µια γωνία ορθή. Επειδή στο παραλληλόγραµµο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωµατικές (ως εντός και επί τα αυτά µέρη), προκύπτει ότι όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές.

A

B O

Ã

Ä

• Ιδιότητες ορθογωνίου Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. • Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αν ισχύει µια από τις παρακάτω προτάσεις: i. Είναι παραλληλόγραµµο και έχει µία ορθή γωνία. ii. Είναι παραλληλόγραµµο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες. iii. Έχει τρεις γωνίες ορθές. iv. Όλες οι γωνίες του είναι ίσες. Ρόµβος. Ορισµός.

A

Ρόµβος λέγεται το παραλληλόγραµµο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Επειδή στο παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες προκύπτει ότι όλες οι πλευρές του ρόµβου είναι ίσες. • Ιδιότητες του ρόµβου. i. Οι διαγώνιοι του ρόµβου τέµνονται κάθετα. ii. Οι διαγώνιοι του ρόµβου διχοτοµούν τις γωνίες του.

O

Ä

B

Ã

• Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόµβος. Ένα τετράπλευρο είναι ρόµβος, αν ισχύει µια από τις παρακάτω προτάσεις: i. Έχει όλες τις πλευρές του ίσες. ii. Είναι παραλληλόγραµµο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.

taexeiola.gr

76.

Τύποι - Βασικές έννοιες

iii. Είναι παραλληλόγραµµο και οι διαγώνιοί του τέµνονται κάθετα. iv. Είναι παραλληλόγραµµο και µία διαγώνιός του διχοτοµεί µία γωνία του. • Οι διαγώνιοι του ρόµβου: α. διχοτοµούνται γ. διχοτοµούν τις γωνίες

β. τέµνονται κάθετα δ. είναι άξονες συµετρίας Τετράγωνο.

Ορισµός. Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραµµο που είναι ορθογώνιο και ρόµβος.

A

B

• Ιδιότητες του τετραγώνου. Από τον ορισµό προκύπτει ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου και όλες τις ιδιόÄ Ã τητες του ρόµβου. Εποµένως, σε κάθε τετράγωνο: i. Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. ii. Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. iii. Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. iv. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες, τέµνονται κάθετα, διχοτοµούνται και διχοτοµούν τις γωνίες του. • Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο. Για να αποδείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο, αρκεί να αποδείξουµε ότι είναι ορθογώνιο και ρόµβος. Αποδεικνύεται ότι ένα παραλληλόγραµµµο είναι τετράγωνο, αν ισχύει µία από τις παρακάτω προτάσεις: i. Mία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. ii. Μία γωνία του είναι ορθή και µία διαγώνιός του διχοτοµεί µία γωνία του. iii. Μία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του κάθετες. iv. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. v. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες. Εφαρµογές στα τρίγωνα. Θεώρηµα Ι

Το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Στο παρακάτω σχήµα αν ∆, Ε είναι µέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, τότε ∆Ε // =

ΒΓ 2

taexeiola.gr

Τύποι - Βασικές έννοιες

77.

A

Θεώρηµα ΙΙ

Αν από το µέσο µιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουµε ευθεία παράλληλη προς µια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το µέσο της τρίτης πλευράς του.

B

Ã

ä1

Θεώρηµα ΙΙΙ

Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε µια ευθεία ίσα τµήµατα, θα ορίζουν ίσα τµήµατα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέµνει. Αν ΑΒ = ΒΓ τότε ∆Ε = ΕΖ

E

Ä

A

ä2

å1

Ä

B

å2

E

å3

Z

Ã

Μια ιδιότητα του ορθογωνίου τριγώνου Θεώρηµα Ι

Η διαµέσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Αν ΑΜ διάµεσος τότε ΑΜ =

Θεώρηµα ΙΙ

ΒΓ 2

B

M

Ã

A

Αν η διάµεσος ενός τριγώνου ισούται µε το µισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την πλευρά αυτή. B

Πόρισµα. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο µια γωνία του ισούται µε 30ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. ˆ = 30ο τότε ΑΓ = ΒΓ και αντίστροφα. Αν Β 2

30o M

A

Ã

taexeiola.gr

78.

Τύποι - Βασικές έννοιες

Τραπέζιο Ορισµός: Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ και Γ∆ του τραπεζίου ΑΒΓ∆ λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Κάθε ευθύγραµµο τµήµα κάθετο στις βάσεις του τραπεζίου µε τα άκρα του στους φορείς των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Το ευθύγραµµο τµήµα ΑΖ που ενώνει τα µέσα των µη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάµεσος του τραπεζίου. Θεώρηµα Ι

B

A

Å

Æ

Ä Ç

Ã

Η διάµεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση µε το ηµιάθροισµα τους. ∆ηλαδή, αν ΕΖ διάµεσος του τραπεζίου ΑΒΓ∆, τότε: B A i. ΕΖ//ΑΒ, Γ∆ και ii. ΕΖ =

ΑΒ + Γ∆ 2

Πόρισµα. Η διάµεσος ΕΖ τραπεζίου ΑΒΓ∆ διέρχεται από τα µέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και το τµήµα ΚΛ είναι παράλληλο µε τις βάσεις του και ίσο µε την ηµιδιαφορά των βάσεών του.

Å

Ä

Ê

Ë

Æ

Ã

Ισοσκελές τραπέζιο Ορισµός: Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. • Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζίου Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε: i. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε µια βάση είναι ίσες. ii. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. • Κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, αν ισχύει µια από τις παρακάτω προτάσεις. i. Οι µη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες. ii. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε µια βάση του είναι ίσες. iii. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ÂÞìá 1

Βήµα 1 ο

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

79.

taexeiola.gr

80.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

81.

taexeiola.gr

82.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

83.

taexeiola.gr

84.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

85.

taexeiola.gr

86.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

87.

taexeiola.gr

88.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Βήµα 2 ο

Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêÞóåéò "êëåéäéÜ"

Α. Από το σχολικό βιβλίο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003. σ. 99: Ασκήσεις Εµπέδωσης 2, 3, 4 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1,2, 3, 4 Σύνθετα Θέµατα 3

σ. 103: Ασκήσεις Εµπέδωσης 2, 3, 4, 5, 6 Αποδεικτικές Ασκήσεις 2

σ. 111: Ασκήσεις Εµπέδωσης όλες Αποδεικτικές Ασκήσεις 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 Σύνθετα Θέµατα 1, 2, 4

σ. 115: Ασκήσεις Εµπέδωσης 3, 4, 5, 6 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1,2, 4, 5, 6, 7, 10 Σύνθετα Θέµατα 1, 2, 3

89.

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

90.

ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêÞóåéò

1. ∆ίνεται ρόµβος µε διαγώνιες 6cm και 4cm. Να βρείτε την περίµετρο του παραλληλογράµµου που σχηµατίζεται από τα µέσα των πλευρών του. Λύση: A Γνωρίζουµε ότι το τετράπλευρο που σχηµατίζεται από K Ë τα µέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι παραλληλόγραµµο. Â Ä Έχουµε ΚΝ//ΑΓ και ΛΚ//Β∆. Αφού ΑΓ ⊥ B∆ (διαγώνιοι ρόµβου), θα είναι ΚΝ ⊥ ΛK . M N Άρα το ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο. Β∆ 4 ΑΓ 6 = =2 = = 3 και ΚΛ = 2 2 2 2 Η περίµετρος του ΚΛΜΝ είναι 2ΚΛ + 2ΚΝ = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 10cm .

Ακόµα ΚΝ =

Ã

2. Από τις κορυφές Α και Γ παραλληλογράµου ΑΒΓ∆ φέρνουµε κάθετες προς τη διαγώνιο Β∆, τις ΑΚ και ΓΛ αντίστοιχα. Αν Μ, Ν τα µέσα των ΑΒ, Γ∆ αντίστοιχα να δείξετε ότι τα Κ, Λ, Μ, Ν είναι κορυφές παραλληλογράµµου. Λύση:
Στο ορθογώνιο τρίγωνο A K B η ΚΜ είναι διάµεσος AB 2
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ∆ Λ Γ η ΛΝ είναι διάµεσος

∆Γ άρα ΛΝ = . Αφού ΑΒ = ∆Γ θα είναι ΚΜ = ΛΝ 2 ΒΛ = ΒΚ + ΚΛ (1) Έχουµε ∆Κ = ∆Λ + ΚΛ (2 ) ˆ = 90
 ˆ =Λ K   Όµως Α ΒΚ = Λ ∆ Γ  ΑΒ = ∆Γ  ˆ  ˆ  Β1 = ∆1  



Ä

A

άρα KM =

Ë

1

M Â

1

N K Ã

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

91.

Άρα είναι ΒΚ=∆Λ. Τότε από (1), (2) προκύπτει ΒΛ = ∆Κ





Είναι ΒΜ Λ = ∆ Κ Ν αφού ΜΒ = ∆Ν (µισά ίσων τµηµάτων) ˆ = ∆ˆ (εντός εναλλάξ) Β 1 1 ΒΛ = ∆Κ

Τότε και ΜΛ = ΚΝ Άρα το ΜΛΝΚ είναι παραλληλόγραµµο αφού έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες.

3. Στις πλευρές του παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ θεωρούµε τα ίσα τµήµατα ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ∆Ν. ∆είξτε ότι το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραµµο. Τι θα πρέπει να ισχύει ώστε: i. ΚΛΜΝ ρόµβος ii. ΚΛΜΝ τετράγωνο Λύση:


M

Ä

Ã

N

Ë

A

Â

K




Είναι Α Ν Κ = Μ Γ Λ αφού: ΑΚ = ΓΜ ΑΝ = Α∆ − ∆Ν   ⇔ ΑΝ = ΓΛ ΓΛ = ΓΒ − ΒΛ  ˆ = Γˆ ως απέναντι γωνίες παραλληλογράµµου Α

Συνεπώς ΝΚ = ΜΛ. Οµοίως ΚΛ = ΜΝ. Άρα ΚΛΜΝ παραλληλόγραµµο αφού έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες. i. Το ΚΛΜΝ είναι ρόµβος όταν το ΑΒΓ∆ είναι ορθογώνιο και τα Κ, Λ, Μ, Ν είναι µέσα των πλευρών. Τότε ΝΚ // =

∆Β 2

ΑΓ ΚΛ // = 2 Αφού ∆Β = ΑΓ τότε ΝΚ = ΚΛ. Επειδή το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραµµο και έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, είναι ρόµβος.

M

Ä

Ã

N

A

Ë

K

Â

taexeiola.gr

92.

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ii. Για να είναι τετράγωνο αρκεί το ΑΒΓ∆ να είναι τετράγωνο και Κ, Λ, Μ, Ν τα µέσα των πλευρών. Τότε ΝΚ//∆Β ΚΛ//ΑΓ

M

Ä

Ã

Ë

N

Αφού στο τετράγωνο είναι ∆Β ⊥ ΑΓ θα είναι και

ΝΚ ⊥ ΚΛ . Άρα Κ = 90


A

Â

K

4. Σε ορθογώνιο ΑΒΓ∆ τα σηµεία Ε, Ζ είναι µέσα των ΟΑ, ΟΓ αντίστοιχα όπου Ο το κέντρο του ορθογωνίου. i. Να δείξετε ότι το ∆ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. ii. Τι θα πρέπει να ισχύει για να είναι ρόµβος; iii. Μπορεί το ∆ΕΒΖ να είναι τετράγωνο; Λύση: i. Το σηµείο Ο είναι µέσο της ∆Β αλλά και της ΕΖ

ΟΓ ΟΑ , ΟΖ = . 2 2 Άρα ∆ΕΒΖ παραλληλόγραµµο αφού οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται.

αφού ΟΕ =

ii. Για να είναι ρόµβος αρκεί οι διαγώνιοί του να είναι κάθετες. Άρα θα πρέπει ∆Β ⊥ ΕΖ δηλαδή ∆Β ⊥ ΑΓ . Αυτό συµβαίνει όταν το ΑΒΓ∆ είναι τετράγωνο.

A

 E O

Ä

Æ

Ã

iii. Για να είναι το ∆ΕΒΖ τετράγωνο θα πρέπει ΕΖ ⊥ ∆Β και ΕΖ = ∆Β. ΟΑ ΟΓ ΑΓ ∆Β + = = . 2 2 2 2 Άρα δεν µπορεί να είναι τετράγωνο.

Όµως ΕΖ = ΕΟ + ΟΖ =

5. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆, Γ∆ > ΑΒ) του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές τέµνονται στο Ο κάθετα. Αν το Ο και τα µέσα Κ, Λ των ΑΒ, ∆Γ είναι συνευθειακά να δείξετε ότι το ΚΛ είναι ίσο µε το τµήµα που συνδέει τα µέσα των διαγωνίων του τραπεζίου.

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

93.

Λύση:


Στο ορθογώνιο Ο Α Β η ΟΚ είναι διάµεσος. Άρα ΟΚ =

O

ΑΒ . 2

A


Στο ορθογώνιο Ο ∆ Γ η ΟΛ είναι διάµεσος. Άρα ΟΛ =

Ê

Â

Å

Ä

Γ∆ . 2

Æ Ë

Είναι ΚΛ = ΟΛ – ΟΚ =

Ã

Γ∆ ΑΒ Γ∆ − ΑΒ − = 2 2 2

Γνωρίζουµε ότι αν Ε, Ζ µέσα των διαγωνίων τότε ΕΖ =

Γ∆ − ΑΒ . 2

Άρα ΚΛ = ΕΖ

6.

ˆ όπου ˆ = 60 o και ΑΚ διχοτόµος της Α Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ είναι Α

ˆ Κ σηµείο της ΒΓ. Αν Λ µέσο της ΑΚ να δείξετε ότι η ΒΛ διχοτοµεί τη Β και να εκφράσετε τη ΒΛ συναρτήσει του ΑΒ. Λυσή: ˆ =Α ˆ = 30ο  Είναι Α 1 2 ˆ =Κ ˆ  Συνεπώς Α 1 ˆ =Κ ˆ (εντός εναλλάξ)  και Α 2 1 


∆ηλαδή το τρίγωνο Α ΒΚ είναι ισοσκελές και η ΒΛ είναι διάµεσος άρα διχοτόµος και ύψος.


Στο ορθογώνιο τρίγωνο Α Λ Β είναι:

K

B

1

Ã

Ë A

1 2

Ä

ˆ = 30 ⇔ ΒΛ = ΑΒ . Α 1 2

7.

Εξωτερικά του παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ κατασκευάζουµε τα ισοσκελή και ορθογώνια τρίγωνα ΑΛΒ και ∆ΚΓ. Να δείξετε ότι το ∆ΛΒΚ είναι παραλληλόγραµµο. Λύση: Τα τρίγωνα ΑΛΒ, ∆ΚΓ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια και έχουν ΑΒ = ∆Γ, ˆ =Β ˆ = ∆ˆ = Γˆ = 45
. Συνεπώς ΑΛ = ΚΓ (1). Α 1

1

1

1

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

94.

∆

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

∆

Ë

Οµοίως ∆ Α Λ = Β Γ Κ αφού Α∆ = ΒΓ (ως απέναντι πλευρές του ΑΒΓ∆) και ΑΛ = ΚΓ (από (1)) ˆ =Α ˆ +Α ˆ και ΒΓΚ ˆ = Γˆ + Γˆ Επίσης είναι ∆ΑΛ 1

1

A Ä

1

1

ˆ = Γˆ (ως απέναντι γωνίες του ΑΒΓ∆) και Όµως Α ˆ = Γˆ . Εποµένως ∆ΑΛ ˆ = ΒΓΚ ˆ . Α 1 1 ∆

1

B Ã

1

K

∆

Συνεπώς τα τρίγωνα ∆ Α Λ και ΒΓ Κ είναι ίσα ⇔ ∆Λ = ΒΚ ∆

∆

Επιπλέον ΛΒ = ∆Κ (αφού Α Λ Β = ∆ Κ Γ ) Εποµένως το ∆ΛΒΚ είναι παραλληλόγραµµο αφού έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες. ˆ = ∆ˆ = 90ο ) µε Βˆ = 60ο . Αν είναι ∆ίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Α ΒΓ = ∆Γ = 8 να βρεθεί το µήκος της διαµέσου του τραπεζίου. Λύση: Φέρνουµε το ύψος ΓΕ του τραπεζίου. Στο ορθογώνιο ˆ = 90ο − 60ο = 30ο . Ä Ã τρίγωνο ΓΕΒ είναι Γˆ = 90ο − Β

8.

1

ΒΓ 8 = =4 2 2 Είναι ΑΒ = ΑΕ + ΕΒ = ∆Γ + ΕΒ = 8 + 4 = 12 Τότε, αν Κ, Λ µέσα των µη παραλλήλων πλευρών θα

Άρα ΕΒ =

είναι: ΚΛ =

1

K

Ë o

60

A

E

B

ΑΒ + ∆Γ 12 + 8 20 = = = 10 2 2 2

9.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ = x 2 + 4x, x > 0 . Αν Κ, Λ µέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα και ΚΛ = x + 4 να βρεθεί το x. Λύση: Αφού Κ, Λ µέσα των ΑΒ, ΑΓ τότε KΛ = // x+4=

A

ΒΓ . Άρα 2

x 2 + 4x ⇔ 2 ( x + 4 ) = x 2 + 4x ⇔ 2

⇔ x 2 + 4x − 2x − 8 = 0 ⇔ x 2 + 2x − 8 = 0 Εποµένως x = 2 η x = –4 απορρίπτεται.

K

B

Ë

Ã

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

95.

10. ∆ίνεται

ορθογώνιο ΑΒΓ∆. Πάνω στις ΑΒ,∆Γ αντίστοιχα, θεωρούµε σηµεία Ε, Ζ τέτοια ώστε ΑΕ = ΓΖ. Αν Κ, Λ µέσα των ∆Ε, ΒΖ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το ΑΚΓΛ είναι παραλληλόγραµµο και ότι οι ΚΛ, ΑΓ, ∆Β συντρέχουν. Λύση: Z Ä Ã Στο ορθογώνιο τρίγωνο Α∆Ε η ΑΚ είναι διάµεσος που 1

∆Ε αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του. Άρα AK = (1) . 2 Όµοια στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΒΖ η ΓΛ είναι διάµεσος

που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα ΓΛ = ∆

ΖΒ ( ) 2 . 2

K Ë A

E

1

Â

∆

Όµως ΖΒ = ∆Ε (3) αφού Α ∆ Ε = Γ Β Ζ (είναι ορθογώνια και έχουν Α∆ = ΒΓ ως απέναντι πλευρές ορθογωνίου και ΑΕ = ΓΖ από υπόθεση). Από (1), (2), (3) συµπεραίνουµε ότι ΑΚ = ΓΛ.





Επίσης Α Λ Β = ∆ Κ Γ αφού: ∆Γ = ΑΒ ως απέναντι πλευρές ορθογωνίου ∆Κ=ΛΒ ως µισά των ίσων τµηµάτων ∆Ε, ΒΓ ˆ = ∆ˆ ως απέναντι γωνίες του παραλληλογράµµου ∆ΕΒΖ Β 1 1 Συνεπώς ΚΓ = ΑΛ. Άρα το ΑΚΓΛ είναι παραλληλόγραµµο αφού έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες. Το ∆ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο αφού ∆Ε = ΒΖ και ∆Ζ = ΕΒ αφού ∆Ζ = ∆Γ – ΖΓ και ΕΒ = ΑΒ – ΑΕ Οι ΑΓ, ΚΛ είναι διαγώνιοι του παραλληλογράµµου ΑΚΓΛ άρα διχοτοµούνται. Όµως η ΑΓ διαγώνιος και του ΑΒΓ∆. Άρα διχοτοµείται µε την ∆Β. Εποµένως οι ΑΓ, ΚΛ, ∆Β συντρέχουν στο Ο το κέντρο του ΑΒΓ∆.

11. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε

ˆ = 45o . Φέρουµε τα ύψη Α∆ και ΒΕ. Αν Μ Γ είναι το µέσο της ΑΒ να δείξετε ότι το τρίγωνο ∆ΜΕ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο. Λύση:

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ∆, Μ µέσο της υποτείνουσας άρα ∆Μ =

ΑΒ (1) 2

ΑΒ (2) 2 Από (1),(2) έχουµε ∆Μ = ΕΜ δηλαδή το τρίγωνο ∆ΜΕ είναι ισοσκελές.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ, Μ µέσο της υποτείνουσας άρα ΕΜ =

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

96.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ˆ = 90
αρκεί Μ ˆ +Μ ˆ = 90
Για να είναι η Μ 1 2 Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΜΕ (ΑΜ = ΜΕ) είναι: ˆ + Εˆ = 180
⇔ Μ ˆ αφού Α ˆ = Εˆ ˆ +Α ˆ = 180
− 2Α Μ 1

1

A

1

1

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΒΜ∆ (ΜΒ = Μ∆) είναι: ˆ +Β ˆ + ∆ˆ = 180
⇔ Μ ˆ = 180
− 2Β ˆ αφού Β ˆ = ∆ˆ Μ

1

2

1

2

Τότε: ˆ + 180
− 2Β ˆ + Β) ˆ +Μ ˆ = 180
− 2Α ˆ = 360
− 2(Α ˆ Μ 1 2

1 E

Ì 1 22 1

Â

Ã

Ä

ˆ +Β ˆ = 180  − Γˆ = 180  − 45 = 135 Όµως Α

ˆ +Μ ˆ = 360
− 2 ⋅ 135
= 90
. Άρα Μ 1 2

12. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ όπου ∆Γ//ΑΒ και ∆Γ = 4ΑΒ. 5ΑB όπου ΖΗ η διάµεσος. 2 ii. Αν Κ,Λ,Μ σηµεία της ∆Γ τέτοια ώστε ∆Κ = ΚΛ = ΛΜ = ΜΓ, να δείξετε ότι ΑΒΚ∆, ΑΒΓΜ παραλληλόγραµµα. iii. Αν η διάµεσος του τραπεζίου τέµνει τις ΒΚ, ΑΜ στα Θ, Ι να δείξετε i. Να δείξετε ότι ΖΗ =

ότι ΘΙ =

ΑΒ . 2

Λύση: i. Είναι ΖΗ =

Â

A

ΑΒ + ∆Γ ΑΒ + 4ΑΒ 5ΑΒ . = = 2 2 2

1 ii. Είναι ∆Κ = ∆Γ = ΑΒ και αφού ΑΒ//∆Κ θα είναι 4 το ΑΒΚ∆ παραλληλόγραµµο.

Z

Ä

1 Είναι ΜΓ = ∆Γ = ΑΒ και αφού ΑΒ//ΜΓ θα είναι 4 το ΑΒΓΜ παραλληλόγραµµο. iii. Αφού ΖΗ διάµεσος τότε και Θ,Ι τα µέσα των ΒΚ, ΑΜ. Άρα και ΖΘ// = ΑΒ, ΙΗ// = ΑΒ.

Οπότε ΘΙ = ΖΗ – ΖΘ – ΙΗ =

5ΑΒ ΑΒ − ΑΒ − ΑΒ = . 2 2

È

K

É

H

Ë

Ì

Ã

taexeiola.gr

Λύνουµε µόνοι µας

ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

Βήµα 4 ο

97.

Ëýíïõìå ìüíïé ìáò

1. ∆ίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ = 4ΒΓ. Θεωρούµε σηµεία Ε, Ζ επί της ΑΒ τέτοια ώστε ΑΕ = ΖΒ = ΒΓ. i. Να δείξετε ότι το ∆ΕΖΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ii. Να βρεθεί η διάµεσός του ΚΛ συναρτήσει της ΒΓ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

2. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Μ µέσο της υποτείνουσας. Αν ΜΕ, Μ∆ οι αποστάσεις του Μ από τις ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι το ΜΕΑ∆ είναι ορθογώνιο. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

3. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), Θ το βαρύκεντρό του και ∆, Ζ, Ε µέσα των ΒΓ, ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. i.Να δείξετε ότι ΑΖ∆Ε ρόµβος. ii.Αν Λ το µέσο της ΑΘ, να δείξετε ότι ΛΖΘΕ ρόµβος.

taexeiola.gr

98.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

4. Οι µη παράλληλες πλευρές τραπεζίου ΑΒΓ∆ τέµνονται στο Ο. Αν Κ, Μ είναι µέσα των διαγωνίων και Ε, Ζ είναι µέσα των βάσεων, να δείξετε ότι ˆ. ˆ = ΚΖΜ ˆ =Ο ΚΕΜ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Αˆ = 90o ) , είναι Ζ, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, Α∆ ύψος και Η µέσο ΖΕ. Να δείξετε ότι:

ΒΓ 4 ii. Η περίµετρος του τριγώνου Ε∆Ζ είναι ίση µε το µισό της περιµέτρου του ΑΒΓ.

i. ∆H =

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

99.

6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η υποτείνουσα ΒΓ είναι η διπλάσια από την ΑΒ. Προβάλουµε το Α στην εσωτερική και εξωτερική διχοτόµο της Β. Αν Ζ, ∆ οι προβολές αντίστοιχα, να δείξετε ότι: i. ∆Ζ//ΒΓ ii. Ζ µέσο της ΑΗ και Η µέσο της ΒΓ(όπου Η το σηµείο στο οποίο η ΑΖ τέµνει τη ΒΓ) iii. Να βρεθούν οι γωνίες των τριγώνων ΑΒΗ και ΑΗΓ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

7. ∆ίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ∆ µε κέντρο Ο. Εξωτερικά του ορθογωνίου κατασκευάζουµε τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΚΒ και ΒΛΓ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΚΟΛ είναι ορθογώνιο. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

8. Εξωτερικά του ρόµβου ΑΒΓ∆ κατασκευάζουµε τετράγωνα Γ∆ΕΖ και ΒΓΚΛ. Να δείξετε ότι το ΚΖ∆Β είναι ισοσκελές τραπέζιο.

taexeiola.gr

100.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

9. Σε τετράγωνο ΑΒΓ∆ τα Κ, Λ, Μ, Ν είναι µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆ και ∆Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα τµήµατα ΑΛ, ΒΜ, ΓΝ, ∆Κ τεµνόµενα σχηµατίζουν τετράγωνο. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

10. ∆ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τετράγωνα ΑΓΚΛ και ΑΒ∆Ε ∆

i. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου Α Ε Λ ii. Να δείξετε ότι το ΒΓΛΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

11.

101.

Στα µέσα Κ, Λ των πλευρών ΑΓ και ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουµε ΚΘ ⊥ ΑΓ και ΛΙ ⊥ ΑΒ ώστε ΚΘ =

ΑΓ ΑΒ και ΛΙ = . 2 2

∆

Αν ∆ µέσο της ΒΓ να δείξετε ότι Ι Θ ∆ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

12. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και Ο το κέντρο του και Ε τυχαίο σηµείο της ΑΟ. Φέρνουµε ΓΛ ⊥ ∆Ε όπου Μ το σηµείο τοµής της ΓΛ µε την ∆Ο. Να δείξετε ότι: i. ΓΜ = ∆Ε ii. ΒΜ = ΓΕ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

13. Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ από τις κορυφές Α και Γ φέρνουµε ΓΖ κάθετες στη ∆Β. Να δειχθεί ότι το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραµµο και έχει το ίδιο κέντρο µε το ΑΒΓ∆. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

102.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

14. Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ είναι ΑΒ = 2ΒΓ. Από την κορυφή Α φέρνουµε την AE ⊥ BΓ και ενώνουµε το Ε µε το µέσο Μ της ∆Γ. Να αποˆ = 3ΜΕΓ ˆ . δειχθεί ότι ∆ΜΕ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

15. Στο τρίγωνο ΑΒΓ το Ο είναι το σηµείο τοµής των διαµέσων ΑΜ, ΒΝ και ΓΖ. Αν η Η είναι το µέσο της ΟΓ να αποδειχθεί ότι η ΒΗ τέµνει την ΑΜ στο Ε ώστε: ΟΕ =

2 ΑΜ 9

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

103.

ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáò

Θέµα 1ο Α. Να δείξετε ότι οι διαγώνιοι του παραλληλογράµµου διχοτοµούνται και αντίστροφα εάν σε τυχαίο τετράπλευρο οι διαγώνιοι διχοτοµούνται τότε αυτό είναι παραλληλόγραµµο. (Μονάδες 8) Β. Να δείξετε ότι το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. (Μονάδες 8) Γ. Να δείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. (Μονάδες 9)

Θέµα 20 Α. ∆ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόµος του Α∆. Από το ∆ φέρνουµε τη ∆Ε//ΑΒ και την ΕΖ//ΒΓ. Να δειχθεί ότι ΑΕ = ΒΖ. (Μονάδες 9) Β. Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ προεκτείνουµε την ΑΒ κατά τµήµα ΒΕ = ΒΓ και την Α∆ κατά τµήµα ∆Ζ = Γ∆. Να δειχθεί ότι: ˆ = ΒΓΕ ˆ i. ∆ΓΖ ii. τα σηµεία Ζ, Γ, Ε είναι συνευθειακά. (Μονάδες 16) Θέµα 30 ˆ και τη Α. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΓ > ΑΒ. Φέρνουµε τη διχοτόµο Αx της Α Β∆ ⊥ Αx , που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Αν Μ είναι το µέσο της ΒΓ, να δειχθεί ότι:

i. ∆Μ =

ΑΓ − ΑΒ 2

ˆ ˆ ˆ = Β−Γ ii. ∆ΒΓ 2

ˆ ˆ = 90ο + Α iii. Β∆Μ 2 (Μονάδες 15)

taexeiola.gr

104.

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

Β. Στο τρίγωνο ΑΒΓ ονοµάζουµε ∆ το µέσο της διαµέσου ΑΜ. Η ευθεία Β∆ τέµνει

2 την ΑΓ στο Ε. Να δειχθεί ότι: ΕΓ = ΑΓ . 3 (Μονάδες 10) Θέµα 40 ˆ = 135ο . Φέρνουµε κάθετη στην ΑΒ στο Α. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Γˆ = 30ο και Α Α, που τέµνει τη ΒΓ στο ∆. Να δειχθεί ότι ΑΓ =

Β∆ 2 (Μονάδες 10)

Β. Στην πλευρά Γ∆ τετραγώνου ΑΒΓ∆ παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε. Αν η διχοτόµος ˆ συναντά τη ΒΓ στο Ζ, να δειχθεί ότι ΑΕ = ΒΖ + ∆Ε. της ΒΑΕ (Μονάδες 15)

taexeiola.gr

ÊåöÜëáéï 4ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 4 θα πρέπει να είναι σε θέση:

[ Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύο ευθειών. [ Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών που σχηµατίζονται από δύο παράλληλες ευθείες οι οποίες τέµνονται από µια τρίτη ευθεία.

[ Να γνωρίζει διάφορους τρόπους µε τους οποίους θα αποδεικνύει ότι δύο οι περισσότερες ευθείες είναι παράλληλες.

[ Να γνωρίζει ότι το άθροισµα των γωνιών του τριγώνου είναι 2 ορ-

θές και τις διάφορες σηµαντικές προτάσεις και πορίσµατα που προκύπτουν.

[ Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση γωνιών µε πλευρές παράλληλες ή κάθετες.

[ Να γνωρίζει το άθροισµα των γωνιών κυρτού ν-γώνου καθώς και το άθροισµα των εξωτερικών γωνιών του.

[ Να γνωρίζει τους αξιοσηµείωτους κύκλους ενός τριγώνου.

taexeiola.gr

52.

Τύποι - Βασικές έννοιες

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών. Οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών ε1 και ε2 του ίδιου επιπέδου είναι οι παρακάτω: • Ταυτίζονται. (άπειρα κοινά σηµεία). Συµβολίζουµε ε1 ≡ ε 2 . • Τέµνονται. (ένα κοινό σηµείο). • ∆εν τέµνονται. (κανένα κοινό σηµείο). Στην περίπτωση αυτή οι ευθείες ονοµάζονται παράλληλες και συµβολίζουµε ε1 // ε2 .

(á)

å1  å 2

(â)

A

å1

å2 (ã)

å1 å2

Τέµνουσα δύο ευθειών. Έστω δύο ευθείες ε1 και ε2 του επιπέδου οι οποίες τέµνονται από µια τρίτη ευθεία ε 3 . Τότε σχηµατίζονται τα εξής ζεύγη γωνιών: • Γωνίες εντός εναλλάξ. Είναι γωνίες που βρίσκονται εντός της ζώνης που δηµιουργούν οι ευθείες ε 1 και ε 2 και σε διαφορετικά ηµιεπίπεδα που ορίζει η ευθεία ε3. Τέτοιες είναι οι γ, ε και δ, ζ. • Γωνίες εντός και επί τα αυτά µέρη. Είναι γωνίες που βρίσκονται εντός των ευθειών ε 1 και ε 2 και στο ίδιο ηµιεπίπεδο που ορίζει η ευθεία ε3. Τέτοιες είναι οι δ, ε και γ, ζ. • Γωνίες εντός, εκτός και επί τα αυτά µέρη. Είναι γωνίες που βρίσκονται µια εντός και µία εκτός των ευθειών ε1 και ε2 και στο ίδιο ηµιεπίπεδο που ορίζει η ευθεία ε3. Τέτοιες είναι οι α,ε και β,ζ και δ,θ και η,γ. Θεώρηµα Αν δύο ευθείες ε1, ε2 τεµνόµενες από τρίτη ευθεία ε σχηµατίζουν τις: • εντός εναλλάξ γωνίες ίσες τότε ε1//ε2. • εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες τότε ε1//ε2. • εντός και επί τα αυτά γωνίες ίσες τότε ε1//ε2. και αντίστροφα. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέµνονται από τρίτη, σχηµατίζουν: • τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. • τις εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες ίσες, • τις εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες παραπληρωµατικές.

taexeiola.gr

Τύποι - Βασικές έννοιες

53.

Πορίσµατα A • ∆ύο ευθείες κάθετες σε διαφορετικά σηµεία στην ù ίδια ευθεία, είναι µεταξύ τους παράλληλες (σχ.α). ö • ∆ύο ευθείες παράλληλες στην ίδια ευθεία, είναι Â (á) και µεταξύ τους παράλληλες. A • Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες και µία τρίτη ευθεία τέµνει µία από αυτές τότε τέµνει και την Â (â) άλλη (σχ.β). • Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες και µία τρίτη ευθεία τέµνει κάθετα µία από αυτές τότε τέµνει κάθετα και την άλλη.

å1 å2 å1 å2

Το Ευκλείδειο Αίτηµα της Παραλληλίας. Από ένα σηµείο εκτός ευθείας διέρχεται µοναδική παράλληλη προς αυτή. Πρόταση. Αν δύο ευθείες τεµνόµενες από µία τρίτη σχηµατίζουν τις εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες τους µε άθροισµα µικρότερο από δύο ορθές τότε οι ευθείες τέµνονται προς το µέρος της τέµνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. Γωνίες µε πλευρές παράλληλες ή κάθετες. Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες ή κάθετες µία προς µία τότε • αν είναι και οι δύο οξείες ή αµβλείες τότε είναι ίσες. • αν η µία είναι οξεία και ή άλλη αµβλεία τότε είναι παραπληρωµατικές.

A y O ù 1 Ã è

B x ö

z

x´

è´ Ï´ z´

Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου. • Ο κύκλος που διέρχεται από τις τρείς κορυφές ενός τριγώνου λέγεται περιγεγραµµένος κύκλος και το κέντρο του είναι το σηµείο όπου διέρχονται και οι τρείς µεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου και λέγεται περίκεντρο.

y´

2

A x

K

M O

B

Ë y

Ã

taexeiola.gr

54.

Τύποι - Βασικές έννοιες

• Ο κύκλος που εφάπτεται στις τρείς πλευρές ενός τριγώνου λέγεται εγγεγραµµένος κύκλος και το κέντρο του είναι το σηµείο όπου διέρχονται και οι τρείς διχοτόµοι των γωνιών του τριγώνου και λέγεται έκκεντρο. • Ο κύκλος που εφάπτεται στη µία πλευρά ενός τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων λέγεται παρεγγεγραµµένος κύκλος και το κέντρο του είναι το σηµείο όπου διέρχονται η διχοτόµος της απέναντι γωνίας και οι διχοτόµοι των άλλων δύο εξωτερικών γωνιών του τριγώνου και λέγεται παράκεντρο.

A Z

N

Ë

E

ÈÄ

B

Ã

A

B

à É

Άθροισµα γωνιών τριγώνου και κυρτού ν-γώνου. Το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται µε δύο ορθές. Το άθροισµα των γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου ισούται µε 2ν – 4 ορθές. Πορίσµατα • Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου ισούται µε το άθροισµα των δύο απέναντι εσωτερικών. • Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες µία προς µία ίσες, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. • Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συµπληρωµατικές. • Κάθε γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου ισούται µε 60ο. • Το άθροισµα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου ισούται µε 4 ορθές.

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ÂÞìá 1

Βήµα 1 ο

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

55.

taexeiola.gr

56.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

57.

taexeiola.gr

58.

Βήµα 1 ο

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

taexeiola.gr

Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

Βήµα 1 ο

59.

taexeiola.gr

60.

Βήµα 2 ο

Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêÞóåéò "êëåéäéÜ"

Α. Από το σχολικό βιβλίο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003. σ. 82: Ασκήσεις Εµπέδωσης 2, 3, 4, 5 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1, 2, 4, 5 Σύνθετα Θέµατα 3, 4 σ. 87: Ασκήσεις Εµπέδωσης 1, 3, 5, 6, 7 Αποδεικτικές Ασκήσεις 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Σύνθετα Θέµατα 2, 5, 6 σ. 88: Γενικές Ασκήσεις 3, 4

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêÞóåéò

ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1. Σε τρίγωνο

61.

∆

ˆ = 2Βˆ , να δείξετε ότι α < 2β A B Γ µε Α

Λύση: Φέρουµε ΓΗ ⊥ ΑΒ και στο ευθύγραµµο τµήµα ΒΗ

A

∆

παίρνουµε τµήµα ΗΘ = ΗΑ. Τότε το τρίγωνο Γ Α Θ είναι ισοσκελές αφού το ΓΗ είναι ύψος και διάµεˆ =Α ˆ σαν προσκείµενες γωνίες στη βάση σος. Άρα Θ 1

H È

1 â

â B

ˆ ισοσκελούς τριγώνου, και ΓΘ = ΑΓ = β . Όµως η Θ 1

á

â 1

Ã

∆

είναι εξωτερική γωνία του Θ BΓ , οπότε: ∆

ˆ =Β ˆ =Β ˆ + Γˆ ⇔ Α ˆ + Γˆ ⇔ 2Β ˆ =Β ˆ + Γˆ ⇔ Β ˆ = Γˆ , δηλαδή το Θ BΓ είναι ισοΘ 1 1 1 1 1 σκελές µε κορυφή Θ, αφού οι προσκείµενες γωνίες στην ΒΓ είναι ίσες. Άρα ΘΒ = ΘΓ = β. ∆

Εφαρµόζουµε την τριγ. ανισότητα στο Θ BΓ και έχουµε: ΒΓ < ΘΒ + ΘΓ ⇔ α < β + β ⇔ α < 2β

2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο

∆

ˆ =1 Α Β Γ (Α

)

φέρουµε το ύψος ΑΗ και τις δι-

ˆ χοτόµους Α∆ και ΓΕ των γωνιών ΒΑΗ και Γˆ αντίστοιχα. Αν το σηµείο τοµής των Α∆ και ΓΕ είναι το Ρ, να δείξετε ότι: α. Α∆ ⊥ ΓΕ β. ΑΡ = Ρ∆

Λύση: ˆ ˆ ˆ = Γˆ σαν οξείες γωνίες µε ˆ =Α ˆ = ΒΑΗ και Γˆ = Γˆ = Γ . Όµως ΒΑH α. Είναι Α 1 2 1 2 2 2 ˆ ∆ ˆ =Α ˆ = Γˆ = Γ . Στο τρίγωνο Α Ρ Γ έχουµε: πλευρές κάθετες. Άρα Α 1 2 1 2

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

62.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ˆ + ΑΓΡ ˆ +Α ˆ ) + Γˆ = Α ˆ +Α ˆ +Α ˆ =Α ˆ =1 ˆ = (Α ΡΑΓ 2 3 1 2 3 1

B

ˆ + ΑΓΡ ˆ = 2 − ( ΡΑΓ ˆ ) =1 , οπότε ΑΡΓ δηλαδή Α∆ ⊥ ΓΕ

Ä H

1

∆

ˆ = 1 ) έχουµε: β. Από το τρίγωνο Α Η ∆ ( Η ˆ + ∆ˆ = 1 ⇔ Α ˆ + ∆ˆ = 1 ⇔ Α ˆ − ∆ΑΓ ˆ + ∆ˆ = 1 ⇔ Α 2 1 1 1 1

P

E 1 A

2

3

1

2

Ã

ˆ + ∆ˆ = 1 ⇔ ∆ˆ − ∆ΑΓ ˆ = 0 ⇔ ∆ˆ = ∆ΑΓ ˆ 1 − ∆ΑΓ 1 1 1 ∆

Άρα το ∆ Α Γ είναι ισοσκελές µε κορυφή το Γ, αφού οι προσκείµενες γωνίες στην Α∆ είναι ίσες. Συνεπώς το ύψος ΓΡ που αντιστοιχεί στην βάση του Α∆ είναι και διάµεσος. ∆ηλαδή ΑΡ = Ρ∆. ∆

Α Β Γ ( ΑΒ = ΑΓ ) φέρουµε ηµιευθεία Βx ⊥ ΒΓ , η οποία βρίσκεται στο ηµιεπίπεδο (ΒΓ, Α). Αν η Bx τέµνει την προέκταση της ΓΑ στο Μ και επί της ΒΜ πάρουµε σηµεία Κ, Λ τέτοια ∆ ˆ = ΓΑΚ ˆ = 90ο , να δείξετε ότι: ΒΛ = ΚΜ και ότι το Α Κ Λ ώστε: ΒΑΛ

3. Σε ισοσκελές τρίγωνο

είναι ισοσκελές. Λύση: ∆

ˆ = Γˆ σαν προσκείΕπειδή Α ΒΓ ισοσκελές είναι Β 2 µενες γωνίες στη βάση του ΒΓ. Όµως από το ορθο∆

1

ˆ = 90ο ) έχουµε: γώνιο τρίγωνο ΒΓ Μ ( ΓΒΜ

Ë

ˆ = 90ο ⇔ Β ˆ +Μ ˆ = ΓΒΜ ˆ ⇔ Γˆ + Μ 1 2 1 ˆ +Μ ˆ =Β ˆ +Β ˆ ⇔Μ ˆ =Β ˆ ⇔Β 2

1

1

2

1

A

K 1

1

∆

Άρα το Α Β Μ είναι ισοσκελές µε βάση ΜΒ, αφού οι προσκείµενες σ’αυτή γωνίες είναι ίσες. ∆

x

Ì

B

2

∆

Ã

ˆ = 90ο ) και Α Κ Μ ( ΚΑΜ ˆ = 90ο ) έχουν: Τα ορθογώνια τρίγωνα Α ΒΛ ( ΒΑΛ ∆

(1) ΑΒ = ΑΜ ( Α Β Μ ισοσκελές) ˆ =Μ ˆ (το αποδείξαµε) (2) Β 1

∆

1

∆

Άρα Α Β Λ = Α Κ Μ οπότε: • ΒΛ = ΚΜ ∆

• ΑΛ = ΑΚ, δηλαδή το Α Κ Λ είναι ισοσκελές µε κορυφή το Α.

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

63.

∆

ˆ = 1 ) φέρουµε κάθετη ηµιευθεία στην Α Β Γ (Α ΒΓ προς το µέρος του Α, επί της οποίας παίρνουµε τµήµα ΓΚ = ΑΓ. Στην προέκταση της υποτείνουσας ΓΒ παίρνουµε τµήµα ΒΛ = ΑΒ. Να ˆ . ˆ = 2· ΑΛΒ αποδείξετε ότι ΑΓΚ

4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο

Ë

Λύση: • Είναι ΑΒ = ΒΛ οπότε το τρίγωνο ΑΒΛ είναι ισοˆ =Λ ˆ . Όµως η Β ˆ είναι εξωτερική σκελές και Α

B 2

2

του τριγώνου ΑΒΛ, οπότε

A

1

ˆ ˆ +Λ ˆ =Β ˆ =Β ˆ =Β ˆ ⇔ 2·Λ ˆ ⇔Λ Α 2 2

1

Ã

K

∆

ˆ =Κ ˆ . Όµως • ΑΓ = ΓΚ άρα Α Γ Κ ισοσκελές, οπότε Α 1 ˆ ˆ +Κ ˆ = 180ο ⇔ 2·Α ˆ = 90ο + Γˆ ⇔ Α ˆ = 45ο + Γ ˆ = 180ο ⇔ 90ο − Γˆ + 2·Α Γˆ1 + Α 1 1 1 1 2 ∆

ˆ + Γˆ = 90ο • Το Α ΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α, οπότε Β ο ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +Α ˆ =  45ο + Γ  + Λ ˆ = 45ο + Γ + Β = 45ο + Γ + Β = 45ο + 90 = 90ο Έχουµε: Α 1 2 2 2 2 2 2 

ˆ ⇔ Γˆ = 180ο − 2· (90ο − Α ˆ )⇔ Οπότε από το Α Γ Κ έχουµε: Γˆ1 = 180ο − 2·Α 1 1 2 ∆

ˆ ⇔ Γˆ = 2·Α ˆ ⇔ ΑΓΚ ˆ ⇔ ΑΓΚ ˆ ˆ = 2·Λ ˆ = 2·ΑΛΒ Γˆ1 = 180ο − 180ο + 2·Α 2 1 2

5. Σε τρίγωνο

∆

Α Β Γ , φέρουµε από την κορυφή Β ευθεία x΄x//ΑΓ. Επί της x΄x και εκατέρωθεν του Β παίρνουµε τµήµατα ΒΜ = ΒΝ = ΑΒ. Να δείξετε ότι: AM ⊥ ΑΝ Λύση: ∆

• ΑΒ = ΜΒ άρα το τρίγωνο Α Β Μ είναι ισοσκελές, οπόˆ =Μ ˆ σαν προσκείµενες γωνίες στη βάση του. τε Α 3

1

ˆ =Μ ˆ σαν εντός εναλλάξ γωνίες των πα• Όµως Α 4 1 ραλλήλων ΑΓ και x΄x που τέµνονται από την ΑΜ.

ˆ . ˆ =Α ˆ , δηλαδή η ΑΜ είναι διχοτόµος της Α Άρα Α εξ 3 4 Οµοίως αποδεικνύεται ότι η ΑΝ είναι διχοτόµος της

Ì

4 3 1

A 2 1

B

à Í

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

64.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ˆ και Α ˆ είναι εφεξής και παραπληρωµατικές. Άρα οι ˆ . Όµως οι γωνίες Α Α εξ

διχοτόµοι τους είναι κάθετες, δηλαδή AM ⊥ ΑΝ .

6.

Στην προέκταση της υποτείνουσας ΒΓ ορθογωνίου τριγώνου ∆

ˆ = 90ο ) παίρνουµε τµήµα ΓΚ = γ. Φέρουµε ηµιευθεία Κx ⊥ ΒΚ Α Β Γ (Α προς το µέρος του Α. Επί της Κx παίρνουµε τµήµα ΚΛ = β. Να δείξετε ότι η ΒΛ διχοτοµεί την Βˆ . Λύση: ∆

Φέρουµε την ΓΛ και συγκρίνουµε τα τρίγωνα Α ΒΓ

Ë 1

∆

και Γ Κ Λ . Αυτά έχουν: ˆ =Κ ˆ = 90ο • Α • ΑΒ = ΚΓ = γ (υπόθεση) • ΑΓ = ΚΛ = β (υπόθεση) ∆

A 1

B

á

â

ã 2

á

Ã

â

ã

K

∆

Άρα Α Β Γ = Γ Κ Λ , οπότε ΒΓ = ΓΛ, δηλαδή το τρί∆

ˆ σαν προσκείµεˆ =Λ γωνο ΒΓ Λ είναι ισοσκελές µε κορυφή το Γ. Συνεπώς Β 2 1 νες γωνίες στη βάση του. ˆ = ΚΓΛ ˆ . Άρα ΑΒ//ΓΛ, αφού Επίσης από την ισότητα των τριγώνων έχουµε ΑΒΓ τεµνόµενες από τη ΒΚ, σχηµατίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες τους ίσες. ˆ ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΒ και ΓΛ που τέˆ =Λ Οπότε Β 1

1

ˆ =Β ˆ , δηλαδή η ΒΛ είναι διχοτόµος της γωµνονται από την ΒΛ. Συνεπώς Β 1 2

ˆ. νίας Β

7. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο

∆

Α Β Γ µε µικρότερη πλευρά τη ΒΓ. Στις πλευρές του ΑΒ, ΑΓ παίρνουµε τα σηµεία ∆ και Ε αντίστοιχα, τέτοια ώστε Β∆ = ΓΕ = ΒΓ.

ˆ ˆ = 90ο + Α Αν οι ΒΕ, Γ∆ τέµνονται στο Ζ, να δείξετε ότι: ΓΖΕ 2 Λύση: ∆ ˆ 180ο − Β • Β∆ = ΒΓ άρα το τρίγωνο Β∆ Γ είναι ισοσκελές. Εποµένως ∆ˆ 1 = Γˆ 2 = 2

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

∆

65.

A

• ΓΕ = ΒΓ άρα το τρίγωνο Β Γ Ε είναι ισοσκελές. ο ˆ ˆ = 180 − Γ Εποµένως Εˆ 1 = Β 2 2

Ä

1

2

Z

∆

Από το Γ Ε Ζ έχουµε:

1

B

1

Å 1 2

2

Ã

ο

ˆ ˆ = 180ο − Εˆ − Γˆ = 180ο − 180 − Γ − ( Γˆ − Γˆ ) = ΓΖΕ 1 1 2 2

ˆ  Γˆ  Γˆ 180ο − Β = 180ο −  90ο −  − Γˆ + Γˆ 2 = 180ο − 90ο + − Γˆ + = 2 2 2  = 90ο −

ˆ ˆ ˆ + Γˆ Γˆ  ο Β Β 180ο − Α +  90 −  = 180ο − = 180ο − = 2  2 2 2

ˆ ˆ  Α Α = 180ο −  90ο −  = 90ο + 2 2 

8. Σε τρίγωνο

∆

Α Β Γ µε Βˆ - Γˆ = 30ο , φέρουµε την διχοτόµο Α∆. Να δείξετε

ˆ = 75ο . ότι Α∆Β Λύση:

A

∆

Από το Α ∆ Β έχουµε: ˆ ˆ ˆ = 180ο − Α ˆ −Β ˆ +Β ˆ = 180ο − Α − Β ˆ =Α ˆ + Γˆ − Α − Β ˆ= Α∆Β 1 2 2

=

ˆ ˆ + 2Γˆ 180ο − Β ˆ − Γˆ + 2Γˆ 180ο − Β ˆ + Γˆ Α Α + Γˆ = = = = 2 2 2 2

=

ˆ − Γˆ ) 180ο − 30ο 180ο − ( Β = = 75ο 2 2

1

B

2

Ã

Ä

∆

9.

Από το µέσο Μ της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου Α Β Γ , φέρουµε παράλληλες στις ΑΒ, ΑΓ που τις τέµνουν στα σηµεία ∆, Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η ΑΜ είναι µεσοκάθετος του ∆Ε. Λύση: ∆

ˆ = Γˆ σαν προσκείµενες γωνίες στη βάση του. Επειδή Α ΒΓ ισοσκελές, ισχύει Β

taexeiola.gr

Βήµα 3 ο

66.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

A

ˆ =Μ ˆ ως εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη Επίσης Β 2 γωνίες των παραλλήλων ΑΒ και ΜΕ που τέµνονται από την ΒΓ. ˆ . Οµοίως Γˆ = Μ

Ä

E

1

1

B

Άρα:

Ì

2

Ã

∆

ˆ =Μ ˆ , οπότε ∆ ΒΜ ισοσκελές, αφού οι προσκεί• Β 1 µενες γωνίες στη βάση του είναι ίσες. Συνεπώς ∆Β = ∆Μ ˆ οπότε οµοίως συµπεραίνουµε ότι ΕΜ = ΕΓ (2) • Γˆ = Μ 2 ∆

(1)

∆

Τα ∆ ΒΜ και Ε Μ Γ έχουν: 1. ΒΜ = ΜΓ (Μ µέσο ΒΓ) ˆ =Μ ˆ (το αποδείξαµε παραπάνω) 2. Β 2

ˆ = Γˆ (το αποδείξαµε παραπάνω) 3. Μ 1 ∆

∆

Άρα ∆ ΒΜ = Ε Μ Γ ( ΓΠΓ ) οπότε ∆Β = ΕΜ (3) Από (1), (2), (3) συµπεραίνουµε ότι ∆Β = ∆Μ = ΜΕ = ΕΓ Επειδή Μ∆ = ΜΕ, το Μ ανήκει στην µεσοκάθετο του ∆Ε, αφού ισαπέχει από τα άκρα του. Επίσης Α∆ = ΑΒ – ∆Β = ΑΓ – ΕΓ = ΑΕ. Άρα και το Α ισαπέχει από τα άκρα του ∆Ε, οπότε ανήκει στην µεσοκάθετο του. Συνεπώς η ΑΜ είναι µεσοκάθετος του ∆Ε.

10.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουµε το ύψος Α∆ προς την υποτείνουσα ΒΓ. Έστω Ε, Ζ τα συµµετρικά του ∆ ως προς τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α. τα σηµεία Ε, Α, Ζ είναι συνευθειακά. β. ΒΕ//ΓΖ

Λύση: ∆

α. Το τρίγωνο Α ∆ Ζ είναι ισοσκελές, αφού η ΑΚ είναι ύψος και διάµεσος. Άρα Α∆ = ΑΖ. Οµοίως αποδεικνύεται ότι Α∆ = ΑΕ. Στα ισοσκελή τρί∆

∆

γωνα Α ∆ Ζ και Α ∆ Ε οι ΑΚ , ΑΛ αντίστοιχα ˆ =Α ˆ και θα είναι και διχοτόµοι, οπότε: Α 1

2

Ã

Æ

K 1 2

A

Ä 3 4

Ë

E

B

taexeiola.gr

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Βήµα 3 ο

67.

ˆ =Α ˆ . Τότε ΖΑΕ ˆ =Α ˆ +Α ˆ +Α ˆ +Α ˆ =Α ˆ +Α ˆ +Α ˆ +Α ˆ = 2·Α ˆ + 2·Α ˆ = Α 3 4 1 2 3 4 2 2 3 3 2 3

ˆ +Α ˆ ) = 2·Α ˆ = 2·90ο = 180ο = 2 (Α 2 3 Συνεπώς τα Ζ, Α, Ε είναι συνευθειακά σηµεία. ˆ = 90ο σαν συµµετρικές γωνίες ως προς ΑΒ, οπότε ˆ = Α∆Β β. Είναι ΑΕΒ ΒΕ ⊥ ΑΕ . Οµοίως αποδεικνύεται ότι ΓΖ ⊥ ΑΖ . Όµως τα ΑΕ και ΑΖ έχουν κοινό φορέα. Άρα ΒΕ//ΓΖ σαν κάθετα στην ίδια ευθεία.

taexeiola.gr

68.

Βήµα 4 ο

ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

1.

Λύνουµε µόνοι µας

Ëýíïõìå ìüíïé ìáò

ˆ Στη γωνία xΟψ η Οz είναι εσωτερική ευθεία. Από τυχαίο σηµείο Α

της Οz φέρνουµε την ΑΒ//Ox. Να δειχθεί ότι: ˆ , το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές α. Αν η Οz είναι διχοτόµος της xΟψ ˆ . β. Αν το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές, η Οz είναι διχοτόµος της xΟψ

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

2. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΗ η διχοτόµος της

ˆ . Φέρνουµε Β∆ παράλΑ ληλη στη διχοτόµο, που τέµνει την ευθεία ΓΑ στο ∆. Να δειχθεί ότι: α. Το τρίγωνο ΒΑ∆ ισοσκελές β. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές τότε ∆Β ⊥ ΒΓ . ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Λύνουµε µόνοι µας

Βήµα 4 ο

69.

3. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, φέρνουµε τις διαµέσους ΒΒ΄, ΓΓ΄ και µια ευθεία ε παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει τις διαµέσους στα σηµεία Κ, Λ αντίστοιχα και τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Μ και Ν. Να δείξετε ότι ΚΜ = ΛΝ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

4. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΓ > ΑΒ. Στην πλευρά ΑΓ παίρνουµε τµήµα Α∆ = ΑΒ. Να δειχθεί ότι: ˆ ˆ ˆ ˆ = 90ο + Α ˆ = Β-Γ β. ∆ΒΓ α. Β∆Γ 2 2 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

5.

ˆ = Γˆ και ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµεία ∆ και Ε της ΒΓ ώστε ΒΑ∆ ˆ = Βˆ . Να βρεθεί το είδος του τριγώνου Α∆Ε. ΓΑΕ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

70.

Βήµα 4 ο

Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

6.

∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ. Στις πλευρές του ΑΒ και ΒΓ παίρνουµε αντίστοιχα τα σηµεία ∆ και Ε τέτοια, ώστε να είˆ = 2·ΒΕ∆ ˆ . ναι Α∆ = ΑΕ. Να αποδείξετε ότι: ΕΑΓ

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

7.

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόµοι Α∆ και ΓΕ. Αν είναι Α∆ = ΑΒ και ΓΕ = ΒΓ να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ˆ < 2Γˆ . Έστω τα σηµεία ∆ και Ε της ΑΒ και ΑΓ Α

ˆ ˆ = Α . Να δείξετε ότι ∆Α = ∆Ε = ΕΓ. ˆ = Ε∆Γ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΓ∆ 2

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

taexeiola.gr

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá 2 ÂÞìá 1

71.

ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáò

Θέµα 1ο Α. Να δείξετε ότι το άθροισµα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι δύο ορθές (Μονάδες 10) Β. Να δείξετε ότι κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση µε το άθροισµα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. (Μονάδες 10) Γ. Να δείξετε ότι αν δύο ευθείες ε1, ε2 είναι παράλληλες και µία τρίτη ευθεία ε τέµνει τη µία από αυτές θα τέµνει και την άλλη. (Μονάδες 5) Θέµα 20 Α. Το σηµείο Γ είναι σηµείο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ. Από το Γ φέρνουµε τυχαία ηµιευθεία Γx και παίρνουµε σε αυτήν τµήµατα Γ∆ = ΓΑ και ΓΕ = ΓΒ. Να δείξετε ότι BE ⊥ A∆ . (Μονάδες 12) Β. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Στις προεκτάσεις των ΒΑ και ΓΑ προς το µέρος της κορυφής Α παίρνουµε τµήµατα ΑΒ΄ = ΑΓ και ΑΓ΄ = ΑΒ. Να δείξετε ότι η προέκταση του ύψους Α∆ περνάει από το µέσο Ο της ´ô. (Μονάδες 13) Θέµα 30 Α. Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόµοι των γωνιών κυρτού τετραπλεύρου, όταν τέµνονται ανά δύο, σχηµατίζουν τετράπλευρο µε απέναντι γωνίες παραπληρωµατικές. (Μονάδες 17) ˆ = Γˆ . Να δείξετε ότι οι διχοτόµοι των γωνιών Β ˆ Β. Σε τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι Α και ∆ˆ είναι παράλληλες. (Μονάδες 8)

Θέµα 40 Α. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΓ > ΑΒ. Φέρνουµε το ύψος ΑΗ, τη διχοτόµο Α∆ και τη

taexeiola.gr

72.

Βήµα 5 ο

Ελέγχουµε τη γνώση µας

διάµεσο ΑΜ. Να δειχθούν οι σχέσεις: α. ΑΗ <

ΑΒ + ΑΓ 2

ˆ < ΓΑΗ ˆ β. ΒΑΗ

γ. ∆Β < ∆Γ

δ. ∆Β < ΑΒ (Μονάδες 16)

ˆ . Αν Β. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη Β∆ διχοτόµο της γωνίας Β ˆ Β∆Γ ˆ τέµνουν τη ΒΓ στα Ζ, Ε να δείξετε ότι οι διχοτόµοι των γωνιών Α∆Β,

ΕΖ = 2Β∆. (Μονάδες 9)